C9(鎮(zhèn)海中學(xué)、衡水中學(xué)、歷城二中、南京外國語、復(fù)旦附中、福州一中、武昌實驗、湖南師大附中、華南師大附中)2023屆新高考模擬數(shù)學(xué)試題 附解析

2023年新高考模擬考試數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由補(bǔ)集的定義求出，，再由交集的定義即可求解.【詳解】因為，，，，故=.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的模長公式即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，所以.故選：B3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過函數(shù)的奇偶性和特殊點的函數(shù)值，排除法得到正確答案．【詳解】記，其定義域為，所以，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B、D，，故C錯誤，A正確．故選：A．4.天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家梅文鼎，為清代“歷算第一名家”和“開山之祖”，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓證明正弦定理的方法.如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時的構(gòu)圖中，為銳角三角形外接圓的圓心.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】已知，因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以.故選：D.5.為了了解雙減政策的執(zhí)行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙、丁四個人到、、三所學(xué)校進(jìn)行調(diào)研，每個學(xué)校至少安排一人.若甲不去學(xué)校，則不同的安排方法有（）A.12種 B.18種 C.24種 D.36種【答案】C【解析】【分析】分去學(xué)校2人和1人兩種情況討論求解即可.【詳解】當(dāng)去學(xué)校1人時，則先從乙、丙、丁3人中選2人去學(xué)校，然后剩下2人到、兩校各去1人，則不同的安排方法有種，當(dāng)去學(xué)校2人時，則先從乙、丙、丁3人中選1人去學(xué)校，然后從剩下3人分成兩組到、兩校，則不同的安排方法有種，由分類加法原理可得共種不同的方法，故選：C6.已知菱形的邊長為，則將菱形以其中一條邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】該幾何體上部分為圓錐,下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個與上部分相同的圓錐,根據(jù)圓柱的體積公式即可求解.【詳解】如圖是所求的幾何體,該幾何體上部分為圓錐,下部分為在圓柱內(nèi)挖去一個與上部分相同的圓錐,其中圓柱的高為，點到的距離為，

所以該幾何體的體積為.故選:B.7.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，求兩個曲線公切線的斜率即可.【詳解】設(shè)，，依題意只需求公切線斜率即可.，，設(shè)切點分別為，，則切線方程為，即.，即.則，由①得，代入②得：，則，故公切線斜率為或，如圖，.故選：C.8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若存在，滿足，其中，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】首先利用輔助角公式和對稱軸方程可得，計算出的值域為，根據(jù)題意可得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為.【詳解】由可得，其中；又因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以需滿足，解得，即；可得，即，所以由正弦函數(shù)值域可得若要求滿足的的最小值，只需滿足取最大值即可，而，所以當(dāng)且僅當(dāng)時滿足題意，即；所以，得，即的最小值為.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知為坐標(biāo)原點，點，，，則下列說法中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量模的坐標(biāo)表示及數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合和差角的余弦公式變形判斷作答.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，，，因此，B正確；對于C，由選項B知，C正確；對于D，，顯然與不恒等，即不恒成立，D錯誤.故選：ABC10.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓，直線與交于兩點，與交于兩點在第一象限），為坐標(biāo)原點，則下列說法中正確的是（）A. B.C.若，則 D.為定值【答案】BD【解析】【分析】對于A，由拋物線的準(zhǔn)線方程可求出的值進(jìn)行判斷，對于B，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再求出，由于直線過圓心，則由圓的性質(zhì)可得，從而可進(jìn)行判斷，對于C，利用弦長公式求出，而，然后由題意列方程可求出的值，對于D，由題意可得，再結(jié)合拋物線的性質(zhì)化簡計算即可.【詳解】對于A，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，得，所以A錯誤，對于B，設(shè)，由，得，則，所以，因為直線恒過圓心，所以，所以，所以，所以B正確，對于C，因為直線過拋物線的焦點，所以，因為，，所以，解得，所以C錯誤，對于D，因為直線過拋物線的焦點，所以，所以為定值，所以D正確，故選：BD11.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過，且與互素（兩個數(shù)的最大公約數(shù)為1）的正整數(shù)的個數(shù)，例如.歐拉函數(shù)具有以下性質(zhì)：如果是互素的正整數(shù)，那么.下列說法中正確的是（）A.B.若為素數(shù)，則C.若為奇數(shù)，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】用歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】在不超過5的正整數(shù)中與5互素的正整數(shù)有1，2，3，4，所以，在不超過8的正整數(shù)中與8互素的正整數(shù)有1，3，5，7，所以，5與8互素，所以，故A正確；若為素數(shù)，則與其前面?zhèn)€正整數(shù)互素，所以，故B正確；因為，，故C錯誤；因為在不超過且與互素的正整數(shù)有1，3，5，…，，共有個，所以，故D正確.故選：ABD12.已知是兩個事件，且，則事件相互獨立的充分條件可以是（）AB.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用條件概率公式，互斥的性質(zhì)，相互獨立的判斷，逐個選項分析.【詳解】若，則事件沒有共同部分，即互斥，得不出事件相互獨立，A錯；由，得，則，得，即，則事件相互獨立，B正確；由，即，得，即，則事件相互獨立，C正確；由，①且，②②式兩邊平方，并利用①式可得，，③結(jié)合①③，可得，，則，所以，,所以，即事件相互獨立，D正確故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查互斥的應(yīng)用，考查條件概率的性質(zhì)，考查學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.能夠說明“若，則”是假命題的一組實數(shù)的值依次為__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由條件可得存在滿足條件，，由此可得，再取滿足條件的特殊值.【詳解】由“若，則”是假命題可得，存在滿足條件，但，由此可得，故，若取，，則，故可取.故答案為：（答案不唯一）.14.害蟲防控對于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某種害蟲產(chǎn)卵數(shù)（單位：個）與溫度（單位：）有關(guān)，測得一組數(shù)據(jù)，可用模型進(jìn)行擬合，利用變換得到的線性回歸方程為.若，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】將非線性模型兩邊同時取對數(shù)可得，再將樣本中心點代入回歸方程可得，即可計算出.【詳解】對兩邊同時取對數(shù)可得；即，可得由可得，代入可得，即，所以.故答案為：15.已知是雙曲線的左焦點，是的右頂點，過點作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點，連接交另一條漸近線于點.若，則雙曲線的離心率為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意即可得出，所以，再由可得為的中點，即，代入另一條漸近線可得，即可計算出離心率為.【詳解】如下圖所示：易知，則過點作軸的垂線方程為，不妨設(shè)與漸近線交于點，則可得，又可得，為的中點，即；又另一條漸近線上，即，解得；所以雙曲線離心率為.故答案為：216.在平行四邊形中，，，，分別為直線上的動點，記兩點之間的最小距離為，將沿折疊，直到三棱錐的體積最大時，不再繼續(xù)折疊.在折疊過程中，的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的邊長即角度可得，再由兩點的位置關(guān)系以及的幾何意義，確定出沿折疊過程中三棱錐的體積最大時平面，建立空間直角坐標(biāo)系利用兩異面直線間的距離公式即可計算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示；由，，利用余弦定理可得，解得，所以滿足，即，則又分別為直線上的動點，記兩點之間的最小距離為，則表示兩直線之間的距離，在沿折疊過程中，直線由兩平行線變成兩異面直線，且兩直線間的距離越來越近；當(dāng)三棱錐的體積最大時，此時平面；即此時兩點之間的距離最小，即為兩異面直線之間的距離；以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，軸，以過點且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，即，設(shè)與垂直的一個向量為，則，令，則，可得不妨取，由兩異面直線間的距離公式可得的最小值為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于把“兩點之間的最小距離為”理解成異面直線之間的距離，再利用折疊過程中的位置關(guān)系，代入兩異面直線距離公式求解即可.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，將圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）記銳角三角形內(nèi)角的對邊分別為，已知，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由三角函數(shù)的圖像變換即可得到函數(shù)的解析式，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）中的解析式即可得到，再結(jié)合正弦定理化簡，由正弦型函數(shù)的值域即可得到結(jié)果.【小問1詳解】將圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到，再將得到的圖像向左平移個單位長度，得到，所以.當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由可得，又為銳角，所以.因為，所以.所以.因為為銳角三角形，所以，即，解得，所以，所以.所以的取值范圍為.18已知數(shù)列滿足.（1）證明為常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由遞推關(guān)系變形即可得到為常數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項公式.（2）根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以.所以，即.所以為常數(shù)列.又，所以，即.【小問2詳解】由題意，得，所以.所以，故.所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列.所以.19.如圖，在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，，.（1）證明：與平面的交點為的重心；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：面與面所成角的正切值為.【答案】（1）證明見解析（2）條件選擇見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，連接交于點，連接，由條件可得，再由為邊上的中線即可得到證明；（2）若選擇條件①：作，垂足為，證得面，即可得到為與平面所成角.若選擇條件②：作交直線于點，連接，然后作，則，即可得到為與平面所成角.【小問1詳解】如圖，連接交于點，連接.因為面，所以面.所以為面與面的公共點.因為面面，所以.在矩形中，由得.因為在中，為邊上的中線，所以為的重心.【小問2詳解】若選擇條件①：.因為幾何體為直四棱柱，所以面，BD在面ABCD內(nèi)，所以.因為，面，所以面.面，所以.四邊形為平行四邊形，所以四邊形為菱形.如圖，作，垂足為.因為面，，所以面，面，即.由，面，所以面，即為與平面所成角.設(shè)，則，所以.若選擇條件②：面與面所成角的正切值為，面面，所以面與面所成角的正切值為.如圖，作交直線于點，連接，由面，面，則，，面，故面，又面，所以，所以二面角的平面角為，則.設(shè)，則，所以.所以，即為線段的中點（與重合）.因為，，面，所以面.如圖，作，因為面，，所以面，面，即.由，面，所以面.即為與平面所成角.因為，所以.20.某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.（1）假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記為3人中身高不超過的人數(shù)，以頻率估計概率求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有個男生的概率為，求使得取得最大值的的值.【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）.【解析】【分析】（1）所有可能的取值為，且，根據(jù)二項分布的概率公式求解，從而可得分布列與期望；（2）設(shè)事件為“被選出的人中恰好有位男生”，求解即可.【小問1詳解】所有可能的取值為，且.；；；.故的分布列為01230.0080.0960.3840.512所以.【小問2詳解】設(shè)事件為“被選出的人中恰好有位男生”，則30個人中剩下個人為女生或者老師，事件包含樣本點的個數(shù)為，所以.所以，解得.所以，故當(dāng)時，最大.21.已知分別是橢圓的左、右頂點，過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于兩點，面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與交于點，直線與交于點.①求直線的方程；②記的面積分別為，求的最大值.【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）易知當(dāng)點為短軸端點時，面積取最大值，又易知即可求得橢圓方程；（2）①利用垂直關(guān)系分別寫出直線和的方程，求出其交點的坐標(biāo)，同理可求得的坐標(biāo)，即可得出直線的方程為；②將直線與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可解得點縱坐標(biāo)，同理得點縱坐標(biāo)，再結(jié)合①中直線的方程可得，，分別表示出的表達(dá)式利用基本不等式即可求得的最大值.【小問1詳解】由題意可知，且面積的最大值為所以.