工程力學(xué)第九章圓柱扭轉(zhuǎn)

當(dāng)鉗工攻螺紋孔時，加在手柄上兩個等值反向的力組成力偶，作用于絲錐桿的上端，工件的反力偶作用在絲錐桿的下端；汽車轉(zhuǎn)向盤的操縱桿，兩端分別承受駕駛員作用在轉(zhuǎn)向盤上的外力偶和轉(zhuǎn)向器的反力偶作用。FF'FF'第一節(jié)扭轉(zhuǎn)的概念、扭矩與扭矩圖

一、扭轉(zhuǎn)的概念汽車傳動軸

這些構(gòu)件的受力特點(diǎn)是：兩端受到一對數(shù)值相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿軸線的力偶作用。它們的變形特點(diǎn)是：各截面繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形，其上任意二截面間的相對轉(zhuǎn)角稱為扭轉(zhuǎn)角。以扭轉(zhuǎn)變形為主的構(gòu)件稱為軸。工程上軸的橫截面多采用圓形截面或圓環(huán)形截面。MnMn二、扭矩與扭矩圖

1．外力偶矩的計算工程中作用于軸上的外力偶矩通常并不直接給出，而給出軸的轉(zhuǎn)速和軸所傳遞的功率它們的換算關(guān)系為M＝9550P/n（N·m）（9-1）式中，M—軸扭轉(zhuǎn)外力偶矩，（N·m）；

P—軸的傳遞功率（kW）；n—軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。

若已知軸上作用的外力偶矩，可用截面法研究圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力。現(xiàn)分析如圖示的圓軸，在任意m-m截面處將軸分為兩段。MM

為保持平衡，在截面上必然存在一個作用面和截面重合的內(nèi)力偶矩Mn

，與外力偶矩M平衡，這個橫截面上的內(nèi)力偶Mn稱為扭矩。Mn由平衡條件∑Mx=0，可求得這個內(nèi)力偶的大小Mn=MMMnMM2．扭矩與扭矩圖M

為使上述兩種算法所得同一橫截面處扭矩的正負(fù)號相同，特作如下規(guī)定：采用右手螺旋法則，拇指指向外法線方向。扭矩的轉(zhuǎn)向與四指的握向一致時為正；反之為負(fù)。mIMnImIIMnmIMnImIIMn

在求扭矩時，一般按正向假設(shè)，所得為負(fù)則說明扭矩轉(zhuǎn)向與所設(shè)相反。當(dāng)軸上作用有多個外力偶時，須以外力偶所在的截面將軸分成數(shù)段。逐段求出其扭矩。為形象地表示扭矩沿軸線的變化情況，可仿照軸力圖的方法繪制扭矩圖。作圖時，沿軸線方向取坐標(biāo)表示橫截面的位置，以垂直于軸線的方向取坐標(biāo)表示扭矩。

一傳動系統(tǒng)的主軸ABC，其轉(zhuǎn)速n=960r/min，輸入功率PA=27.5kW，輸出功率PB=20kW，PC=7.5kW，不計軸承摩擦等功率消耗。試作ABC軸的扭矩圖。

解1)計算外力偶矩。由式(9-1)得MAMBMCABC式中，MA為主動力偶矩，與ABC軸轉(zhuǎn)向相同；MB、MC為阻力偶矩，其轉(zhuǎn)向與MA相反。

解1)計算外力偶矩。MA=274N

m；MB=199N

m；MC=75N

m-Mn1MAMBMCABC

11MAMBABMAA

2)計算扭矩。將軸分為兩段，逐段計算扭矩。由截面法可知Mn1=-MA=-274N

m

Mn2=-MA+MB=-75N

m3)畫扭矩圖。根據(jù)以上計算結(jié)果，按比例畫扭矩圖。由圖看出，在集中外力偶作用面處，扭矩值發(fā)生突變，其突變值等于該集中外力偶矩的大小。最大扭矩在AB段內(nèi)，其值為Mnmax=274N

m

22Mn2Mn75N

m274N

mx0一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力

為了研究圓軸橫截面上應(yīng)力分布的情況，可先進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察。在圓軸表面畫若干垂直于軸線的圓周線和平行于軸線的縱向線，兩端施加個方向相反、力偶矩大小相等的外力使圓軸扭轉(zhuǎn)。當(dāng)扭轉(zhuǎn)變形很小時，可觀察到：圓軸扭轉(zhuǎn)動畫

1）各圓周線的形狀、大小及兩圓周線的間距均不改變，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動；各縱向線仍為直線，且傾斜同一角度，使原來的矩形變成平行四邊形。圓周線縱線O圓周線縱線OAMMA'MOA

2）由上述現(xiàn)象可認(rèn)為：扭轉(zhuǎn)變形后，軸的橫截面仍保持平面，其形狀和大小不變，半徑仍為直線。這就是圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)。第二節(jié)

圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度計算OAO圓周線縱線MMA'MOOA

由上述可知，圓軸扭轉(zhuǎn)時，其橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)至截面形心的距離成正比。由剪切胡克定律可知，橫截面上各點(diǎn)必有切應(yīng)力存在，且垂直于半徑呈線性分布，即有

=K

。

Mn

maxOMndA

dA

=K

扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算如圖，圓軸橫截面上微面積dA上的微內(nèi)力為

dA

，對截面中心O的力矩為

dA·

。整個橫截面上所有微力矩之和應(yīng)等于該截面上的扭矩Mn，則有OMn

max（9-2）

令

，稱截面極慣性矩，則

Mn=KI

=

I

/

得（9-3）

顯然，當(dāng)

=0時，

=0；當(dāng)

=R時，切應(yīng)力最大，為

max=MnR/I

。OMn

max（9-4）

OMndA

dA

式中，Wn稱為抗扭截面系數(shù)。式（9-3）及式(9-4)均以平面假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)而得，故只有當(dāng)圓軸的

max不超過材料的比例極限時方可應(yīng)用。（9-3）令

，則式(9-3)可寫成

二、極慣性矩I

及抗扭截面系數(shù)Wn

圓截面對圓心O的極慣性矩可類比求出，即DO

d

R

故抗扭截面系數(shù)

得

ODd極慣性矩為

對于內(nèi)徑為d、外徑為D的空心圓截面軸

Mn

max式中，

=d/D即為內(nèi)、外徑之比。空心圓截面的抗扭截面系數(shù)為

三、圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計算

由式(9-3)可知，等直圓軸最大切應(yīng)力發(fā)生在最大扭矩截面的外周邊各點(diǎn)處。為了使圓軸能正常工作，必須使最大工作切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力，于是等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件為

至于階梯軸，由于Wn各段不同，

max不一定發(fā)生在

Mn

max所在的截面上；因此需綜合考慮Mn和Wn兩個因素來確定。

（9-5）

階梯軸如圖，M1=5kN·m，M2=3.2kN·m，M3=1.8kN·m，材料的許用切應(yīng)力[

]=60MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。

解畫出階梯軸的扭矩圖。因兩段的扭矩、直徑各不相同，需分別校核。在求

max時，Mn取絕對值，其正負(fù)號(轉(zhuǎn)向)對強(qiáng)度計算無影響。

M1M2M3ABC

80

50

-Mn1.8kN

m5kN

mx0

AB段：Mn1=-5

103N

m

M1M2M3ABC

80

50

-Mn1.8kN

m5kN

mx0

BC段：Mn2=-1.8

103N

m

AB段：

max=49.7MPa

從以上計算結(jié)果看出：最大切應(yīng)力發(fā)生在扭矩較小的BC段。由于

max=73.4MPa＞[

]，所以軸AC的強(qiáng)度不夠。

由無縫鋼管制成的汽車傳動軸AB，外徑D＝90mm，壁厚t=2.5mm，材料為45鋼，許用切應(yīng)力[

]=60MPa，工作時最大外扭矩Mn＝1.5kN·m。

1)試校核AB軸的強(qiáng)度。

2)如將AB軸改為實(shí)心軸，試在相同條件下確定軸的直徑。

3)比較實(shí)心軸和空心軸的質(zhì)量。

解

1)校核AB軸的強(qiáng)度。由已知條件可得故AB軸滿足強(qiáng)度要求。

Mn=M=1.5

103N

m

已知：D＝90mm，t=2.5mm，[

]=60MPa，Mn=1.5kN·m。

1)試校核AB軸的強(qiáng)度。

2)如將AB軸改為實(shí)心軸，試在相同條件下確定軸的直徑。

3)比較實(shí)心軸和空心軸的質(zhì)量。

解

1)校核AB軸的強(qiáng)度。

2)確定實(shí)心軸的直徑。若實(shí)心軸與空心軸的強(qiáng)度相同，則兩軸的抗扭截面系數(shù)必相等。設(shè)實(shí)心軸的直徑為Dl，則有

已知：D＝90mm，t=2.5mm，D1＝53.2mm。

3)比較實(shí)心軸和空心軸的質(zhì)量。

計算結(jié)果說明，在強(qiáng)度相同的情況下，空心軸的質(zhì)量僅為實(shí)心軸質(zhì)量的31％，節(jié)省材料的效果明顯。這是因?yàn)榍袘?yīng)力沿半徑呈線性分布，圓心附近處應(yīng)力較小，材料未能充分發(fā)揮作用。改為空心軸后，相當(dāng)于把少量軸心處的材料移向邊緣，從而保證了軸的強(qiáng)度。但是，空心軸價格昂貴，要視具體情況采用。故AB軸滿足強(qiáng)度要求。

兩軸的材料和長度相同，它們的質(zhì)量比就等于面積比。設(shè)Al為實(shí)心軸的截面面積，A2為空心軸的截面面積，則有

一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形計算第三節(jié)

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形與剛度計算

扭轉(zhuǎn)變形是用兩個橫截面繞軸線的扭角

來表示的。對于Mn為常值的等截面圓軸，由于其很小，由幾何關(guān)系可得AB=

l

，AB=R

所以

=

l/RMnMn

BRAO將胡克定律AB=

l

，AB=R

=

l/R

代入上式，得

(9-6)式中，GI

反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。當(dāng)兩個截面間的Mn、G或I

為變量時，需分段計算扭角，然后求其代數(shù)和，扭角的正負(fù)號與扭矩相同。

一傳動軸如圖，直徑d=40mm，材料的切變模量G=80GPa，載荷如圖示。試計算該軸的總扭角。

解畫出階梯軸的扭矩圖，AB和BC段的扭矩分別為AB段的扭角為

-Mn800N

m1200N

mx0Mn1=1200N

mABC

8080010001200N

m2000N

m800N

m

+Mn2=-800N

m圓軸截面的極慣性矩為

已知：d=40mm，G=80GPa，求：總扭角。

解BC段的扭角為

Mn1=1200N

m

-Mn800N

m1200N

mx0ABC

8080010001200N

m2000N

m800N

m

+Mn2=-800N

m由此得軸的總扭角

二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度計算

設(shè)計軸類構(gòu)件時，不僅要滿足強(qiáng)度要求，有些軸還要考慮剛度問題。工程上通常是限制單位長度的扭角

，使它不超過規(guī)定的許用值[

]。由式(9-6)可知，單位長度的扭角為于是建立圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件為

式中，

的單位為rad/m。工程實(shí)際中，許用扭角[

]的單位為()/m，考慮單位的換算，則得（9-7）

[

]值按軸的工作條件和機(jī)器的精度來確定，可查閱有關(guān)工程手冊，一般規(guī)定精密機(jī)器的軸[

]＝0.25

/m一0.5

/m

一般傳動軸[

]＝0.5

/m—1.0

/m

精度較低的軸[

]＝1.0

/m一2.5

/m（9-7）

一空心軸外徑D＝100mm，內(nèi)徑d=50mm，G=80GPa，[

]=0.75

/m。試求該軸所能承受的最大扭矩Mnmax

。

解由剛度條件式(9-7)得

Mnmax≤[

]GI

/180式中I

=(D4-

d4)=(1004-504)mm4=9.2

106mm4

Mn==9.63

106N

mm=9.63kN

m所以Mnmax=9.63kN

m

傳動軸如圖。已知該軸轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪輸入功率PC=30kW，從動輪輸出功率PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材

MBMCABCMDDMAd

解1)求外力偶矩。由可得

料的切變模量G=80GPa，許用切應(yīng)力[

]=40MPa，[

]=l

/m。試按強(qiáng)度條件及剛度條件設(shè)計此軸直徑。

3)按強(qiáng)度條件設(shè)計軸的直徑MBMCABCMDDMAd

解1)求外力偶矩。MA=159.2N

m；MB=318.3N

m；MC=955N

m；MD=477.5N

m

2)畫扭矩圖。首先計算各段扭矩

AB段：Mn1=-159.2N·mBC段：

Mn2=-477.5N·m

CD段：Mn3=477.5N·m按求得的扭矩值畫出扭矩圖。

22

33

11Mn/N

m477.5159.2x0477.5

-

+由式和強(qiáng)度條件由圖可知最大扭矩發(fā)生在BC段和CD段，即Mnmax=477.5N

m

3)按強(qiáng)度條件設(shè)計軸的直徑d=39.3mm

解1)求外力偶矩。

2)畫扭矩圖。Mnmax=477.5N

m

4)按剛度條件設(shè)計軸的直徑

由式和剛度條件，得到

為使軸同時滿足強(qiáng)度條件和剛度條件，可選取較大的值，即d＝44mm