備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第二章-§2-7-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

§2.7指數(shù)與指數(shù)

函數(shù)第二章

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.根式(1)一般地，如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子

叫做

，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(3)()n＝

.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

＝

，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

＝|a|＝x根式aa2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

＝

(a>0，m，n∈N*，且n>1).正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

＝

(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于

,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras＝

；(ar)s＝

；(ab)r＝

(a>0，b>0，r，s∈Q).0ar＋sarsarbr4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是

.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)R

a>10<a<1圖象

定義域____值域__________性質(zhì)過定點(diǎn)

，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，

；當(dāng)x<0時(shí)，_______當(dāng)x<0時(shí)，

；當(dāng)x>0時(shí)，_______在R上是_______在R上是_______R(0，＋∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增函數(shù)減函數(shù)2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)＝－4.(

)(2)2a·2b＝2ab.(

)(3)函數(shù)y＝

－1的值域是(0，＋∞).(

)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(

)××××1.已知函數(shù)y＝a·2x和y＝2x＋b都是指數(shù)函數(shù)，則a＋b等于A.不確定

B.0C.1D.2√由函數(shù)y＝a·2x是指數(shù)函數(shù)，得a＝1，由y＝2x＋b是指數(shù)函數(shù)，得b＝0，所以a＋b＝1.2.計(jì)算：

＋(π－1)0－

＝____.原式＝

＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.13.若指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值為2，則a＝________.若a>1，則f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，則f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝

.探究核心題型第二部分例1

計(jì)算：題型一指數(shù)冪的運(yùn)算＝1＋1－10＋27＝19.(2)(a>0，b>0).(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.(2)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練1

計(jì)算：＝a÷a＝1.原式＝

＝10－1＋8＋23·32＝89.題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2

(1)已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足3a＝2b，則下列不等關(guān)系中可能正確的是________.(填序號(hào))①a＝b；②b<a<0；③b>a>0；④a<b<0.如圖，由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，a＝b＝0或者0<a<b或者b<a<0，所以①②③可能正確，④不可能正確.①②③(2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.∴當(dāng)0<b<2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn).∴b的取值范圍是(0,2).(0,2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是①a>1；②0<a<1；③b>0；④b<0.A.①③ B.①④C.②③ D.②④√如圖所示，由函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象可知，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，∴0<a<1，故②正確；函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是由y＝ax的圖象向左平移所得，∴－b>0，∴b<0，故④正確.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3

設(shè)a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，則A.b<c<a

B.c<a<bC.a<b<c

D.b<a<c√b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c.題型三命題點(diǎn)1比較指數(shù)式大小例4

(2023·青島模擬)已知y＝4x－3·2x＋3的值域?yàn)閇1,7]，則x的取值范圍是A.[2,4] B.(－∞，0)C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2]√∵y＝4x－3·2x＋3的值域?yàn)閇1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.命題點(diǎn)2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式例5

已知函數(shù)f(x)＝

(a為常數(shù)，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函數(shù).(1)求a的值；命題點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，令t＝2x，t∈[2,4]，(2)若?x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2023·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝

，下列說法正確的個(gè)數(shù)有①f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；③f(x)的值域?yàn)?－1,1)；④?x1，x2∈R，且x1≠x2，

<0.A.1B.2C.3D.4√由f(－x)＝

＝－f(x)，可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確，②錯(cuò)誤；(2)已知函數(shù)f(x)＝

，若f(x)有最大值3，則a的值為_____.∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，1課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練A.－7B.－1C.1D.7m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.1234567891011121314√2.已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的值為當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；√∴a＝2.1234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314A.5B.23C.25D.27因?yàn)?/p>

＝5，所以

＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，√12345678910111213145.(2023·棗莊模擬)對(duì)任意實(shí)數(shù)a>1，函數(shù)y＝(a－1)x－1＋1的圖象必過定點(diǎn)A(m，n)，f(x)＝

的定義域?yàn)閇0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，則g(x)的值域?yàn)锳.(0,6] B.(0,20]C.[2,6] D.[2,20]√1234567891011121314令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函數(shù)圖象必過定點(diǎn)(1,2)，所以m＝1，n＝2，1234567891011121314解得x∈[0,1]，g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，則y＝t2＋t，t∈[1,2]，所以g(x)的值域?yàn)閇2,6].12345678910111213146.(2023·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)＝f(b)(a<b)，則A.2a＋2b>2B.?a，b∈R，使得0<a＋b<1C.2a＋2b<2D.a＋b<0√畫出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖所示.由圖知1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2，故A，C錯(cuò).由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝

所以2a＋b<1，則a＋b<0，故B錯(cuò)，D對(duì).123456789101112131412345678910111213147.計(jì)算化簡(jiǎn)：(1)＝_______；0.091234567891011121314(2)＝_______.12345678910111213148.已知函數(shù)f(x)＝3x＋1－4x－5，則不等式f(x)<0的解集是________.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3x＋1－4x－5，所以不等式f(x)<0即為3x＋1<4x＋5，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的圖象，如圖所示，因?yàn)閥＝3x＋1，y＝4x＋5的圖象都經(jīng)過A(1,9)，B(－1,1)，所以f(x)<0，即y＝3x＋1的圖象在y＝4x＋5圖象的下方，所以由圖象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1).(－1,1)9.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)k的值；∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，經(jīng)檢驗(yàn)k＝2符合題意，∴k＝2.1234567891011121314(2)若f(1)<0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.1234567891011121314f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，∵f(1)<0，1234567891011121314∴0<a<1，從而y＝ax在R上單調(diào)遞減，y＝a－x在R上單調(diào)遞增，故由單調(diào)性的性質(zhì)可判斷f(x)＝ax－a－x在R上單調(diào)遞減，不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化為f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2<m<1，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2,1).1234567891011121314123456789101112131410.(2023·武漢模擬)函數(shù)f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值為13，求實(shí)數(shù)a的值.1234567891011121314由f(x)＝a2x＋ax＋1，令ax＝t，則t>0，故當(dāng)t＝a，即x＝1時(shí)，ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去).1234567891011121314②若0<a<1，由x∈[－1,1]，123456789101112131411.(2022·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝a·

＋b的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，則下列說法不正確的是A.a＋b＝0B.若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＋y＝0C.若x<y<0，則f(x)<f(y)D.f(x)的值域?yàn)閇0,2)√綜合提升練且f(x)的圖象無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，1234567891011121314由于f(x)為偶函數(shù)，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＝－y，即x＋y＝0，故B正確；由于f(x)＝2－2·2x在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故若x<y<0，則f(x)>f(y)，故C錯(cuò)誤；1234567891011121314123456789101112131412.(2022·長(zhǎng)沙模擬)若ex－ey＝e，x，y∈R，則2x－y的最小值為________.依題意，ex＝ey＋e，ey>0，1＋2ln2此時(shí)，(2x－y)min＝1＋2ln2，所以當(dāng)x＝1＋ln2，y＝1時(shí)，2x－y取最小值1＋2ln2.123456789101112131413.(2023·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系為A.f(cx)≥f(bx) B.f(cx)≤f(bx)C.f(cx)>f(bx) D.f(cx)＝f(bx)√拓展沖刺練根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)