工程力學(xué) 課件 5扭轉(zhuǎn)

§5-1扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例§5-2扭矩和扭矩圖§5-3純剪切和剪切虎克定律§5-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形第五章扭轉(zhuǎn)

§5-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度條件工程構(gòu)件分類:板塊體桿桿的基本變形:軸向拉壓彎曲xyz扭轉(zhuǎn)概念5.1概念及實(shí)例扭轉(zhuǎn)變形是由大小相等、方向相反、作用面垂直于桿軸的兩個(gè)力偶引起的。表現(xiàn)為桿件的任意兩個(gè)橫截面繞桿軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。工程上常把以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件叫做軸。研究對(duì)象：圓截面直桿受力特點(diǎn)：作用在垂直于軸線的不同平面內(nèi)的外力偶，且滿足平衡方程:

SMx=0變形特征：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角fAB圓軸各橫截面將繞其軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。xyz0M0M變形前變形后fAB汽車轉(zhuǎn)向軸傳動(dòng)軸5.1概念及實(shí)例5.1概念及實(shí)例扭轉(zhuǎn)變形5.1概念及實(shí)例工程實(shí)例汽車傳動(dòng)軸汽車方向盤軸機(jī)床的傳動(dòng)軸

5.1概念及實(shí)例工程實(shí)例一、計(jì)算外力偶矩的方法已知：輸出功率－P

（KW或馬力）軸轉(zhuǎn)速－n（r/min）求：力偶矩Te(N.m或KN.m)外力偶所作功率：1馬力=735.5W5.2扭矩和扭矩圖二、扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力及扭矩圖

桿件拉壓變形軸力軸力圖

軸的扭轉(zhuǎn)變形

扭矩扭矩圖

梁的彎曲變形

剪力彎矩剪力圖彎矩圖5.2扭矩和扭矩圖1、扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),反之為負(fù)(-)扭矩：是橫截面上的內(nèi)力偶。扭矩—由截面法求得。TeTeTex截面法:求扭矩扭矩:構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的扭矩，記作T。(1)截取(2)取代(設(shè)正)

(3)平衡

T截面法求扭矩步驟：由平衡方程：

取右邊部分T

和T

是同一截面上的內(nèi)力，應(yīng)當(dāng)有相同的大小和正負(fù)。M0M0假想切面取左邊部分平衡外力偶

M0

扭矩

T扭矩外力偶

平衡T

M0以平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示截面的位置，以垂直于x軸的坐標(biāo)表示截面扭矩值，即得到扭矩圖。

2010畫扭矩圖：xoCABABCAB段：BC段：5kN5kN3kNFN

圖+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向簡(jiǎn)捷畫法1：2010ABC在左端取參考正向，按載荷大小畫水平線；遇集中載荷作用則內(nèi)力相應(yīng)增減；至右端回到零。FN圖（軸力）按右手法確定+向xoCABT圖截面處扭矩的大小:等于截面任一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和。外力偶矩符號(hào)規(guī)定:規(guī)定外力偶矩遠(yuǎn)離截面為正，指向截面為負(fù)。其中的截面是我們?yōu)榍筝S的內(nèi)所畫的假想截面。簡(jiǎn)捷畫法2:不取分離體畫扭矩圖不取分離體畫扭矩圖4.78KN.m6.37KN.m

–9.56KN.mTe2=4.78KN.mTe3=4.78KN.mTe1=15.9KN.mTe4=6.37KN.m112233nAB

CDTe2

Te3

Te1

Te4T1=–Te2=–4.78KN.m;T2=–Te2–Te3=–9.56KN.m;T3=–Te2–Te3+Te1

=6.37KN.m=Te4解：由功率－轉(zhuǎn)速關(guān)系計(jì)算外力偶矩例1某傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速n=700r/min，主動(dòng)輪的輸入功率為PA=400KW，從動(dòng)輪B、C和D的輸出功率分別為PB=PC=120KW，PD=160KW。試作軸的扭矩圖。

BMBMCCMAMDAD最大扭矩在AB段，且求各截面內(nèi)力：BC段CA段AD段BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT/kN.m1.643.282.18T圖簡(jiǎn)捷畫法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.mT

圖按右手法確定+向1.64討論：試作扭矩圖2010T圖按右手法確定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010T

圖按右手法確定+向ABCD20作扭矩圖ABCD200N.m300N.m100N.m100N.m11332244100N.m

––100N.m200N.m100N.m薄壁圓筒:壁厚(r0:為平均半徑)一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對(duì)外力偶Te

。5.3純剪切和剪切虎克定律

①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。提出剛性平面假定。2.實(shí)驗(yàn)后：①橫截面上沒有正應(yīng)力的作用。在平行于軸線的縱截面也沒有正應(yīng)力的作用。②同一圓周各點(diǎn)剪應(yīng)力相等，都垂直于半徑方向。③同一半徑上各點(diǎn)剪應(yīng)力大小相等。橫截面和縱截面上只有剪應(yīng)力，沒有正應(yīng)力。橫截面上的剪應(yīng)力大小相等，垂直于半徑方向。3.結(jié)論：二、剪應(yīng)力互等定理：

上式稱為剪應(yīng)力互等定理。該定理表明：在相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線，其方向共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy

′

′tz

三、薄壁圓筒剪應(yīng)力

大小：

A0：平均半徑所作圓的面積。對(duì)于薄壁圓筒可以用半徑代替平均半徑。

單元體的上下左右四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種情況稱為純剪切。acdb

′

′

單元體直角方向的改變量，稱為角應(yīng)變。正應(yīng)力

拉為正壓為負(fù)1、正應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)則acdb

′

′

2、剪應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)則使微元或其局部順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。剪應(yīng)力四、剪切虎克定律：

與

的關(guān)系：

T=m

剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。

式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比存在下列關(guān)系：只要知道任意兩個(gè)，可推算出第三個(gè)量。一、外力偶矩的求法；四、三個(gè)重要的概念：1）剪應(yīng)力互等定理；

2）純剪切；

3）剪切虎克定律。三、扭矩圖的畫法；二、扭矩的求法：1）截面法；

2）不取分離體的方法。本部分的小結(jié)變形體靜力學(xué)的基本研究思路：靜力平衡條件變形幾何條件材料物理關(guān)系++1.變形幾何條件剛性平面假設(shè)：變形前后，扭轉(zhuǎn)圓軸各個(gè)橫截面仍然保持為平面，二平面間距離不變，其半徑仍然保持為直線且半徑大小不變。變形前變形后一、

圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力公式5.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形取長為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉(zhuǎn)動(dòng)角d

，原來的矩形ABCD變成為菱形ABC

D

。1.變形幾何條件g是微元的直角改變量，即半徑r各處的剪應(yīng)變。因?yàn)镃C

=gdx=rd

,故有：d

/dx

,稱為單位扭轉(zhuǎn)角。對(duì)半徑為r的其它各處，可作類似的分析。dxOCDABrrC

D

d

d

gTg1.變形幾何條件對(duì)半徑為r的其它各處，作類似的分析。剪應(yīng)變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉(zhuǎn)角d

/dx成正比。即得變形幾何條件為：--(1)同樣有：CC

=gdx=rd

dxOCDABrrC

D

d

Tgrgr2.物理關(guān)系—材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在線性彈性范圍內(nèi)，剪切虎克定律為：G是t-g曲線的斜率，如圖，稱為剪切彈性模量。--(2)半徑為r處的剪應(yīng)力則為：

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)無正應(yīng)力1GOtg1Gts材料的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間有與拉壓類似的關(guān)系。討論：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分布圓軸幾何及T給定，d

/dx為常數(shù)；G是材料常數(shù)。--(3)dxOCDABrrC

D

d

TgrgrtrTotrrtmax最大剪應(yīng)力在圓軸表面處。截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到軸心的距離r成正比；剪應(yīng)變?cè)贏BCD面內(nèi)，故剪應(yīng)力與半徑垂直，指向由截面扭矩方向確定。3.力的平衡關(guān)系應(yīng)力是內(nèi)力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上內(nèi)力對(duì)軸心之矩的和應(yīng)與截面扭矩相等。取微面積如圖，有：--(3)利用(3)式，得到：trTotrrtmaxdA3.力的平衡關(guān)系令：最后得到：--(4)Ir稱為截面對(duì)圓心的極慣性矩，只與截面幾何相關(guān)。trTotrrtmaxtmax在圓軸表面處，且W=I/r，稱為抗扭截面模量。pr求Ir，Wp?二、圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量W=I/rprdDo討論內(nèi)徑d，外徑D的空心圓截面，取微面積dA=2prdr,則有：極慣性矩:ò=AdAI2rrrdrdA極慣性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpr-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：16/)1()2//(43apr-==DDIWpa=d/D圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量dDo空心圓軸實(shí)心圓軸Do極慣性矩r=)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-=DWpa=d/D=0324DIpr=163DWpp=研究思路：變形幾何條件dx---(1)d/jrg=+材料物理關(guān)系dxdGGjrgtrr==---(2)靜力平衡關(guān)系+ATdAdxdG=ò2rj---(3)圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式：rrrtIT

=---(4)且由(3)可知單位扭轉(zhuǎn)角為：rjGITdxd//=---(5)結(jié)論：1）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上只有剪應(yīng)力，剪應(yīng)力在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉(zhuǎn)向確定。2）截面任一處截面外圓周處（表面）

tr=T

r/Ir

tmax=T/Wp

dDo空心圓軸實(shí)心圓軸Do

Ttrtmax

Ttrtmax討論：2）下列圓軸扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力分布圖是否正確?1）已知二軸長度及所受外力矩完全相同。若二軸截面尺寸不同，其扭矩圖相同否?

若二軸材料不同、截面尺寸相同，各段應(yīng)力是否相同？變形是否相同？相同相同不同oToToToT前節(jié)回顧（圓軸扭轉(zhuǎn)問題）剪應(yīng)力

t在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉(zhuǎn)向確定。單位扭轉(zhuǎn)角為：d

/dx=T/GIr內(nèi)力是扭矩T

最大剪應(yīng)力在表面處(r=r)，且tmax=T/WpoTrrtIT

r=極慣性矩抗扭截面模量324DIpr=163DWTp=實(shí)心軸r=)1(3244ap-DI)1(1643ap-=DWT空心軸三、圓軸的扭轉(zhuǎn)變形單位扭轉(zhuǎn)角為：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

：B截面相對(duì)于A截面的扭轉(zhuǎn)角。若AB=L，則ABGI稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。r若扭矩、材料，截面尺寸改變，則需分段求解。dxOCDABrC

D

d

d

gTgT

ABLBAgdxGITdLABòò==0rj

若AB間扭矩不變，材料不變，截面尺寸不變，則T/GIr=const.,故有：r

GILTAB/=例2.空心圓軸如圖，已知MA=150N.m，MB=50N.m

MC=100N.m，材料G=80Gpa，試求（1）軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力；（2）C截面相對(duì)A截面的扭轉(zhuǎn)角。解:1)畫扭矩圖。2)計(jì)算各段應(yīng)力:AB段：N-mm-MPa單位制

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m++2)計(jì)算各段應(yīng)力:BC段：故tmax=86.7Mpa

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m3)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角

ACradGIlT2GIT1BCBCABlABAC183.0=+=rrjN-mm-MPa單位制++拉壓

ss/n(塑)

[

]=

sb/n(脆)max

ts/n(塑)t

[t]=

tb/n(脆)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件max[t]=0.5~0.6[s](鋼材，塑性)[t]與[s]之關(guān)系：

[t]=0.8~1.0[s](鑄鐵，脆性)1.強(qiáng)度條件][/maxss￡=AFN][/maxtt￡=pWT5.5圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件軸AB間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：

AB=TL/GIr扭轉(zhuǎn)圓軸必須滿足強(qiáng)度條件，以保證不破壞；另一方面，軸類零件若變形過大，則不能正常工作，即還須滿足剛度條件。單位長度的扭轉(zhuǎn)角為：q=

AB/L=T/GIr扭轉(zhuǎn)剛度條件則為：qmax[q]---許用扭轉(zhuǎn)角機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)建議：[q]=0.25~0.5

/m;精度高的軸；

[q]=0.5~1.0

/m;一般傳動(dòng)軸。2.剛度條件單位統(tǒng)一為

/m，則有：（弧度轉(zhuǎn)換為角度）][180maxqpqr￡

=oGIT3.扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計(jì)二者均須滿足扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計(jì)計(jì)算：強(qiáng)度、剛度校核；確定許用載荷（扭矩）；設(shè)計(jì)軸的幾何尺寸。強(qiáng)度條件：][/maxtt￡=pWT剛度條件：][180maxqpqr￡

=oGIT極慣性矩324DIpr=抗扭截面模量163DWpp=解:1)畫扭矩圖。例3.實(shí)心圓軸如圖，已知MB=MC=1.64kN.m，

MD=2.18kN.m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1

/m，試設(shè)計(jì)軸的直徑。最大扭矩在AB段，且BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.m1.642)按強(qiáng)度設(shè)計(jì)，有：][16/3maxtpt￡==DTWTpN-m-Pa單位制2)按剛度設(shè)計(jì)，有：同時(shí)滿足強(qiáng)度與剛度要求，則應(yīng)取取大者][18032/1804maxqpppqr￡

=

=ooDGTGIT則有：42max][18032qpGTD°

342911080180328032=p

N-m-Pa單位制)(109.693m-

=mm70=討論：若取a=0.5，試設(shè)計(jì)空心圓軸尺寸。故：=76.4mm34max])[1(16tap-3TD3641040)5.01(328016

-

=p按剛度設(shè)計(jì)，有：][18032/)1(44maxqpapq￡

-=oDGTmax則有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032

-

3apD扭矩圖不變，按強(qiáng)度設(shè)計(jì)，有：][maxmaxtt￡==TT16/)1(43maxap-DWp)5.0(a=1/)1()2/(])2/()2/([2222agpgapp-=-=LDLDD實(shí)心軸空心軸重量比：重量減輕25%，尺寸略大一點(diǎn)。例4已知：P＝7.5kW,n=100r/min,材料的許用剪應(yīng)力為[τ]=40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比

=0.5。二軸長度相同。求:實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。解:計(jì)算扭矩實(shí)心軸空心軸d2＝0.5×D2=23mm長度相同的情形下,二軸的重量之比即為橫截面面積之比所以同等條件下，空心軸比實(shí)心軸節(jié)省材料、重量輕。[例5]

某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率P1=500馬力，輸出功率分別P2=200馬力及P3=300馬力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？解：扭矩如圖，由強(qiáng)度條

件得：

500400T1T3T2ACBTx–7.024–4.21(kN.m)–由剛度條件得：500400T1T3T2ACBTx–7.024–4.21(kNm)–綜上：②全軸選同一直徑時(shí)剪切彈性模量的直徑d.例6一傳動(dòng)軸如圖所示,從動(dòng)輪的輸入功率的輸出功率分別為已知軸的許用剪應(yīng)力單位長度許用扭轉(zhuǎn)角G=80GPa,試按強(qiáng)度條件主動(dòng)輪其轉(zhuǎn)速為每分鐘AB、C208，和剛度條件設(shè)計(jì)軸