高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(28)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（28）15.，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊.已知.（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng).16.某視力研究中心為了解大學(xué)生的視力情況，從某大學(xué)抽取了60名學(xué)生進(jìn)行視力測(cè)試，其中男生與女生的比例為，男生近視的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，男生與女生總近視人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.（1）完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否近視與性別有關(guān).近視不近視合計(jì)男女合計(jì)60（2）按性別用分層抽樣的方法從近視的學(xué)生中抽取8人，若從這8人中隨機(jī)選出2人進(jìn)行平時(shí)用眼情況調(diào)查，求選出的2人中女生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.0.1000.0500.0250.01000012.7063.8415.0246.63510.82817.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，．（1）求證：平面；（2）若E為側(cè)棱的中點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．18.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓E的離心率為，橢圓E上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1．（1）求橢圓E的方程；（2）若過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，E的右頂點(diǎn)記為A，，求直線l的方程．19已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（28）15.，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊.已知.（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，進(jìn)而求得.（2）利用余弦定理求得，進(jìn)而求得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，又，所以，所以為銳角，所以，故；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，整理得，解得（?fù)根舍去），所以，，所以的周長(zhǎng)為.16.某視力研究中心為了解大學(xué)生的視力情況，從某大學(xué)抽取了60名學(xué)生進(jìn)行視力測(cè)試，其中男生與女生的比例為，男生近視的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，男生與女生總近視人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.（1）完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否近視與性別有關(guān).近視不近視合計(jì)男女合計(jì)60（2）按性別用分層抽樣的方法從近視的學(xué)生中抽取8人，若從這8人中隨機(jī)選出2人進(jìn)行平時(shí)用眼情況調(diào)查，求選出的2人中女生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.0.1000.0500.025001000012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）表格見(jiàn)解答，無(wú)關(guān)（2）分布列見(jiàn)解答，.【解答】【分析】（1）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)信息可以補(bǔ)全二階列聯(lián)表，并利用卡方公式進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，把卡方值與6.635比較，從而作出判斷.（2）利用分層抽樣確定樣本中8人，男生有6人，女生有2人，再?gòu)闹谐槿?人，這就是超幾何分布，由此可計(jì)算出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意，男生與女生的人數(shù)之比是，所以男生有人，女生有人，男生近視的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以有人，男生中不近視的人數(shù)為15人，男生與女生總的近視人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以總的近視人數(shù)為，則女生中近視的人數(shù)為人.可得如下列聯(lián)表：

近視不近視合計(jì)男251540女15520合計(jì)402060零假設(shè)為：性別與近視情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生近視情況無(wú)關(guān)；所以，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即性別因素與學(xué)生近視情況無(wú)關(guān).【小問(wèn)2詳解】男生與女生總的近視的學(xué)生一共有40人，其中男生近視人數(shù)是25人，女生近視人數(shù)是15人，從中抽取8人，抽到的男生人數(shù)?女生人數(shù)分別為：.所以從這8人中隨機(jī)抽取2人，其中女生人數(shù)的所有可能取值為.，所以的分布列為012即.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，．（1）求證：平面；（2）若E為側(cè)棱的中點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解答（2）【解答】【分析】（1）設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ，證明平面ABCD，得，從而可證線面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【小問(wèn)1詳解】設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ，∵正三角形，∴，又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABCD，又平面ABCD，∴，又，，平面PAD，∴平面PAD；【小問(wèn)2詳解】在平面PAD內(nèi)作，則．∵平面PAD，平面PAD，平面PAD，∴，．如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．∵底面ABCD為平行四邊形，，∴ABCD為矩形．設(shè)，則，，，，，．∴，設(shè)平面ACE的法向量為，由得取，得平面ACE的一個(gè)法向量為．又，所以點(diǎn)B到平面ACE的距離為，解得．∴，，，設(shè)平面ABP的法向量為，由得取，得平面ABP的一個(gè)法向量為．∴平面ACE與平面ABP夾角的余弦值為．18.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓E的離心率為，橢圓E上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為1．（1）求橢圓E的方程；（2）若過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，E的右頂點(diǎn)記為A，，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解答】【分析】（1）利用橢圓焦半徑公式及性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)直線l方程，B、C坐標(biāo)，根據(jù)平行關(guān)系得出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理解方程即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)焦距為，由橢圓對(duì)稱性不妨設(shè)橢圓上一點(diǎn)，易知，則，顯然時(shí)，由題意得解得，所以橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以所以①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，整理得，由韋達(dá)定理得，把①式代入上式得，得，解得，所以直線的方程為：或.19.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在處取極大值（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與在區(qū)間有2個(gè)交點(diǎn)，求得函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則恒成立，所以在上單