2024屆高考物理 專題08 拋體運(yùn)動九大問題（解析版）

專題08拋體運(yùn)動九大問題

目錄

題型一平拋運(yùn)動的基本規(guī)律.....................................................................1

題型二平拋運(yùn)動的臨界、極值問題...............................................................5

題型三斜面上的平拋問題.......................................................................8

類型1.順著斜面平拋斜面傾斜角是“位移”偏向角................................................8

類型2.順著斜面（圓?。┢綊佇泵鎯A斜角是“速度”偏向角......................................13

類型3.對著斜面平拋“垂直”打在斜面上斜面傾斜角為“速度”偏向角的余角........................16

類型4對著斜面平拋“最小位移”打在斜面上斜面傾斜角為“位移”偏向角的余角...................21

題型四有約束條件的平拋運(yùn)動模型..............................................................24

類型1對著豎直墻壁的平拋運(yùn)動...........................................................24

類型2半圓內(nèi)的平拋問題.................................................................26

題型五平拋的多解問題........................................................................31

題型六平拋與圓周的臨界問題..................................................................34

題型七斜拋運(yùn)動的理解和分析..................................................................38

題型人類平拋運(yùn)動.............................................................................43

題型九拋體運(yùn)動中的功能與動量................................................................48

題型一平拋運(yùn)動的基本規(guī)律

【解題指導(dǎo)】1.性質(zhì)：平拋運(yùn)動是加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是拋物線。

2.研究方法：運(yùn)動的合成與分解

（1）水平方向：勻速直線運(yùn)動。

（2）豎直方向：自由落體運(yùn)動。

水平方向：VX=VQ

（1）速度

豎直方向：Vy=gt

合速度的大小=+屋》

設(shè)合速度的方向與水平方向的夾角為仇有

tan0=匕=圖

Vxvo

水平方向：x=vot

（2）位移，

豎直方向：

合位移的大小巧=y（vo/）

設(shè)合位移的方向與水平方向的夾角為扇有

1史

tana==T-

x2voO

（3）三個(gè)重要結(jié)論：①合速度方向與水平方向的夾角。和合位移方向與水平方向的夾角a的關(guān)系，tan。=

2tana。

②做平拋（或類平拋）運(yùn)動的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，即X"

_x

=2°

③速度變化：平拋運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動，故在相等的時(shí)間內(nèi)，速度的變化量（Av=gAf）相等，且必沿豎

直方向，如圖所示。任意兩時(shí)刻的速度與速度的變化量Av構(gòu)成三角形，Av沿豎直方向。

【例1】（2023春?湖南衡陽?高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，甲、乙兩人練習(xí)配合傳球投籃，兩人分別以2m/s、

3m/s的速度同時(shí)勻速垂直通過籃球場地中線時(shí)，二者相距3m,甲繼續(xù)勻速奔跑2s后從1.7m的高度將籃球

近似水平拋出，乙在1.5m的高度接住籃球并奔向籃板。不考慮籃球的自轉(zhuǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度g

取IOm/s2,則籃球被甲拋出瞬間的速度大小約為（）

A.10m/sB.15m/sC.18m/sD.20m/s

【答案】D

【詳解】從場地中線開始，甲勻速跑動2s后，甲、乙兩人沿垂直場地中線方向的位移差為（3-2）x2m=2m,

甲拋出籃球后，球做平拋運(yùn)動，乙接到球時(shí)，球下落的豎直高度

力=(1.7—1.5)m=0.2m

由

.1

h=Qgl

可得球運(yùn)動的時(shí)間

t—0.2s

在球做平拋運(yùn)動的0.2s內(nèi)，乙仍然做勻速運(yùn)動，此過程籃球的水平位移

x=戶+(2+3x02)2m?3.97m

由

可解得籃球被甲拋出瞬間的速度

%=19.85m/s

故選D。

【例2】(2023?河南鄭州?高三鄭州外國語學(xué)校校考階段練習(xí))從。點(diǎn)以水平速度，拋出一小物體，經(jīng)過M

點(diǎn)時(shí)速度大小為&v，N點(diǎn)為。到M之間軌跡上與直線OM距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確

的是：)

A.小物體經(jīng)N點(diǎn)時(shí)的速度方向與。M不平行

B.小物體從。到N經(jīng)歷的時(shí)間為《

C.0、N之間的距離為江

8g

D.曲線ON與MN關(guān)于過N點(diǎn)且與OM垂直的直線對稱

【答案】B

【詳解】A.小物體運(yùn)動過程中與OM的距離最遠(yuǎn)，即沿與OM垂直方向的分速度為零，所以此時(shí)的速度方

向與OM平行，選項(xiàng)A錯誤；

B.經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度與水平方向的夾角為45。，設(shè)OM與水平方向的夾角為a,由幾何關(guān)系可知

tana=〔tan450

2

所以經(jīng)N點(diǎn)時(shí)的速度豎直分量

v,=vtana=-^

故從。到N的時(shí)間為

v

/=一

2g

選項(xiàng)B正確；

C.ON之間的水平位移

x=vt

豎直位移

y=-1st

。、N之間的距離為

B嚕

選項(xiàng)c錯誤；

D.初速度為％末速度為&心所以曲線ON與MN不對稱，選項(xiàng)D錯誤；

故選B。

【例3】.（2022?浙江金華十校4月模擬）圖甲是消防車正在機(jī)場進(jìn)行水柱滅火演練的情景，小劉模擬消防水

柱的示意圖如圖乙所示。水在空中運(yùn)動，A、B為其運(yùn)動軌跡上的兩點(diǎn)，已知水在A點(diǎn)時(shí)的速度大小為丫=6

m/s,速度方向與豎直方向的夾角為45°,它運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，速度方向與豎直方向的夾角為37°（sin37°=0.6）,

不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取lOm/s?,則（）

甲乙

A.圖中A點(diǎn)是水在空中運(yùn)動過程的最高點(diǎn)

B.水在空中運(yùn)動過程為變加速曲線運(yùn)動

C.水在B點(diǎn)時(shí)的速度大小為8m/s

D.4、B兩點(diǎn)間的高度差為0.7m

【答案】D

【解析】圖中A點(diǎn)速度方向不是水平的，則圖中A點(diǎn)不是水在空中運(yùn)動過程的最高點(diǎn)，選項(xiàng)A錯誤；水

在空中運(yùn)動過程中，加速度恒定為g,則水在空中運(yùn)動，為勻加速曲線運(yùn)動，選項(xiàng)B錯誤；水在A、6兩點(diǎn)

時(shí)水平速度相同,則v八sin450=vfisin37c.解得B點(diǎn)時(shí)水的速度大小為m=5啦m/s,選項(xiàng)C錯誤：A、B

廿、,（VBCOS370）2—（wos450）2"一一人

兩點(diǎn)間的高度差為力=------------云-------------=0.7m,選項(xiàng)D正確。

【例4】.（2023?廣東廣州?高三廣州市白云中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正在平直公路行駛的汽車緊急剎車，位于

車廂前端、離地高度分別為3.2m、〃=2.4m的兩件物品，因沒有固定而散落到路面，相距由

此估算剎車時(shí)的車速最接近（）

A.40km/hB.50km/hC.70km/hD.90kni/h

【答案】A

【詳解】汽車緊急剎車后物品做平拋運(yùn)動，平拋初速度等于汽車碰撞瞬間的行駛速度，設(shè)為了。

對于物品A,水平方向上，有

4=叫

豎直方式上，有

h=%

對于物品B,水平方向上，有

/=%

豎直方式上，有

根據(jù)題圖分析可知

解得汽車的行駛速度

v=9.33m/s=33.6km/h

所以剎車時(shí)的車速最接近40km/h

故選A。

題型二平拋運(yùn)動的臨界、極值問題

【解題指導(dǎo)】1.平拋運(yùn)動的臨界問題有兩種常見情形：（1）物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小

初速度；（2）物體的速度方向恰好達(dá)到某一方向.

2.解題技巧：在題中找出有關(guān)臨界問題的關(guān)鍵字，如“恰好不出界”、“剛好飛過壕溝”、“速度方向恰好與斜

面平行”、“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運(yùn)動對應(yīng)的位移規(guī)律或速度規(guī)律進(jìn)行解題.

【例1】（2023?山東濱州?統(tǒng)考二模）從高H=4m處的點(diǎn)A先后水平拋出兩個(gè)小球1和2,球1與地面碰撞

一次后，恰好越過位于水平地面上高為力的豎直擋板，然后落在水平地面上的。點(diǎn)，碰前碰后的速度水平

方向不變，豎直方向等大反向。球2恰好越過擋板也落在。點(diǎn)，忽略空氣阻力。擋板的高度人為（）

A.3.5mB.3mC.2.5mD.2m

【答案】B

【詳解】A.設(shè)1、2球的初速度分別為耳、v2,從拋出到落到。點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)訶分別為《、弓則對兩球在水

平方向有

卬2=M

依題意

4=3q

所以

又因兩球飛過豎直擋板前的水平位移相同，而速度的水平分量的關(guān)系為

匕=3%

故它們飛過擋板前的運(yùn)動時(shí)間滿足

，；=訓(xùn)

設(shè)球1從第一次落地到飛至擋板頂端所用的時(shí)間為h則上述關(guān)系可寫為

楞+,=3梅…

球1第一次落地時(shí)速度的豎直分量為

力=j2gH

到達(dá)擋板頂端時(shí)速度的豎直分量為

vf=j2g（H-〃）

兩者滿足

K,W+gi

聯(lián)立方程并代入數(shù)據(jù)可得

3

h=-H=3m

4

故選B。

【例2】（多選）（2022?海南省模擬）將小球從如圖所示的階梯狀平臺上以一定的水平初速度w水平拋出，所有

臺階的高度和寬度均為1.0m,取g=10m/s2,要使小球拋出后落到第三級臺階匕則w可能為（）

B.3.5m/s

D.2鄧m/s

【答案】AB

【解析】小球拋出后越過第二臺階，根據(jù)平拋運(yùn)動的特點(diǎn)水平方向做勻速色動，豎直方向做自由落體運(yùn)

動可矢J〃2=2L=/g&%2=W2>2L；小球拋出后不會越過第三臺階，有飽=3[=如，M=W3W33解得不

m/s<vo<\[\5m/s,故選項(xiàng)A、B正確。

【例3】（2022?廣東五校一聯(lián)）某科技比賽中，參賽者設(shè)計(jì)了一個(gè)軌道模型，如圖所示.模型放到0.8m高的水

平桌子上，最高點(diǎn)距離水平地面2m,右端出口水平.現(xiàn)讓小球由最高點(diǎn)靜止釋放，忽略阻力作用，為使小

球飛得最遠(yuǎn)，右端出口距離桌面的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為（）

A.OB.0.1mC.0.2mD.0.3m

【答案】C

【解析】小球從最高點(diǎn)到右端出口，滿足機(jī)械能守恒，有/Mg（〃一〃）=品/，從右端出口飛出后小球做平

拋運(yùn)動，有x=w,力=*產(chǎn)，聯(lián)立解得x=2、（H—h）h,根據(jù)數(shù)學(xué)知識知，當(dāng)H—力=人時(shí)，x最大，即仁1m

時(shí)，小球飛得最遠(yuǎn)，此時(shí)右端出口距離桌面高度為m—0.8m=0.2m,故C正確.

【例4】（2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模）“山西刀削面”堪稱天下一絕，如圖所示，小面圈（可視為質(zhì)點(diǎn)）從距離

開水鍋高為人處被水平削離，與鍋沿的水平距離為L,鍋的半徑也為L忽略空氣阻力，且小面圈都落入鍋

中，重力加速度為g,則下列關(guān)于所有小面圈在空中運(yùn)動的描述正確的是（）

A.運(yùn)動的時(shí)間都相同

B.速度的變化量不相同

C.落入鍋中時(shí)，最大速度是最小速度的3倍

D.若小面圈剛被拋出時(shí)初速度為％,則4號<%<3

【答案】AD

【詳解】A.所有的小面圈在空中均做平拋運(yùn)動，豎直方向均為自由落體運(yùn)動，根據(jù)

可知所有的小面圈在空中運(yùn)動的時(shí)間都相同，A正確;

B.所有面圈都只受到重力作用，所以加速度均為g,根據(jù)

可知所有面圈在空中運(yùn)動過程中速度的變化量相同，B錯誤：

CD.若小面圈剛被拋出時(shí)初速度為%,根據(jù)水平方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動，落在鍋里的水平距離最小值為L,

最大值為3L有

面圈落入鍋中時(shí)水平速度最大值為最小值的3倍，但是豎直速度相等，根據(jù)速度的合成

可知落入鍋中時(shí)，最大速度小于最小速度的3倍，C錯誤，D正確。

故選AD0

題型三斜面上的平拋問題

類型1.順著斜面平拋斜面傾斜角是“位移”偏向角

(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如圖)

處理方法：分解位移.

X=Vot

12

tan

2v（）tan0

可求得f=

g

（2）物體離斜面距離最大，已知速度方向沿斜面向下（如圖）

處理方法：分解速度

Vt=Vo，Vy=gt

v（）tan0

【例1X2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，在傾角為30。的斜面上A點(diǎn)以初速度%水平拋出?個(gè)小球,

小球恰好落在斜面上的8點(diǎn)，若小球在A點(diǎn)拋出的初速度方向與斜面垂直，結(jié)果小球也恰好落在斜面上的B

點(diǎn)，則此時(shí)小球拋出的初速度大小為（）

c.%D.75%

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，由平拋運(yùn)動規(guī)律有

￡2

tan30°=^—=-^-

2%

解得

2島。

則有

2國

3g

設(shè)小球與斜面垂直方向以-拋出，則有

2回；

usin30°，］

3g

-vcos30°?%+，gf；=

23g

解得

故選C。

【例2】（2023春?湖南岳陽?高三岳陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，物體在傾角為仇足夠長的斜面上做

平拋運(yùn)動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（）

A.物體在空中運(yùn)動的時(shí)間與初速度成正比

B.落到斜面上時(shí)，速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大

C.拋出點(diǎn)和落點(diǎn)之間的距離與初速度成正比

D.物體在空中運(yùn)動過程中，離斜面的最遠(yuǎn)距離與初速度成正比

【答案】A

【詳解】A.依題意，初速度不同的小球均落在斜面上，則具有共同的位移偏向角凡根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律有

-gt2

tan”2上

x%，

得

物體在空中運(yùn)動的時(shí)間與初速度成正比，A正確;

B.落到斜面上時(shí)，速度與水平方向夾角a滿足

tanor————-2tan9

%%

則落到斜面上時(shí)速度方向與斜面夾角與初速度無關(guān)，B錯誤;

C.拋出點(diǎn)與落點(diǎn)間距離

拋出點(diǎn)和落點(diǎn)之間的距離與初速度的平方成正比，c錯誤：

D.當(dāng)小球在運(yùn)動過程中速度方向與斜面平行時(shí)，小球離斜面的距離最大，把小球初速度及重力加速度分解

在平行斜面與垂直斜面方向上，可得小球離斜面的最大距離為

(%sinO『

則物體在空中運(yùn)動過程中，離斜面的最遠(yuǎn)距離與初速度的平方成正比，D錯誤。

故選A。

【例3】（2023春?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）跳臺滑雪是一項(xiàng)勇敢者的運(yùn)動，某運(yùn)動員從跳臺4處沿水平

方向飛出，在斜面上的8處著陸，斜面與水平方向夾角為30。且足夠長，不計(jì)空氣阻力，下列說法

正確的是（）

A.運(yùn)動員在空中相同時(shí)間內(nèi)的速度變化相同B.運(yùn)動員在斜面上的落點(diǎn)到4點(diǎn)的距離與初速度成正比

C.運(yùn)動員落在8處的速度與水平方向夾角60。D.運(yùn)動員的質(zhì)量越大，落點(diǎn)離4越遠(yuǎn)

【答案】A

【詳解】A.運(yùn)動員在空中只受重力，加速度恒定，單位時(shí)間內(nèi)速度變化相同，A正確；

B.落點(diǎn)到A的距離利用平拋規(guī)律

sin30°

2%tan30°

8

2vjsin30°

Sgcos230°

所以運(yùn)動員在斜面上的落點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與初速度的平方成正比，故B錯誤；

C.速度與水平方向夾角的正切值是2tan30。，C錯誤；

D.落點(diǎn)與質(zhì)量無關(guān)，D錯誤。

故選Ao

【例4】?（2023?全國?高三專題練習(xí)）近年來，國家大力開展冰雪運(yùn)動進(jìn)校園活動，目前已有多所冰雪特色

學(xué)校，蹬冰踏雪深受學(xué)生喜愛。如圖所示，現(xiàn)有兩名滑雪運(yùn)動員（均視為質(zhì)點(diǎn)）從跳臺。處先后沿水平方

向向左飛出，其速度大小之比為9：玲=2:1,不計(jì)空氣阻力，則兩名運(yùn)動員從飛出至落到斜坡（可視為斜面）

上的過程中，下列說法正確的是（）

A.他們飛行時(shí)間之比為％：〃=1:2

B.他們飛行的水平位移之比為七：々=2：1

C.他們速度變化之比為△匕：A%=2:1

D.他們在空中離坡面的最大距離之比為耳&=2：1

【答案】C

【詳解】A.運(yùn)動員從跳臺〃處水平飛出，設(shè)初速度為％,飛行時(shí)間為匕斜坡的傾角為。，運(yùn)動員在空中

做平拋運(yùn)動，落到斜坡上時(shí)則有

tan0=——

x

解得

2vntan0

g

可得他們飛行時(shí)間之比為

ti:t2=vi:v2=2}l

A錯誤；

B.運(yùn)動員飛行的水平位移為

片tan。

g

他們飛行的水平位移之比為

M：“2=V：：￥=4:1

B錯誤；

C.兩運(yùn)動員在水平方向的速度不變，在豎直方向的速度變化為

例,=gf

因?yàn)樗麄冿w行時(shí)間之比為

乙：，2=2：1

則有他們速度變化之比為

△匕:AV2=:g，2=2:1

C正確；

D.運(yùn)動員在空中離坡面的最大距離為

$=（%sin行

2gcos。

他們在空中離坡面的最大距離之比為

。：G=y：：g=4：1

D錯誤。

故選C。

類型2,順著斜面（圓?。┢綊佇泵鎯A斜角是“速度”偏向角

1.從斜面外恰好與斜面平行的方向落到斜面（如圖）：

合速度與水平速度的夾角等于斜面傾角,常用速度關(guān)系tan〃=￡=?.

2.從圓弧形軌道外平拋，恰好無碰撞地進(jìn)入圓弧形軌道，如圖所示，即已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線方向

分解速度tan0=V=《

【例1】.（2023?四川?模擬預(yù)測）如圖所示，從。點(diǎn)以初速度vo=6m/s水平拋出一質(zhì)量機(jī)=0.5kg的小球（視

為質(zhì)點(diǎn)），小球恰好從豎直放置的光滑圓弧軌道的b點(diǎn)沿切線進(jìn)入圓弧軌道，經(jīng)過最低點(diǎn)c,最后從d點(diǎn)飛

出圓孤軌道。已知圓弧軌道半徑R=L2m,慶段圓弧所對的圓心角a=60。，O為圓心，Od為水平半徑，不計(jì)

空氣阻力，重力加速度g=10m/s20則下列分析錯誤的是（）

A.”、。兩點(diǎn)的高度差為5.4m

B.小球在c點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力大小為70N

C.小球在d點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力大小為55N

D.小球從d點(diǎn)離開后還能上升的高度為4sm

【答案】D

【詳解】A.小球恰好從豎直放置的光滑圓瓠軌道的8點(diǎn)沿切線進(jìn)入圓弧軌道，則有

乜=tan60。

%

W=2gh

解得

力=5.4m

故A正確，不符合題意；

B.規(guī)定。點(diǎn)為零勢能而根據(jù)能量守恒可得

mgh+（1—cos60°）R+；m片=g

在c點(diǎn)由牛頓第二定律

，咔=入一，叫

K

解得

/\=70N

故B正確，不符合題意；

C.由牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律

5=55N

故C正確，不符合題意;

D.由公式可得

V=2g%

故D錯誤，符合題意。

故選D。

【例2】（2023春?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，以速度%=4m/s從。點(diǎn)水平拋出的小球，抵達(dá)光滑固定

的斜面上端P處時(shí)，速度方向恰好沿著斜面方向，然后緊貼斜面PQ做勻加速直線運(yùn)動，已知斜面傾角為37。

（sin37°=0.6,cos370=0.8）,不計(jì)空氣阻力，取重力加速度為g=lOm/s?。下列說法正確的是（）

Q/

A.0點(diǎn)到P點(diǎn)的豎直距離為0.45m

B.小球在斜面上運(yùn)動的加速度大小比平拋運(yùn)動時(shí)的大

C.撤去斜面，小球仍從。點(diǎn)以相同速度水平拋出，落地時(shí)間將變小

D.撤去斜面，小球仍從。點(diǎn)以相同速度水平拋出，落地速度不變

【答案】AC

【詳解】A.由題意可知，小球落到斜面上時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角為37。，則有

tan37。=國

t=0.3s

又因?yàn)?/p>

,12

解得

h=0.45m

故A項(xiàng)正確；

B.小球做平拋運(yùn)動時(shí)的加速度為g=10m/s2,小球在斜面上運(yùn)動時(shí)

〃?gsin37°=ma

解得

a=6m/s2<g

故B項(xiàng)錯誤；

C.由于小球在斜面上的加速度，由之前分析可知為a=6m/s2,則小球在斜面上運(yùn)動時(shí)，在豎直方向的加速

度為

2

ay=asin37°=3.6m/s

由此可知，有斜面時(shí)，小球在豎直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小球的下落時(shí)間變

小，故C項(xiàng)正確；

D.根據(jù)機(jī)械能守恒得

=^mv2

撤去斜面，〃不變，則落地的速率y不變，但是速度方向不同，故D項(xiàng)錯誤。

故選ACo

類型3.對著斜面平拋“垂直”打在斜面上斜面傾斜角為“速度”偏向角的余角

對著斜面平拋

垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下（如圖）

【例4（2023?全國?二模）一種定點(diǎn)投拋游戲可簡化為如圖所示的模型，以水平速度4從。點(diǎn)拋出小球，小

球正好落入傾角為。的斜面上的洞中，洞=1處于斜面上的P點(diǎn)，0、P的連線正好與斜面垂直；當(dāng)以水平速

度Z從O點(diǎn)拋出小球時(shí)，小球正好與斜面在。點(diǎn)垂直相碰。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g,下列說法正

確的是（）

R.。點(diǎn)在P點(diǎn)的下方

C.v,>v2

D.小球落在P點(diǎn)所用的時(shí)間與落在。點(diǎn)所用的時(shí)間之比是手

【答案】AD

【詳解】A.以水平速度力從O點(diǎn)拋出小球，正好落入傾角為。的斜面上的洞中，此時(shí)位移垂直于斜面,

由幾何關(guān)系可知

tan0=-1-1=—

所以

gtan。

A正確；

BC.當(dāng)以水平速度也從O點(diǎn)拋出小球，小球正好與斜面在。點(diǎn)垂直相碰，此時(shí)速度與斜面垂直，根據(jù)幾

何關(guān)系可知

tan0=

厚2

即

gtan。

故0。連線與豎直方向的夾角滿足

tana=2tan。

而O尸連線與豎直方向夾角為仇所以a〉e,故。點(diǎn)在尸點(diǎn)的上方。由y=：gf2可知，r2<r,,又因?yàn)樗?/p>

位移再,X，由％=；可知，v2>v,,故B、C錯誤；

D.落在P點(diǎn)的時(shí)間與落在Q點(diǎn)的時(shí)間之比是

工=生

t2匕

D正確。

故選AD<,

【例2】（2023秋?河北邢臺?高三統(tǒng)考期末）如圖所示，小球以初速度%正對傾角為。的斜面水平拋出，小球

剛好垂直碰撞斜面，已知小球做平拋運(yùn)動的時(shí)間為Z,則重力加速度大小為（）

/tang

【答案】C

【詳解】小球剛好垂直碰撞斜面時(shí)，碰撞速度與水平速度、豎直速度的情況如圖所示

tan0=%

%

丑八

in口

%=gi

解得

故C正確。

故選C。

【例3】.（2023春?山西晉城?高三?？茧A段練習(xí)）如圖，飛機(jī)距離水平地面的高度為從在水平方向以速度

山勻速飛行，到達(dá)山坡底端正上方時(shí)釋放一箱質(zhì)量為機(jī)的救援物資，救援物資打在山坡上的A點(diǎn)，A點(diǎn)的

高度為小不考慮空氣阻力的影響，則（）

A.這箱物資在空中飛行的時(shí)間為楞

B.這箱物資落到A點(diǎn)時(shí)的動能為小秋“-加

C.A點(diǎn)距山坡底端的水平距離為%

D.山坡的傾角。滿足tan。

h

【答案】C

【詳解】A.由

H-h=；g戶

可得這箱物資在空中飛行的時(shí)間為

故A錯誤;

B.不考慮空氣阻力的影響，只有重力做功，所以有

線-h)

可得

耳=mg(H-h)+^mvl

故B錯誤;

C.A點(diǎn)距山坡底端的水平距離即為物資的水平位移，則有

2(Hf)

故C正確；

D.山坡的傾角。滿足

故D錯誤。

故選Co

【例4】.（2023?江蘇鹽城?高三鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖在同一豎直平面為將兩個(gè)完全相同的小球從不

同的位置沿水平方向拋出，拋出點(diǎn)分別為A點(diǎn)和5點(diǎn)（圖中未畫出），初速度分別為乙和乙,并且以,也，

經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)動后，兩個(gè)小球同時(shí)垂直落到斜面上的同一個(gè)位置。點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，則（）

A.A。連線與水平方向的夾角一定和8。連線與水平方向的夾角不相同

B.兩個(gè)小球落到斜面上時(shí)的動能可能相同

C.A。連線與水平方向的夾角一定與斜面的傾角相同

D.兩個(gè)小球的運(yùn)動時(shí)間一定不同

【答案】D

【詳解】A.兩小球垂直落入斜面，速度的偏轉(zhuǎn)角相同，由平拋運(yùn)動的規(guī)律可知，速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位

移偏轉(zhuǎn)角的正切值的兩倍，所以A。連線與水平方向的夾角一定和8。連線與水平方向的夾角相同，故A錯

誤；

BD.當(dāng)小球落到斜面上時(shí)，將小球的速度進(jìn)行分解，由幾何關(guān)系可得

tan^=—

4

由平拋運(yùn)動的規(guī)律

Vy=gt

解得

gtan。

由題H可知

所以

小球的末動能

「1212

片=耳山外+/機(jī)4

所以

故B錯誤，D正確;

C.設(shè)4。連線與水平方向的夾角為由平拋運(yùn)動的規(guī)律

h

tana=—=--

聯(lián)立求解可得

tana=--------

2tan夕

故C錯誤。

故選D,

類型4對著斜面平拋“最小位移”打在斜面上斜面傾斜角為“位移”偏向角的余角

在斜面外平拋，落在斜面上位移最小，如圖所示，已知位移方向垂直斜面

【例11（2023秋?陜西安康?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，傾角為37。的斜面體A8C固定放置在水平面上,

斜面的高度為力，P點(diǎn)是A點(diǎn)正上方與C點(diǎn)等高的點(diǎn)，讓一小球（視為質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)水平向左拋出，落在斜

面的。點(diǎn)，已知P、。兩點(diǎn)的連線與斜面垂直，重力加速度為g,sin37=0.6、cos37=0.8,卜夕小說法止

確的是（）

A.小球在尸點(diǎn)的速度為

3

B.小球從P點(diǎn)到。點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為-

c.小球在。點(diǎn)的速度大小為叵

5

D.小球在。點(diǎn)的速度與水平方向夾角的正切值為2

【答案】A

【詳解】AB.過。點(diǎn)作R4的垂線與辦的交點(diǎn)為E，設(shè)平拋運(yùn)動的水平位移為”,即E、。兩點(diǎn)之間的距

離為人,如圖所示

由幾何關(guān)系可得

———+xtan37—h

tan37

由平拋運(yùn)動的規(guī)律可得

X=VJ,---=-gt2

°tan372

解得

4、%=得瘍^

255

A正確、B錯誤;

CD.小球在。點(diǎn)沿豎直方向的分速度為

%=gi

小球在。點(diǎn)的速度大小為

%與水平方向夾角的正切值為

tan^=—

%

解得

Jl46g〃*zj8

v=X———,tan?=-

nD1()3

CD錯誤。

故選Ao

【例2】（2023?廣東?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，在斜面的.上方A點(diǎn)，水平向右以初速度%拋出個(gè)小球,

不計(jì)空氣阻力，若小球擊中斜面8點(diǎn)（圖中未畫出），且A8距離恰好取最小值，則小球做平拋運(yùn)動的時(shí)間，

為（）

glan6

D.-r

2股

【詳解】若小球擊中斜面8點(diǎn)，且48距離恰好取最小值，則A8垂直斜面，此時(shí)有

，獷

可得

gtan。

故選C。

【例3】?如圖所示，一小球從某固定位置以一定初速度水平拋出，已知當(dāng)拋出速度為心時(shí)，小球落到一傾

角為8=60。的斜面上，且球發(fā)生的位移最小，不計(jì)空氣阻力，則（）

A.小球從拋出到落到斜面的時(shí)間為不

B.小球從拋出到落到斜面的時(shí)間為嚓2

C.小球的拋出點(diǎn)到斜面的距離為"

D.小球的拋出點(diǎn)到斜面的距離為鬻

【答案】BC

【解析】球平拋的位移最小，則拋出點(diǎn)和落點(diǎn)的連線與斜面垂直，分解位移，如圖所示。

設(shè)平拋時(shí)間為，，結(jié)合幾何關(guān)系知，tan8=9,x=vQt,解得餐筆以故選項(xiàng)A錯誤，B正確；s

=高=喘5=爵選項(xiàng)C正確，D錯誤。

題型四有約束條件的平拋運(yùn)動模型

類型1對著豎直墻壁的平拋運(yùn)動

如圖所示，水平初速度W不同時(shí)，雖然落點(diǎn)不同，但水平位移d相同，

【例1】（多選）（2022?石家莊市質(zhì)檢）如圖所示，水平放置的網(wǎng)球發(fā)球機(jī)正對著豎直墻面發(fā)射網(wǎng)球，兩次發(fā)射

的網(wǎng)球分別在墻上留下A、8兩點(diǎn)印跡。測得04=440P為水平線，若忽略網(wǎng)球在空中受到的阻力，下

列說法正確的是（）

A.兩球發(fā)射的初速度%:v?=l:2

B.兩球發(fā)射的初速度w：V?=A/2:1

C.兩球從P點(diǎn)發(fā)射到碰到墻面所用的時(shí)間tA：tB=\：^/2

D.兩球從P點(diǎn)發(fā)射到碰到墻面所用的時(shí)間tA：tB=\：2

【答案】BC

【解析】設(shè)0A=A8=/n忽略空氣阻力，則網(wǎng)球做平拋運(yùn)動，豎直方向上有力=缶仇2h=^gti，整理可

得〃：加=1：啦，選項(xiàng)C正確，D錯誤；網(wǎng)球在水平方向上做勻速運(yùn)動，而且水平位移大小相等，則有x

=VAIA=VBIB＞整理可得W:V/?=A/2：1,選項(xiàng)A錯誤，B正確。

【例2】.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，某同學(xué)從。

點(diǎn)對準(zhǔn)前方的一塊豎直放置的擋板將小球水平拋出，0與A在同一高度，小球的水平初速度分別為9、匕,

不計(jì)空氣阻力，小球打在擋板上的位置分別是8、C,且48=BC,則匕：均為（）

A.2：1B.72:1C.（a+2）:1D.（72+1）:1

【答案】B

【詳解】不計(jì)空氣阻力，小球在空中做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動規(guī)律

聯(lián)立得

寸幅

所以

11-但Z

又因?yàn)?/p>

墟」

4c2

所以

上="

眩1

故選B。

【例3】（2022?云南二模「飛鏢”是一項(xiàng)深受人們喜愛的運(yùn)動。鏢靶如圖所示，一同學(xué)練習(xí)投鏢，若他每次都

是將飛鏢水平投出，飛鏢在空中運(yùn)動可視為平拋運(yùn)動。某次飛鏢打在了靶中心的正上方某處，該同學(xué)下次

打靶時(shí)做出調(diào)整，可能讓飛鏢打在靶中心的是（）

A.保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和出手速度不變，減小飛鏢出手點(diǎn)到靶的水平距離

B.保持飛鏢出手點(diǎn)到靶的水平距離和出手速度不變，降低飛鏢出手點(diǎn)距地高度

C.保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和到靶的水平距離不變，增大飛鏢的出手速度

D.保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和到靶的水平距離不變，減小飛鏢的出手速度

【答案】BD

【解析】A.保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和出手速度不變，減小飛鏢出手點(diǎn)到靶的水平距離，則運(yùn)動到靶的時(shí)

間變短，豎直位移更短，落點(diǎn)在靶中心的正上方，A錯誤；

R.保持飛鏢出手點(diǎn)到靶的水平距離和出手速度不變，則運(yùn)動到靶的時(shí)間不變，豎直位移不變，由于降低飛

鏢出手點(diǎn)距地高度，落點(diǎn)可能在靶中心，故B正確

C.保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和到靶的水平距離不變，增大飛鏢的出手速度，則運(yùn)動到靶的時(shí)間變短，豎直

位移更短，落點(diǎn)在靶中心的正上方，故C錯誤；

D.保持飛鏢出手點(diǎn)距地高度和到靶的水平距離不變，減小飛鏢的出手速度，則運(yùn)動到靶的時(shí)間變長，豎直

位移變長，落點(diǎn)可能在靶中心，故D正確：

故選BD

類型2半圓內(nèi)的平拋問題

從圓心處拋出落到半徑為R的圓弧上，

如圖所示，位移大小等于半徑R

%=Vo/

cwR

y<y=2^

利用位移關(guān)系從與圓心等高圓弧上拋出落到半徑為R

〃x=R+Rcos0

的圓弧上，如圖所示，水平位移x與R

x=vot

的差的平方與豎直位移的平方之和等于y=Rsin0

半徑的平方<=家

0R

口

<=R2

【例1】（2023?廣東?一模）如圖所示，一平臺固定在豎直平面內(nèi)，以平臺右邊緣。點(diǎn)為原點(diǎn)，沿平臺右側(cè)

豎宜向下為），軸正方向，沿水平向右為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系在該坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

圓心，半徑為R的四分之一圓弧軌道豎直固定在平臺的右側(cè)。質(zhì)量為m的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以初速度四（大

小未知）沿x軸正方向平拋。重力加速度大小為g,不計(jì)空氣阻力。小球從O點(diǎn)拋出后到落到圓弧軌道上的

過程中，下列說法正確的是（）

A.當(dāng)初速度％的大小為適當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，小球可能垂直落到圓弧軌道上

B.初速度%越大，小球在空中運(yùn)動的時(shí)閭越K

C.初速度%=質(zhì)嬴時(shí)，小球落到圓弧軌道上的動量最小

D.小球落到圓弧軌道上的最小動能為日用小

【答案】D

【詳解】A.若小球垂直打在圓軌道上，則速度方向的反向延長線應(yīng)交于圓心；而于平拋運(yùn)動的規(guī)律可知,

速度方向的反向延長線應(yīng)交于水平位移的中點(diǎn)，根據(jù)題意可知圓心和水平位移的中點(diǎn)不是同一位置，故A

錯誤；

B.小球做平拋運(yùn)動，在豎直方向上物體做自由落體運(yùn)動，有

h=Qgt2

解得

Y

可知/!越大，小球在空中運(yùn)動時(shí)間越長，由圖可知小球速度四越小，下落的高度越高，飛行時(shí)間越長，故

B錯誤；

CD.設(shè)落地點(diǎn)與。點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為仇小球做平拋運(yùn)動

RcosO=vot

Rain0=—gt2

由動能定理得