高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練（三）

2023高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化專題訓(xùn)練（三）

解析幾何

直線與圓

1.（多選題）已知直線/的一個(gè)方向向量為〃且/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（L—2）,則下列結(jié)論

中正確的是（）

A./的傾斜角等于120。B./與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（竿,0）

C./與直線y=JJx+2垂直D./與直線丁二一氐+2平行

2.已知sA/C頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4（0,5）,5（1,-2）,C（-7,4）.

（1）求過(guò)點(diǎn)。且與直線48平行的直線方程，

（2）若點(diǎn)。（1,加2—2加+5）,當(dāng)實(shí)數(shù)〃?取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，求直線AD傾斜角的取值范圍.

3.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)點(diǎn)A（-2,3）,8（0M）,若直線A8關(guān)于）'="對(duì)稱的直線與圓

（x+3f+（y+2）2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

4.(2022?全國(guó)?高考真題)寫出與圓/+,2=］和。一3)2+(),_4)2=16都相切的一條直線的方

程.

5.(2022?全國(guó)?高考真題(文))設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在0M上,

則OM的方程為.

圓錐曲線

基礎(chǔ)知識(shí)

橢圓的基本量

1.如圖(1)，過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦4B=,稱為通徑.

2.如圖(2),尸為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)i，&為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2尸1尸死=仇則△尸1P3

的面積為.

3.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為.

4.設(shè)尸，4,B是橢圓上不同的三點(diǎn)，其中4,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線附與尸8的斜

率之積為定值.

等

。/

zb24

一

?n2a-C-7

la

直線與橢圓

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于M或y)的一元方程：加+法

+c=0(或〃產(chǎn)+切+。=0).

(1)若可考慮一元二次方程的判別式有：

①4>0亢直線與圓錐曲線;

②4=0亢直線與圓錐曲線；

③4<0亢直線與圓錐曲線.

2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)

設(shè)斜率為楸#0)的直線，與圓錐曲線C相交于AS，》),8(X2，")兩點(diǎn)，則人8=.

1.(1)①相交②相切③相嘲

2.一+/如一乃|=71+￡\yi—yi\

雙曲線的基本量運(yùn)算

1.過(guò)雙曲線的?個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為.

2.如圖，P為雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)i，尸2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則△RPB

的面積為.

3.焦點(diǎn)到漸近線的距離為.

4.設(shè)P,A,6是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線PA與

PB的斜率之積為.

1252b27,2

LVZ—o3.b4.了

tan-^-

拋物線

設(shè)A8是過(guò)拋物線V=2px(p>0)焦點(diǎn)尸的弦，若A(xi，yi),B(xz，”)，貝U：

(l)xiX2=,，yiy2=~p2;

⑵A'―黑a'BF=\-cosa'弦長(zhǎng)48=汨+及+"=肅*(。為弦力3的傾斜

角)：

⑶_L+-L=2.

⑼FA十PSp'

(4)以弦A3為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

(5)以A尸或B尸為直徑的圓與y軸相切；

(6)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線.匕

直線與圓錐曲線

1.已知橢圓C4+￡=1（曲6>0）上任意一點(diǎn)M（除短軸端點(diǎn)外）與短軸兩端點(diǎn)B|,B2

的連線分別與k軸交于P,Q兩點(diǎn)，。為橢圓的中心，則OPOQ=42.

J2

2.已知橢圓C：，+$=l（a>b>0）上任意一點(diǎn)M（除短軸端點(diǎn)外）與短軸兩端點(diǎn)歷，Bi

的連線的斜率分別為酊依,則改必=一，

3.過(guò)拋物線）2=2pMp>0）的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),且A（xi，yt）,B（x2,

>2），則的及=彳，yty2=-p2.

4.過(guò)拋物線產(chǎn)=2pxS>0）的頂點(diǎn)0作兩條互相垂直的直線交拋物線于4,3兩點(diǎn)，則直

線過(guò)定點(diǎn)（2p,0）.

典型例題

1.已知4,4分別是橢圓。：1+與=15>力>0）的左、右頂點(diǎn)，民尸分別是C的上頂點(diǎn)

a~b~

和左焦點(diǎn).點(diǎn)P在C上，滿足P/FA'AAB〃OP,|E4[=2—應(yīng).

（1）求。的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)/作直線/（與x軸不重合）交。于M,N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM,AN的斜率分別為

求證：上他為定值.

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為欠軸，y軸，且過(guò)4(-2,0),用1,4兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，直線，交椅01c于P,Q(不與點(diǎn)4重合)兩點(diǎn)，記直線伸，AQ,I的斜率分別為

3

h,h,k,若h檢產(chǎn)-工,證明：三角形AG?的周長(zhǎng)為定值，并求出定值

3.已知橢圓c：1+￡=i(a>b>0)的離心率6=孝；上頂點(diǎn)為4,右頂點(diǎn)為8,

直線A3與圓0:丁+)2=］相切

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)與圓O相切的直線/與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)，。為弦MN的中點(diǎn)，O為坐

標(biāo)原點(diǎn).求IOQHMN|的取值范圍.

4.（2022?全國(guó)?高考真題（文））已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)

A（O,-2）,小看—1）兩點(diǎn).

⑴求上的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)尸（一2）的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過(guò)"且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,

點(diǎn)H滿足M7=777.證明：直線"N過(guò)定點(diǎn).

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)〃6=三三的部分圖像大致為（）

2—2

y

A.

2.已知與占分別是函數(shù)/(x)=e'+x—2和g(x)=lnx+x—2的零點(diǎn)，則()

r,

A.x{+x2=2B.e+Inx,=2

c.2專D.xf+考<3

3.已知函數(shù)f(x)=d-3x2,若過(guò)點(diǎn)尸(2")可以作出三條直線與曲線/1)相切,

則/的取值范圍是

A.(—2,—1)B.(-3,-2)

C.(-4,—3)D.(-5,-4)

4.

已知實(shí)數(shù)m,n漕足：m?eB,=(n-l)ln(n-l)?f(r>0),則J",的般大例為

/n(n-l)"--

5.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)無(wú)>0時(shí)，/'(r)>2f(力，月J(3)=0,

則不等式>0的解集為.

6.設(shè)函數(shù)〃x)=Hnx,g(x)==.

(1)若直線y=；x+〃是曲線八x)的一條切線，求〃的值；

(2)證明：①當(dāng)Ovxvl時(shí)，g(x>/(x)>gx(x-l)；

2

②Vx>0,g(x)—/(x)v-.(e是自然對(duì)數(shù)底數(shù)，e?2.718)

7.已知函數(shù)/(x)=e*T.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=0*'(x)-olnx有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

三角函數(shù)

1.通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金

分割率的值也可以用2sinl8。表示，即叵l=2sinl8。.記m=2sinl8。，則

2

Vl+cos36°

(,n2-2)sinl44°-(

A-—5/2B.-2c.V2D.V5-1

明確“化歸也是推理”的思想

文/劉蔣巍

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，給出的條件有時(shí)會(huì)在量、形關(guān)系上顯得較為雜亂，無(wú)從下手。

這時(shí)，需要根據(jù)待解問(wèn)題的表現(xiàn)形式，對(duì)所給的量、形關(guān)系做和諧統(tǒng)一的化歸。

即化歸應(yīng)朝著使待解問(wèn)題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形、關(guān)系方面趨于統(tǒng)一

的方向進(jìn)行，使問(wèn)題的條件與結(jié)論表現(xiàn)得更勻稱和恰當(dāng)。

【例題】在AABC中，A=2C,求證：b/3<a—c<b/2.

分析條件是角的關(guān)系，結(jié)論是邊的關(guān)系，由統(tǒng)一性原則及正弦定理，將結(jié)

論與條件統(tǒng)一起來(lái)，轉(zhuǎn)化為sinB/3<sinA—sinC<sinB/2?進(jìn)一步將角統(tǒng)一起來(lái),

由A=2C,B=7c—(A+C)=n—3Cf結(jié)論進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于單變?cè)狢的不等

K；sin3C/3<sin2C—sinC<sin3C/2,將之再簡(jiǎn)單化為兩個(gè)更為具體的不等式，即

sin3C/3<sin2C—sinC,且sin2C—sinCVsin3c/2.從而，問(wèn)題就化歸為如下兩

個(gè)表現(xiàn)形式上較統(tǒng)一的問(wèn)題：

(1)在AABC中，A=2C,求證sin3C<3sin2C_3sinC.

(2)在△ABC中，A=2C,求證2sin2c—2sinCVsin3c.

對(duì)于問(wèn)題(1),繼續(xù)將結(jié)論統(tǒng)一為關(guān)于同角C的同名三角函數(shù)的不等式：

sin3C<3sin2C—3sinC,

等價(jià)于3sinC—4sin3C<6sinCcosC—3sinC

等價(jià)于一(sinC)A2—6cosC+6<0

等價(jià)于2(cosC)A2—3cosC+1<0

等價(jià)于(2cosC—l)(cosC—1)<0

等價(jià)于2cosC—1>0

等價(jià)于cosC>l/2.

問(wèn)題(1)隨之就化歸為：在AABC中，A=2C,求證cosC>l/2.這是一

個(gè)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題.同樣可證問(wèn)題(2).

分析上述解題過(guò)程，如何將元素統(tǒng)一，以及將條件與結(jié)論在表現(xiàn)形式上的統(tǒng)

一是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，化歸正是朝著這個(gè)方向進(jìn)行的。

其實(shí)，回顧、反思中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很多內(nèi)容都是遵循統(tǒng)一性原則的：如不同

底的對(duì)數(shù)式運(yùn)算常通過(guò)換底公式統(tǒng)一為同底數(shù)的對(duì)數(shù)來(lái)運(yùn)算；多變?cè)膯?wèn)題通過(guò)

消元變?yōu)橐粋€(gè)變?cè)膯?wèn)題；三角誘導(dǎo)公式的重要作用就是實(shí)現(xiàn)三角式的和諧統(tǒng)

一，等等。

類似的，2022全國(guó)1卷第18題。

（2022?新高考I卷T18）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,已知

cosA_sin28

1+sinA1+cos23

（2）求之久的最小值.

c

分析條件是角的關(guān)系，結(jié)論是邊的關(guān)系，由統(tǒng)一性原則及正弦定理，將結(jié)

論與條件統(tǒng)一起來(lái)，轉(zhuǎn)化為以《4貯=空空空，進(jìn)一步將角統(tǒng)一起來(lái)。由

csin~C

cos4_sin2Bsin3=-cosC=sinC--|

1+sinA-1+cos28化成cos（A+B）=sinB即：I2J,得

C=-+BA=--2B

2,即有2,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于單變?cè)狟的代數(shù)式

8s223+；-8s28從而，問(wèn)題就化歸為如下表現(xiàn)形式上較統(tǒng)一的問(wèn)題:

cos-B

【問(wèn)題3】在AABC中，求c°s22、+|-cos-」的最小值

cos-B

對(duì)于問(wèn)題3,繼續(xù)將其統(tǒng)一為關(guān)于同角B的同名三角函數(shù)式：

（2cos2B-lj4-1-cos2B

cos2B

等價(jià)于“求2的最小值“

4cos2B+——；----5

cos-B

問(wèn)題3隨之就化歸為：在AABC中，求2的最小值.這是一個(gè)

4cos23+—=—―5

COS2B

很簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

數(shù)列

L（多選題）在公比為0等比數(shù)列｛%｝中，S”為其前〃項(xiàng)和，若4=1,4=27。2,則下

列說(shuō)法正確的是（）

A.q=3B.數(shù)列｛2邑-3〃｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列｛%-3"｝是等比數(shù)列D.數(shù)列｛館為一3〃｝是等比數(shù)列

2.已知數(shù)列｛q｝是遞增的等比數(shù)列，且％=2,4-I,%，的成等差數(shù)列，數(shù)列也｝滿

足qbi+Wd+也=（"1）2"+1.

（1）求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列.

3.在數(shù)列｛(｝中，q=；,4"=W7(〃eN*).

(1)求證：1」-+”等比數(shù)列；

(2)已知數(shù)列｛a｝,滿足〃="(；1)4.

①若數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，，可以表示成北=2-晟，求全處的代數(shù)式；

②若不等式(-1)“4對(duì)一切正整數(shù)〃恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

4.斐波那契數(shù)列｛%｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,又稱黃金分割數(shù)列，是由十三

世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，其

廠廠、〃//—\n

1+V51-V5

(,是用無(wú)理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例，該數(shù)列

從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和，即勺+2=%+|+。”，記該數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)

和為S",則下列結(jié)論正確的是（）

B.叼02]=2a2019+々2018

C.§2()2]=SJQJQ+5(20]9