《一維波動方程求解方法的探究》4400字（論文）

一維波動方程求解方法的研究目錄摘要 1引言 21.基本理論 32.波動方程定解問題的級數(shù)解法 42.1問題的提出 42.2問題的求解 42.3算例 53.波動方程變換法 64.一維線性非齊次波動方程變換法 74.1無限長弦的橫振動問題 94.2無限長梁的橫振動問題 115一維波動方程四階緊致差分法 125.1第一個(gè)時(shí)間層的離散 135.2穩(wěn)定性分析 15結(jié)束語 17參考文獻(xiàn) 18致謝 一維波動方程求解方法的研究摘要：本文在一維波動方程基本理論的基礎(chǔ)上,首先通過級數(shù)法、變換法求解一維波動方程的混合邊值問題,其次利用變換的性質(zhì)求解無限長弦和無限長梁的橫振動問題,最后對一維波動方程挖出一種有限差分法,并分析其方法的穩(wěn)定性.關(guān)鍵詞：一維波動方程;線性非齊次方程;變換;變換引言波動方程一種重要的偏微分方程,主要描述自然界中的各種的波動現(xiàn)象,包括橫波和縱波,例如聲波、光波和水波.很多物理現(xiàn)象可以用波動方程來描述,如彈性體的振動、聲波或電磁波的傳播等.這類方程在實(shí)際問題的解決中有廣泛的應(yīng)用,但是卻很難得到精確解.能求得精確的情況,其所涉及的物體的幾何形狀一般都比較簡單或特殊,如矩形尖劈、圓柱、面等.故研究該類方程的解法顯得尤為重要．已有很多文獻(xiàn)對一維波動方程的求解給出了很多方法,文獻(xiàn)[5]通過大量的例子討論拉普拉斯變換在廣義積分與微分方程中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[7]對一維齊次波動方程問題的解法進(jìn)行了討論,并用了特征線法、算子法兩種方法進(jìn)行求解.文獻(xiàn)[10]對一維波動方程的迭代反演問題提出了一種通過選取合適的源函數(shù)-單位脈沖,以反射系數(shù)為反演參數(shù)的震源函數(shù)變換法來解決波動方程的迭代反演問題.本文在相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,主要討論了一維波動方程的解法，首先從磁致伸縮材料桿的周期振動建立波動方程的混合邊值問題，用計(jì)數(shù)法求解.其次對無限長弦、無限長梁問題從變換性質(zhì)出發(fā)，討論相應(yīng)問題的變換求解法.最后通過例題來討論幾種解法的應(yīng)用.1.基本理論定義1[4]若,那么積分（1）有意義,它定義了一個(gè)從的變換,稱之為變換,記為.若,稱積分（2）為逆變換,記為.定義2[4]若函數(shù)則(3)稱為函數(shù)與的卷積.定義3[5]設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,且積分在時(shí)收斂,由此積分結(jié)果記為,稱為函數(shù)的拉普斯變換,記為,即（4）定理1[4]如果都可以進(jìn)行變換,且則,（5）性質(zhì)1[4]函數(shù)的定義式即表明了函數(shù)的積分性質(zhì),這個(gè)積分可稱為函數(shù)的‘強(qiáng)度’.由此得出推論性質(zhì)2[4]卷積的變換,其中卷積定義為2.波動方程定解問題的級數(shù)解法目前,磁致伸縮材料,特別是稀土材料由于其優(yōu)良性能,在許多工程領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.以磁致伸縮材料桿的周期振動為工程背景,從問題的數(shù)學(xué)模型出發(fā),求出了一類波動方程的混合邊值問題的級數(shù)解.2.1問題的提出作動器通常是在周期振動狀態(tài)下工作,在輸入周期電流控制下磁致伸縮彈性桿具有周期振動的輸出響應(yīng).此周期振動問題在數(shù)學(xué)上可被描述為如下的波動方程的混合邊值問題.波動方程,周期性條件,固定端條件,彈簧支撐端條件,其中為桿的軸向位移,是桿的軸向坐標(biāo),是時(shí)間,為邊界約束彈簧的剛度系數(shù),為磁致伸縮桿的橫截面積,為桿的長度,為磁致伸縮系數(shù),為為桿內(nèi)軸向周期變化的磁場強(qiáng)度,是振動周期（是是振動的圓頻率）,是材料的彈性模量,是桿的密度,記參數(shù).2.2問題的求解第一步,先引入無量綱變量替換式,,,（6）則,波動方程的混合邊值問題可寫成下列無量綱形式,（7）,（8）,（9）,（10）其中,,均為已知參數(shù).假設(shè)上述問題的解為級數(shù)形式（11）式（11）可以滿足式（7）（8）（9）,將式（11）代入邊界條件式（10）得到(12)之后利用三角級數(shù)在上正交性,可得則可確定出級數(shù)解式（11）中的系數(shù)為（13）最后,問題的解可以表示為如下形式（14）其中2.3算例輸入的激勵(lì)電流為簡諧交流電,其電流強(qiáng)度為（15）這里和分別式輸入交流電的幅值和圓頻率,桿內(nèi)軸向磁場強(qiáng)度為（16）其中是作動器通電螺旋管導(dǎo)線的匝數(shù).此時(shí),,由級數(shù)解（14）和無量鋼變量替換式（6）,可得桿內(nèi)的周期振動響應(yīng)為(17)其中系數(shù)由式（16）知桿輸出端的位移響應(yīng)為可以看出作動器輸出端的位移響應(yīng)與輸入交流電同步,也為簡諧形式.輸出端位移的振幅是隨激勵(lì)電流的幅值增加而正比地增加的,并且是非線性地依賴激勵(lì)電流頻率的.3.波動方程的變換法變換在工程技術(shù)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛,特別是在研究微分方程、積分方程、微分積分方程的定解問題、初邊值問題時(shí)發(fā)揮了十分重要的作用.利用變換的性質(zhì)求解方程時(shí)方法固定、簡單,而且根據(jù)現(xiàn)成的變換表,避免了復(fù)雜運(yùn)算,這使得在研究方程時(shí)能將復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化.例1變換求解一維波動方程定解問題解對方程和初始條件關(guān)于取變換,記利用變換的微分性質(zhì)及初始條件可得這樣就將求解原定解化為求解含有參數(shù)的常微分方程的邊值問題其解為由其邊界條件得從而方程.對上式兩端取逆變換,利用延遲性質(zhì)得4.一維線性非齊次波動方程變換法對無界區(qū)域上的偏微分方程通過變換可得到象函數(shù)的常微分方程,如果可以應(yīng)用有關(guān)常微分方程的求解方法得到象函數(shù),用逆變換即可求得原問題的解.所以,我們要介紹有關(guān)常微分方程定解問題的結(jié)論即引理.引理1函數(shù)是連續(xù)函數(shù),則常微分方程定解問題（18）的解為（19）函數(shù)為相應(yīng)問題（21）的齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,而函數(shù)為的朗斯基行列式.證明設(shè)關(guān)于問題（18）的齊次方程的通解為利用常數(shù)變易法可得問題（18）的非齊次方程的通解其中為函數(shù)的郎斯基行列式.為了求定解問題（18）的解，設(shè)則問題（18）的非齊次方程的通解可以表示為（20）代入定解條件,之后利用可以得到西面關(guān)于未知常數(shù)的線性方程組（21）由方程組（21）解得之后將代入式（20）整理可得證畢.4.1無限長弦的橫振動問題記,并記為等.用表示位移,正常數(shù)表示波的傳播速度.例2一維線性非齊次波動方程的問題為（22）分析對問題（22）及許多相似問題,通常可以利用疊加原理將其分解為兩個(gè)問題,即齊次方程和非齊次初始條件及非齊次方程和齊次初始條件,對于其次方程、非齊次初始條件的情況導(dǎo)出達(dá)朗貝爾公式；對非齊次方程和其次方程初始條件問題的情況通常是用其次化原理,將其化作相似于齊次方程和非齊次初始條件的情況,之后再利用達(dá)朗貝爾公式求解，也可使用其他方法，比如變換方法.文獻(xiàn)[7-8]利用變換法處理實(shí)際問題;本文將考慮用變換法和常微分方程的相關(guān)結(jié)論給出問題（22）和其他類似問題的分析解.解利用變換求解問題（22）,記對問題（20）關(guān)于變量作變換,得到下面的二階線性非齊次常微分方程定解問題（23）可以看到,相應(yīng)問題（23）得齊次方程得兩個(gè)線性無關(guān)的解為計(jì)算得它們的朗斯基行列式為由式（19）得問題（23）的解為（24）利用卷積定理有以下分別計(jì)算上式各項(xiàng)并由逆變換的定義直接計(jì)算得利用定義2及函數(shù)的性質(zhì)有再計(jì)算第二項(xiàng),為此先計(jì)算函數(shù)的逆變換再利用定義2得為方便可以記由積分,可得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)所以類似地有這樣給出問題（22）的分析解為.4.2無限長梁橫振動問題例3無限長梁的橫振動方程的問題表示為（25）解對于問題（25）關(guān)于變量作變換,得到下面的二階線性非齊次常微分方程定解問題（26）相對于問題（26）的齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解為由（19）可得（26）的解為類似問題（22）的分析解可以推導(dǎo)出5.一維波動方程四階緊致差分法對于一維波動方程的空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用四階緊致差分近似公式,對時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)則利用中心差分格式的階段誤差余項(xiàng)來修正，從而構(gòu)造出時(shí)間和空間都具有四階精度的緊致差分格式，最后利用分析法分析緊致差分格式的穩(wěn)定性.考慮下列一個(gè)一維波動方程的初邊值為題其中為未知函數(shù)，為波動系數(shù)，為非齊次項(xiàng)，為已知函數(shù)，且充分光滑，取等間距網(wǎng)格步長，空間網(wǎng)格步長用表示，時(shí)間步長用表示，取網(wǎng)格點(diǎn)為5.1第一個(gè)時(shí)間層的離散利用泰勒展開公式可以得到的一個(gè)時(shí)間層的計(jì)算格式,用泰勒展開公式將在處展開得由已知條件可得即為第一個(gè)時(shí)間層上的離散格式,由推到過程可知格式具有四階精度.例4計(jì)算的值.解對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)采用四階格式進(jìn)行計(jì)算,則有（30）對于空間邊界節(jié)點(diǎn)的處理,由（27）、（29）式可得（31）(32)和分別表示和在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù).四階緊致差分格式可以表示為（33)利用截?cái)嗾`差余項(xiàng)修正的方法將(33)中的時(shí)間項(xiàng)精度提高到四階,可寫為（34）上式兩邊同乘以分母后,把高階項(xiàng)舍掉,可得(35)利用原方程可得（36）的離散可以采用如下形式（37）則（35）式可以改為（38）略去截?cái)嗾`差項(xiàng),令,整理可得（39）（39）式即為求解一維波動方程（27）的四階緊致差分格式,其截?cái)嗾`差為,即格式時(shí)間和空間具有整體四階精度.5.2穩(wěn)定性分析分析格式（39）的穩(wěn)定性.假設(shè)假設(shè)源項(xiàng)精確無誤差,令其中,為振幅,為相位角,為虛數(shù)單位.引理2實(shí)系數(shù)一元二次方程的根按其摸不大于1的充要條件是.格式（39）計(jì)算過程中用到了的計(jì)算,是利用（30）式完成的,因此誤差分析必須考慮其影響,從而對于（30）式有對（40）式進(jìn)行化簡整理可得對于格式（39）,令,,將其寫為矩陣形式從而可得格式（39）的誤差增長矩陣為其中令則矩陣的特征方程為其中.因此,,且,進(jìn)而即,從而穩(wěn)定條件為,即格式為條件穩(wěn)定的.文獻(xiàn)[9]中時(shí)間和空間都是四階緊致格式，其穩(wěn)定性條件為因此上述格式比文獻(xiàn)[9]中同精度格式的穩(wěn)定性更好.結(jié)束語本文對一維波動方程的幾種解法進(jìn)行了研究,并總結(jié)了一些解一維波動方程的解法：混合邊值的級數(shù)解法、變換法求解、變換法、初邊值問題的數(shù)值解法.混合邊值的級數(shù)解法是以磁致伸縮材料桿的周期振動為工程背景,從問題的數(shù)學(xué)模型方面出發(fā),求出一類波動方程的混合邊值問題的級數(shù)解,變換法利用一些重要性質(zhì),可以更方便的求解一些偏微分方程的定解問題,變換法將一維無界區(qū)域上線性非齊次波動方程化作象函數(shù)的常微分方程,之后利用二階線性非齊次常微分方程定解問題的一些結(jié)論和變換的相關(guān)性質(zhì)來求解一維線性非齊次波動方程,初邊值問題的數(shù)值解法首先用泰勒級數(shù)展開原方程的方法推導(dǎo)出第一個(gè)時(shí)間層未知函數(shù)值得四階緊致差分格式,之后用四階緊致差分公式近似空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)推導(dǎo)出第二個(gè)時(shí)間層之后的未知函數(shù)的4階緊致差分格式,之后利用方法分析所提格式的穩(wěn)定性.參考文獻(xiàn)[1]陸靜穎,葛永斌.數(shù)值求解一維波動方程的四階緊致差分方法[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2020,41(01):17-22.[2]黃華艷,尚新春,金明昱.一類波動方程的混合邊值問題的級數(shù)解[J].重慶工學(xué)