第3章動(dòng)力學(xué)有限元計(jì)算已排課件復(fù)習(xí)課程

第13章動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法在實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)中，常作用于結(jié)構(gòu)上的載荷是動(dòng)載荷，即載荷隨時(shí)間t相關(guān)，這時(shí)，結(jié)構(gòu)上相應(yīng)的位移，應(yīng)力和應(yīng)變不僅隨空間位置變化，還隨時(shí)間t而變化。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)彈性連續(xù)體的振動(dòng)問(wèn)題，離散為一個(gè)以有限個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題。其基本原理和分析方法類同靜力學(xué)的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不同的是，應(yīng)用振動(dòng)理論建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，在單元分析中除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣；在整體分析中，不僅求動(dòng)力響應(yīng)，還有求解特征值問(wèn)題（結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率及相應(yīng)的振動(dòng)型（或模態(tài)））1從靜力學(xué)有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限個(gè)單元，建立整體剛度平衡方程：關(guān)于靜力問(wèn)題和動(dòng)力問(wèn)題的區(qū)別，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動(dòng)力學(xué)問(wèn)題只要在外力中計(jì)入慣性力后，便可按靜力平衡處理?？紤]到動(dòng)力問(wèn)題中的載荷和位移均為時(shí)間的函數(shù)，上式可記為：由于動(dòng)力載荷可為作用于彈性體上的動(dòng)載荷，也可為彈性體的慣性力，也可為與速度相關(guān)的阻尼力，即：據(jù)慣性力定義表示為：如阻尼力正比與速度，則動(dòng)力學(xué)基本方程：13.1振動(dòng)基本方程的建立21、單元?jiǎng)偠汝嚾稳∫粋€(gè)單元，單元節(jié)點(diǎn)位移為，節(jié)點(diǎn)速度和加速度為：，則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)的位移[N]為形函數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)，為X、Y、Z的函數(shù)，它與靜力分析中一樣；由于[N]與時(shí)間無(wú)關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍與靜力分析完全相同：則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：13.2單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算32、單元質(zhì)量陣設(shè)單元節(jié)點(diǎn)加速度為，則單元內(nèi)任一點(diǎn)的加速度：設(shè)單元的質(zhì)量密度為，則單位體積中的慣性力為：負(fù)號(hào)表示慣性力與加速度相反。顯然，整個(gè)單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個(gè)作用于單元上的慣性力移置到單元節(jié)點(diǎn)上，通常有兩種方法：1）虛功原理法——求得一致質(zhì)量矩陣2）直接分配法——即按重心不變?cè)瓌t分配，求得集中質(zhì)量矩。4平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為：?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣6一般而言，一致質(zhì)量較準(zhǔn)確地反映了單元內(nèi)質(zhì)量分布的實(shí)際情況，集中質(zhì)量精度不如前者，但不存在耦合，使計(jì)算大大簡(jiǎn)化，是工程中常用的方法。2）直接分配法將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變?cè)瓌t分配至單元節(jié)點(diǎn)上，所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒(méi)有耦合項(xiàng)的對(duì)角矩陣。如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為W/g，則平均分配至三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為：73、單元阻尼陣單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為，則單位體積產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為：利用虛功原理同理可得：8一旦單元?jiǎng)傟嚒①|(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動(dòng)力學(xué)方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣等可類似靜力分析的剛度矩陣組裝得到：9計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的主要內(nèi)容，也是分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)和其它動(dòng)力特性問(wèn)題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型時(shí)，直接用無(wú)阻尼的自由振動(dòng)方程求解。即因任意彈性體的自由振動(dòng)都可分解為一系列的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的迭加：即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)位移為為節(jié)點(diǎn)位移振幅向量（即振型），與時(shí)間t無(wú)關(guān)的位移幅值；為與該振型對(duì)應(yīng)的頻率。13.3固有頻率和振型計(jì)算101、特征方程將節(jié)點(diǎn)位移代入動(dòng)力方程，化簡(jiǎn)得廣義特征值問(wèn)題：由于結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振幅不可能全為零，則稱為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型歸結(jié)為特征值問(wèn)題。設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的自由度為n，則特征方程為的n次代數(shù)方程，其n個(gè)根稱為特征值，記為它們的平方根稱為系統(tǒng)的固有頻率，即將這些固有頻率從小到大依次排列為最低的頻率稱為基頻，它是所有頻率中最重要的一個(gè)。11這個(gè)過(guò)程稱之為正規(guī)化利用正規(guī)化，可得2、特征向量對(duì)應(yīng)每個(gè)固有頻率，可有方程由此求得一組節(jié)點(diǎn)振幅不全為0的向量稱為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。由于上述方程為齊次方程，顯然解不唯一，也就是說(shuō)：振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；或一個(gè)特征值可對(duì)應(yīng)有多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。實(shí)際中，常選特征向量使12則對(duì)應(yīng)所有的特征值問(wèn)題:3、特征向量的性質(zhì)正交性：任意兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。即設(shè)則有若將所有的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組裝成特征向量矩陣，即13考慮到正規(guī)化:可進(jìn)一步記為：可簡(jiǎn)記為矩陣形式：141、冪迭代法特點(diǎn)：用于計(jì)算最大（主）特征值十分有效。這里[D]稱為動(dòng)力矩陣，也即一個(gè)變換矩陣，它可將任一特征向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積.13.4特征值問(wèn)題的解法結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計(jì)算歸結(jié)為求的特征值和特征向量。由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為n個(gè)自由度，n一般相當(dāng)大，故n次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等。15由于任兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，則n個(gè)特征向量可組成特征向量空間中的一個(gè)特征向量基，其特征向量空間中的任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量：設(shè)這個(gè)向量被[D]變換后形成一新的特征向量為：類推，可得：16由于所有的特征值排列為：即存在考慮到問(wèn)題為齊次方程，特征向量前的系數(shù)可以略去，則上式在p趨近無(wú)窮時(shí)，其第一項(xiàng)就趨近實(shí)際計(jì)算，只需迭代有限次即可得精確解。17冪法迭代格式1、選初始特征向量，如單位向量2、構(gòu)造新特征向量，并歸一化3、計(jì)算特征值近似值4、計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂若需計(jì)算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動(dòng)力矩陣182、逆迭代法逆迭代法也稱為反冪法，類似于冪法，特征值問(wèn)題改寫(xiě)為：其具體迭代格式為：1）選初始向量如單位向量2）計(jì)算中間向量3）求解線性方程組4）歸一化5）計(jì)算特征值近似值6）計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂19對(duì)于受迫振動(dòng)，基本方程為求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法1、振型迭加法振型迭加法的基本思想是利用結(jié)構(gòu)固有振型的正交性，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動(dòng)分解為一組相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)（即解耦），從而求得結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。設(shè)結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的各階固有頻率和相應(yīng)的固有振型為：則結(jié)構(gòu)任意時(shí)刻的受迫振動(dòng)產(chǎn)生的位移可認(rèn)為是n個(gè)固有振型為基的線性組合，即為組合系數(shù)，是時(shí)間t的函數(shù)，也稱為振形坐標(biāo)13.5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算20廣義質(zhì)量陣廣義阻尼陣廣義剛度陣廣義激振力上式可記為這里代入動(dòng)力學(xué)方程：左乘21據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對(duì)角矩陣，即表示方程各個(gè)變量之間是沒(méi)有耦合項(xiàng)的，從而動(dòng)力方程轉(zhuǎn)化為n個(gè)相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)的動(dòng)力方程，分別求解這n個(gè)方程可求得從而求得動(dòng)力方程的位移解:進(jìn)而可求得速度、加速度。222、逐次積分法基本思想：將時(shí)間t離散為n個(gè)區(qū)間，并假設(shè)在一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)為線性變化，由此，對(duì)加速度積分，可得速度和位移，一旦所有區(qū)間計(jì)算完畢，則求出結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。假設(shè)在至t的很小時(shí)間間隔內(nèi)，加速度線性變化：對(duì)積分，并引入初始條件待定積分常數(shù)將代入t時(shí)刻的動(dòng)力方程并整理后即可逐步求解各時(shí)刻的加速度，然后求出各時(shí)刻的速度和位移。23第1部分：優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)梯度、Hesse矩陣等極值問(wèn)題的基本概念及其幾何描述(2)一維搜索方法確定搜索區(qū)間的進(jìn)退法黃金分割法二次插值法課程總結(jié)24(3)無(wú)約束優(yōu)化方法解析數(shù)值解法(梯度法、牛頓法、變尺度法)直接數(shù)值解法(共軛方向法，Powll法)(4)約束優(yōu)化方法約束極值問(wèn)題的最優(yōu)解條件(Kuhn-Tucker條件)求解約束極值問(wèn)題的基本策略可行方向應(yīng)滿足兩個(gè)條件:(1)可行;(2)下降。罰函數(shù)法內(nèi)點(diǎn)法，外點(diǎn)法。25(1)有限元建模的基本方法有限元建模的直接剛度法用能量原理（虛功原理）推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠?2)桿系有限元分析桁架結(jié)構(gòu)的有限元分析平面梁?jiǎn)卧矫鏃U系結(jié)構(gòu)的整體分析第2部分：有限元分析26(3)固體力