高數(shù)78常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程教學(xué)案例

常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程第八節(jié)一、二、

第七章二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法一、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得為m

次多項(xiàng)式.(1)若

不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為

m次待定系數(shù)多項(xiàng)式例1.的一個(gè)特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為例3.

求解定解問(wèn)題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得二、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)第一步利用歐拉公式將f(x)變形

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項(xiàng)式.第四步分析因均為

m

次實(shí)多項(xiàng)式.本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),小結(jié):對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例4.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程的特解形式:例7.求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:問(wèn)題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程

當(dāng)p

≠k

時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為第六節(jié)例1(P323)中,若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④當(dāng)干擾力的角頻率p

≈固有頻率k

時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

當(dāng)

p

=k

時(shí),非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為④若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

與k

盡量靠近,或使隨著

t

的增大,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無(wú)限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

遠(yuǎn)離固有頻率k;p

=k.自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來(lái)說(shuō),共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來(lái)說(shuō),共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方