高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值》專項測試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值》專項測試卷（含答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________【知識點1導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.2.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小；若不能因式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=f(x)在(a,b)上單調(diào)，則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f'(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.【知識點2函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】1.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號；(5)求出極值.2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的一般步驟：①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；③將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.【題型1利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間】【例1】（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)y=?x2+A．12,e B．(0,e) 【變式1-1】（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)又在0,+∞上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

A．fx=xlnC．fx=e【變式1-2】（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）函數(shù)y=xlnA．嚴格增函數(shù)B．在0,1eC．嚴格減函數(shù)D．在0,1e【變式1-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx?2+A．2,3 B．3,4 C．?∞,3 【題型2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）若函數(shù)f(x)=(ax+1)ex在1,2上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（A．?12,+C．?14,+【變式2-1】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)f(x)=x22?lnx在區(qū)間A．0<m<23 C．23≤m≤1 D．【變式2-2】（2023下·重慶·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)fx=x2?alnx?x?2023A．?∞,1 B．?∞,1 C．【變式2-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)gx=ax?12x+1?lnA．?∞,4 B．?∞,163【題型3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值（點）】【例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=2x?tanx?π在區(qū)間?A．π2+1，?π2+1C．3π2?1，?π2【變式3-1】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，且f′xA．有一個極小值點，一個極大值點 B．有兩個極小值點，一個極大值點C．最多有一個極小值點，無極大值點 D．最多有一個極大值點，無極小值點【變式3-2】（2023·河北·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=sinx?xA．1 B．2 C．3 D．4【變式3-3】（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)=x2lnA．f(x)在x=1e處得到極大值?12e B．C．f(x)在x=1e處得到極小值?12e D．【題型4根據(jù)極值（點）求參數(shù)】【例4】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fx=ax+lnxb+1在A．-1 B．0 C．1 D．2【變式4-1】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)f(x)=x3+ax2A．[?3,6] B．(?3,6)C．(?∞,?3]∪[6,+∞【變式4-2】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考一模）若函數(shù)y=cosωx+π6（ω>0）在區(qū)間?πA．13,76 B．13,【變式4-3】（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2A．?1<a<2 B．a(chǎn)<?3或a>6 C．?3<a<6 D．a(chǎn)<?1或a>2【題型5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】【例5】（2023·四川綿陽·三臺中學(xué)校考模擬預(yù)測）當(dāng)x=2時，函數(shù)fx=x3+bx2A．8 B．12 C．16 D．32【變式5-1】（2023·廣西玉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足yex=lnx?A．?1 B．0 C．1 D．2【變式5-2】（2023·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=e2x?2tex+1A．1e B．1e2+1 C．【變式5-3】（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）設(shè)定義在R上的函數(shù)fx滿足f′x+fxA．fx在R上單調(diào)遞減 B．fx在C．fx在R上有最大值 D．fx在【題型6已知函數(shù)最值求參數(shù)】【例6】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+ax存在最大值0，則A．?2 B．?1e C．1 【變式6-1】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）若函數(shù)fx=x?m2?2,x<02xA．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0【變式6-2】（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)y=13x3?x2?3x+a，A．?6<t<0 B．?6<t≤0C．?6<t<2 D．?6<t≤2【變式6-3】（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ex+x3A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．(?【題型7函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】【例7】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sin(1)若a≤?2，討論f′x在(2)若函數(shù)gx=fx+f′x【變式7-1】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=e(1)若函數(shù)fx在0,π上單調(diào)遞增，求正實數(shù)(2)求證：當(dāng)m=1時，fx在?π,+∞上存在唯一極小值點【變式7-2】（2023·吉林長春·東北師大附中校考二模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若m>0，fx的最小值是1+lnm【變式7-3】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xln(1)若a=1，求fx(2)若fx恰有2個不同的極值點，求a(3)若fx恰有2個不同的零點，求a1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=x3+ax+2A．?∞,?2 B．?∞,?3 C．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx=aex?lnxA．e2 B．e C．e?1 3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的定義域為R，fxy=A．f0=0 C．fx是偶函數(shù) D．x=0為f4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)fx=alnA．bc>0 B．a(chǎn)b>0 C．b2+8ac>0 5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a∈0,1，若函數(shù)fx=ax+1+a6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?1時，求曲線y=fx在點1,f(2)若函數(shù)fx在0,+∞單調(diào)遞增，求7．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=x?x3eax+b，曲線y=f(x)在點(1)求a,b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x)(3)求f(x)的極值點個數(shù)．8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，討論fx(2)若fx+sin9．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=1(1)當(dāng)a=?1時，求曲線y=fx在點1,f(2)是否存在a，b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a，(3)若fx在0,+∞存在極值，求10．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)證明：當(dāng)a>0時，fx參考答案【題型1利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間】【例1】（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）函數(shù)y=?x2+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．12,e B．(0,e) 【解題思路】先求導(dǎo)，再由y′【解答過程】解：因為y=?x所以y′由y′>0，即解得0<x<2所以函數(shù)y=?x2+故選：D.【變式1-1】（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)又在0,+∞上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

A．fx=xlnC．fx=e【解題思路】對于A，說明fx=xlnx不是偶函數(shù)即可；對于B，說明fx=ln【解答過程】對于A，因為fx=xlnx的定義域為故A選項不符合題意；對于B，因為?x∈R,x2+1?x>但fx+f?x故B選項不符合題意；對于C，因為fx=ex+所以fx又f′x=ex所以此時f′x=ex故C選項符合題意；對于D，因為fx=ex?所以fx故D選項不符合題意.故選：C.【變式1-2】（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）函數(shù)y=xlnA．嚴格增函數(shù)B．在0,1eC．嚴格減函數(shù)D．在0,1e【解題思路】求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)嚴格增減函數(shù)的定義即可得到選項.【解答過程】解：已知y=xlnx，x>0，則令y′=0，即lnx+1=0當(dāng)0<x<1e時，y′當(dāng)x>1e時，y′故選：D.【變式1-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx?2+A．2,3 B．3,4 C．?∞,3 【解題思路】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式組求得函數(shù)定義域；利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【解答過程】由x?2>04?x>0得：2<x<4，即fx的定義域為∵f∴當(dāng)x∈2,3時，f′x>0；當(dāng)∴fx的單調(diào)遞增區(qū)間為2,3故選：A.【題型2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）若函數(shù)f(x)=(ax+1)ex在1,2上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（A．?12,+C．?14,+【解題思路】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得f′(x)=(ax+a+1)e【解答過程】依題意得f′(x)=(ax+a+1)e即ax+a+1≥0對x∈1,2因為y＝ax＋a＋1的圖象為直線，所以a+a+1≥02a+a+1≥0，解得a≥?故選：B.【變式2-1】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)f(x)=x22?lnx在區(qū)間A．0<m<23 C．23≤m≤1 D．【解題思路】首先求出f(x)的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間(m,m+13)內(nèi)，且m>0【解答過程】函數(shù)f(x)=x22且f′令f′(x)=0，得因為f(x)在區(qū)間(m,m+1所以m>0m<1<m+1故選：B.【變式2-2】（2023下·重慶·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)fx=x2?alnx?x?2023A．?∞,1 B．?∞,1 C．【解題思路】先求導(dǎo)數(shù)，利用f′(x)≥0在【解答過程】f′(x)=2x?ax?1所以f′(x)≥0在1,+∞上恒成立，即2因為二次函數(shù)y=2x2?x所以y=2x2?x故選：B.【變式2-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)gx=ax?12x+1?lnA．?∞,4 B．?∞,163【解題思路】依據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)函數(shù)的正負，后利用二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍即可.【解答過程】由gx==3a因為函數(shù)gx在1,+∞上單調(diào)遞減，所以g′設(shè)φx=?8x2+利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，可得?6a?82×?8解得a≤163，所以實數(shù)a故選：B．【題型3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值（點）】【例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=2x?tanx?π在區(qū)間?A．π2+1，?π2+1C．3π2?1，?π2【解題思路】求出f′x，由f′【解答過程】由題意，得f′當(dāng)x∈?π2,?π當(dāng)x∈?π4,π所以f(x)在?π2,?π4當(dāng)x=?π4時，f(x)取得極小值，為當(dāng)x=π4時，f(x)取得極大值，為故選：D．【變式3-1】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，且f′xA．有一個極小值點，一個極大值點 B．有兩個極小值點，一個極大值點C．最多有一個極小值點，無極大值點 D．最多有一個極大值點，無極小值點【解題思路】設(shè)gx=fxex，求導(dǎo)后，構(gòu)造?x=gx+x【解答過程】令gx=f故f′令?x所以?′當(dāng)x∈?∞,?1當(dāng)x∈?1,0時，?當(dāng)x∈0,+∞時，所以?x的極小值為??x的極大值為?所以當(dāng)x∈?∞,?1時，?當(dāng)?x在區(qū)間?則?x≥0，f′x=當(dāng)?x在區(qū)間?可設(shè)為x0，則當(dāng)x∈?∞,x當(dāng)x∈x0,+∞時，所以fx有且只有一個極小值點x綜上，fx故選：C.【變式3-2】（2023·河北·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=sinx?xA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】首先根據(jù)得到f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2對稱，再對其求導(dǎo)，得到其在【解答過程】由題得f(x)=sinx?x+x因為y=sinx與y=1πx?所以f(x)的圖象也關(guān)于直線x=π又f'(x)=cosx?1+2所以f′(x)>1+cosx≥0,即f′令?(x)=f'(x)=cosx?1+又?'π2所以?x0∈π2所以當(dāng)x∈π2,當(dāng)x∈x0,又?π2=?(π)=0,所以在π由f(x)圖象的對稱性可知,在0,π2上,在(?∞,0)上,又f′(0)=所以f(x)極值點的個數(shù)為3.故選：C.【變式3-3】（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)=x2lnA．f(x)在x=1e處得到極大值?12e B．C．f(x)在x=1e處得到極小值?12e D．【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值即可.【解答過程】由f′(x)=2xln所以x∈(0,1e)時f′(x)<0，f(x)遞減，x∈(所以f(x)在x=1e處得到極小值f(1故選：C.【題型4根據(jù)極值（點）求參數(shù)】【例4】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fx=ax+lnxb+1在A．-1 B．0 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)極值點的意義，列式求解.【解答過程】f′有f1=a+1=0f所以a+b=0.故選：B.【變式4-1】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)f(x)=x3+ax2A．[?3,6] B．(?3,6)C．(?∞,?3]∪[6,+∞【解題思路】直接對函數(shù)求導(dǎo)，再利用極值的定義即可求出結(jié)果.【解答過程】因為f(x)=x3+ax2+(a+6)x，所以f′(x)=3x2+2ax+a+6故選：A.【變式4-2】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考一模）若函數(shù)y=cosωx+π6（ω>0）在區(qū)間?πA．13,76 B．13,【解題思路】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象特征，根據(jù)整體法即可列出不等式滿足的關(guān)系進行求解.【解答過程】當(dāng)x∈?π2由于y=cosωx+π6（ω>0）在區(qū)間?π故選：C.【變式4-3】（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2A．?1<a<2 B．a(chǎn)<?3或a>6 C．?3<a<6 D．a(chǎn)<?1或a>2【解題思路】根據(jù)函數(shù)有極大值和極小值，可以判斷導(dǎo)數(shù)有兩個零點，然后求a的取值范圍即可.【解答過程】函數(shù)f(x)=x∴f函數(shù)f(x)有極大值和極小值，所以其導(dǎo)函數(shù)f'Δ所以a<?3或a>6.故選：B.【題型5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】【例5】（2023·四川綿陽·三臺中學(xué)?？寄M預(yù)測）當(dāng)x=2時，函數(shù)fx=x3+bx2A．8 B．12 C．16 D．32【解題思路】根據(jù)極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求得b=0，利用導(dǎo)數(shù)判斷fx在區(qū)間?4,4【解答過程】因為fx=x又因為f(x)在x=2取極值，所以f′(2)=12+4b?12=0，解得若b=0，則f(x)=x3?12x令f′(x)>0，得x<?2或x>2；令f′所以f(x)在?∞,?2和2,+∞可知f(x)在x=2取極值，故b=0滿足題意，若x∈?4,4，則f(x)在[?4,?2]和[2,4]上單調(diào)遞增，在?2,2且f(?2)=?8+24=16,f(4)=64?48=16，所以fx在區(qū)間?4,4上的最大值為16故選：C．【變式5-1】（2023·廣西玉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足yex=lnx?A．?1 B．0 C．1 D．2【解題思路】由yex=lnx?lny得x【解答過程】因為正實數(shù)x，y滿足ye所以xe設(shè)ft=tet,t>0，則f所以函數(shù)ft在0,+∞上單調(diào)遞增，由xe所以x=lnxy所以lnx+1x+則g′x=?ln則?′所以函數(shù)?x在0,+∞上單調(diào)遞減，且所以在0,1上，?x>0，g′在1,+∞上，?x<0，g所以gxmax=g1=0，當(dāng)x=1時，y=故選：B.【變式5-2】（2023·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=e2x?2tex+1A．1e B．1e2+1 C．【解題思路】Pex,【解答過程】fx=ex?et點P在函數(shù)gx=lnlnx由g′x=所以函數(shù)gx圖象上平行于直線y=1e切點e,0到直線y=1e所以PQ2即fx的最小值為故選：C.【變式5-3】（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）設(shè)定義在R上的函數(shù)fx滿足f′x+fxA．fx在R上單調(diào)遞減 B．fx在C．fx在R上有最大值 D．fx在【解題思路】根據(jù)已知可得exfx=x3+c，由f【解答過程】因為f′x+f可得ex可得exfx因為f0=0，所以e0所以fx=x當(dāng)x>3時，f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<3時，當(dāng)x<0時，f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時，f(x)→0且f(x)>0，當(dāng)x→?所以fx在x=3時有極大值即最大值f故選：C.【題型6已知函數(shù)最值求參數(shù)】【例6】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+ax存在最大值0，則A．?2 B．?1e C．1 【解題思路】討論a與0的大小關(guān)系確定f(x)的單調(diào)性，求出f(x)的最大值.【解答過程】因為f′x=所以當(dāng)a≥0時，f′x>0當(dāng)a<0時，令f′x=0所以當(dāng)x∈0,?當(dāng)x∈?1a所以fxmax=f?1故選：B.【變式6-1】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）若函數(shù)fx=x?m2?2,x<02xA．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)fx在0,+∞上的極小值，然后對實數(shù)m的取值進行分類討論，結(jié)合fx【解答過程】當(dāng)x≥0時，fx=2x當(dāng)0<x<1時，f′x<0當(dāng)x>1時，f′x>0所以，函數(shù)fx的極小值為f因為函數(shù)fx的最小值為?2，當(dāng)m≥0時，函數(shù)fx在此時，函數(shù)fx在?當(dāng)m<0時，函數(shù)fx在?∞,m此時，函數(shù)fx在?∞,0上的極小值為fm=?2綜上所述，m<0.故選：A.【變式6-2】（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)y=13x3?x2?3x+a，A．?6<t<0 B．?6<t≤0C．?6<t<2 D．?6<t≤2【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，據(jù)此知函數(shù)有極大值，根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間上有最大值可知，區(qū)間含極大值點【解答過程】y′當(dāng)x<?1或x>3時，y′>0，當(dāng)?1<x<3時，所以函數(shù)在(?∞,?1)，(3,+∞故x=?1所以當(dāng)函數(shù)在(t?3,t+5)上有最大值，則?1∈(t?3,t+5)且t+5≤5，即t?3<?1<t+5t+5≤5，解得?6<t≤0故選：B.【變式6-3】（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ex+x3A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．(?【解題思路】f'x在0,1上遞增，根據(jù)fx在0,1上有最小值，可知f【解答過程】∵f'xf'這時存在x0∈(0,1)，使得f(x)在區(qū)間(0,x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間[所以a的取值范圍是?e,2.故選：A.【題型7函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】【例7】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sin(1)若a≤?2，討論f′x在(2)若函數(shù)gx=fx+f′x【解題思路】（1）二次求導(dǎo)，得到當(dāng)a≤?2時，2ex+a<0，故?′x=0，得到（2）求導(dǎo)得到g′x=2sinx+π4?1ex+a，a≥0時，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到g【解答過程】（1）因為fx=sin設(shè)?x則?′∵當(dāng)x∈0,2π時，∴當(dāng)a≤?2時，2e當(dāng)x∈0,2π時，令?′當(dāng)x∈0,π2時，?′x當(dāng)x∈π2,3π2時，當(dāng)x∈3π2,2π時，?綜上，f′x在0,π（2）由（1）知，gx∴g（ｉ）當(dāng)a≥0時，在0,π內(nèi)，1當(dāng)x∈0,π時，令g′當(dāng)x∈0,3π當(dāng)x∈3π4∴當(dāng)a≥0時，gx在0,π內(nèi)有唯一的極小值點（ⅱ）當(dāng)a<0時，令1ex+a=0當(dāng)x<x3時，1ex+a>0①當(dāng)x3=ln?1a<則當(dāng)x∈0,3π當(dāng)x∈3π4故gx在x0=若x3∈0,則當(dāng)x∈0,x3當(dāng)x∈x3,當(dāng)x∈3π4故gx在x0=②當(dāng)x3=x若x∈0,3π若x∈3π4故gx在0,③當(dāng)x3∈3π4,π在3π4,故gx在x3=④當(dāng)x3≥π，即?1eπ≤a<0故gx在x0=綜上，實數(shù)a的取值范圍是?∞【變式7-1】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=e(1)若函數(shù)fx在0,π上單調(diào)遞增，求正實數(shù)(2)求證：當(dāng)m=1時，fx在?π,+∞上存在唯一極小值點【解題思路】（1）當(dāng)0<x≤π2時，f′x≥0恒成立，當(dāng)π2<x<π時，分離常數(shù)（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷fx在0,+∞單調(diào)遞增，無極點，f′由f′?π2?f′fx0=【解答過程】（1）f′因為函數(shù)fx在0,所以f′x=當(dāng)0<x≤π2時，e又因m>0所以f′x≥0當(dāng)π2<x<π設(shè)gx=?e當(dāng)3π4<x<π時，g′所以gx在π2,∴g(x)min又m>0，∴0<m≤綜上，m的取值范圍0,（2）證明：∵m=1，∴fx=e當(dāng)x≥0時，ex≥1，cosx≥?1∴fx在0,+∞上單調(diào)遞增，即fx當(dāng)?π<x<0時，設(shè)ux∴ux在?∵u?π由零點存在性定理，存在唯一一個x0∈?3π當(dāng)?π<x<x0時，ux<0，當(dāng)x0<x<0時，ux>0，∴f∴fx在?π,+∵f又x0∈?3即?1<fx【變式7-2】（2023·吉林長春·東北師大附中?？级＃┮阎瘮?shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若m>0，fx的最小值是1+lnm【解題思路】（1）求出fx的導(dǎo)數(shù)，按m≤e和（2）利用（1）中信息，按m≤e和m>e探討，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)【解答過程】（1）函數(shù)fx的定義域為0,+所以f′令ux=e令u′x<0，可得0<x<1，令u所以ux在0,1上單調(diào)遞減，在1,+故ux①m≤e時，uxmin≥0，則ux令f′x>0所以fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以fx②m>e時，u因為令?x=e當(dāng)x>0時，?′x>0，則?當(dāng)x<0時，?′x<0，則?故?x≥?0=0，所以當(dāng)x<1m?1<1此時?x1∈令vx=ex?φ′x=ex?2>0，即有v′x>0，即v即vx>v1當(dāng)x>m>e時，ux>x2因此x∈0,x1，fx∈x1,1，fx∈1,x2，fx∈x2,+∞，所以fx由3所以當(dāng)m≤e時，fx恰有1個極值點；當(dāng)m>e時，f（2）由（1）知，當(dāng)0<m≤e時，fx在0,1上單調(diào)遞減，在所以fx所以1e=lnmm函數(shù)gx在0,e上單調(diào)遞增，gx當(dāng)m>e時，?x1∈0,1，使得u所以fx在0,x1上單調(diào)遞減，在x1,1其中exixi?m=0而fxi=綜上可得，實數(shù)m的取值范圍為mm≥【變式7-3】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xln(1)若a=1，求fx(2)若fx恰有2個不同的極值點，求a(3)若fx恰有2個不同的零點，求a【解題思路】（1）求得f′x=1+lnx?x，設(shè)gx=1+（2）求得f′x=1+lnx?ax，轉(zhuǎn)化為f′x=0有兩個不等的正根，設(shè)（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為12a=lnxx,x>0，設(shè)【解答過程】（1）解：若a=1，則fx=xln設(shè)gx=1+ln當(dāng)0<x<1時，g′x>0,gx遞增；當(dāng)所以gx≤g1=0，即f′即fx的單調(diào)減區(qū)間為0,+（2）解：由函數(shù)fx=xln由題意可得f′設(shè)?x若a≤0，則?x在0,+若a>0，可得?′x=1x當(dāng)x>1a時，?′x<0，?x單調(diào)遞減；當(dāng)可得?x因為f′x=0有兩個不等的正根，所以?所以實數(shù)a的取值范圍是0,1.（3）解：由fx=xlnx?1設(shè)mx=ln當(dāng)x>e時，m′x<0，mx單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<所以mx又x→0+時，mx因為fx恰有2個不同的零點，所以0<12所以實數(shù)a的取值范圍是0,21．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=x3+ax+2A．?∞,?2 B．?∞,?3 C．【解題思路】寫出f′【解答過程】f(x)=x3+ax+2若fx要存在3個零點，則fx要存在極大值和極小值，則令f′(x)=3x2+a=0且當(dāng)x∈?∞,?當(dāng)x∈??a3故fx的極大值為f??a若fx要存在3個零點，則f??a3>0故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx=aex?lnxA．e2 B．e C．e?1 【解題思路】根據(jù)f′x=a【解答過程】依題可知，f′x=aex?1設(shè)gx=xex,x∈1,2，所以gx>g1=e，故e≥1故選：C．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的定義域為R，fxy=A．f0=0 C．fx是偶函數(shù) D．x=0為f【解題思路】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例f(x)=0即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)f(x)=x【解答過程】方法一：因為f(xy)=y對于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正確.對于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，則f(1)=0，故B正確.對于C，令x=y=?1，f(1)=f(?1)+f(?1)=2f(?1)，則f(?1)=0，令y=?1,f(?x)=f(x)+x又函數(shù)f(x)的定義域為R，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，對于D，不妨令f(x)=0，顯然符合題設(shè)條件，此時f(x)無極值，故D錯誤.方法二：因為f(xy)=y對于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正確.對于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，則f(1)=0，故B正確.對于C，令x=y=?1，f(1)=f(?1)+f(?1)=2f(?1)，則f(?1)=0，令y=?1,f(?x)=f(x)+x又函數(shù)f(x)的定義域為R，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，對于D，當(dāng)x2y2≠0時，對f(xy)=y故可以設(shè)f(x)x2=當(dāng)x>0肘，f(x)=x2ln令f′x<0，得0<x<e?故f(x)在0,e?1因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在?e?1

顯然，此時x=0是f(x)的極大值，故D錯誤.故選：ABC.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)fx=alnA．bc>0 B．a(chǎn)b>0 C．b2+8ac>0 【解題思路】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，由已知可得f′【解答過程】函數(shù)f(x)=alnx+bx+因為函數(shù)f(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f′(x)在(0,+∞因此方程ax2?bx?2c=0于是Δ=b2+8ac>0x1+x2=b故選：BCD.5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a∈0,1，若函數(shù)fx=ax+1+ax在【解題思路】原問題等價于f′x=axlna+【解答過程】由函數(shù)的解析式可得f′x=則1+axln1+a≥?a故1+aa0=1≥?lna故lna+1≥?lna0<a<1結(jié)合題意可得實數(shù)a的取值范圍是5?1故答案為：5?16．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?1時，求曲線y=fx在點1,f(2)若函數(shù)fx在0,+∞單調(diào)遞增，求【解題思路】（1）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；（2）原問題即f′x≥0在區(qū)間0,+∞上恒成立，整理變形可得gx=ax【解答過程】（1）當(dāng)a=?1時，fx則f′據(jù)此可得f1所以函數(shù)在1,f1處的切線方程為y?0=?ln2（2）由函數(shù)的解析式可得f′滿足題意時f′x≥0令?1x2令gx=ax2則g′當(dāng)a≤0時，由于2ax≤0,lnx+1>0，故g′x此時gx令?x=g當(dāng)a≥12，2a≥1時，由于1x+1<1，所以即g′x在區(qū)間所以g′x>g′0=0當(dāng)0<a<12時，由?'當(dāng)x∈0,12a?1時，?′注意到g′0=0，故當(dāng)x∈0,1由于g0=0，故當(dāng)x∈0,綜上可知：實數(shù)a得取值范圍是a|a≥17．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=x?x3eax+b，曲線y=f(x)在點(1)求a,b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x)(3)求f(x)的極值點個數(shù)．【解題思路】（1）先對fx求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到f(1)=0，f′(1)=?1（2）由（1）得gx的解析式，從而求得g′x，利用數(shù)軸穿根法求得g′x（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間?∞,0，0,x1，x1,x【解答過程】（1）因為f(x)=x?x3e因為fx在(1,f(1))處的切線方程為y=?x+1所以f(1)=?1+1=0，f′則1?13×所以a=?1,b=1.（2）由（1）得gx則g′令x2?6x+6=0，解得x=3±3，不妨設(shè)x1=3?易知e?x+1所以令g′x<0，解得0<x<x1或x>x2所以gx在0,x1，x2,+即gx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,3?3和3+3,+∞（3）由（1）得f(x)=x?x3e由（2）知f′x在0,x1，x2當(dāng)x<0時，f′?1=1?4e所以f′x在?∞,0上存在唯一零點，不妨設(shè)為此時，當(dāng)x<x3時，f′x<0，則fx單調(diào)遞減；當(dāng)所以fx在?當(dāng)x∈0,x1時，f則f′x1所以f′x在0,x1上存在唯一零點，不妨設(shè)為此時，當(dāng)0<x<x4時，f′x>0，則fx單調(diào)遞增；當(dāng)所以fx在0,當(dāng)x∈x1,x2則f′x2所以f′x在x1,x此時，當(dāng)x1<x<x5時，f′x<0，則f所以fx在x當(dāng)x>x2=3+所以f′x=1?所以fx在x綜上：fx在?∞,0和x1,8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，討論fx(2)若fx+sin【解題思路】（1）代入a=1后，再對fx求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡f（2）法一：構(gòu)造函數(shù)gx=fx+sinx，從而得到gx<0，注意到g0法二：先化簡并判斷得sinx?sinxcos2x<0恒成立，再分類討論a=0【解答過程】（1）因為a=1，所以fx則f=cos令t=cosx，由于x∈0,所以cos3x+cos因為t2+2t+2=t+12+1>0所以f′x=所以fx在0,（2）法一：構(gòu)建gx則g′若gx=fx則g′0=a?1+1=a≤0當(dāng)a=0時，因為sinx?又x∈0,π2，所以0<sinx<1所以fx當(dāng)a<0時，由于0<x<π2，顯然所以fx綜上所述：若fx+sin所以a的取值范圍為?∞法二：因為sinx?因為x∈0,π2，所以0<故sinx?sin