備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第八章-§8-7-向量法求空間角

§8.7向量法求空間角第八章空間向量與立體幾何能用向量法解決異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的問(wèn)題，并能描述解決這一類(lèi)問(wèn)題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_______.2.直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝

＝______.3.二面角(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝____________.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝_______________，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(

)(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(

)×(4)二面角的平面角為θ，則兩個(gè)面的法向量的夾角也是θ.(

)×√×1.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m,n〉＝

，則直線l與平面α所成的角為A.30° B.60° C.120° D.150°√由于cos〈m，n〉＝

，所以〈m，n〉＝120°，所以直線l與平面α所成的角為30°.2.已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為因?yàn)閟1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，√3.平面α的一個(gè)法向量為m＝(1,2，－2)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(2,2,1)，則平面α與平面β所成銳二面角的正切值為√探究核心題型第二部分例1

(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為

，AB＝1，則直線AB1與CD1所成的角為A.30° B.45°

C.60°

D.90°√題型一異面直線所成的角以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線AB1與CD1所成的角為θ，又0°＜θ

≤90°，∴θ＝60°，∴直線AB1與CD1所成的角為60°.(2)(2022·杭州模擬)如圖，已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)D在

上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為

√因?yàn)椤螦OD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，連接CO，則CO⊥平面ABD，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線AD與BC所成的角為θ，用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)注意兩異面直線所成角的范圍是

，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為_(kāi)___.設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OD.因?yàn)椤鰽BC和△BCD所在平面互相垂直，所以O(shè)A，OC，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)異面直線AB和CD所成的角為θ，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，題型二直線與平面所成的角例2

(12分)(2022·全國(guó)甲卷)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝

.(1)證明：BD⊥PA；[切入點(diǎn)：由等腰梯形ABCD的性質(zhì)求BD長(zhǎng)](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.[關(guān)鍵點(diǎn)：建立空間直角坐標(biāo)系求法向量]利用空間向量求線面角的解題步驟思維升華(1)證明：AB⊥PD；取AB的中點(diǎn)M，連接PM，DM，如圖，因?yàn)镻A＝PB，DA＝DB，所以PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，PM，DM?平面PDM，所以AB⊥平面PMD，又PD?平面PMD，所以AB⊥PD.(2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值.連接CM，則CM⊥AB，于是CM2＋PM2＝16＝PC2，所以PM⊥CM，又PM⊥AB，AB∩CM＝M，MC，AB?平面ABC，所以PM⊥平面ABC，以M為原點(diǎn)，MC，MB，MP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面PAB的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)，設(shè)CE與平面PAB所成的角為θ，令2＋λ＝t，t∈[2,3]，則λ＝t－2，所以直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值為2.二面角例3

如圖①，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對(duì)稱(chēng)軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖②，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A，B兩點(diǎn))，連接OE并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使AQ∥OB.題型三(1)證明：OD⊥平面PAQ；由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長(zhǎng)為m，則O(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,6,0)，C(0,3,6)，D(3,0,6)，Q(6，m,0).∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，即OD⊥AQ，OD⊥PQ，又AQ∩PQ＝Q，AQ，PQ?平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.(2)若BE＝2AE，求二面角A－BQ－C的余弦值.設(shè)平面CBQ的法向量為n1＝(x，y，z)，令z＝1，則y＝2，x＝1，n1＝(1,2,1).易得平面ABQ的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1).又二面角A－BQ－C為銳二面角，利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2022·貴陽(yáng)模擬)如圖，AC，BD為圓柱OO′底面⊙O的兩條直徑，PA為圓柱OO′的一條母線，且AP＝AC.(1)證明：AB⊥PD；∵AC，BD為圓柱OO′底面⊙O的兩條直徑，∴∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，∵PA為圓柱OO′的一條母線，∴PA⊥AB，∵PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD，CB，過(guò)C的母線所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，設(shè)平面PDC的法向量為m＝(a，b，c)，∴m＝(0,2，－1)，設(shè)二面角D－PC－B的平面角為θ，課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；123456因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又因?yàn)锳C∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值.123456設(shè)AC∩BD＝O.因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，1234562.如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF.(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；123456由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF，EF?平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.123456123456如圖，作PH⊥EF，垂足為H.由(1)得PH⊥平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，

的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BF＝1，由(1)可得DE⊥PE.又PF＝1，EF＝2，123456設(shè)DP與平面ABFD所成的角為θ，3.(2023·泰安模擬)如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝

.(1)求證：平面ABE⊥平面ABC；123456取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接DM，MN，EN.123456∴DE∥MN，DE＝MN，∴四邊形MNED是平行四邊形，∴EN∥DM，EN＝DM，又AC⊥平面BCD，AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵DC＝DB，∴DM⊥BC，又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM?平面BCD，∴DM⊥平面ABC，∴EN⊥平面ABC，又EN?平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABC.123456(2)求二面角A－BE－C的余弦值.123456由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，以C為原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x，y軸，以過(guò)C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接CN，設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，123456123456又AC＝BC，則CN⊥AB，又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN?平面ABC，∵二面角A－BE－C為銳二面角，1234564.(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)如圖，PO是三棱錐P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn).(1)證明：OE∥平面PAC；如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接DP，DO，DE.因?yàn)镻A＝PB，所以PD⊥AB.因?yàn)镻O為三棱錐P－ABC的高，所以PO⊥平面ABC.因?yàn)锳B?平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD?平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.因?yàn)镺D?平面POD，所以AB⊥OD，又AB⊥AC，AB，OD，AC?平面ABC，所以O(shè)D∥AC.123456因?yàn)镺D?平面PAC，AC?平面PAC，所以O(shè)D∥平面PAC.因?yàn)镈，E分別為BA，BP的中點(diǎn)，所以DE∥PA.因?yàn)镈E?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC.又OD，DE?平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE?平面ODE，所以O(shè)E∥平面PAC.123456123456(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值.123456連接OA，因?yàn)镻O⊥平面ABC，OA，OB?平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，123456以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，以過(guò)A且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，123456設(shè)平面AEB的法向量為m＝(x1，y1，z1)，因?yàn)槎娼荂－AE－B為銳二面角，5.(2021·全國(guó)甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.123456綜合提升練(1)證明：BF⊥DE；因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC和CC1的中點(diǎn)，且AB＝BC＝2，123456如圖，連接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得BF⊥AB，由AB2＋BC2＝AC2，得BA⊥BC，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B1D＝m(0≤m≤2)，則D(m,0,2)，123456123456(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最??？123456易知平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n1＝(1,0,0).設(shè)平面DFE的一個(gè)法向量為n2＝(x，y，z)，令x＝3，得y＝m＋1，z＝2－m，于是平面DFE的一個(gè)法向量為n2＝(3，