福建省南平市夏道中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

福建省南平市夏道中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列的公比，其前項(xiàng)的和為，則與的大小關(guān)系是A.

B.

C.

D.不確定參考答案：A2.如圖所示，已知兩座燈塔A、Ｂ與海洋觀測(cè)站Ｃ的距離都等于，燈塔A在觀測(cè)站Ｃ的北偏東，燈塔Ｂ在觀測(cè)站Ｃ的南偏東,則燈塔A與燈塔Ｂ的距離為A．B．C．

Ｄ．參考答案：C3.已知平面向量=（﹣1，2）與=（3k﹣1，1）互相垂直，則k的值為（）A． B．1 C．3 D．6參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】利用向量垂直的性質(zhì)直接求解．【解答】解：∵平面向量=（﹣1，2）與=（3k﹣1，1）互相垂直，∴=﹣1×（3k﹣1）+2×1=0，解得k=1．故選：B．4.函數(shù)的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z＝(a－2i)(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，則“點(diǎn)M在第四象限”是“a＝1”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】把復(fù)數(shù)的表示形式寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)在第四象限，得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)所滿足的條件，橫標(biāo)大于零，縱標(biāo)小于零，得到a的取值范圍，得到結(jié)果．【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z＝（a﹣2i）（1+i）＝a+2+（a﹣2）i，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)是（a+2，a﹣2），若點(diǎn)在第四象限則a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“點(diǎn)M在第四象限”是“a＝1”的必要而不充分條件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充要條件問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查各個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．7.設(shè)R,則“”是“直線與直線平行”的

（）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略8.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是（表示時(shí)間，表示位移），則瞬時(shí)速度為0的時(shí)刻是（

）．A．0秒、2秒或4秒

B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒

D．0秒、4秒或8秒?yún)⒖即鸢福篋略9.直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),MN的中點(diǎn)為P,若(O為原點(diǎn)),則等于

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A10.函數(shù)y=+lg(cos2x+sinx–1)的定義域是（

）（A）(0，)（B）(–，–)∪(0，)

（C）(–，–π)∪(0，)（D）(0，)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,則取最小值時(shí)=

.參考答案：1812.經(jīng)過(guò)點(diǎn)在M（1,－1）且與點(diǎn)A（－1,2）、B（3,0）距離相等的直線方程一般式為▲.參考答案：x＋2y＋1＝0或x＝1略13.若關(guān)于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0的解集中僅有4個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：[，1）【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由題意得到a＞0，解出二次不等式，根據(jù)解的區(qū)間端點(diǎn)范圍可得a的范圍．【解答】解：關(guān)于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0的解集中僅有4個(gè)整數(shù)解，∴，解得a＞0，解不等式得﹣1＜x＜，要使不等式的解集中僅有4個(gè)整數(shù)解，∴3＜≤4，解得≤a＜1，故答案為：[，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．14.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為

.參考答案：900 （）15.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，則x+y的最小值為．參考答案：8【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】變形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，當(dāng)且僅當(dāng)y=3，（x=5）時(shí)取等號(hào)．∴x+y的最小值為8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16.若直線2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)圓x2+y2+2x﹣4y+1=0的圓心，則+的最小值是

．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】不等式的解法及應(yīng)用；直線與圓．【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線方程，得到ab關(guān)系式，然后通過(guò)”1“的代換利用基本不等式求解即可．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圓心（﹣1，2），所以直線2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)圓心，可得：a+b=1，+=（+）（a+b）=2+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=．+的最小值是：2．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式求解函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．17.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，則P（﹣2≤ξ≤2）=．參考答案：0.954【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），得到正態(tài)曲線關(guān)于x=0對(duì)稱，根據(jù)P（ξ＞2）=0.023，得到對(duì)稱區(qū)間上的概率，從而可求P（﹣2≤ξ≤2）．【解答】解：∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），∴正態(tài)曲線關(guān)于x=0對(duì)稱，∵P（ξ＞2）=0.023，∴P（ξ＜﹣2）=0.023∴P（﹣2≤ξ≤2）=1﹣0.023﹣0.023=0.954，故答案為：0.954三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（1）求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；（2）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）＜kx恒成立，求k的取值范圍；（3）設(shè)g（x）=f（x）﹣kx（k∈R），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[，e2]上的有兩個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；（2）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）＜kx恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求k的取值范圍；（3）由（2）知，h（x））=在[，]上是增函數(shù)，在[，e2]上是減函數(shù)，利用函數(shù)g（x）在[，e2]上有2個(gè)零點(diǎn)，可得k的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=…2分∴f′（1）=1，…∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x﹣1；…（2）設(shè)h（x）==（x＞0），則h′（x）=（x＞0）令h′（x）=0，解得：x=；…當(dāng)x在（0，+∞）上變化時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：x（0，）（，+∞）h′（x）+0﹣h（x）↗↘由上表可知，當(dāng)x=時(shí)，h（x）取得最大值，…由已知對(duì)任意的x＞0，k＞h（x）恒成立∴k的取值范圍是（，+∞）．…（3）令g（x）=0得：k==，…由（2）知，h（x））=在[，]上是增函數(shù)，在[，e2]上是減函數(shù)．且h（）=﹣e2，h（）=，h（e2）=當(dāng)≤k＜時(shí)，函數(shù)g（x）在[，e2]上有2個(gè)零點(diǎn)，…∴k的取值范圍是≤k＜．…19.（12分）一家醫(yī)藥研究所，從中草藥中提取并合成了甲、乙兩種抗“H病毒”的藥物，經(jīng)試驗(yàn)，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為，現(xiàn)已進(jìn)入藥物臨床試用階段，每個(gè)試用組由4位該病毒的感染者組成，其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物，如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)人數(shù)超過(guò)乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱該組為“甲類組”，（1）求一個(gè)試用組為“甲類組”的概率；（2）觀察3個(gè)試用組，用η表示這3個(gè)試用組中“甲類組”的個(gè)數(shù)，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）設(shè)Ai表示事件“一個(gè)試用組中，服用甲種抗病毒有效的有i人”，i=0，1，2，Bj表示事件“一個(gè)試用組中，服用乙種抗病毒藥物有效的有j人”，j=0，1，2，一個(gè)試用組為“甲類組”的概率P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2），由此能求出結(jié)果．（2）η的可能取值為0，1，2，3，且η～B（3，），由此能求出η的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）設(shè)Ai表示事件“一個(gè)試用組中，服用甲種抗病毒有效的有i人”，i=0，1，2，Bj表示事件“一個(gè)試用組中，服用乙種抗病毒藥物有效的有j人”，j=0，1，2，依題意有P（A1）=，P（A2）=，P（B0）==，P（B1）==，∴一個(gè)試用組為“甲類組”的概率：P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）==．（2）η的可能取值為0，1，2，3，且η～B（3，），∴P（η=0）==，P（η=1）==，P（η=2）==，P（η=3）=（）3=，∴η的分布列為：η0123P∵η～B（3，），∴Eη=3×=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力．20.如圖，在幾何體P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四邊形ABCD為矩形，△PAB為正三角形，若AB=2，AD=1，E，F(xiàn)分別為AC，BP中點(diǎn)．（Ⅰ）求證EF∥平面PCD；（Ⅱ）求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（I）連結(jié)BD，則E為BD的中點(diǎn)，利用中位線定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（II）取AB中點(diǎn)O，連接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，求出OP，DP，得直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，所以DB與AC交于點(diǎn)E．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，BP中點(diǎn)，所以EF是△BDP的中位線，所以EF∥DP．又DP?平面PCD，EF?平面PCD，所以EF∥平面PCD．（Ⅱ）解：取AB中點(diǎn)O，連接PO，DO．∵△PAB為正三角形，∴PO⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面PAB∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD內(nèi)的射影為DO，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，OP=，DP=，在Rt△DOP中，sin∠PDO=，∴直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定，線面角的計(jì)算，作出線面角并證明是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的極值．參考答案：

…………2分（Ⅰ）依題意可知：

……………4分切線方程為：即

…………6分（Ⅱ）令，得：

……………8分

極大值25極小值

……11分的極大值為，極小值為

……………12分22.已知用分析法證明：.參考答