山東省百校大聯(lián)考【知識(shí)精研】高三上學(xué)期12月學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2025屆高三上學(xué)期學(xué)情診斷數(shù)學(xué)2024.12命題學(xué)校：濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)概念可得.【詳解】由，的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A.2.已知，，若，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用集合與集合之間的關(guān)系構(gòu)造方程計(jì)算參數(shù)即可.【詳解】由得.當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以或，解得?故選：C.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】令導(dǎo)函數(shù)為可得方程，由極值點(diǎn)為方程的根可得，再由等差數(shù)列性質(zhì)可得.【詳解】由得，，令，得，且不是該方程的根.易知判別式大于0，因?yàn)闉楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，是方程的兩正根，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以.故選：B.4.已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推導(dǎo)出是以為直角的等腰直角三角形，結(jié)合投影向量的定義可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，即，即為的中點(diǎn)，所以是圓的直徑.又因?yàn)?，所以是以為直角的等腰直角三角?所以，，所以在上的投影向量為.故選：B.5.已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，則的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A.與內(nèi)所有的直線都垂直 B.，，C.與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直 D.，，【答案】D【解析】【分析】A項(xiàng)由線面垂直定義可知；BC項(xiàng)在長(zhǎng)方體中舉反例可知；D項(xiàng)由推證可得充分性，必要性顯然不成立.【詳解】A項(xiàng)，由直線與平面垂直的定義可知與內(nèi)所有的直線都垂直是的充要條件，選項(xiàng)A錯(cuò)；B項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，缺少條件，如圖長(zhǎng)方體中，設(shè)平面為平面，設(shè)平面為平面，直線為，則，滿足，，，但，不與平面垂直，故不能推出，故條件“，，”也不是的充分不必要條件，選項(xiàng)B錯(cuò)；C項(xiàng)，如圖長(zhǎng)方體中，設(shè)平面為平面，直線為，則直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條與垂直的直線都垂直，但，不與平面垂直，故由與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直不能推出，所以不是的充分不必要條件，選項(xiàng)C錯(cuò)；D項(xiàng)，由，，得，又因?yàn)?，所以；反之，由推不出，，，所以，，是的一個(gè)充分不必要條件，選項(xiàng)D正確.故選：D.6.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依次由各選擇支函數(shù)根據(jù)平移變換求出的解析式，再代值驗(yàn)證對(duì)稱(chēng)性可知.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，由，故圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，若，則把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，由，故圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，若，則把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，由，可知圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，由，故圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò).故選：C.7.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.253【答案】A【解析】【分析】對(duì)估值，再根據(jù)范圍代入分段函數(shù)解析式逐次求值可得.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，，所以.故選：A.8.已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)滿足，且有，，則（）A.1022 B.1024 C.2046 D.2048【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)關(guān)系得，賦值待定系數(shù)，賦式得等差數(shù)列通項(xiàng)，再代值利用等比數(shù)列求和公式可得.【詳解】由可得，其中為常數(shù)，令得，又已知，，則有，即，故，令，則，.故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以，故.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，為實(shí)數(shù)，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】A項(xiàng)由單調(diào)性可得；B項(xiàng)舉反例；C項(xiàng)利用基本不等式可證；D項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性可判斷.【詳解】A項(xiàng)，由單調(diào)遞增，知，故選項(xiàng)A正確；B項(xiàng)，時(shí)選項(xiàng)B不正確；C項(xiàng)，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，故選項(xiàng)C正確；D項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，，所以單調(diào)遞增，又，得，故選項(xiàng)D不正確.故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是周期函數(shù)C.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】A項(xiàng)特值可得；B項(xiàng)由定義證明；C項(xiàng)證明成立即可；D項(xiàng)由對(duì)稱(chēng)性分析當(dāng)時(shí)，是否成立即可.【詳解】A項(xiàng)，，，得，所以不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，，所以是以為周期的周期函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；C項(xiàng)，，所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)C正確；D項(xiàng)，由關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，只需看當(dāng)時(shí)，是否成立.當(dāng)時(shí)，，，，，所以，即；又因?yàn)椋?，所以，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直且，分別為線段上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，下列說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐的外接球的表面積是B.當(dāng)時(shí)，線段的最小值是C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積是定值D.若空間中的點(diǎn)滿足且，則滿足條件的點(diǎn)所形成的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】A項(xiàng)補(bǔ)體為正方體的外接球即可得；B項(xiàng)利用勾股定理用表示，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值即可判斷；C項(xiàng)利用等體積法轉(zhuǎn)化為求解可知；D項(xiàng)由垂直關(guān)系可知軌跡為兩球相交圓，借助軸截面內(nèi)各線段與錐體棱長(zhǎng)關(guān)系求解圓半徑可得.【詳解】A項(xiàng)，三棱錐的外接球即邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球，其直徑，所以表面積為，故A正確；B項(xiàng)，在三棱錐中，因?yàn)閮蓛纱怪保矫?，且，所以平?如圖1所示，在線段上取一點(diǎn)D，使得，即得且，再由平面可得平面，而平面，故.又因?yàn)?，所以且，所以可得，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以，再由可得，點(diǎn)N到平面的距離等于點(diǎn)D到平面的距離，故有，因?yàn)槠矫妫约礊槿忮F的高，從而，故三棱錐的體積是定值，故C正確；D項(xiàng)，由可知?jiǎng)狱c(diǎn)在以為直徑的球上，由可知?jiǎng)狱c(diǎn)也在以為直徑的球上，故點(diǎn)的軌跡是分別以為直徑的兩球相交所得的圓，設(shè)圓心為.取中點(diǎn)，中點(diǎn)，則即為兩球球心.則垂直于相交圓所在的平面，由球的對(duì)稱(chēng)性可知，垂足為.如圖2，如圖在過(guò)兩球心的軸截面中，兩圓相交弦即為相交圓的直徑，則.其中，，如圖3，連接，由平面，平面，則，即.中，，所以，則，所以，如圖2在中，，即相交圓半徑為.所以點(diǎn)P所形成的軌跡長(zhǎng)度即圓周長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于通過(guò)空間直觀想象，揭示平面（軸截面）圖形中的有關(guān)線段與空間幾何體中的已知線段間的關(guān)系，從而求解圓半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____.【答案】##【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.13.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為_(kāi)____.【答案】##【解析】【分析】由展開(kāi)圖前后變化建立的方程組并求解，由勾股定理求高，再利用體積公式可得.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，高為.如圖，由側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓可知，，得，即，又圓錐的表面積為，則得，故高，所以圓錐體積.故答案為：.14.已知外接圓的半徑為2，是的面積，分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)____；點(diǎn)為外接圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，的取值范圍是_____.【答案】①.②.【解析】【分析】由恒成立轉(zhuǎn)化為，再利用余弦定理及面積公式證明，然后轉(zhuǎn)化向量數(shù)量積為，由圓上動(dòng)點(diǎn)到距離范圍可得.【詳解】由題意要使不等式恒成立，則，由外接圓半徑為，可知當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，且，則有.下面證明對(duì)于任意的三角形都有.證明過(guò)程如下：由余弦定理與，則，即.當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，即為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立，故.所以，當(dāng)取得最大值，為等邊三角形.如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，且，則有，由圖可得，所以的取值范圍是.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法一：構(gòu)造數(shù)列是恒為的常數(shù)列，結(jié)合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；解法二：利用累加法結(jié)合可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用并項(xiàng)求和法結(jié)合分組求和法可求得.【小問(wèn)1詳解】解法一（構(gòu)造常數(shù)列）：由，且，可得，故數(shù)列是恒為的常數(shù)列，所以，又因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以.解法二（累加法）：由題意得：且，有，，，，將以上各式相加，得，將代入上式即得，且當(dāng)時(shí)也成立，所以，又因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，令，其前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，，則，又因?yàn)?，所?16.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)等式，進(jìn)而求解三角方程可得；（2）由銳角三角形求得角范圍，由正弦定理求出邊，再將三角形的面積轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求其范圍.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)正弦定理，可化為，由.因，所以，故有，即有，因?yàn)椋?，故有，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，由（1）已得，則有，解得.由正弦定理可得，所以有，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以面積的取值范圍是.17.如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)是1，點(diǎn)，，分別在側(cè)棱，，上，且，，，四點(diǎn)共面.設(shè)直線、與平面所成的角分別為、.（1）設(shè)平面與平面相交于直線，求證：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成角的余弦值的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）線面平行判定證明平面，再用平行性質(zhì)得到，進(jìn)而四邊形為平行四邊形，所以.又因?yàn)椋玫?，從而；?）建立空間直角坐標(biāo)系,求出面面法向量，結(jié)合夾角公式，得到，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由，平面，平面可得，平面，再由平面，平面平面，所以，又因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?在正四棱柱中，，均垂直于平面，所以直線、與平面所成的角分別為，，即，，又因?yàn)?，，所以，從而；【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，所以，，設(shè)平面的法向量，則有，令，則有，，所以，平面的法向量，平面與平面所成角為，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即平面與平面所成角的余弦值的最大值為.18.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的所有的定點(diǎn)坐標(biāo)，并寫(xiě)出函數(shù)的一條以上述一個(gè)定點(diǎn)為切點(diǎn)的切線；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）（或）（2）答案見(jiàn)詳解（3）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）分析可知定點(diǎn)的坐標(biāo)為和，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）求導(dǎo)，分類(lèi)討論的符號(hào)，和兩根大小，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性；（3）分析可知原不等式等價(jià)于，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合最值分析證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，其他函?shù)值均與a有關(guān)，所以的圖象經(jīng)過(guò)的所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為和，又因?yàn)?，若以為切點(diǎn)，則切線斜率為，切線方程為；若以為切點(diǎn)，則切線斜率為，切線為；所以切線方程為（或）.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得或.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，.令，則令，，則在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，所以存在，使得，即，?當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以.所以也即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)