高考數(shù)學(xué)一輪備考等差數(shù)列專項(xiàng)練

等差數(shù)列專項(xiàng)練

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”.若?。?,且。"+%+「吊=0，^-1=38,

則m=()

A.38B.20C.10D.9

2.在等差數(shù)列｛%｝中，S.為其前〃項(xiàng)和，若生+牝+%=12,則$9=()

A.20B.27C.36D.45

3.《周髀算經(jīng)》中給出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小

滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列的結(jié)論.已知某地區(qū)立春與驚蟄兩個(gè)節(jié)氣

的日影長(zhǎng)分別為9尺和7尺，現(xiàn)在從該地日影長(zhǎng)小于7尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取2個(gè)節(jié)氣進(jìn)

行日影長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)，則所選取這2個(gè)節(jié)氣中恰好有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于3尺的概率為

()

A.±B,AD.3

715215

4.設(shè)數(shù)列彷〃｝的通項(xiàng)公式為a〃=2〃-7,則EI+EI+I/H----卜1司/=

()

A.139B.153

C.144D.178

5.已知遞增等差數(shù)列｛%｝中，4出=-2,則%的()

A.最大值為一4B.最小值為4C.最小值為-4I).最大值為4

6.某市抗洪指揮部接到最新雨情通報(bào)，未來(lái)24%城區(qū)攔洪壩外洪水將超過(guò)警戒水位，

因此需要緊急抽調(diào)工程機(jī)械加高加固攔洪壩.經(jīng)測(cè)算，加高加固攔洪壩工程需要調(diào)用20

臺(tái)某型號(hào)翻斗車，每輛翻斗車需要平均工作24〃.而抗洪指揮部目前只有一輛翻斗車可

立即投入施工，其余翻斗車需要從其他施工現(xiàn)場(chǎng)抽調(diào).若抽調(diào)的翻斗車每隔20min才有

一輛到達(dá)施工現(xiàn)場(chǎng)投入工作，要在24〃內(nèi)完成攔洪壩加高加固工程，指揮部至少把露攀

抽調(diào)這種型號(hào)翻斗車（）

A.25輛B.24輛C.23輛D.22輛

7.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和邑，且S3=4,S7=14,則最小時(shí)，〃的值

為（）.

A.2B.1或2C.2或3D.3或4

8.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中一個(gè)問(wèn)

題為“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問(wèn)中間二節(jié)欲均容各多少？”

其中“欲均容”的意思是：使容量變化均勻，即由下往上均勻變細(xì).該問(wèn)題中由上往下

數(shù)的第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（）

*17力7「113”門109

A.丁升Bn.彳升TLC.■升D.■升n

626633

9.已知數(shù)列應(yīng)｝、圾｝都是等差數(shù)列，設(shè)｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S.，他｝的前〃項(xiàng)和為7；.

..S.2/z+1.a<

43

Tn3w+2*7bs

,1911

A.--Dn.—C.—D.1

2925173

10.記S”為等差數(shù)列｛勺｝的前〃項(xiàng)和.已知§4=0,%=5,則（）

C.S.=2〃2_8〃D,S=^-2n

A.B.a

11.一個(gè)至少有3項(xiàng)的數(shù)列｛4中，前〃項(xiàng)和S。=/（q+/）是數(shù)列｛叫為等差數(shù)列

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件I）.既不充分也不必要條件

12.已知數(shù)列血｝是首項(xiàng)為。，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列也,｝滿足"=匕％.若對(duì)任

意的都有”之“成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[-6,-5]B.（-6,-5）C.[-5,-4]D.（-5,-4）

二、填空題

13.已知數(shù)列｛a〃｝滿足團(tuán)=1,q=2勺_]+2"'（〃之2,〃eN，）,則—?

14.已知等差數(shù)列｛q｝的公差為2,前"項(xiàng)和為S,,且金,1,5bn=——?jiǎng)t數(shù)

4-4+1

列｛4｝的前50項(xiàng)和T50=_________.

15.在等差數(shù)列｛q｝中，若即^+。助3=4,則該數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為—

16.已知數(shù)列｛《｝滿足《=2,^+^+1=(-1)\則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為_(kāi)

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q+%=76,8=-36,則S”的最小值是

三、解答題

18.等差數(shù)列｛可｝滿足/+%=10，4一%=2.

(1)求｛勺｝的通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)等比數(shù)列也｝滿足仇=%,4=%，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

19.已知等差數(shù)列｛log,%｝的首項(xiàng)為1,公差為1,等差數(shù)列｛4｝滿足

(〃+1應(yīng)=n2+2n+k.

(1)求數(shù)列｛凡｝和數(shù)列他｝的通項(xiàng)公式；

⑵若。。吟，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

20.設(shè)S“為數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和，已知％=2,對(duì)任意都有2S“=(〃+1”..

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

4

(2)若數(shù)列~的前〃項(xiàng)和為。.

風(fēng)(q+2)

①求小

②若不等式/-機(jī)-對(duì)任意的〃wN,恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

21.已知數(shù)列｛4｝中，6=3,點(diǎn)(凡M+J在直線y=3x上.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式及其前〃項(xiàng)的和S.；

⑵設(shè)”=2,〃eN*,證明：4+8+…

%4

21

22.記S”為數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)即，”,為數(shù)列｛S.｝的前〃項(xiàng)積，已知丁+r=2.

（1）證明：數(shù)列出｝是等差數(shù)列;

（2）求｛&｝的通項(xiàng)公式.

1.c

【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列的性痂可得+4”=25.

:j+Qm+「,二°，,*=。或4=2?

若。”>=°，顯然S21nT=（2〃?—1）%,二38不成立，工4=2.

，52.]=（2m-1）4=38,解得朋=10.

故選：C.

2.C

【詳解】因?yàn)椋?jiàn)｝為等差數(shù)列，的+，+%=12,.,.3q+l2d=12,因此4+4d=4

oxR

又?/S9=9a,+-----d=9fl1+36d=9（6+4d）,S9=36.

故選C

3.B

【詳解】設(shè)十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列｛〃“｝,公差為"，

由題意知：4=9,4=7,可得]=呼乎==2=-1，

所以%=（+（〃-4"=9+（〃-4）（-1）=13-〃,

令%=13-〃<3可得：〃>10,

4=13-〃<7可得：n>6,

所以這十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于3尺的有2個(gè)，分別為a”，如

a

小于7尺的有6個(gè)，分別為％,%，為，4o，\\?%，

從中任取2個(gè)基本事件有（“7,"8），（"7'"9），（"7'"10），1），（“7M12），（“8,%），（。8，"[0），

（。8，。12），（。9，。1（）），（火，J，（。9，“12），（“l(fā)0，。”），（。10，。12），（。11,。12）共15個(gè),

所以所選取這2個(gè)節(jié)氣中恰好有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于3尺的有（%，%），（〃7，62），（4，%），

（“8,。12），（。9,””），（。9,。12），（40，“11），（“10,42）共有8個(gè),

所選取這2個(gè)節(jié)氣中恰好有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于3尺的概率為尸，

故選：B

4.B

【詳解】Van=2n—7,一a”=2(〃+1)一7-(2〃-7)=2,

???數(shù)列彷〃｝為等差數(shù)列，且司=-5,d=2.

."mg,n(n-\)dw(w-l)x2

??刖〃項(xiàng)和cS=na.-\-------=-5n+---------=n2-6n.

n22

**-Ia,|+4----F|a/5|=-^-a;-a3+tf4+---+?I5=-S3+(SI5-S3)=S15-2S3=153.

故選：B

5.B

【詳解】解：???遞增等差數(shù)列仿4中，a所-2,

，3/(4+加;?2,且d>0,

2

：?d=----%,.'.aXO,

a\

4f<4A

a^a,+2cf=一％一］22/(-aj----=4,

當(dāng)且僅當(dāng)司=-2時(shí)，等號(hào)成立，

，為有最小值4.

故選：B.

6.C

【詳解】總工作量為：20x24=480%,

由題意可知：每調(diào)來(lái)一輛車，工作時(shí)間依次遞減;分，則每輛車的工作時(shí)間成等差數(shù)列,

設(shè)第〃輛車的工作時(shí)間為%,則為-24,等差數(shù)列的公差4=-；，

*,>〃輛車的工作總時(shí)長(zhǎng)S=na+=24〃一

nx乂；"；”,

23x2224x23

?.?S=24x23-------?468<480,S=24x24--------=484>480,

236246

共需24輛車完成工程，，至少還需要抽調(diào)24-1=23輛車.

故選：C.

7.C

【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

因?yàn)镾j=4,S7=14,

3x2.

3q+-----d=44

2

所以，解得％=1,d=1,

7x6J

7%+------d=14

2

n2-5n-50

所以S”-=〃+"。；"xg-U+\(〃+2)F

18

因?yàn)椤╰N+，

所以當(dāng)〃=2或〃=3時(shí)，其有最小值.

故選：C

8.A

【詳解】解：設(shè)自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為卬升，，升，…，％升，則數(shù)列/，

生，…，％為等差數(shù)列.

%+%+。3+。4=3

依題意有，,又因?yàn)?+。3=4+&，%+%=2絳,

%+%+%=4

M3417

故生+/+為=5+父不

故選：A.

9.A

…Sn2/7+1

【詳解】7^=--

T”3〃+2

9(4+%)

.a5_2as_at+a9_2_S9_2x9+1_19

一工一五―b,+A-9也心一五-3x9+2^29,

2

故選：A

10.A

【詳解】由題知，?'"4"+5><4><3=°,解得工牝=2〃-5,故選A.

..cl[a=2

a5=a}+4d=5

11.C

【詳解】解：若S.=；〃（《+勺），則當(dāng)凡.2時(shí)，S.T=；（〃一1）（可+%）,

兩式相減得，2aM="（%+%）一（"-1）（4+%）,

即(〃一1)%=%+(n-2)%①,

當(dāng)然.3時(shí),（?-2）勺々=《+（〃一3以_1②,

①-②得，2(”=(〃-2)(〃+限)，

2〃…=%+4-2，

???數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，...充分性成立，

若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，則S.=:〃（6+%）顯然成立，「?必要性成立,

.?.前〃項(xiàng)和s.=；〃（％+凡）是數(shù)列｛g｝為等差數(shù)列的充要條件，

故選：C.

12.B

【詳解】由已知"=匕&='+1,

,??對(duì)任意的〃cN'，都有”之”成立，即，+12,+1,即'NL,

an。64〃6

又?jǐn)?shù)列｛&｝是首項(xiàng)為。，公差為1的等差數(shù)列，

:.an=a+n-\,且｛叫是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)〃->伊?xí)r，^-->0,

[a+5<0

:.a<0,a>0,即《，解得一6<。<一5.

67[。+6>0

故選：B.

13.n-2n-1

【詳解】數(shù)列｛a力滿足用=1,=2a“T+2”T（〃之2,〃WN）

a%T二

可得:=n-\?t4

2〃一|2邪一2’2〃"

｛含｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為生=1,公差為1,

所以

所以21I=1+(〃-1)X1=/?,

所以%=〃?2小.

故答案為：n-T

?x14x3

【詳解】因?yàn)镋=q,S2=2q+寧x2=2q+2,S<=4%+^x2=4q+12,

由題意得（2q+2）2=q（4《+12）,解得％=1

所以an=2n-\

貝|Jb=-----------------=------------------,

”(2〃-1)(2〃+1)2n+\)

…41111111、50

50213355799101J101

故答案為：

15.4042

【詳解】由題意,等差數(shù)列｛〃"｝中，%+/3=4,

202l(q+/al)_2。2l(q期+，］()”)_2°2114_4042

所以SMI=

~^2-22-

故答案為：4042.

16.4=(-1)""(〃+1).

【詳解】因?yàn)橐?jiàn)+。川=(-1)",

所以?！?1+"”+2=(T)"'得勺+2一%=一2?(-1)”.

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，%+2-6=2,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，%+2一。“二一2.

又q=2,%+。用=(-1)",所以。2二一3,

所以4,%，％，…，”21，…構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

。2，。4，。6，…，2%，…構(gòu)成以-3為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列.

所以當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，%=2+2(誓-1)=〃+1；

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，％=-3-2(]-1]=一(〃+1).

故數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為a.=(-if(〃+1).

故答案為：/=(-1戶(〃+1).

17.-42

2q+4d=-16

,.｛a.4-a,=-16fl1=-12

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為必由=：36得,9%+"公—36’解得

d=2

因此，?n=-12+(w-l)x2=2?-14,令%=0,解得〃=7,

于是得數(shù)列｛〃“｝是遞增等差數(shù)列，其前6項(xiàng)為負(fù)，第7項(xiàng)為0,從第3項(xiàng)開(kāi)始為正,

所以S6或邑最小，最小值為6x（-12）+等x2=-42.

故答案為：-42

18.(1)勺=2〃+2；(2)2,,+2-4.

【詳解】解：（1）,??｛6｝是等差數(shù)列,

4+/=1。[2a,+=10

a4—a3=2[d=2

???解出d=2,q=4,

:.a?=a,+d("l)

=4+2〃-2

=2n+2.

(2)*/仇=。3=2乂3+2=8,

&=%=2x7+2=16,

｛2｝是等比數(shù)列,

4=3=2，

b2

???，=4

々(I—Q4(1-2W)*

s=----------=-----------=2-4d

"nl-q1-2

19.(1)^=3".…+T(2)S.二J一谷

44?3

【詳解】解：（1）由條件可知，=1+〃-1=〃，/.可=3".

/?\,2rJ.3+Z,8+〃,15+Zr

v(w+l)Z>n=n+2n+kt,Z>2=—,b3=---

由題意｛a｝為等差數(shù)列，.?.262=4+4,解得左二1，

:.bfl=2+(71-1)=w+1；

,b“〃+1

(2)由(1)知，cn---

c23w+1

…+L

EI1c23w+1

則產(chǎn)行十寸…尹②

廠\A-r32o2111〃+152〃+5

①-②可得]S”=]+F+^+…+鏟一尹=7一/

c52〃+5

??3”=------------?

”44?3”

20.(1)g=2〃；⑵①/-；②[T2].

n+\

【詳解】⑴因?yàn)?s,=(〃+1)勺，當(dāng)〃N2時(shí)，2sl=〃％,

兩式相減，得2a“=(〃+1”“一%―即=〃%_],

所以當(dāng)2時(shí)，％=耳，所以％=?.因?yàn)?=2,所以q=2〃.

nzz-1n1

,4

因?yàn)椤?2〃,令"=而可neN\

「4111

所以4=0s/4\=----77-

2〃(2〃+2)+nn+i

①所以9=4+4+…+"=[1-』+1-]+~+[-47)=1—4=劣.

②因?yàn)?(〃)=一二在〃wN,上是遞減函數(shù)，所以在〃wN*上是遞增的,

n+\n+1

所以當(dāng)”=1時(shí)，7；取最小值

所以原不等式恒成立可得m2-/"H=MG[T,2]

21.(1)/=3",s〃=^^；

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合前〃項(xiàng)和公式，即可求得結(jié)果;

(2)利用錯(cuò)位相減法求得也｝的前〃項(xiàng)和，再證明即可.

(1)

因?yàn)辄c(diǎn)(*%)在直線V=3x上，所以也-3,又q=3,

故數(shù)列｛凡｝是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以勺=3",s=3(1-3")=匯

"1-32

⑵

由題可知5=￡,記T；=4+a+…

所以7①

①x；，得；…+，②

2111n_1n_13FIn

①一②,得+?+???+手

丁二；r1Fx3+1

-33+2〃e3+2〃c故看＜：,即證.

故北丁寸又

3,

5'"=

22.（1）證明見(jiàn)解析；（2）%

—/1之2

【詳解】（I）［方法一］:

由已知尹戶2得5.=%?，且“0,b”卷

取〃=1,由S［=乙得勺=［,

由于4為數(shù)列｛S,｝的前〃項(xiàng)積,

2b\2b2

所而|以、|.m_b

2^,-1「

2b12bli7

2”2b2，.2%]

所以=b

2b「12b「12%「1-

2bz__^i

所以

2b3「bj

由于4“工o

211

所以五—［二「即%也=，其中〃w"

T22

O1

所以數(shù)列｛4｝是以為首項(xiàng)，以d=；為公差等差數(shù)歹U;

［方法二］【最優(yōu)解】：

由已知條件知”《

=5@Sn_[-Sn①

于是?…S1522).