2024屆高考物理 專題08 拋體運動九大問題（解析版）

專題08拋體運動九大問題

目錄

題型一平拋運動的基本規(guī)律.....................................................................1

題型二平拋運動的臨界、極值問題...............................................................5

題型三斜面上的平拋問題.......................................................................8

類型1.順著斜面平拋斜面傾斜角是“位移”偏向角................................................8

類型2.順著斜面（圓?。┢綊佇泵鎯A斜角是“速度”偏向角......................................13

類型3.對著斜面平拋“垂直”打在斜面上斜面傾斜角為“速度”偏向角的余角........................16

類型4對著斜面平拋“最小位移”打在斜面上斜面傾斜角為“位移”偏向角的余角...................21

題型四有約束條件的平拋運動模型..............................................................24

類型1對著豎直墻壁的平拋運動...........................................................24

類型2半圓內(nèi)的平拋問題.................................................................26

題型五平拋的多解問題........................................................................31

題型六平拋與圓周的臨界問題..................................................................34

題型七斜拋運動的理解和分析..................................................................38

題型人類平拋運動.............................................................................43

題型九拋體運動中的功能與動量................................................................48

題型一平拋運動的基本規(guī)律

【解題指導】1.性質(zhì)：平拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線。

2.研究方法：運動的合成與分解

（1）水平方向：勻速直線運動。

（2）豎直方向：自由落體運動。

水平方向：VX=VQ

（1）速度

豎直方向：Vy=gt

合速度的大小=+屋》

設合速度的方向與水平方向的夾角為仇有

tan0=匕=圖

Vxvo

水平方向：x=vot

（2）位移，

豎直方向：

合位移的大小巧=y（vo/）

設合位移的方向與水平方向的夾角為扇有

1史

tana==T-

x2voO

（3）三個重要結論：①合速度方向與水平方向的夾角。和合位移方向與水平方向的夾角a的關系，tan。=

2tana。

②做平拋（或類平拋）運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，即X"

_x

=2°

③速度變化：平拋運動是勻變速曲線運動，故在相等的時間內(nèi)，速度的變化量（Av=gAf）相等，且必沿豎

直方向，如圖所示。任意兩時刻的速度與速度的變化量Av構成三角形，Av沿豎直方向。

【例1】（2023春?湖南衡陽?高三?？茧A段練習）如圖所示，甲、乙兩人練習配合傳球投籃，兩人分別以2m/s、

3m/s的速度同時勻速垂直通過籃球場地中線時，二者相距3m,甲繼續(xù)勻速奔跑2s后從1.7m的高度將籃球

近似水平拋出，乙在1.5m的高度接住籃球并奔向籃板。不考慮籃球的自轉，忽略空氣阻力，重力加速度g

取IOm/s2,則籃球被甲拋出瞬間的速度大小約為（）

A.10m/sB.15m/sC.18m/sD.20m/s

【答案】D

【詳解】從場地中線開始，甲勻速跑動2s后，甲、乙兩人沿垂直場地中線方向的位移差為（3-2）x2m=2m,

甲拋出籃球后，球做平拋運動，乙接到球時，球下落的豎直高度

力=(1.7—1.5)m=0.2m

由

.1

h=Qgl

可得球運動的時間

t—0.2s

在球做平拋運動的0.2s內(nèi)，乙仍然做勻速運動，此過程籃球的水平位移

x=戶+(2+3x02)2m?3.97m

由

可解得籃球被甲拋出瞬間的速度

%=19.85m/s

故選D。

【例2】(2023?河南鄭州?高三鄭州外國語學校?？茧A段練習)從。點以水平速度，拋出一小物體，經(jīng)過M

點時速度大小為&v，N點為。到M之間軌跡上與直線OM距離最遠的點，不計空氣阻力，下列說法正確

的是：)

A.小物體經(jīng)N點時的速度方向與。M不平行

B.小物體從。到N經(jīng)歷的時間為《

C.0、N之間的距離為江

8g

D.曲線ON與MN關于過N點且與OM垂直的直線對稱

【答案】B

【詳解】A.小物體運動過程中與OM的距離最遠，即沿與OM垂直方向的分速度為零，所以此時的速度方

向與OM平行，選項A錯誤；

B.經(jīng)過M點時的速度與水平方向的夾角為45。，設OM與水平方向的夾角為a,由幾何關系可知

tana=〔tan450

2

所以經(jīng)N點時的速度豎直分量

v,=vtana=-^

故從。到N的時間為

v

/=一

2g

選項B正確；

C.ON之間的水平位移

x=vt

豎直位移

y=-1st

。、N之間的距離為

B嚕

選項c錯誤；

D.初速度為％末速度為&心所以曲線ON與MN不對稱，選項D錯誤；

故選B。

【例3】.（2022?浙江金華十校4月模擬）圖甲是消防車正在機場進行水柱滅火演練的情景，小劉模擬消防水

柱的示意圖如圖乙所示。水在空中運動，A、B為其運動軌跡上的兩點，已知水在A點時的速度大小為丫=6

m/s,速度方向與豎直方向的夾角為45°,它運動到B點時，速度方向與豎直方向的夾角為37°（sin37°=0.6）,

不計空氣阻力，重力加速度g取lOm/s?,則（）

甲乙

A.圖中A點是水在空中運動過程的最高點

B.水在空中運動過程為變加速曲線運動

C.水在B點時的速度大小為8m/s

D.4、B兩點間的高度差為0.7m

【答案】D

【解析】圖中A點速度方向不是水平的，則圖中A點不是水在空中運動過程的最高點，選項A錯誤；水

在空中運動過程中，加速度恒定為g,則水在空中運動，為勻加速曲線運動，選項B錯誤；水在A、6兩點

時水平速度相同,則v八sin450=vfisin37c.解得B點時水的速度大小為m=5啦m/s,選項C錯誤：A、B

廿、,（VBCOS370）2—（wos450）2"一一人

兩點間的高度差為力=------------云-------------=0.7m,選項D正確。

【例4】.（2023?廣東廣州?高三廣州市白云中學?？计谥校┤鐖D，正在平直公路行駛的汽車緊急剎車，位于

車廂前端、離地高度分別為3.2m、〃=2.4m的兩件物品，因沒有固定而散落到路面，相距由

此估算剎車時的車速最接近（）

A.40km/hB.50km/hC.70km/hD.90kni/h

【答案】A

【詳解】汽車緊急剎車后物品做平拋運動，平拋初速度等于汽車碰撞瞬間的行駛速度，設為了。

對于物品A,水平方向上，有

4=叫

豎直方式上，有

h=%

對于物品B,水平方向上，有

/=%

豎直方式上，有

根據(jù)題圖分析可知

解得汽車的行駛速度

v=9.33m/s=33.6km/h

所以剎車時的車速最接近40km/h

故選A。

題型二平拋運動的臨界、極值問題

【解題指導】1.平拋運動的臨界問題有兩種常見情形：（1）物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小

初速度；（2）物體的速度方向恰好達到某一方向.

2.解題技巧：在題中找出有關臨界問題的關鍵字，如“恰好不出界”、“剛好飛過壕溝”、“速度方向恰好與斜

面平行”、“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運動對應的位移規(guī)律或速度規(guī)律進行解題.

【例1】（2023?山東濱州?統(tǒng)考二模）從高H=4m處的點A先后水平拋出兩個小球1和2,球1與地面碰撞

一次后，恰好越過位于水平地面上高為力的豎直擋板，然后落在水平地面上的。點，碰前碰后的速度水平

方向不變，豎直方向等大反向。球2恰好越過擋板也落在。點，忽略空氣阻力。擋板的高度人為（）

A.3.5mB.3mC.2.5mD.2m

【答案】B

【詳解】A.設1、2球的初速度分別為耳、v2,從拋出到落到。點運動的時訶分別為《、弓則對兩球在水

平方向有

卬2=M

依題意

4=3q

所以

又因兩球飛過豎直擋板前的水平位移相同，而速度的水平分量的關系為

匕=3%

故它們飛過擋板前的運動時間滿足

，；=訓

設球1從第一次落地到飛至擋板頂端所用的時間為h則上述關系可寫為

楞+,=3梅…

球1第一次落地時速度的豎直分量為

力=j2gH

到達擋板頂端時速度的豎直分量為

vf=j2g（H-〃）

兩者滿足

K,W+gi

聯(lián)立方程并代入數(shù)據(jù)可得

3

h=-H=3m

4

故選B。

【例2】（多選）（2022?海南省模擬）將小球從如圖所示的階梯狀平臺上以一定的水平初速度w水平拋出，所有

臺階的高度和寬度均為1.0m,取g=10m/s2,要使小球拋出后落到第三級臺階匕則w可能為（）

B.3.5m/s

D.2鄧m/s

【答案】AB

【解析】小球拋出后越過第二臺階，根據(jù)平拋運動的特點水平方向做勻速色動，豎直方向做自由落體運

動可矢J〃2=2L=/g&%2=W2>2L；小球拋出后不會越過第三臺階，有飽=3[=如，M=W3W33解得不

m/s<vo<\[\5m/s,故選項A、B正確。

【例3】（2022?廣東五校一聯(lián)）某科技比賽中，參賽者設計了一個軌道模型，如圖所示.模型放到0.8m高的水

平桌子上，最高點距離水平地面2m,右端出口水平.現(xiàn)讓小球由最高點靜止釋放，忽略阻力作用，為使小

球飛得最遠，右端出口距離桌面的高度應設計為（）

A.OB.0.1mC.0.2mD.0.3m

【答案】C

【解析】小球從最高點到右端出口，滿足機械能守恒，有/Mg（〃一〃）=品/，從右端出口飛出后小球做平

拋運動，有x=w,力=*產(chǎn)，聯(lián)立解得x=2、（H—h）h,根據(jù)數(shù)學知識知，當H—力=人時，x最大，即仁1m

時，小球飛得最遠，此時右端出口距離桌面高度為m—0.8m=0.2m,故C正確.

【例4】（2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模）“山西刀削面”堪稱天下一絕，如圖所示，小面圈（可視為質(zhì)點）從距離

開水鍋高為人處被水平削離，與鍋沿的水平距離為L,鍋的半徑也為L忽略空氣阻力，且小面圈都落入鍋

中，重力加速度為g,則下列關于所有小面圈在空中運動的描述正確的是（）

A.運動的時間都相同

B.速度的變化量不相同

C.落入鍋中時，最大速度是最小速度的3倍

D.若小面圈剛被拋出時初速度為％,則4號<%<3

【答案】AD

【詳解】A.所有的小面圈在空中均做平拋運動，豎直方向均為自由落體運動，根據(jù)

可知所有的小面圈在空中運動的時間都相同，A正確;

B.所有面圈都只受到重力作用，所以加速度均為g,根據(jù)

可知所有面圈在空中運動過程中速度的變化量相同，B錯誤：

CD.若小面圈剛被拋出時初速度為%,根據(jù)水平方向為勻速直線運動，落在鍋里的水平距離最小值為L,

最大值為3L有

面圈落入鍋中時水平速度最大值為最小值的3倍，但是豎直速度相等，根據(jù)速度的合成

可知落入鍋中時，最大速度小于最小速度的3倍，C錯誤，D正確。

故選AD0

題型三斜面上的平拋問題

類型1.順著斜面平拋斜面傾斜角是“位移”偏向角

(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如圖)

處理方法：分解位移.

X=Vot

12

tan

2v（）tan0

可求得f=

g

（2）物體離斜面距離最大，已知速度方向沿斜面向下（如圖）

處理方法：分解速度

Vt=Vo，Vy=gt

v（）tan0

【例1X2023?安徽?校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，在傾角為30。的斜面上A點以初速度%水平拋出?個小球,

小球恰好落在斜面上的8點，若小球在A點拋出的初速度方向與斜面垂直，結果小球也恰好落在斜面上的B

點，則此時小球拋出的初速度大小為（）

c.%D.75%

【答案】C

【詳解】根據(jù)題意，由平拋運動規(guī)律有

￡2

tan30°=^—=-^-

2%

解得

2島。

則有

2國

3g

設小球與斜面垂直方向以-拋出，則有

2回；

usin30°，］

3g

-vcos30°?%+，gf；=

23g

解得

故選C。

【例2】（2023春?湖南岳陽?高三岳陽一中校聯(lián)考階段練習）如圖所示，物體在傾角為仇足夠長的斜面上做

平拋運動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（）

A.物體在空中運動的時間與初速度成正比

B.落到斜面上時，速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大

C.拋出點和落點之間的距離與初速度成正比

D.物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度成正比

【答案】A

【詳解】A.依題意，初速度不同的小球均落在斜面上，則具有共同的位移偏向角凡根據(jù)平拋運動規(guī)律有

-gt2

tan”2上

x%，

得

物體在空中運動的時間與初速度成正比，A正確;

B.落到斜面上時，速度與水平方向夾角a滿足

tanor————-2tan9

%%

則落到斜面上時速度方向與斜面夾角與初速度無關，B錯誤;

C.拋出點與落點間距離

拋出點和落點之間的距離與初速度的平方成正比，c錯誤：

D.當小球在運動過程中速度方向與斜面平行時，小球離斜面的距離最大，把小球初速度及重力加速度分解

在平行斜面與垂直斜面方向上，可得小球離斜面的最大距離為

(%sinO『

則物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度的平方成正比，D錯誤。

故選A。

【例3】（2023春?浙江?高三校聯(lián)考階段練習）跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，某運動員從跳臺4處沿水平

方向飛出，在斜面上的8處著陸，斜面與水平方向夾角為30。且足夠長，不計空氣阻力，下列說法

正確的是（）

A.運動員在空中相同時間內(nèi)的速度變化相同B.運動員在斜面上的落點到4點的距離與初速度成正比

C.運動員落在8處的速度與水平方向夾角60。D.運動員的質(zhì)量越大，落點離4越遠

【答案】A

【詳解】A.運動員在空中只受重力，加速度恒定，單位時間內(nèi)速度變化相同，A正確；

B.落點到A的距離利用平拋規(guī)律

sin30°

2%tan30°

8

2vjsin30°

Sgcos230°

所以運動員在斜面上的落點到A點的距離與初速度的平方成正比，故B錯誤；

C.速度與水平方向夾角的正切值是2tan30。，C錯誤；

D.落點與質(zhì)量無關，D錯誤。

故選Ao

【例4】?（2023?全國?高三專題練習）近年來，國家大力開展冰雪運動進校園活動，目前已有多所冰雪特色

學校，蹬冰踏雪深受學生喜愛。如圖所示，現(xiàn)有兩名滑雪運動員（均視為質(zhì)點）從跳臺。處先后沿水平方

向向左飛出，其速度大小之比為9：玲=2:1,不計空氣阻力，則兩名運動員從飛出至落到斜坡（可視為斜面）

上的過程中，下列說法正確的是（）

A.他們飛行時間之比為％：〃=1:2

B.他們飛行的水平位移之比為七：々=2：1

C.他們速度變化之比為△匕：A%=2:1

D.他們在空中離坡面的最大距離之比為耳&=2：1

【答案】C

【詳解】A.運動員從跳臺〃處水平飛出，設初速度為％,飛行時間為匕斜坡的傾角為。，運動員在空中

做平拋運動，落到斜坡上時則有

tan0=——

x

解得

2vntan0

g

可得他們飛行時間之比為

ti:t2=vi:v2=2}l

A錯誤；

B.運動員飛行的水平位移為

片tan。

g

他們飛行的水平位移之比為

M：“2=V：：￥=4:1

B錯誤；

C.兩運動員在水平方向的速度不變，在豎直方向的速度變化為

例,=gf

因為他們飛行時間之比為

乙：，2=2：1

則有他們速度變化之比為

△匕:AV2=:g，2=2:1

C正確；

D.運動員在空中離坡面的最大距離為

$=（%sin行

2gcos。

他們在空中離坡面的最大距離之比為

。：G=y：：g=4：1

D錯誤。

故選C。

類型2,順著斜面（圓?。┢綊佇泵鎯A斜角是“速度”偏向角

1.從斜面外恰好與斜面平行的方向落到斜面（如圖）：

合速度與水平速度的夾角等于斜面傾角,常用速度關系tan〃=￡=?.

2.從圓弧形軌道外平拋，恰好無碰撞地進入圓弧形軌道，如圖所示，即已知速度方向沿該點圓弧的切線方向

分解速度tan0=V=《

【例1】.（2023?四川?模擬預測）如圖所示，從。點以初速度vo=6m/s水平拋出一質(zhì)量機=0.5kg的小球（視

為質(zhì)點），小球恰好從豎直放置的光滑圓弧軌道的b點沿切線進入圓弧軌道，經(jīng)過最低點c,最后從d點飛

出圓孤軌道。已知圓弧軌道半徑R=L2m,慶段圓弧所對的圓心角a=60。，O為圓心，Od為水平半徑，不計

空氣阻力，重力加速度g=10m/s20則下列分析錯誤的是（）

A.”、。兩點的高度差為5.4m

B.小球在c點時對圓弧軌道的壓力大小為70N

C.小球在d點時對圓弧軌道的壓力大小為55N

D.小球從d點離開后還能上升的高度為4sm

【答案】D

【詳解】A.小球恰好從豎直放置的光滑圓瓠軌道的8點沿切線進入圓弧軌道，則有

乜=tan60。

%

W=2gh

解得

力=5.4m

故A正確，不符合題意；

B.規(guī)定。點為零勢能而根據(jù)能量守恒可得

mgh+（1—cos60°）R+；m片=g

在c點由牛頓第二定律

，咔=入一，叫

K

解得

/\=70N

故B正確，不符合題意；

C.由牛頓第二定律和機械能守恒定律

5=55N

故C正確，不符合題意;

D.由公式可得

V=2g%

故D錯誤，符合題意。

故選D。

【例2】（2023春?全國?高三專題練習）如圖所示，以速度%=4m/s從。點水平拋出的小球，抵達光滑固定

的斜面上端P處時，速度方向恰好沿著斜面方向，然后緊貼斜面PQ做勻加速直線運動，已知斜面傾角為37。

（sin37°=0.6,cos370=0.8）,不計空氣阻力，取重力加速度為g=lOm/s?。下列說法正確的是（）

Q/

A.0點到P點的豎直距離為0.45m

B.小球在斜面上運動的加速度大小比平拋運動時的大

C.撤去斜面，小球仍從。點以相同速度水平拋出，落地時間將變小

D.撤去斜面，小球仍從。點以相同速度水平拋出，落地速度不變

【答案】AC

【詳解】A.由題意可知，小球落到斜面上時速度偏轉角為37。，則有

tan37。=國

t=0.3s

又因為

,12

解得

h=0.45m

故A項正確；

B.小球做平拋運動時的加速度為g=10m/s2,小球在斜面上運動時

〃?gsin37°=ma

解得

a=6m/s2<g

故B項錯誤；

C.由于小球在斜面上的加速度，由之前分析可知為a=6m/s2,則小球在斜面上運動時，在豎直方向的加速

度為

2

ay=asin37°=3.6m/s

由此可知，有斜面時，小球在豎直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小球的下落時間變

小，故C項正確；

D.根據(jù)機械能守恒得

=^mv2

撤去斜面，〃不變，則落地的速率y不變，但是速度方向不同，故D項錯誤。

故選ACo

類型3.對著斜面平拋“垂直”打在斜面上斜面傾斜角為“速度”偏向角的余角

對著斜面平拋

垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下（如圖）

【例4（2023?全國?二模）一種定點投拋游戲可簡化為如圖所示的模型，以水平速度4從。點拋出小球，小

球正好落入傾角為。的斜面上的洞中，洞=1處于斜面上的P點，0、P的連線正好與斜面垂直；當以水平速

度Z從O點拋出小球時，小球正好與斜面在。點垂直相碰。不計空氣阻力，重力加速度為g,下列說法正

確的是（）

R.。點在P點的下方

C.v,>v2

D.小球落在P點所用的時間與落在。點所用的時間之比是手

【答案】AD

【詳解】A.以水平速度力從O點拋出小球，正好落入傾角為。的斜面上的洞中，此時位移垂直于斜面,

由幾何關系可知

tan0=-1-1=—

所以

gtan。

A正確；

BC.當以水平速度也從O點拋出小球，小球正好與斜面在。點垂直相碰，此時速度與斜面垂直，根據(jù)幾

何關系可知

tan0=

厚2

即

gtan。

故0。連線與豎直方向的夾角滿足

tana=2tan。

而O尸連線與豎直方向夾角為仇所以a〉e,故。點在尸點的上方。由y=：gf2可知，r2<r,,又因為水平

位移再,X，由％=；可知，v2>v,,故B、C錯誤；

D.落在P點的時間與落在Q點的時間之比是

工=生

t2匕

D正確。

故選AD<,

【例2】（2023秋?河北邢臺?高三統(tǒng)考期末）如圖所示，小球以初速度%正對傾角為。的斜面水平拋出，小球

剛好垂直碰撞斜面，已知小球做平拋運動的時間為Z,則重力加速度大小為（）

/tang

【答案】C

【詳解】小球剛好垂直碰撞斜面時，碰撞速度與水平速度、豎直速度的情況如圖所示

tan0=%

%

丑八

in口

%=gi

解得

故C正確。

故選C。

【例3】.（2023春?山西晉城?高三?？茧A段練習）如圖，飛機距離水平地面的高度為從在水平方向以速度

山勻速飛行，到達山坡底端正上方時釋放一箱質(zhì)量為機的救援物資，救援物資打在山坡上的A點，A點的

高度為小不考慮空氣阻力的影響，則（）

A.這箱物資在空中飛行的時間為楞

B.這箱物資落到A點時的動能為小秋“-加

C.A點距山坡底端的水平距離為%

D.山坡的傾角。滿足tan。

h

【答案】C

【詳解】A.由

H-h=；g戶

可得這箱物資在空中飛行的時間為

故A錯誤;

B.不考慮空氣阻力的影響，只有重力做功，所以有

線-h)

可得

耳=mg(H-h)+^mvl

故B錯誤;

C.A點距山坡底端的水平距離即為物資的水平位移，則有

2(Hf)

故C正確；

D.山坡的傾角。滿足

故D錯誤。

故選Co

【例4】.（2023?江蘇鹽城?高三鹽城中學?？茧A段練習）如圖在同一豎直平面為將兩個完全相同的小球從不

同的位置沿水平方向拋出，拋出點分別為A點和5點（圖中未畫出），初速度分別為乙和乙,并且以,也，

經(jīng)過一段時間的運動后，兩個小球同時垂直落到斜面上的同一個位置。點，不計空氣阻力，則（）

A.A。連線與水平方向的夾角一定和8。連線與水平方向的夾角不相同

B.兩個小球落到斜面上時的動能可能相同

C.A。連線與水平方向的夾角一定與斜面的傾角相同

D.兩個小球的運動時間一定不同

【答案】D

【詳解】A.兩小球垂直落入斜面，速度的偏轉角相同，由平拋運動的規(guī)律可知，速度偏轉角的正切值是位

移偏轉角的正切值的兩倍，所以A。連線與水平方向的夾角一定和8。連線與水平方向的夾角相同，故A錯

誤；

BD.當小球落到斜面上時，將小球的速度進行分解，由幾何關系可得

tan^=—

4

由平拋運動的規(guī)律

Vy=gt

解得

gtan。

由題H可知

所以

小球的末動能

「1212

片=耳山外+/機4

所以

故B錯誤，D正確;

C.設4。連線與水平方向的夾角為由平拋運動的規(guī)律

h

tana=—=--

聯(lián)立求解可得

tana=--------

2tan夕

故C錯誤。

故選D,

類型4對著斜面平拋“最小位移”打在斜面上斜面傾斜角為“位移”偏向角的余角

在斜面外平拋，落在斜面上位移最小，如圖所示，已知位移方向垂直斜面

【例11（2023秋?陜西安康?高三統(tǒng)考階段練習）如圖所示，傾角為37。的斜面體A8C固定放置在水平面上,

斜面的高度為力，P點是A點正上方與C點等高的點，讓一小球（視為質(zhì)點）從P點水平向左拋出，落在斜

面的。點，已知P、。兩點的連線與斜面垂直，重力加速度為g,sin37=0.6、cos37=0.8,卜夕小說法止

確的是（）

A.小球在尸點的速度為

3

B.小球從P點到。點的運動時間為-

c.小球在。點的速度大小為叵

5

D.小球在。點的速度與水平方向夾角的正切值為2

【答案】A

【詳解】AB.過。點作R4的垂線與辦的交點為E，設平拋運動的水平位移為”,即E、。兩點之間的距

離為人,如圖所示

由幾何關系可得

———+xtan37—h

tan37

由平拋運動的規(guī)律可得

X=VJ,---=-gt2

°tan372

解得

4、%=得瘍^

255

A正確、B錯誤;

CD.小球在。點沿豎直方向的分速度為

%=gi

小球在。點的速度大小為

%與水平方向夾角的正切值為

tan^=—

%

解得

Jl46g〃*zj8

v=X———,tan?=-

nD1()3

CD錯誤。

故選Ao

【例2】（2023?廣東?高三統(tǒng)考階段練習）如圖所示，在斜面的.上方A點，水平向右以初速度%拋出個小球,

不計空氣阻力，若小球擊中斜面8點（圖中未畫出），且A8距離恰好取最小值，則小球做平拋運動的時間，

為（）

glan6

D.-r

2股

【詳解】若小球擊中斜面8點，且48距離恰好取最小值，則A8垂直斜面，此時有

，獷

可得

gtan。

故選C。

【例3】?如圖所示，一小球從某固定位置以一定初速度水平拋出，已知當拋出速度為心時，小球落到一傾

角為8=60。的斜面上，且球發(fā)生的位移最小，不計空氣阻力，則（）

A.小球從拋出到落到斜面的時間為不

B.小球從拋出到落到斜面的時間為嚓2

C.小球的拋出點到斜面的距離為"

D.小球的拋出點到斜面的距離為鬻

【答案】BC

【解析】球平拋的位移最小，則拋出點和落點的連線與斜面垂直，分解位移，如圖所示。

設平拋時間為，，結合幾何關系知，tan8=9,x=vQt,解得餐筆以故選項A錯誤，B正確；s

=高=喘5=爵選項C正確，D錯誤。

題型四有約束條件的平拋運動模型

類型1對著豎直墻壁的平拋運動

如圖所示，水平初速度W不同時，雖然落點不同，但水平位移d相同，

【例1】（多選）（2022?石家莊市質(zhì)檢）如圖所示，水平放置的網(wǎng)球發(fā)球機正對著豎直墻面發(fā)射網(wǎng)球，兩次發(fā)射

的網(wǎng)球分別在墻上留下A、8兩點印跡。測得04=440P為水平線，若忽略網(wǎng)球在空中受到的阻力，下

列說法正確的是（）

A.兩球發(fā)射的初速度%:v?=l:2

B.兩球發(fā)射的初速度w：V?=A/2:1

C.兩球從P點發(fā)射到碰到墻面所用的時間tA：tB=\：^/2

D.兩球從P點發(fā)射到碰到墻面所用的時間tA：tB=\：2

【答案】BC

【解析】設0A=A8=/n忽略空氣阻力，則網(wǎng)球做平拋運動，豎直方向上有力=缶仇2h=^gti，整理可

得〃：加=1：啦，選項C正確，D錯誤；網(wǎng)球在水平方向上做勻速運動，而且水平位移大小相等，則有x

=VAIA=VBIB＞整理可得W:V/?=A/2：1,選項A錯誤，B正確。

【例2】.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，某同學從。

點對準前方的一塊豎直放置的擋板將小球水平拋出，0與A在同一高度，小球的水平初速度分別為9、匕,

不計空氣阻力，小球打在擋板上的位置分別是8、C,且48=BC,則匕：均為（）

A.2：1B.72:1C.（a+2）:1D.（72+1）:1

【答案】B

【詳解】不計空氣阻力，小球在空中做平拋運動，由平拋運動規(guī)律

聯(lián)立得

寸幅

所以

11-但Z

又因為

墟」

4c2

所以

上="

眩1

故選B。

【例3】（2022?云南二?！革w鏢”是一項深受人們喜愛的運動。鏢靶如圖所示，一同學練習投鏢，若他每次都

是將飛鏢水平投出，飛鏢在空中運動可視為平拋運動。某次飛鏢打在了靶中心的正上方某處，該同學下次

打靶時做出調(diào)整，可能讓飛鏢打在靶中心的是（）

A.保持飛鏢出手點距地高度和出手速度不變，減小飛鏢出手點到靶的水平距離

B.保持飛鏢出手點到靶的水平距離和出手速度不變，降低飛鏢出手點距地高度

C.保持飛鏢出手點距地高度和到靶的水平距離不變，增大飛鏢的出手速度

D.保持飛鏢出手點距地高度和到靶的水平距離不變，減小飛鏢的出手速度

【答案】BD

【解析】A.保持飛鏢出手點距地高度和出手速度不變，減小飛鏢出手點到靶的水平距離，則運動到靶的時

間變短，豎直位移更短，落點在靶中心的正上方，A錯誤；

R.保持飛鏢出手點到靶的水平距離和出手速度不變，則運動到靶的時間不變，豎直位移不變，由于降低飛

鏢出手點距地高度，落點可能在靶中心，故B正確

C.保持飛鏢出手點距地高度和到靶的水平距離不變，增大飛鏢的出手速度，則運動到靶的時間變短，豎直

位移更短，落點在靶中心的正上方，故C錯誤；

D.保持飛鏢出手點距地高度和到靶的水平距離不變，減小飛鏢的出手速度，則運動到靶的時間變長，豎直

位移變長，落點可能在靶中心，故D正確：

故選BD

類型2半圓內(nèi)的平拋問題

從圓心處拋出落到半徑為R的圓弧上，

如圖所示，位移大小等于半徑R

%=Vo/

cwR

y<y=2^

利用位移關系從與圓心等高圓弧上拋出落到半徑為R

〃x=R+Rcos0

的圓弧上，如圖所示，水平位移x與R

x=vot

的差的平方與豎直位移的平方之和等于y=Rsin0

半徑的平方<=家

0R

口

<=R2

【例1】（2023?廣東?一模）如圖所示，一平臺固定在豎直平面內(nèi)，以平臺右邊緣。點為原點，沿平臺右側

豎宜向下為），軸正方向，沿水平向右為x軸正方向建立直角坐標系在該坐標系中，以坐標原點。為

圓心，半徑為R的四分之一圓弧軌道豎直固定在平臺的右側。質(zhì)量為m的小球從坐標原點O以初速度四（大

小未知）沿x軸正方向平拋。重力加速度大小為g,不計空氣阻力。小球從O點拋出后到落到圓弧軌道上的

過程中，下列說法正確的是（）

A.當初速度％的大小為適當?shù)闹禃r，小球可能垂直落到圓弧軌道上

B.初速度%越大，小球在空中運動的時閭越K

C.初速度%=質(zhì)嬴時，小球落到圓弧軌道上的動量最小

D.小球落到圓弧軌道上的最小動能為日用小

【答案】D

【詳解】A.若小球垂直打在圓軌道上，則速度方向的反向延長線應交于圓心；而于平拋運動的規(guī)律可知,

速度方向的反向延長線應交于水平位移的中點，根據(jù)題意可知圓心和水平位移的中點不是同一位置，故A

錯誤；

B.小球做平拋運動，在豎直方向上物體做自由落體運動，有

h=Qgt2

解得

Y

可知/!越大，小球在空中運動時間越長，由圖可知小球速度四越小，下落的高度越高，飛行時間越長，故

B錯誤；

CD.設落地點與。點的連線與水平方向的夾角為仇小球做平拋運動

RcosO=vot

Rain0=—gt2

由動能定理得