高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓錐曲線的綜合應(yīng)用》專項測試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓錐曲線的綜合應(yīng)用》專項測試卷（含答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（文）(理)）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．2、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.3、【2022年全國甲卷】設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Dp,0，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α?β取得最大值時，求直線AB的方程．4、【2022年全國乙卷】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過A0,?2(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)P1,?2的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH5、【2022年新高考1卷】已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求6、【2022年新高考2卷】已知雙曲線C:x2a2?(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.題型一圓錐曲線中的最值問題1-1、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．1-2、（2023·江蘇南京·校考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點(diǎn)．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求過P、Q、三點(diǎn)的圓的方程；(3)若，且，求的最大值．1-3、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓經(jīng)過點(diǎn)，且橢圓的長軸長為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求的面積的取值范圍．題型二圓錐曲線中的定點(diǎn)問題2-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).2-2、（2023·山西·統(tǒng)考一模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，證明直線過定點(diǎn).題型三圓錐曲線中的定值問題3-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，三個點(diǎn)在橢圓，橢圓外一點(diǎn)滿足，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的值；(2)證明：直線與斜率之積為定值.3-2、（2022·山東青島·高三期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，原點(diǎn)為的重心，證明：的面積為定值.題型四圓錐曲線中的角度問題4-1、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．4-2、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎p曲線的實(shí)軸長為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.題型五圓錐曲線中的探索性問題5-1、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)校考一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動點(diǎn).當(dāng)取最大值時，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由5-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；（ii）求的取值范圍.1、（2023·安徽安慶·?？家荒＃┮阎獧E圓的焦點(diǎn)分別為，，且，上頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)在橢圓上，若，求的大小.2、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為雙曲線的右頂點(diǎn)，直線與雙曲線交于不同于的，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)且于，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.3、(2022·南京9月學(xué)情【零?！?(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右頂點(diǎn)分別為A，B．F是橢圓的右焦點(diǎn)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．(1)求橢圓C的方程；(2)不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，AM，AN的斜率分別為k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，證明直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．4、（2022·山東棗莊·高三期末）如圖，為橢圓的左頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且異于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與圓的另一交點(diǎn)分別為．5、（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于x軸上方），當(dāng)垂直于軸時，．(1)求橢圓的方程；(2)記直線的斜率分別為，求的最小值．6、（2022·江蘇蘇州·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)（不含短軸端點(diǎn)），點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．參考答案1、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（文）(理)）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

2、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.3、【2022年全國甲卷】設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Dp,0，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α?β取得最大值時，求直線AB的方程．【解析】(1)拋物線的準(zhǔn)線為x=?p2，當(dāng)MD與x軸垂直時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為此時|MF|=p+p所以拋物線C的方程為y2(2)設(shè)M(y12由{x=my+1y2=4x可得由斜率公式可得kMN=y直線MD:x=x1?2Δ>0,y1y3所以k又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為α,β，所以kAB若要使α?β最大，則β∈(0,π設(shè)kMN=2k當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k即所以當(dāng)α?β最大時，kAB=2代入拋物線方程可得y2Δ>0,y3所以直線AB:x=24、【2022年全國乙卷】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過A0,?2(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)P1,?2的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH【解析】(1)解：設(shè)橢圓E的方程為mx2+n則4n=194m+n=1，解得m=所以橢圓E的方程為：y2(2)A(0,?2),B(32,?1)①若過點(diǎn)P(1,?2)的直線斜率不存在，直線x=1.代入x2可得M(1,263)，N(1,?2T(6+3,263)，由y=(2?263②若過點(diǎn)P(1,?2)的直線斜率存在，設(shè)kx?y?(k+2)=0,M(x聯(lián)立kx?y?(k+2)=0x23可得x1+x且x聯(lián)立y=y1可求得此時HN:y?y將(0,?2)，代入整理得2(x將(?)代入，得24k+12顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)(0,?2).【點(diǎn)睛】

5、【2022年新高考1卷】已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px聯(lián)立y=kx+mx22所以，x1+x所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化簡得，8k2+4k?4+4m所以k=?1或m=1?2k，當(dāng)m=1?2k時，直線l:y=kx+m=kx?2+1過點(diǎn)故k=?1．(2)不妨設(shè)直線PA,PB的傾斜角為α,βα<β，因?yàn)閗AP+因?yàn)閠an∠PAQ=22，所以tanβ?α即2tan2α?于是，直線PA:y=2x?2+1聯(lián)立y=2x?2+1因?yàn)榉匠逃幸粋€根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0點(diǎn)A到直線PQ的距離d=2+1?故△PAQ的面積為12×163×223=1629(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【解析】(1)右焦點(diǎn)為F(2,0)，∴c=2,∵漸近線方程為y=±3x，∴ba=3，∴b=3a，∴c∴C的方程為：x2(2)由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零；若選①③推②，則M為線段AB的中點(diǎn)，假若直線AB的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知M在x軸上，即為焦點(diǎn)F,此時由對稱性可知P、Q關(guān)于x軸對稱，與從而x1總之，直線AB的斜率存在且不為零.設(shè)直線AB的斜率為k,直線AB方程為y=k(x?2),則條件①M(fèi)在AB上，等價于y0兩漸近線的方程合并為3x聯(lián)立消去y并化簡整理得：k設(shè)A(x3,y3設(shè)M(x則條件③|AM|=|BM|等價于x0移項并利用平方差公式整理得：x32x0?即x0由題意知直線PM的斜率為?3,直線QM的斜率為3∴由y1∴y1所以直線PQ的斜率m=y直線PM:y=?3x?x代入雙曲線的方程3x2?得：y0解得P的橫坐標(biāo)：x1同理：x2∴x∴m=3∴條件②PQ//AB等價于m=k?ky綜上所述：條件①M(fèi)在AB上，等價于ky條件②PQ//AB等價于ky條件③|AM|=|BM|等價于x0選①②推③:由①②解得：x0=2選①③推②：由①③解得：x0=2∴ky0=3選②③推①：由②③解得：x0=2k2k∴ky0=題型一圓錐曲線中的最值問題1-1、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達(dá)定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點(diǎn)M，再由弦長公式及兩點(diǎn)距離公式表示出，進(jìn)而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當(dāng)直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，此時切線平行無交點(diǎn)．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因?yàn)椋栽O(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設(shè)，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當(dāng)時，即時，取得最大值，為2．1-2、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點(diǎn)．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求過P、Q、三點(diǎn)的圓的方程；(3)若，且，求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）由焦距為2得到，再由雙曲線的頂點(diǎn)求出，得到，橢圓方程；（2）求出的方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出圓的方程；（3）設(shè)，，由向量共線得到，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式求出最值.【詳解】（1）雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故，由題意得，故，故橢圓的方程為．（2）因?yàn)?，，所以的方程為，由，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．設(shè)過P，Q，三點(diǎn)的圓為，則，解得，，，所以圓的方程為；（3）設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．最大值為1-3、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓經(jīng)過點(diǎn)，且橢圓的長軸長為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求的面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的長軸長為，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：若與軸重合，則不存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，若，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合乎題意，所以，，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，易知點(diǎn)，，直線的方程為，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，，所以，，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，所以，.故的面積的取值范圍是.題型二圓錐曲線中的定點(diǎn)問題2-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進(jìn)而求解；（2）設(shè)方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn)，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)軸時，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設(shè)方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn)，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)；方法二：設(shè)方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn).設(shè)以為直徑的圓過，，而，，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).2-2、（2023·山西·統(tǒng)考一模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，證明直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)見解析【分析】(1)根據(jù)雙曲線過點(diǎn)和焦點(diǎn)到漸近線的距離為列出方程組，解之即可；(2)設(shè)直線的斜率為，由題意直線的斜率為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，兩點(diǎn)所在的直線方程即可求解.【詳解】（1）由雙曲線可得漸近線為，不妨取漸近線即由焦點(diǎn)到漸近線的距離為可得，即由題意得，得，從而雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，由題意可知：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，于是，從而，從而，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，于是，從而，從而，于是，從而，化簡得，從而過定點(diǎn).題型三圓錐曲線中的定值問題3-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，三個點(diǎn)在橢圓，橢圓外一點(diǎn)滿足，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的值；(2)證明：直線與斜率之積為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系用表示，代入橢圓方程即可求解；（2）用表示，代入斜率公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以解得，又因?yàn)?，所以解得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即.（2）設(shè)直線與斜率分別為，是定值.3-2、（2022·山東青島·高三期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，原點(diǎn)為的重心，證明：的面積為定值.【解析】(1)由橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且，可知：，即①，將代入方程得：②，①②聯(lián)立解得，②故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明：設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時，即，由原點(diǎn)為的重心，可知故可得此時有，該點(diǎn)在橢圓上，則，不妨取，則有，或，則此時;當(dāng)直線斜率存在時，不妨設(shè)方程為，則聯(lián)立，整理得：，且需滿足，則，所以y1由原點(diǎn)為的重心知，x0=?(x故坐標(biāo)為，代入到中，化簡得：(8km1+4k又原點(diǎn)為的重心，故到直線的距離為原點(diǎn)到直線距離的3倍，所以d=3|m|1+而|P=1+=1+k2因此S△=63綜合上述可知：的面積為定值.題型四圓錐曲線中的角度問題4-1、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.4-2、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎p曲線的實(shí)軸長為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）法一：根據(jù)實(shí)軸長，求得a值，根據(jù)題意，求得，可得b值，即可得曲線C方程，設(shè)直線方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入，化簡整理，即可得答案.法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線C方程，設(shè)方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入，化簡整理，即可得答案.（2）法一：因?yàn)?，根?jù)二倍角的正切公式，結(jié)合及，化簡計算，可得，進(jìn)而可得方程，與曲線C聯(lián)立，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線的方程，根據(jù)面積公式，即可得答案.法二：設(shè)，由，結(jié)合二倍角正切公式，可得的值，進(jìn)而可得直線方程，與曲線C聯(lián)立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.【詳解】（1）法一：因?yàn)?，所以，令得，所以，解得，所以的方程為顯然直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當(dāng)時，，設(shè)，則.因?yàn)?，所?法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設(shè)方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）法一：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，（※）將代入（※）得，因?yàn)樵谳S上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.法二：設(shè)，由，可得，，解得，方程，聯(lián)立，可得，解得，同理聯(lián)立，解得，.題型五圓錐曲線中的探索性問題5-1、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動點(diǎn).當(dāng)取最大值時，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式確定點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時，取最大值，再根據(jù)三角形面積及，求得，，，即可得到答案；（2）對直線的斜率分存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可得，即可得到答案；【詳解】（1）依題意可得，設(shè)，由余弦定理可知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)（即P為橢圓短軸端點(diǎn)）時等號成立，且取最大值；此時的面積是，同時，聯(lián)立和解得，，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l的方程為，所以，，此時，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，原點(diǎn)O到直線1的距離為d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圓C的方程是所以當(dāng)時，存在定圓C始終與直線l相切，其方程是.5-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；（ii）求的取值范圍.【答案】(1)；(2)（i）為定值；（ii）；【分析】（1）根據(jù)“姊妺”圓錐曲線的定義設(shè)出雙曲線方程，利用求得參數(shù)b的值，即得答案.（2）（i）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合的表達(dá)式，化簡即可得出結(jié)論；（ii）設(shè)直線，代入雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理可解得，結(jié)合A在雙曲線右支，可得，即可求得的范圍，同理求得的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）（i）設(shè)，直線的方程為，由，消元得.則，且，；或由韋達(dá)定理可得，即,，即與的比值為定值.（ii）設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，.由韋達(dá)定理得：，解得.因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中結(jié)論可知，得，所以，故，設(shè)，其圖象對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，故，故的取值范圍為.另解：由于雙曲線的漸近線方程為，如圖，過點(diǎn)作兩漸近線的平行線與，由于點(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以直線介于直線與之間（含軸，不含直線與），所以.同理，過點(diǎn)作兩漸近線的平行線與，由于點(diǎn)在雙曲線的右支上，所以直線介于直線與之間（不含軸，不含直線與），所以.由（i）中結(jié)論可知，得，所以,故1、（2023·安徽安慶·校考一模）已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，且，上頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)在橢圓上，若，求的大小.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)可得c和b的值，結(jié)合得到a,從而得到橢圓方程；（2）由點(diǎn)在橢圓上和橢圓定義，得到，然后利用余弦定理計算即可.【詳解】（1）由已知得，，又∴∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點(diǎn)在橢圓上∵，∴∴∴2、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為雙曲線的右頂點(diǎn)，直線與雙曲線交于不同于的，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)且于，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.【分析】（1）由已知可設(shè)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)條件列出a，c關(guān)系式，解出代入方程即可；（2）對直線的斜率能否為0進(jìn)行討論.斜率不為0時，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，有垂直關(guān)系時，在圓錐曲線中常用向量法，化簡得到m，k的關(guān)系式；斜率不存在時，寫出直線方程，驗(yàn)證即可.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以.因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為2，所以，從而，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：設(shè)，.①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組化簡得，則，即，且因?yàn)?，所以，化簡得所以或，且均滿足.當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn)②當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，不妨設(shè)DE方程為：y=x-1，聯(lián)立方程組，得得，，此時直線過定點(diǎn)因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓的圓心,為該圓的半徑，故存在定點(diǎn)，使得為定值.3、(2022·南京9月學(xué)情【零?！?(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右頂點(diǎn)分別為A，B．F是橢圓的右焦點(diǎn)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．(1)求橢圓C的方程；(2)不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，AM，AN的斜率分別為k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，證明直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】圓錐曲線中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系：定點(diǎn)問題【解析】(1)由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(c，0)．因?yàn)镋Q\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3，所以EQ\B\lc\{(\a\al(\l(a＋c＝3(a－c)，),\l((a＋c)(a－c)＝3，)))…………………2分解得eq\B\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1，))從而b2＝a2－c2＝3．所以橢圓C的方程eq\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1．…………4分(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．因?yàn)橹本€l不過點(diǎn)A，因此－2k＋m≠0．由eq\B\