2019屆安徽專用中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三章函數(shù)與圖象3.4二次函數(shù)試卷部分講義

第三章函數(shù)與圖象§3.4二次函數(shù)中考數(shù)學(xué)

(安徽專用)A組2014—2018年安徽中考題組五年中考1.(2015安徽,10,4分)如圖,一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象相交于P、Q兩點(diǎn),則函

數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的圖象可能為

(

)

答案

A由題圖可知一元二次方程ax2+bx+c=x有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根,即函數(shù)y=ax2+(b-1)x+

c的圖象與x軸正半軸有兩個(gè)交點(diǎn),故選A.2.(2014安徽,12,5分)某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元,以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與

上月相比增長(zhǎng)率都是x,則該廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=

.答案

a(1+x)2

解析∵一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元,二月份起,每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長(zhǎng)

率都是x,∴二月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a(1+x)元,∴三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元,即y=a(1+x)2.3.(2018安徽,22,12分)小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆.售后統(tǒng)計(jì),盆景

的平均每盆利潤(rùn)是160元,花卉的平均每盆利潤(rùn)是19元.調(diào)研發(fā)現(xiàn):①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤(rùn)減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤(rùn)增加2元;②花卉的平均每盆利潤(rùn)始終不變.小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉

售完后的利潤(rùn)分別為W1,W2(單位:元).(1)用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1,W2;(2)當(dāng)x取何值時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤(rùn)W最大?最大總利潤(rùn)是多少?解析

(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,W2=[100-(50+x)]×19=(50-x)×19=-19x+950.

(6分)(2)W=W1+W2=-2x2+41x+8950=-2

+

.∵x取整數(shù),∴當(dāng)x=10時(shí),總利潤(rùn)W最大,最大總利潤(rùn)是9160元.

(12分)思路分析

(1)根據(jù)題意分別列出W1,W2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)將二次函數(shù)的解析式配方,根據(jù)

x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最大值.4.(2017安徽,22,12分)某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本,且不

高于80元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)

如下表:售價(jià)x(元)506070銷售量y(千克)1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)商品每天的總利潤(rùn)為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤(rùn)=收入-成本);(3)試說明(2)中總利潤(rùn)W隨售價(jià)x的變化而變化的情況,并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤(rùn),

最大利潤(rùn)是多少?解析

(1)設(shè)y=kx+b(k≠0).由題意,得

解得

∴所求函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+200.

(4分)(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000.

(7分)(3)W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,其中40≤x≤80.∵-2<0,∴當(dāng)40≤x<70時(shí),W隨x的增大而增大;當(dāng)70<x≤80時(shí),W隨x的增大而減小;當(dāng)售價(jià)為70元時(shí),獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為1800元.

(12分)思路分析

(1)由圖表可根據(jù)待定系數(shù)法求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)根據(jù)公式即可求出W

與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(3)利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大利潤(rùn).5.(2016安徽,22,12分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)與B(6,0).(1)求a,b的值;(2)點(diǎn)C是該二次函數(shù)圖象上A,B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn),橫坐標(biāo)為x(2<x<6).寫出四邊形OACB的面

積S關(guān)于點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達(dá)式,并求S的最大值.

解析

(1)將A(2,4)與B(6,0)代入y=ax2+bx,得

解得

(5分)(2)如圖,過A作x軸的垂線,垂足為D(2,0),連接CD,過C作CE⊥AD,CF⊥x軸,垂足分別為E,F.

二次函數(shù)表達(dá)式為y=-

x2+3x.S△OAD=

OD·AD=

×2×4=4,S△ACD=

AD·CE=

×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=

BD·CF=

×4×

=-x2+6x,

(8分)則S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x.所以S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為S=-x2+8x(2<x<6).

(10分)因?yàn)镾=-(x-4)2+16,所以當(dāng)x=4時(shí),四邊形OACB的面積S取最大值,最大值為16.(12分)思路分析

(1)將A,B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式,解方程組即可;(2)利用割補(bǔ)思想將四邊形

OACB分割成三個(gè)三角形,求出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,最后求S的最大值.方法指導(dǎo)

求不規(guī)則四邊形的面積往往采用割補(bǔ)思想將原圖形的面積轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的

三角形或平行四邊形的面積求解.考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)B組2014—2018年全國(guó)中考題組1.(2018四川成都,10,3分)關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x-1,下列說法正確的是

(

)A.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)B.圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)C.當(dāng)x<0時(shí),y的值隨x值的增大而減小D.y的最小值為-3答案

D因?yàn)閥=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,當(dāng)x=0時(shí),y=-1,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是

直線x=-1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而減小,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;當(dāng)x=-1時(shí),y取得最小值,此時(shí)y=-

3,選項(xiàng)D正確.故選D.思路分析

根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì),可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成

立,從而解答本題.解題關(guān)鍵

解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì),會(huì)用配方法求二次函數(shù)的最值.2.(2018山西,9,3分)用配方法將二次函數(shù)y=x2-8x-9化為y=a(x-h)2+k的形式為(

)A.y=(x-4)2+7

B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7

D.y=(x+4)2-25答案

B

y

x2-8x-9

x2-8x+16-16-9

(x-4)2-25,故選B.3.(2018天津,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),(0,3),其對(duì)稱軸在y

軸右側(cè).有下列結(jié)論:①拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0);②方程ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;③-3<a+b<3.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

(

)A.0

B.1

C.2

D.3答案

C∵拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),其對(duì)稱軸在y軸右側(cè),∴拋物線

不能經(jīng)過點(diǎn)(1,0),∴①錯(cuò)誤.∵拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),(0,3),其對(duì)稱軸

在y軸右側(cè),∴拋物線開口向下,與直線y=2有兩個(gè)交點(diǎn),∴方程ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根,故②正確.∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè),∴-

>0.∵a<0,∴b>0.把點(diǎn)(-1,0),(0,3)分別代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,∴b=a+3,a=b-3.∴-3<a<0,0<b<3.∴-3<a+b<3.故③正確.故選C.思路分析

拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),其對(duì)稱軸在y軸右側(cè),由對(duì)稱性可以判斷①錯(cuò)誤;由條件得拋物

線開口向下,作直線y=2,直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),可判斷②正確;根據(jù)拋物線所經(jīng)過的點(diǎn)及對(duì)

稱軸的位置,可判斷③正確,從而得結(jié)論.解后反思

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)

與一元二次方程的關(guān)系,不等式的性質(zhì)等知識(shí),a的符號(hào)決定拋物線的開口方向,-

的符號(hào)決定拋物線對(duì)稱軸的位置,c的值決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).4.(2016四川南充,5,3分)拋物線y=x2+2x+3的對(duì)稱軸是

(

)A.直線x=1

B.直線x=-1C.直線x=-2

D.直線x=2答案

B拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

=-

=-1,故選B.5.(2016湖南長(zhǎng)沙,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(b>a>0)與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn).現(xiàn)有以下四個(gè)

結(jié)論:①該拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);②關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0無實(shí)數(shù)根;③a-b+c≥0;④

的最小值為3.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)答案

D∵b>a>0,∴-

<0,∴①正確;∵拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn),∴b2-4ac≤0,∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0的判別式Δ=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a<0,∴②正確;∵a>0,且拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn),∴y≥0,∴當(dāng)x=-1時(shí),a-b+c≥0,∴③正確;∵y≥0,∴當(dāng)x=-2時(shí),4a-2b+c≥0,即a+b+c≥3b-3a,即a+b+c≥3(b-a),∵b>a,∴b-a>0,∴

≥3,∴④正確.故選D.6.(2015天津,12,3分)已知拋物線y=-

x2+

x+6與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,若D為AB的中點(diǎn),則CD的長(zhǎng)為(

)A.

B.

C.

D.

答案

D由題意知,點(diǎn)D是拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.對(duì)于y=-

x2+

x+6,令x=0,得y=6,所以C(0,6).所以CD=

=

=

.故選D.7.(2015廣西南寧,10,3分)如圖,已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=-1.

下列結(jié)論中:①ab>0;②a+b+c>0;③當(dāng)-2<x<0時(shí),y<0.正確的個(gè)數(shù)是

(

)

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)答案

D因?yàn)閷?duì)稱軸為直線x=-

<0,所以ab>0,所以①正確;當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c>0,所以②正確;由圖象可知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(0,0),所以-2<x<0時(shí),圖象在x軸下方,即y<0,所

以③正確.故選D.8.(2017甘肅蘭州,18,4分)如圖,若拋物線y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q兩點(diǎn)關(guān)于它的對(duì)稱軸x=1對(duì)稱,

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

答案

(-2,0)解析

P,Q兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱,則P,Q兩點(diǎn)到對(duì)稱軸x=1的距離相等,設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m,

則

=1,解得m=-2.∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0).9.(2015寧夏,24,8分)已知點(diǎn)A(

,3)在拋物線y=-

x2+

x上,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為B.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求∠AOB的度數(shù).解析

(1)解法一:依題意,由對(duì)稱軸方程x=-

得,x=2

,(1分)∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=2

對(duì)稱,∴由點(diǎn)A(

,3)知,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3

,3).

(2分)解法二:∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,∴點(diǎn)B也在拋物線上,當(dāng)y=3時(shí),-

x2+

x=3,整理,得x2-4

x+9=0,

(1分)解得x=3

或x=

,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3

,3).

(2分)(2)由勾股定理,得OA=2

,OB=6,∵AB=2

,∴△OAB為等腰三角形.

(5分)過點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C,則OC=

OB=3.在Rt△AOC中,cos∠AOC=

=

,∴∠AOC=30°,即∠AOB=30°.

(8分)

評(píng)析

本題考查了對(duì)稱的性質(zhì),二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程,以及根據(jù)三角函數(shù)值求某個(gè)特殊

角的度數(shù).構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)闹苯侨切问墙鉀Q本題的關(guān)鍵.屬中檔題.1.(2017甘肅蘭州,5,4分)下表是一組二次函數(shù)y=x2+3x-5的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值:那么方程x2+3x-5=0的一個(gè)近似根是

(

)A.1

B.1.1

C.1.2

D.1.3x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16考點(diǎn)二二次函數(shù)與方程的聯(lián)系答案

C由表格中的數(shù)據(jù)可以看出最接近于0的數(shù)是0.04,它對(duì)應(yīng)的x的值是1.2,故方程x2+3x-

5=0的一個(gè)近似根是1.2,故選C.2.(2016遼寧沈陽,10,2分)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象如圖所示,點(diǎn)A(x1,y1),B

(x2,y2)是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),其中-3≤x1<x2≤0,則下列結(jié)論正確的是

(

)

A.y1<y2

B.y1>y2C.y的最小值是-3

D.y的最小值是-4答案

D二次函數(shù)y=x2+2x-3=(x+1)2-4圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4).令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,

則二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),(1,0).由-3≤x1<x2≤0及二次函數(shù)的圖象

可知,y1,y2的大小不能確定,∴選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤;ymin=-4,∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤,故選D.評(píng)析本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),難度適中.3.(2016陜西,10,3分)已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),將這條拋物線的頂點(diǎn)記為C,連

接AC、BC,則tan∠CAB的值為

(

)A.

B.

C.

D.2答案

D不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),如圖,作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D,當(dāng)y=0時(shí),-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,所以A(-3,0),B(1,0),所以AB=4,因?yàn)閥=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,所以頂點(diǎn)C(-1,4),所以AD=2,CD=4,所以tan∠CAB=

=2,故選D.評(píng)析本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),求某個(gè)角的三角函數(shù)值.屬于容易題.4.(2015江蘇蘇州,8,3分)若二次函數(shù)y=x2+bx的圖象的對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且平行于y軸的直線,

則關(guān)于x的方程x2+bx=5的解為

(

)A.x1=0,x2=4

B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5

D.x1=-1,x2=5答案

D設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2,則x1+x2=-b,由題意知函數(shù)圖

象的對(duì)稱軸為直線x=2,則

=2,所以x1+x2=4,得b=-4.代入方程得x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,故選D.5.(2016寧夏,10,3分)若二次函數(shù)y=x2-2x+m的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),則m的取值范圍是

.答案

m<1解析當(dāng)二次函數(shù)y=x2-2x+m的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根,所以Δ=4-4m>0,解得m<1.所以m的取值范圍是m<1.6.(2017上海,24,12分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖),已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(2,2),

對(duì)稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)為B.(1)求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)點(diǎn)M在對(duì)稱軸上,且位于頂點(diǎn)上方,設(shè)它的縱坐標(biāo)為m,連接AM,用含m的代數(shù)式表示∠AMB的

余切值;(3)將該拋物線向上或向下平移,使得新拋物線的頂點(diǎn)C在x軸上.原拋物線上一點(diǎn)P平移后的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,如果OP=OQ,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解析

(1)依題意,得

解得

∴所求拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+2.將x=1代入上式,得y=-1+2+2=3.∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3).(2)過點(diǎn)A作拋物線對(duì)稱軸的垂線,垂足為N.

則AN=1,MN=m-2.∴cot∠AMB=

=m-2.(3)原二次函數(shù)配方得y=-(x-1)2+3,則平移后的拋物線的解析式為y=-(x-1)2,即y=-x2+2x-1.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,則P(t,-t2+2t+2),Q(t,-t2+2t-1).∵OP=OQ,∴x軸垂直平分PQ,∴-t2+2t+2=-(-t2+2t-1),解得t=

,∴-t2+2t-1=-

.∴Q

或

.1.(2014遼寧沈陽,15,4分)某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元,調(diào)查表明:在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(20≤

x≤30,且x為整數(shù))出售,可賣出(30-x)件.若使利潤(rùn)最大,每件的售價(jià)應(yīng)為

元.考點(diǎn)三二次函數(shù)的應(yīng)用答案

25解析設(shè)利潤(rùn)為y元,則y=(x-20)(30-x)=-x2+50x-600=-(x-25)2+25,所以當(dāng)每件的售價(jià)為25元時(shí),利

潤(rùn)最大.2.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,25,10分)某市計(jì)劃在十二年內(nèi)通過公租房建設(shè),解決低收入人群的住

房問題.已知前7年,每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬平方米)與時(shí)間x(第x年)的關(guān)

系構(gòu)成一次函數(shù)(1≤x≤7且x為整數(shù)),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面積分別為

和

百萬平方米;后5年每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬平方米)與時(shí)間x(第x年)的關(guān)系是y=-

x+

(7<x≤12且x為整數(shù)).(1)已知第6年竣工投入使用的公租房面積可解決20萬人的住房問題,如果人均住房面積最后

一年要比第6年提高20%,那么最后一年竣工投入使用的公租房面積可解決多少萬人的住房問

題?(2)受物價(jià)上漲等因素的影響,已知這12年中,每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同,且

第一年,一年38元/m2,第二年,一年40元/m2,第三年,一年42元/m2,第四年,一年44元/m2,……,以此

類推.分析說明每平方米的年租金和時(shí)間能否構(gòu)成函數(shù),如果能,直接寫出函數(shù)解析式;(3)在(2)的條件下,假設(shè)每年的公租房當(dāng)年全部出租完,寫出這12年中每年竣工投入使用的公

租房的年租金W關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)解析式,并求出W的最大值(單位:億元).如果在W取得最大值的這一年,老張租用了58m2的房子,計(jì)算老張這一年應(yīng)交付的租金.解析

(1)設(shè)y=kx+b(k≠0,1≤x≤7且x為整數(shù)).由已知得

解得

∴y=-

x+4(1≤x≤7),∴x=6時(shí),y=-

×6+4=3,∴300÷20=15,15×(1+20%)=18,又x=12時(shí),y=-

×12+

=

,∴

×100÷18=12.5萬人.∴最后一年可解決12.5萬人的住房問題.(2)由于每平方米的年租金和時(shí)間都是變量,且對(duì)于每一個(gè)確定的時(shí)間x的值,每平方米的年租

金m(元/m2)都有唯一的值與它對(duì)應(yīng),所以它們能構(gòu)成函數(shù).由題意知m=2x+36(1≤x≤12且x為整數(shù)).(3)W=

x為整數(shù).∵當(dāng)x=3時(shí),W=147,當(dāng)x=8時(shí),W=143,147>143.∴當(dāng)x=3時(shí),年租金最大,Wmax=1.47億元.當(dāng)x=3時(shí),m=2×3+36=42.∴58×42=2436元.∴老張這一年應(yīng)交租金2436元.解題關(guān)鍵

解決本題的關(guān)鍵是要能從大量的文字信息中提取相關(guān)的已知條件,并能列出符合

題意的表達(dá)式,進(jìn)而借助二次函數(shù)的頂點(diǎn)式(配方法)求出相應(yīng)的最值.3.(2016山東青島,20,8分)如圖,需在一面墻上繪制幾個(gè)相同的拋物線型圖案.按照?qǐng)D中的直角

坐標(biāo)系,最左邊的拋物線可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知拋物線上B,C兩點(diǎn)到地面的距離均為

m,到墻邊OA的距離分別為

m,

m.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并求圖案最高點(diǎn)到地面的距離;(2)若該墻的長(zhǎng)度為10m,則最多可以連續(xù)繪制幾個(gè)這樣的拋物線型圖案?

解析

(1)由題意可知B

,C

,代入y=ax2+bx得

解得

∴y=-x2+2x=-(x-1)2+1.答:該拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=-x2+2x,圖案最高點(diǎn)到地面的距離是1m.

(5分)(2)當(dāng)y=0時(shí),-x2+2x=0,∴x1=0,x2=2,∴10÷2=5(個(gè)).答:最多可以連續(xù)繪制5個(gè)拋物線型圖案.

(8分)4.(2015寧夏,25,10分)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按擬定的價(jià)格

進(jìn)行試銷,通過對(duì)5天的試銷情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):(1)計(jì)算這5天銷售額的平均數(shù);(銷售額=單價(jià)×銷量)(2)通過對(duì)上面表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)銷量y(件)與單價(jià)x(元/件)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,

求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍)(3)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然存在(2)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是20元/件.為使工

廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少?單價(jià)(元/件)3034384042銷量(件)4032242016解析

(1)

=934.4.

(2分)(2)設(shè)所求一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),將(30,40)、(40,20)代入y=kx+b,得

解得

∴y=-2x+100.

(5分)(3)設(shè)利潤(rùn)為ω元,根據(jù)題意,得ω=(x-20)(-2x+100)

(7分)=-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450,

(9分)則當(dāng)x=35時(shí),ω取最大值.即當(dāng)該產(chǎn)品的單價(jià)為35元/件時(shí),工廠獲得最大利潤(rùn)450元.

(10分)評(píng)析

本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算,一次函數(shù)解析式的確定,二次函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用,需要

結(jié)合題意提取出有效信息,同時(shí)要理解頂點(diǎn)坐標(biāo)與最值的關(guān)系.屬中檔題.考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)C組教師專用題組1.(2015甘肅蘭州,3,4分)在下列二次函數(shù)中,其圖象的對(duì)稱軸為x=-2的是

(

)A.y=(x+2)2

B.y=2x2-2

C.y=-2x2-2

D.y=2(x-2)2

答案

A根據(jù)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=h,知只有A選項(xiàng)符合題意.2.(2015遼寧沈陽,8,3分)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)的圖象可能是

(

)

答案

D二次函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,0),由于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,所以該

點(diǎn)在x軸上,符合這一條件的圖象只有D.故選D.3.(2015福建福州,10,3分)已知一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(1,-4),(2,-2)兩點(diǎn),在自變量x的某個(gè)取值范圍

內(nèi),都有函數(shù)值y隨x的增大而減小,則符合上述條件的函數(shù)可能是

(

)A.正比例函數(shù)

B.一次函數(shù)C.反比例函數(shù)

D.二次函數(shù)答案

D易知經(jīng)過點(diǎn)(1,-4),(2,-2)的直線不經(jīng)過原點(diǎn),所以所求函數(shù)不是正比例函數(shù),A不符

合;若為一次函數(shù)或反比例函數(shù),則在自變量x的某個(gè)取值范圍內(nèi),函數(shù)值y隨x的增大而增大,所

以B、C不符合題意;只有D正確,故選D.4.(2015浙江寧波,11,4分)二次函數(shù)y=a(x-4)2-4(a≠0)的圖象在2<x<3這一段位于x軸的下方,在6

<x<7這一段位于x軸的上方,則a的值為

(

)A.1

B.-1

C.2

D.-2答案

A∵二次函數(shù)y=a(x-4)2-4(a≠0)的圖象在2<x<3這一段位于x軸的下方,在6<x<7這一段

位于x軸的上方,∴當(dāng)x=

時(shí),二次函數(shù)y=a(x-4)2-4(a≠0)的圖象位于x軸的下方;當(dāng)x=

時(shí),二次函數(shù)y=a(x-4)2-4(a≠0)的圖象位于x軸的上方,∴

?

?

<a<

.結(jié)合各選項(xiàng)知a的值為1.故選A.5.(2015內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),對(duì)

稱軸為直線x=1,與y軸的交點(diǎn)B在(0,2)和(0,3)之間(包括這兩點(diǎn)),下列結(jié)論:

①當(dāng)x>3時(shí),y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤-

;④4ac-b2>8a.其中正確的結(jié)論是

(

)A.①③④

B.①②③

C.①②④

D.①②③④答案

B由已知條件可知a<0,-

=1,拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),2≤c≤3,∴當(dāng)x>3時(shí),y<0;2a+b=0,∴2a+b+a<0,即3a+b<0;∵當(dāng)x=-1時(shí),a-b+c=0,∴3a+c=0,∴c=-3a,即2≤-3a≤3,亦即-1≤a≤-

;由題意知拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=

>2,∴4ac-b2<8a.故④錯(cuò),①②③正確.故選B.6.(2014廣西南寧,10,3分)如圖,已知二次函數(shù)y=-x2+2x,當(dāng)-1<x<a時(shí),y隨x的增大而增大,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是

(

)

A.a>1

B.-1<a≤1

C.a>0

D.-1<a<2答案

B因?yàn)槎魏瘮?shù)y=-x2+2x的圖象開口向下,對(duì)稱軸是x=1,且在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大

而增大,在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小,所以由圖象及解析式可知-1<a≤1,故選B.評(píng)析本題是對(duì)二次函數(shù)的增減性、數(shù)形結(jié)合思想以及學(xué)生的觀察能力和推理能力的綜合

考查.熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解答此類題的關(guān)鍵,屬中等難度題.7.(2014甘肅蘭州,6,4分)拋物線y=(x-1)2-3的對(duì)稱軸是

(

)A.y軸

B.直線x=-1C.直線x=1

D.直線x=-3答案

C拋物線y=(x-1)2-3的對(duì)稱軸是直線x=1,故選C.8.(2014江蘇蘇州,8,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx-1(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1),則代數(shù)式1-a-b的值為

(

)A.-3

B.-1

C.2

D.5答案

B把點(diǎn)(1,1)代入函數(shù)解析式,得a+b-1=1,則1-a-b=-1,故選B.9.(2014浙江寧波,12,4分)已知點(diǎn)A(a-2b,2-4ab)在拋物線y=x2+4x+10上,則點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸

的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為

(

)A.(-3,7)

B.(-1,7)C.(-4,10)

D.(0,10)答案

D∵點(diǎn)A(a-2b,2-4ab)在拋物線y=x2+4x+10上,∴(a-2b)2+4×(a-2b)+10=2-4ab,a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab,(a+2)2+4(b-1)2=0,∴a+2=0,b-1=0,解得a=-2,b=1,∴a-2b=-2-2×1=-4,2-4ab=2-4×(-2)×1=10,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,10).∵對(duì)稱軸為直線x=-

=-2,∴點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(0,10).故選D.評(píng)析本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的對(duì)稱性,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線

解析式并整理成一邊是非負(fù)數(shù),一邊是0的方程形式是解題的關(guān)鍵.10.(2015山東聊城,16,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①2a+b=0;②a

+c>b;③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0);④abc>0.其中正確的結(jié)論是

(填寫序號(hào)).

答案①④解析①因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線x=1,所以-

=1,-b=2a,2a+b=0,故①正確;②由題中圖象知,當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c<0,所以a+c<b,故②錯(cuò)誤;③拋物線與x軸的兩交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,所以兩

交點(diǎn)到對(duì)稱軸x=1的距離都是1-(-2)=3,所以另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+3=4,即另一交點(diǎn)為(4,0),故

③不正確;④拋物線開口向上,所以a>0,又-

>0,所以b<0,拋物線與y軸交于負(fù)半軸,故c<0,所以abc>0,故④正確.評(píng)析

(1)由拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置,確定a、b、c的符號(hào):拋物線的開口方向決定了a的

符號(hào),當(dāng)開口向上時(shí),a>0,當(dāng)開口向下時(shí),a<0;拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè),a、b同號(hào),拋物線的對(duì)

稱軸在y軸右側(cè),a、b異號(hào);拋物線與y軸交點(diǎn)的位置決定了c的符號(hào),當(dāng)交點(diǎn)在y軸正半軸上時(shí),c>

0,當(dāng)交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí),c<0,當(dāng)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),c=0.(2)根據(jù)拋物線判斷的式子中只含有

a和b,一般根據(jù)對(duì)稱軸位置來解答;含有a、b、c的式子,一般根據(jù)自變量取特殊值時(shí)對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值來判斷.11.(2014江蘇揚(yáng)州,16,3分)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對(duì)稱軸是過點(diǎn)(1,0)且平行于y軸的直

線,若點(diǎn)P(4,0)在該拋物線上,則4a-2b+c的值為

.

答案

0解析點(diǎn)(4,0)關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱的點(diǎn)為(-2,0),當(dāng)x=-2時(shí),y=4a-2b+c=0.評(píng)析利用數(shù)形結(jié)合思想,找出點(diǎn)(4,0)關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱的點(diǎn)為(-2,0),進(jìn)而求解.12.(2016吉林,26,10分)如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B在x軸正半軸上,OB的長(zhǎng)度為2m,以O(shè)B

為邊向上作等邊三角形AOB,拋物線l:y=ax2+bx+c經(jīng)過O,A,B三點(diǎn).(1)當(dāng)m=2時(shí),a=

,當(dāng)m=3時(shí),a=

;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,猜想a與m的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)如圖②,在圖①的基礎(chǔ)上,作x軸的平行線交拋物線l于P,Q兩點(diǎn),PQ的長(zhǎng)度為2n,當(dāng)△APQ為等

腰直角三角形時(shí),a與n的關(guān)系式為

;(4)利用(2),(3)中的結(jié)論,求△AOB與△APQ的面積比.

解析

(1)-

;

(1分)-

.

(2分)(2)猜想:a=-

.

(3分)證明:∵等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為2m,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(m,

m).

(4分)∵點(diǎn)A為拋物線l的頂點(diǎn),∴可設(shè)拋物線l:y=a(x-m)2+

m.把O(0,0)代入,得am2+

m=0.∴a=-

.

(6分)(3)a=-

.

(8分)(4)S△AOB=

×2m×

m=

m2,S△APQ=

×2n×n=n2,

(9分)∵a=-

,a=-

,∴m=

n.∴

=

=

=3

.∴△AOB與△APQ的面積比為3

∶1.

(10分)評(píng)分說明:(1)第(2)小題只要a與m的關(guān)系證明正確,不先寫出結(jié)論不扣分.(2)第(4)小題△AOB與△APQ的面積比寫成3

不扣分.13.(2015遼寧沈陽,25,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-

x2-

x+2與x軸交于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)A,拋物線的頂點(diǎn)為D.(1)填空:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

,

),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

,

),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

,

),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

,

);(2)點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合).①過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E,若PE=PC,求點(diǎn)E的坐標(biāo);②在①的條件下,點(diǎn)F是坐標(biāo)軸上的點(diǎn),且點(diǎn)F到EA和ED的距離相等,請(qǐng)直接寫出線段EF的長(zhǎng);③若點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)A、B重合),點(diǎn)R是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)R不與點(diǎn)A、C

重合),請(qǐng)直接寫出△PQR周長(zhǎng)的最小值.解析

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.(2)①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,0).∵EP⊥x軸,點(diǎn)E在拋物線上,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為

.又∵PE=PC,∴-

n2-

n+2=1-n,∴n1=-

,n2=1(不符合題意,舍去),∴當(dāng)n=-

時(shí),-

n2-

n+2=-

×

-

×

+2=

,∴E

.②

或

.③

.14.(2015北京,27,7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)(0,2)且平行于x軸的直線與直線y=x-1交于

點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為B,拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B.(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(2)求拋物線C1的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo);(3)若拋物線C2:y=ax2(a≠0)與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象,求a的取值范圍.

備用圖解析

(1)由題意可得,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2.∴x-1=2.解得x=3.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2).∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線x=1對(duì)稱,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,2).(2)∵拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,∴

解得

∴拋物線C1的表達(dá)式為y=x2-2x-1.∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).(3)由題意可知,a>0.當(dāng)拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),a=2,此時(shí)拋物線C2與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn),不符合題意.當(dāng)拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),a=

.結(jié)合函數(shù)的圖象可知,a的取值范圍為

≤a<2.

評(píng)析

本題考查了對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)解析式的確定以及臨界點(diǎn)問題,解決最后一問的關(guān)鍵

是畫圖.屬中檔題.15.(2014內(nèi)蒙古呼和浩特,25,12分)如圖,已知直線l的解析式為y=

x-1,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(m,0),B(2,0),D

三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo),并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象;(2)已知點(diǎn)P(x,y)為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E,延長(zhǎng)PE與

直線l交于點(diǎn)F,請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù),并求出S的最大值及S

最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)將(2)中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連,求證:直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在

直線上.

解析

(1)∵y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)B、D,∴

解之得a=-

,b=-

,∴y=-

x2-

x+2.

(2分)∵A(m,0)在拋物線上,∴0=-

m2-

m+2,解得m=-4(m=2舍),∴A(-4,0),

(3分)圖象(略).

(4分)(2)已知直線l的解析式為y=

x-1,∴S=

AB·PF=

×6·PF=3

(5分)=-

x2-3x+9=-

(x+2)2+12,

(6分)其中-4<x<0,

(7分)∴S最大=12,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,2).

(9分)(3)證明:∵直線PB過點(diǎn)P(-2,2)和點(diǎn)B(2,0),∴PB所在直線的解析式為y=-

x+1,

(10分)設(shè)Q

是y=

x-1上的任一點(diǎn),則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為

,將

代入y=-

x+1顯然成立,

(11分)∴直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上.

(12分)16.(2014山東濟(jì)南,28,9分)如圖1,拋物線y=-

x2平移后過點(diǎn)A(8,0)和原點(diǎn),頂點(diǎn)為B,對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)C,與原拋物線相交于點(diǎn)D.(1)求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積S陰影;(2)如圖2,直線AB與y軸相交于點(diǎn)P,點(diǎn)M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn),∠PMN為直角,邊MN與AP相交于

點(diǎn)N.設(shè)OM=t,試探究:①t為何值時(shí)△MAN為等腰三角形?②t為何值時(shí)線段PN的長(zhǎng)度最小?最小長(zhǎng)度是多少?

圖1

圖2

備用圖解析

(1)設(shè)平移后的拋物線解析式為y=-

x2+bx+c.

(1分)∵平移后的拋物線過原點(diǎn)和A(8,0),∴

解得

∴平移后的拋物線的解析式為y=-

x2+

x.

(2分)S陰影=12.

(3分)(2)①如圖,由(1)可知頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3).

∵BC垂直平分線段OA,∴OP=2BC=6.

(4分)∵∠MNA為Rt△PMN的外角,∴∠MNA一定為鈍角,∴△MAN為等腰三角形時(shí),只能是∠NMA=∠NAM.∵∠OPM+∠OMP=90°,∠NMA+∠OMP=90°,∴∠OPM=∠NMA,∴∠OPM=∠NAM,∴△OPM∽△OAP,

(5分)∴

=

,即

=

.∴t=

,即當(dāng)t=

時(shí),△MAN是等腰三角形.

(6分)②如圖,以PN為直徑作☉Q,當(dāng)☉Q與x軸相切時(shí),PN的值最小.

(7分)由OA=8,OP=6,可得AP=10.連接QM,則QM⊥OA,

∴△AMQ∽△AOP,∴

=

,∴

=

,即

=

,∴QM=

,∴AQ=10-

=

,AM=

=5,∴當(dāng)OM=3,即t=3時(shí),PN的長(zhǎng)度最小.

(8分)PN的最小長(zhǎng)度為

.

(9分)評(píng)析此題涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角形、相似、圓,滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合、函

數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,難度大.第(2)問②的關(guān)鍵是構(gòu)造圓,運(yùn)用圓及其切線的關(guān)系判斷最小值.1.(2016廣西南寧,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數(shù)y=

x的圖象如圖所示,則方程ax2+

x+c=0(a≠0)的兩根之和

(

)

A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能確定考點(diǎn)二二次函數(shù)與方程的聯(lián)系答案

A根據(jù)題圖可知a>0,b<0,b2-4ac>0.在方程ax2+

x+c=0(a≠0)中,Δ=

-4ac=b2-

b+

-4ac=b2-4ac-

b+

>0,設(shè)此方程的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=-

=-

+

>0,故選A.2.(2014江蘇南京,16,2分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:則當(dāng)y<5時(shí),x的取值范圍是

.x…-10123…y…105212…答案

0<x<4解析由拋物線的對(duì)稱性及題中表格可知,當(dāng)x=0或4時(shí),y=5,又拋物線開口向上,故當(dāng)0<x<4時(shí),y

<5.3.(2016陜西,24,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過點(diǎn)M

(1,3)和N(3,5).

(1)試判斷該拋物線與x軸交點(diǎn)的情況;(2)平移這條拋物線,使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),且與y軸交于點(diǎn)B,同時(shí)滿足以A、O、B為

頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.請(qǐng)你寫出平移過程,并說明理由.解析

(1)由題意,得

解之,得

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2-3x+5.

(2分)∵Δ=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0,∴拋物線與x軸無交點(diǎn).

(3分)(2)∵△AOB是等腰直角三角形,A(-2,0),點(diǎn)B在y軸上,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2)或(0,-2).

(5分)設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=x2+mx+n.①當(dāng)拋物線過點(diǎn)A(-2,0),B1(0,2)時(shí),

解之,得

∴平移后的拋物線為y=x2+3x+2.

(7分)∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為

,∴將原拋物線先向左平移3個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線.

(8分)

②當(dāng)拋物線過點(diǎn)A(-2,0),B2(0,-2)時(shí),

解之,得

∴平移后的拋物線為y=x2+x-2.

(9分)∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為

,∴將原拋物線先向左平移2個(gè)單位,再向下平移5個(gè)單位即可獲得符合條件的拋物線.

(10分)評(píng)析本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,圖象的平移,屬

于中等難度題.4.(2016黑龍江哈爾濱,27,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+2ax+c經(jīng)

過A(-4,0),B(0,4)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)C,直線y=x+5與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)E.(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)P是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EP,過點(diǎn)E作EP的垂線l,在l上截取線段EF,使EF=

EP,且點(diǎn)F在第一象限,過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段FM的長(zhǎng)為d,求d與t之

間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)E作EH⊥ED交MF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接DH,點(diǎn)G為DH的中點(diǎn),當(dāng)直線PG

經(jīng)過AC的中點(diǎn)Q時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

解析

(1)把A(-4,0),B(0,4)代入y=ax2+2ax+c,得

∴

(1分)∴y=-

x2-x+4.

(2分)(2)易知E(0,5),即OE=5.如圖1,過點(diǎn)P、F分別作y軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)I、R,

圖1∴∠PIE=∠FRE=∠FRO=90°,∵EP⊥EF,∴∠PEI+∠FER=90°,∵∠EFR+∠FER=90°,∴∠PEI=∠EFR,FR⊥OR,∵EP=EF,∴△PEI≌△EFR,

(3分)∴PI=ER.∵FM⊥x軸,∴∠FMO=90°,∵∠ROM=90°,∴四邊形ORFM為矩形,∴FM=OR,

(4分)∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,點(diǎn)P在第二象限,∴PI=-t,∵OR=OE-RE=5-(-t),∴d=t+5.

(5分)(3)如圖2,y=-

x2-x+4,y=0時(shí),-

x2-x+4=0,

圖2x1=-4,x2=2,∴C(2,0),∵Q為AC中點(diǎn),∴Q(-1,0),∴OQ=1,∵直線y=x+5與x軸交于點(diǎn)D、與y軸交于點(diǎn)E,∴D(-5,0),E(0,5),∴OD=OE=5,連接OG、GE、GM,過G、P、F分別作y軸的垂線,垂足分別為K、I'、R',∵EH⊥DE,MF⊥DM,∴△DEH與△DMH為直角三角形.∵點(diǎn)G為DH中點(diǎn),∴GE=GM=GD.

(6分)過點(diǎn)G作GN⊥DM于點(diǎn)N,∵OD=OE,OG=OG,∴△DOG≌△EOG,∴∠GON=∠GOK=45°,

(7分)∴GK=GN,∵∠GKO=∠KON=∠ONG=90°,∴四邊形OKGN為正方形,∴Rt△EGK≌Rt△MGN,∴EK=MN.由(2)得△EPI'≌△FER',四邊形OMFR'為矩形,設(shè)GN=n,∴ON=OK=n,MN=EK=5-n,EI'=FR'=OM=MN-ON=5-2n,∴I'O=OE-EI'=2n,過點(diǎn)P作PT⊥x軸于點(diǎn)T,∴四邊形PTOI'為矩形,∴PT=2n,∴PT=2GN,

(8分)∵tan∠GQN=

=

,∴TQ=2NQ,NQ=n-1,TQ=2n-2,∴OT=TQ+OQ=2n-2+1=2n-1,∴P(1-2n,2n),

(9分)∴2n=-

(1-2n)2-(1-2n)+4,解得n1=

,n2=

<0(舍去),∴OM=5-2n=4-

,OT=2n-1=

,∴t=1-2n=-

,∵FM=d=t+5=5-

,∴F(4-

,5-

).

(10分)評(píng)析本題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法,一元二次方程的應(yīng)用,圖形面積的求法,三角形

全等的判定,函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí),既考查了數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用能力,又考查了解決問題的能

力,注意求點(diǎn)的坐標(biāo)一般要?dú)w結(jié)為求線段的長(zhǎng)度.(以上各解答題如有不同解法并且正確,請(qǐng)按相應(yīng)步驟給分)5.(2016新疆烏魯木齊,24,12分)如圖,拋物線y=-x2+2x+n經(jīng)過點(diǎn)M(-1,0),頂點(diǎn)為C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)設(shè)直線y=2x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)):①在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)G,使∠AGC=∠BGC?若存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)

說明理由;②點(diǎn)P在直線y=2x上,點(diǎn)Q在拋物線上,當(dāng)以O(shè),M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)Q的

坐標(biāo).

解析∵拋物線y=-x2+2x+n過點(diǎn)M(-1,0),∴0=-(-1)2+2×(-1)+n,解得n=3,∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.(1)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4).(2)①存在.聯(lián)立

解得

∴A(-

,-2

),B(

,2

),∴點(diǎn)B(

,2

)關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)為B'(2-

,2

).∵∠AGC=∠BGC,∴點(diǎn)B'在直線AG上.設(shè)直線AB'的方程為y=kx+b(k≠0),由

得

∴y=2

x+6-2

,令x=1,得y=6,∴G(1,6).②設(shè)P(m,2m),當(dāng)四邊形OMPQ為平行四邊形時(shí),則Q(m+1,2m),∵點(diǎn)Q在拋物線y=-x2+2x+3上,∴2m=-(m+1)2+2(m+1)+3,解得m=-1±

,∴Q1(-

,-2-2

),Q2(

,-2+2

);當(dāng)四邊形OMQP為平行四邊形時(shí),則Q(m-1,2m),∵點(diǎn)Q在拋物線y=-x2+2x+3上,∴2m=-(m-1)2+2(m-1)+3,解得m=0或2,∴Q3(1,4),Q4(-1,0)(舍);當(dāng)OM為平行四邊形對(duì)角線時(shí),則Q(-1-m,-2m),∵點(diǎn)Q在拋物線y=-x2+2x+3上,∴-2m=-(-m-1)2+2(-m-1)+3,解得m=-2或0,∴Q5(1,4),Q6(-1,0)(舍).綜上所述:點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-

,-2-2

)或(

,-2+2

)或(1,4).6.(2016湖北武漢,24,12分)拋物線y=ax2+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P在拋物線上,且位于x

軸下方.(1)如圖1,若P(1,-3),B(4,0).①求該拋物線的解析式;②若D是拋物線上一點(diǎn),滿足∠DPO=∠POB,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)如圖2,已知直線PA,PB與y軸分別交于E,F兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),

是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

解析

(1)①依題意有

(1分)解得

∴拋物線的解析式為y=

x2-

.

(3分)②當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí),∵∠DPO=∠POB,∴PD∥OB.∴D,P兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,∴D(-1,-3).

(4分)當(dāng)點(diǎn)D在OP右側(cè)時(shí),延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)G.作PH⊥OB于點(diǎn)H,則OH=1,PH=3.

∵∠DPO=∠POB,∴PG=OG.設(shè)OG=x,則PG=x,HG=x-1.Rt△PGH中,由x2=(x-1)2+32,得x=5.∴點(diǎn)G(5,0).

(6分)∴直線PG的解析式為y=

x-

.解方程組

得

∵P(1,-3),∴D

.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-3)或

.

(8分)(2)解法一:

的值為定值2.理由如下:

(9分)作PQ⊥AB于Q點(diǎn).

設(shè)P(m,am2+c),A(-t,0),B(t,0),則at2+c=0,c=-at2.∵PQ∥OF,∴

=

,∴OF=

=

=

=amt+at2.

(10分)同理,OE=-amt+at2.

(11分)∴OE+OF=2at2=-2c=2OC,∴

=2.

(12分)解法二:

的值為定值2.理由如下