2019屆江蘇專用高考數學大一輪復習第二章函數概念與基本初等函數I2.3函數的奇偶性與周期性講義理蘇教版

§2.3函數的奇偶性與周期性基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.函數的奇偶性知識梳理奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，設函數y＝f(x)的定義域為A如果對于任意的x∈A，都有

，那么稱函數y＝f(x)是偶函數關于

對稱奇函數如果對于任意的x∈A，都有

，那么稱函數y＝f(x)是奇函數關于

對稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點2.周期性(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有

，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中

的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)存在一個最小知識拓展1.函數奇偶性常用結論(1)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性.(3)在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函數周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝

，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－

，則T＝2a(a>0).思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)偶函數圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點.(

)(2)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱.(

)(3)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數.(

)(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件.(

)(5)若T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期.(

)×√√√√考點自測1.(教材改編)對于定義域是R的任意奇函數f(x)，下列結論正確的有______.(填序號)①f(x)－f(－x)＞0；

②f(x)－f(－x)≤0；③f(x)·f(－x)≤0; ④f(x)·f(－x)＞0.①②顯然不正確.對任意奇函數f(x)，有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正確，④不正確.答案解析③2.(教材改編)函數y＝f(x)為(－∞，＋∞)上的偶函數，且f(|a|)＝3，則f(－a)＝_____.若a≥0，則f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，則f(－a)＝f(|a|)＝3.故對a∈R，總有f(－a)＝3.答案解析33.(教材改編)若函數f(x)＝(x＋1)(x－a)為偶函數，則a＝_____.∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a為偶函數，∴f(－x)＝f(x)對任意x∈R恒成立，∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1.答案解析14.(教材改編)設函數y＝f(x)是偶函數，它在[0，1]上的圖象如圖所示，則它在[－1，0]上的解析式為___________.由題意知f(x)在[－1，0]上為一條線段，且過(－1，1)、(0，2)，設f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.答案解析f(x)＝x＋2幾何畫板展示5.(2016·四川)若函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0<x<1時，f(x)＝4x，則f＋f(2)＝______.∵f(x)為定義在R上的奇函數，∴f(0)＝0，又0<x<1時，f(x)＝4x，答案解析－2＝－2＋0＝－2.題型分類深度剖析題型一判斷函數的奇偶性例1

(1)下列函數為奇函數的是_____.①f(x)＝2x－

；②f(x)＝x3sinx；③f(x)＝2cosx＋1；④f(x)＝x2＋2x.①中，函數f(x)的定義域為R，答案解析①∴f(x)為奇函數.(2)判斷函數f(x)＝

的奇偶性.當x>0時，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；當x<0時，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).∴對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x).∴函數f(x)為奇函數.解答(1)利用定義判斷函數奇偶性的步驟思維升華(2)分段函數奇偶性的判斷，要注意定義域內x取值的任意性，應分段討論，討論時可依據x的范圍取相應的解析式化簡，判斷f(x)與f(－x)的關系，得出結論，也可以利用圖象作判斷.跟蹤訓練1(1)(2016·北京海淀區(qū)模擬)下列函數中為偶函數的是_____.①y＝

；

②y＝lg|x|；③y＝(x－1)2；

④y＝2x.②中，函數y＝lg|x|的定義域為{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|，∴函數y＝lg|x|是偶函數.答案解析②(2)函數f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，則下列關于函數F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性的說法正確的是______.①F(x)是奇函數，G(x)是奇函數；②F(x)是偶函數，G(x)是奇函數；③F(x)是偶函數，G(x)是偶函數；④F(x)是奇函數，G(x)是偶函數.答案解析②F(x)，G(x)的定義域均為(－2，2)，由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，∴F(x)是偶函數，G(x)是奇函數.題型二函數的周期性例2

(1)(2016·淮安模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且g(x)＝f(x－1)，則f(2017)＋f(2019)＝_____.答案解析0由題意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期為4，∴f(2017)＝f(1)，f(2019)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2017)＋f(2019)＝0.(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數，并且f(x＋2)＝

，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝______.答案解析2.5由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).∵2≤2.5≤3，由題意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.故函數的周期為4.引申探究例2(2)中，若將f(x＋2)＝

改為f(x＋2)＝－f(x)，其他條件不變，則f(105.5)的值為_____．f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數的周期為4(下同例題)．2.5答案解析函數的周期性反映了函數在整個定義域上的性質.對函數周期性的考查，主要涉及函數周期性的判斷，利用函數周期性求值.思維升華跟蹤訓練2

定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝_____.答案解析339∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.題型三函數性質的綜合應用命題點1解不等式問題例3

(1)(2016·南通模擬)已知偶函數f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)<f()的x的取值范圍是________.因為f(x)是偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，又f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，答案解析幾何畫板展示(2)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)<1，f(5)＝

，則實數a的取值范圍為_________.∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，答案解析解得－1<a<4.(－1，4)命題點2求參數問題例4

(1)函數f(x)＝lg(a＋)為奇函數，則實數a＝______.根據題意得，使得函數有意義的條件為a＋>0且1＋x≠0，由奇函數的性質可得f(0)＝0.所以lg(a＋2)＝0，即a＝－1，經檢驗a＝－1滿足函數的定義域.－1答案解析答案解析－10因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數，即3a＋2b＝－2. ①即b＝－2a. ②由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.(1)關于奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉化為已知區(qū)間上的問題.(2)掌握以下兩個結論，會給解題帶來方便：①f(x)為偶函數?f(x)＝f(|x|).②若奇函數在x＝0處有意義，則f(0)＝0.思維升華跟蹤訓練3(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝_____.函數f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，答案解析(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數，則f(－25)，f(11)，f(80)的大小關系為__________________.答案解析f(－25)<f(80)<f(11)因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因為f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數，所以f(x)在區(qū)間[－2，2]上是增函數，所以f(－1)<f(0)<f(1).所以f(－25)<f(80)<f(11).考點分析抽象函數問題在高考中也時常遇到，常常涉及求函數的定義域，由函數的周期性求函數值或判斷函數的奇偶性等．一般以填空題來呈現，有時在解答題中也有所體現．此類題目較為抽象，易失分，應引起足夠重視．

抽象函數問題高頻小考點2一、抽象函數的定義域典例1已知函數y＝f(x)的定義域是[0，8]，則函數g(x)＝

的定義域為_______.要使函數有意義，[1，3)答案解析解得1≤x<3，所以函數g(x)的定義域為[1，3).二、抽象函數的函數值典例2若定義在實數集R上的偶函數f(x)滿足f(x)>0，f(x＋2)＝

，對任意x∈R恒成立，則f(2019)＝____.答案解析1即函數f(x)的周期是4，所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1).因為函數f(x)為偶函數，所以f(2019)＝f(－1)＝f(1).即f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1.三、抽象函數的單調性與不等式典例3設函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y).若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求實數a的取值范圍.規(guī)范解答所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9).解因為f(xy)＝f(x)＋f(y)且f(3)＝1，又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9).再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f[9(a－1)]，因為f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數，課時作業(yè)123456789101112131.(教材改編)已知f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，則f(x)＝______.f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，得f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，兩式聯(lián)立得f(x)＝x2－2.答案解析x2－2因為f(x)是定義在R上的偶函數且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增，所以f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上單調遞減.*2.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增.若實數a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是_______.答案解析123456789101112133.已知f(x)在R上是奇函數，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(－2，0)時，f(x)＝2x2，則f(2019)＝____.由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期為4的周期函數，f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，∴f(2019)＝2.答案解析2123456789101112134.已知f(x)＝lg(＋a)為奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是_________.由f(x)＋f(－x)＝0，答案解析(－1，0)123456789101112135.已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝

則f(f(－16))＝________.由題意f(－16)＝－f(16)＝－log216＝－4，答案解析123456789101112136.(2016·鹽城模擬)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數，那么a＋b的值是_____.依題意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，答案解析12345678910111213答案解析2123456789101112138.(2016·常州模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數，f(x＋1)是偶函數，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝____.由f(x＋1)是偶函數得f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(－x＋1)＝－f(x－1)，即－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＋f(x＋2)＝0，所以f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.答案解析0123456789101112139.函數f(x)在R上為奇函數，且當x>0時，f(x)＝

＋1，則當x<0時，f(x)＝__________.∵f(x)為奇函數，當x>0時，f(x)＝

＋1，∴當x<0時，－x>0，f(－x)＝

＋1＝－f(x)，答案解析1234567891011121310.設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0，1]時，f(x)＝2x，則有①2是函數f(x)的周期；②函數f(x)在(1，2)上是減函數，在(2，3)上是增函數；③函數f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正確命題的序號是________.答案解析①②12345678910111213在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，則有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函數f(x)的周期，故①正確；當x∈[0，1]時，f(x)＝2x是增函數，根據函數的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是減函數，根據函數的周期性知，函數f(x)在(1，2)上是減函數，在(2，3)上是增函數，故②正確；由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期為2的周期函數，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③錯誤.1234567891011121311.(2016·江蘇蘇北四市二調)定義在R上的奇函數f(x)滿足當x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)＋(a－1)x＋b(a，b為常數)，若f(2)＝－1，則f(－6)的值為____.由已知得f(0)＝0＝1＋b，∴b＝－1，又f(2)＝2＋2(a－1)－1＝－1，∴a＝0，∴f(x)＝log2(x＋2)－x－1(x≥0)，∴f(－6)＝－f(6)＝－3＋6＋1＝4.答案解析41234567891011121312.(2016·江蘇揚州中學開學考試)已知f(x)是定義在[－2，2]上的奇函數，且當x∈(0，2]時，f(x)＝2x－1，函數g(x)＝x2－2x＋m，如果?x1∈[－2，2]，?x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，則實數m的取值范圍是____________.答案解析[－5，－2]12345678910111213∵f(x)是定義在[－2，2]上的奇函數，∴f(0)＝0，當x∈(0，2]時，f(x)＝2x－1的值域為(0，3]，∴當x∈[－2，2]時，f(x)的值域為[－3