高等數(shù)學(xué)同濟(jì)五版第一章第五節(jié)極限運(yùn)算法則培訓(xùn)講學(xué)

第五節(jié)極限運(yùn)算法則二、極限四則運(yùn)算法則四、小結(jié)思考題一、無窮小的性質(zhì)三、復(fù)合函數(shù)的極限1一、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)【定理1】有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.【證】考慮兩個(gè)無窮小之和，且僅證的情形1）和的性質(zhì)2【注意】無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.n個(gè)【例如】非無窮小3【推論1】有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.【推論2】常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.【推論3】有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小【例1】【解】由定理2可知：【說明】

y=0是的漸近線.5二、極限的運(yùn)算法則【定理3】【證】由無窮小運(yùn)算法則,得以下符號(hào)lim表示自變量的同一變化過程推廣到有限項(xiàng)【聲明】1.函數(shù)極限運(yùn)算法則6由第三節(jié)定理3*得7【推論1】常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.【推論2】有界，函數(shù)和,差,積,商的極限等于極限的和,差,積,商.8【定理4】設(shè)數(shù)列【注意】定理3及其兩個(gè)推論成立的前提條件是：“f(x)與g(x)的極限存在”若則2.數(shù)列極限運(yùn)算法則9【定理5】【證】令則由定理3可知由第三節(jié)函數(shù)極限的局部保號(hào)性的推論可知【證完】3.極限保序性10【例2】【解】求極限方法舉例11【小結(jié)】需特別注意12【解】商的法則不能用【例3】【方法】無窮大的倒數(shù)法x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因13【解】【例4】【方法】消去零因子法14【例5】【解】15【小結(jié)】以分子、分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限的方法，稱之.【無窮小量分出法】分式求極限一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))16【例6】【解】先變形再求極限.【方法】先變形再求極限法17【例7】【解】左右極限存在且相等,【方法】分段函數(shù)在分界點(diǎn)的極限，一般考察左右極限.18三、復(fù)合函數(shù)的極限法則【分析】需證有1.【定理6】19【證明】有有……（1）……（2）20【意義】（1）（2）兩式同時(shí)成立即從而此即【證完】21【例8】【解】【方法】先有理化后可變?yōu)槎ㄊ?2三、小結(jié)1.【極限運(yùn)算法則】(1)無窮小運(yùn)算性質(zhì)(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件23(4)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量(2)利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限(3)利用左右極限求分段函數(shù)極限2.【求函數(shù)極限的方法】(1)多項(xiàng)式、分式函數(shù)極限求法1)x→x0時(shí),用代入法(分母不為0)2)x→x0時(shí),對(duì)型,消去無窮小公因子3)x→∞時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”——無窮小因子分出法24【思考題】在某個(gè)過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？25