第27講 抽屜原理 （教師版）

第27講抽屜原理（教師版）一、第27講抽屜原理1.全班共50名學(xué)生．將書分給大家，至少要多少本，才能保證至少有一個(gè)學(xué)生得到兩本或兩本以上的書?【答案】解：書的數(shù)目應(yīng)多于學(xué)生數(shù)，即書至少需要50+1=51本，才能滿足要求．【解析】【分析】根據(jù)抽屜原理一：n+1個(gè)蘋果放入n個(gè)抽屜，一定有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果.由此即可得出答案.2.11名學(xué)生到老師家借書；老師有A、B、C、D四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本．試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書，類型與本數(shù)相同.

【答案】證明：依題可得：

借一本書，有A、B、C、D四種情況；

借兩本書，有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種情況；

∴共有十種情況．

把這十種情況看作十個(gè)“抽屜”，11名學(xué)生看作“蘋果”．

由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型與本數(shù)都相同．

【解析】【分析】能否合理、正確地制造出“抽屜”，是解決這一類問題的關(guān)鍵，也是掌握和運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵。應(yīng)該根據(jù)題目的條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計(jì)出解決問題所需的抽屜．3.能否在5×5的正方形(如圖)的每個(gè)小方格中填上4、5、6這三個(gè)數(shù)之一，使得每行、每列及兩條對(duì)角線上的五個(gè)數(shù)的和各不相同?為什么?【答案】解：不能．在方格中填入4、5、6這三個(gè)數(shù)后，每行、每列或兩條對(duì)角線上的五個(gè)數(shù)的和最小為4×5=20(五個(gè)數(shù)都是4)，最大為6×5=30(五個(gè)數(shù)都是6)．

因?yàn)槲鍌€(gè)數(shù)的和為整數(shù)，所以共有11個(gè)不同的值(即20～30間的所有整數(shù)值)．

把這11個(gè)不同的值當(dāng)做11個(gè)”抽屜，5行、5列及2條對(duì)角線上的和共有12個(gè)，作為“蘋果”，

根據(jù)抽屜原理，其中必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的和是相同的．【解析】【分析】根據(jù)題意把這11個(gè)不同的值當(dāng)做11個(gè)”抽屜，5行、5列及2條對(duì)角線上的和共有12個(gè)，作為“蘋果”，根據(jù)抽屜原理一：n+1個(gè)蘋果放入n個(gè)抽屜，一定有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果.由此即可得出答案.4.9個(gè)點(diǎn)任意放在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形中．如果任意三點(diǎn)不在同一直線上，那么一定存在一個(gè)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積面積不超過?！敬鸢浮孔C明：將邊長(zhǎng)為2的正方形劃分為4個(gè)相同的小正方形，如圖．把四個(gè)小正方形作為“抽屜”，將9個(gè)點(diǎn)作為“蘋果”．由抽屜原理二，有一個(gè)小正方形，其中至少包含了9個(gè)點(diǎn)中的+1=3(個(gè))點(diǎn)(如圖中的A、B、C三點(diǎn)).由于A、B、C三點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形中，三角形ABC的面積不超過.命題得證．【解析】【分析】根據(jù)抽屜原理一：m個(gè)蘋果放入n（n＜m）個(gè)抽屜，一定有一個(gè)抽屜里至少有k個(gè)蘋果，（表示不大于的最大整數(shù)，即的整數(shù)部分）；由此分析得證.5.平面上有A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)，其中沒有三點(diǎn)共線．每?jī)牲c(diǎn)之間都用紅線或藍(lán)線連結(jié)；求證：不管怎樣連結(jié)，至少存在一個(gè)三邊同色的三角形．

【答案】證明：從六個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)，不妨設(shè)為A．在連接A與其余五點(diǎn)的五條線段中，至少+1=3條同色(這是把紅、藍(lán)兩色作為抽屜，把五條線段作為“蘋果”，由抽屜原理二得到)．不妨設(shè)AB、AC、AD為紅色線段．這時(shí)，在三條線段BC、BD、CD中，若有一條為紅色(如BC為紅色)，則得到一個(gè)三邊為紅色的三角形(△ABC)．否則，BC、BD、CD都是藍(lán)色，△BCD是三邊同為藍(lán)色的三角形．【解析】【分析】本題是著名的同色三角形問題．本題也可以換一個(gè)說(shuō)法：在任意6個(gè)人之間，必有3個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或有3個(gè)人互相都不認(rèn)識(shí)．根據(jù)抽屜原理二分析即可得證.6.從1，2，…，2006中，最多可以選取多少個(gè)數(shù)，使得選出的數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于6？【答案】解：依從小到大次序把這2006個(gè)數(shù)，每12個(gè)作為一組，最后2個(gè)數(shù)也作為一組．共分成168組，即在每一組中取前6個(gè)數(shù)，最后一組取2個(gè)數(shù)，共取6×167+2=1004個(gè)數(shù)；這些數(shù)中，同一組的兩個(gè)數(shù)，差小于6．不同組的兩個(gè)數(shù)，差大于6．因此任意兩個(gè)的差都不等于6．另一方面，若取1004+1=1005個(gè)數(shù)，則由于，上述167組中必有一組，在這一組中取出的數(shù)多于6個(gè)．而這組中12個(gè)數(shù)可以分成6小組，每小組兩個(gè)數(shù)，形如a和a+6．所以取出的數(shù)多于6時(shí)，必有一小組中兩個(gè)數(shù)均被取出，它們的差等于6．因此，最多可取出1004個(gè)數(shù)．又解將1～2002分成6條“鏈”

每條鏈都是一個(gè)公差為6的等差數(shù)列，即相鄰兩項(xiàng)的差為6．在每條鏈中選第1，3，…項(xiàng)，共選出個(gè)數(shù)(每條鏈上選出一半的項(xiàng)，只有第一、第二兩條鏈上選出的比未選出的多一個(gè)數(shù))．這些數(shù)中任兩個(gè)的差都不為6.另一方面，如果選出的數(shù)多于1004，那么必有～條鏈上有兩個(gè)相鄰的項(xiàng)被選出，它們的差為6．【解析】【分析】先將這些數(shù)按照一定的規(guī)律分組，再按照題目要求分析即可.7.從1到100這100個(gè)自然數(shù)中任取51個(gè)．求證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是50．【答案】證明：將1到100這100個(gè)自然數(shù)分成50組：{100，50}，{99，4}，{98，48}，…,{51，1}．每一組2個(gè)數(shù)，它們的差恰好是50．將這50個(gè)組作為50個(gè)抽屜，任取的51個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)數(shù)來(lái)自同一抽屜，這兩個(gè)數(shù)的差就是50．

【解析】【分析】用數(shù)組作抽屜．符合條件的數(shù)放在一起，組成一個(gè)數(shù)組，將這些數(shù)組作為抽屜．這種構(gòu)造抽屜的方法是很常用的．8.從1，2，…，10這10個(gè)自然數(shù)中，任取6個(gè)．求證：其中有兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)．【答案】證明：將1，2，…，10這10個(gè)自然數(shù)按以下方法分成五組：

A={1，2，4，8}，B={3，6}，

C={5，10}，D={7}，E={9}．將這五個(gè)數(shù)組作為五個(gè)“抽屜”．任取的6個(gè)數(shù)取自這五個(gè)“抽屜”．根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，即在同一數(shù)組．由于D和E兩組中只含有一個(gè)數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)不可能出現(xiàn)在D、E組中．因此，這兩個(gè)數(shù)必同在A，B，C三個(gè)數(shù)組的某一個(gè)中．這三個(gè)數(shù)組的任一個(gè)中，所取的大數(shù)必是小數(shù)的倍數(shù)．【解析】【分析】先將這10個(gè)數(shù)分好組，再由題意結(jié)合抽屜原理，分析即可得證.

9.任取n個(gè)自然數(shù)(n≥1)，證明：在這n個(gè)自然數(shù)中，或者有一個(gè)數(shù)是n的倍數(shù)，或者有兩個(gè)數(shù)的差是n的倍數(shù)．【答案】證明：若n個(gè)自然數(shù)中有一個(gè)是n的倍數(shù)，則結(jié)論成立．

設(shè)n個(gè)自然數(shù)中沒有一個(gè)數(shù)是他的倍數(shù)，則這些自然數(shù)除以n，所得的余數(shù)必為1，2，…，n-1中的一個(gè)．

將所得余數(shù)相同的數(shù)歸為一類，共有(n-1)類．將這(n-1)類作為(n-1)個(gè)“抽屜”，n個(gè)自然數(shù)作為“蘋果”．

根據(jù)抽屜原理，其中必有兩個(gè)數(shù)在同一類中，即這兩個(gè)數(shù)除以n所得的余數(shù)相同．

因此，這兩個(gè)數(shù)的差是n的倍數(shù)．

【解析】【分析】以正整數(shù)n為模(即為除數(shù))，可把全體整數(shù)按余數(shù)分成n類：凡余數(shù)相同的歸為一類．由于余數(shù)可以是0，1，…,n-1．所以可把全體整數(shù)分成n類，這n類稱為關(guān)于模n的剩余類．用模n的剩余類制造抽屜也是解題的基本方法之一.10.求證：1999個(gè)數(shù)1，11，111，…中必有一個(gè)是1999的倍數(shù)．

【答案】證明：有兩種情況：

(1)有一個(gè)數(shù)是