2024秋高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.2.1空間向量與平行關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE9-3.2立體幾何中的向量方法第1課時(shí)3.2.1空間向量與平行關(guān)系自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入任何一種工具的獨(dú)創(chuàng)，都是為了便利解決問題，蒸汽機(jī)的獨(dú)創(chuàng)推動(dòng)了工業(yè)革命；計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)解決了困難的運(yùn)算問題，提升了運(yùn)算速度；網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)創(chuàng)與發(fā)展促進(jìn)了全球化的發(fā)展與地球村的形成．向量作為一種工具，它的應(yīng)用又體現(xiàn)在了哪些方面呢？新知導(dǎo)學(xué)1．用向量表示點(diǎn)的位置(1)基點(diǎn)：在空間中，我們?nèi)_肯定點(diǎn)O__作為基點(diǎn)．(2)向量表示：空間中隨意一點(diǎn)P的位置可以用__向量eq\o(OP,\s\up6(→))__來表示．(3)點(diǎn)的位置向量：點(diǎn)P的位置向量為__向量eq\o(OP,\s\up6(→))__.2．用向量表示直線的位置條件直線l上一點(diǎn)A表示直線l方向的向量a(即直線的__方向向量__)形式在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，那么對(duì)于直線l上隨意一點(diǎn)P，肯定存在實(shí)數(shù)t，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝__teq\o(AB,\s\up6(→))__.作用定位置點(diǎn)A和向量a可以確定直線的__位置__；定點(diǎn)可以詳細(xì)表示出l上的隨意__一點(diǎn)__.3．用向量表示平面的位置(1)通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)O和兩個(gè)向量a和b來確定.條件平面α內(nèi)兩條相交直線的方向向量a，b和交點(diǎn)O形式對(duì)于平面α上隨意一點(diǎn)P，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb(2)通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)A和法向量來確定.平面的法向量直線l⊥α，直線l的__方向向量a__，叫做平面α的法向量確定平面位置過點(diǎn)A，以向量a為法向量的平面是完全確定的4．用向量描述空間平行關(guān)系設(shè)空間兩條直線l、m的方向向量分別為a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，兩個(gè)平面α，β的法向量分別為u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，則有如下結(jié)論：位置關(guān)系向量關(guān)系向量運(yùn)算關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系l∥m__a∥b__a＝kb，k∈Ra1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3l∥α__a⊥u____a·u＝0____a1u1＋a2u2＋a3u3＝0__α∥β__u∥v__u＝kv，k∈Ru1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3預(yù)習(xí)自測1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是(A)A．(2,2,6) B．(－1,1,3)C．(3,1,1) D．(－3,0,1)[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，∴選A．2．設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，若a·b＝0，則(D)A．l∥α B．l?αC．l⊥α D．l?α或l∥α3．若平面α的法向量u＝(1,2，－1)，平面β的法向量v＝(－3，－6,3)，則α與β的關(guān)系為(A)A．α∥β B．α與β相交但不垂直C．α⊥β D．以上均不正確4．給出下列說法：①一個(gè)平面的法向量是唯一的；②一個(gè)平面的全部法向量都是同向的；③平面的法向量與該平面內(nèi)的任一向量都是垂直的；④與一個(gè)平面的法向量共線的全部非零向量都是該平面的法向量．其中正確的說法是__③④__.5．已知平面α外始終線l的方向向量u＝(1,3，－4)，平面α的法向量u＝(2，－2，－1)，則l與α的位置關(guān)系為__l∥α__.互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?直線的方向向量，平面的法向量典例1如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一個(gè)法向量．[思路分析]先設(shè)出平面A1DE、平面A1B1CD的法向量，利用法向量與平面內(nèi)的兩個(gè)向量的數(shù)量積為零，列出方程組求解．[規(guī)范解答]∵四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A為原點(diǎn)，分別以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))為x軸，y軸和z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝AD＝AA1＝1，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，而E為B1D1的中點(diǎn)，∴E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．設(shè)平面A1DE的法向量n1＝(x1，y1，z1)，又eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，由n1⊥eq\o(A1E,\s\up6(→))，n1⊥eq\o(A1D,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x1＋\f(1,2)y1＝0，,y1－z1＝0，))取z1＝1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝1，,z1＝1，))則n1＝(－1,1,1)．設(shè)平面A1B1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，由eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，而n2⊥eq\o(A1B1,\s\up6(→))，n2⊥eq\o(A1D,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2－z2＝0，))令z2＝1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝1，,z2＝1，))，∴n2＝(0,1,1)．┃┃跟蹤練習(xí)1__■(山西太原市2024－2024學(xué)年高二期末)若直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則可能使l∥α的是(D)A．m＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．m＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．m＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．m＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)[解析]A中，m·n＝－2≠0，所以解除A；B中m·n＝1＋5＝6≠0，所以解除B；C中，m·n＝－1，所以解除C；D中，m·n＝0，所以m⊥n，能使l∥α.故選D．命題方向?空間向量證明線面平行典例2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1[證明]證法一：如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))、Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))、D(0，0,0)、A1(1,0,1)、B(1,1,0)，于是eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))、eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)、eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)．設(shè)平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．則n·eq\o(DA1,\s\up6(→))＝0，且n·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0,x＋y＝0))，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥n，∵M(jìn)N?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.證法二：∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(C1N,\s\up6(→))－eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up6(→))－eq\o(D1D,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(DA1,\s\up6(→))，又∵M(jìn)N?平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.證法三：由證法二知，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up6(→))＋0·eq\o(DB,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))可用eq\o(DA1,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))線性表示，故eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(DA1,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→))是共面對(duì)量．∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥平面A1BD，又MN?平面A1BD，即MN∥平面A1BD.『規(guī)律總結(jié)』證明直線l∥平面α的方法：(1)可取直線l的方向向量a與平面α的法向量n，證明a·n＝0；(2)可在平面α內(nèi)取基向量{e1，e2}，證明存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使直線l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后說明l不在平面α內(nèi)即可；(3)在平面α內(nèi)若能找到兩點(diǎn)A、B，直線l的方向向量n∥eq\o(AB,\s\up6(→))，則l∥α.┃┃跟蹤練習(xí)2__■在底面為正方形的四棱錐P－ABCD中，E是PC中點(diǎn)，求證：PA∥平面EDB.[證明]設(shè)eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DP,\s\up6(→))＝c，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a－c，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－2eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→))、eq\o(DE,\s\up6(→))共面，∵eq\o(DB,\s\up6(→))、eq\o(DE,\s\up6(→))不共線，PA?平面BDE.∴PA∥平面BDE.命題方向?空間向量證明面面平行典例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．求證：平面A1BD∥平面CD1B1.[思路分析]根據(jù)兩平面平行的條件，要證明平面A1BD∥平面CD1B1，只需證明兩個(gè)平面的法向量平行．[證明]以D為原點(diǎn)，分別以eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)棱長為1，則A1(1，0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、D(0，0,0)，∴eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)、eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(D1B1,\s\up6(→))＝(1,1,0)、eq\o(D1C,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(A1D,\s\up6(→))＝0,n1·\o(A1B,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1－z1＝0,y1－z1＝0.))，令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.∴平面A1BD的一個(gè)法向量為n1＝(－1,1,1)．設(shè)平面CD1B1的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(D1B1,\s\up6(→))＝0,n2·\o(D1C,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝0,y2－z2＝0))，令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)．∴n1＝n2，即n1∥n2.∴平面A1BD∥平面CD1B1.『規(guī)律總結(jié)』證明二面平行時(shí)，分別找(或求)出兩個(gè)平面的法向量u、v，驗(yàn)證u∥v成立．┃┃跟蹤練習(xí)3__■在長方體ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F分別為棱A1D1、A1B1、D1C1、B1求證：平面AMN∥平面EFBD.[證明]證法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0，)、B(2,3,0)、M(1,0,4)、N(2，eq\f(3,2)，4)、E(0，eq\f(3,2)，4)、F(1,3,4)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(1，eq\f(3,2)，0)、eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1，eq\f(3,2)，0)、eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－1,0,4)、eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1,0,4)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→)).∴MN∥EF，AM∥BF.∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.又AM，MN?平面AMN，AM∩MN＝N，∴平面AMN∥平面EFBD.證法二：由證法一可知，A(2,0,0)、M(1,0,4)、N(2，eq\f(3,2)，4)、D(0,0,0)、E(0，eq\f(3,2)，4)、F(1,3,4)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－1,0,4)、eq\o(AN,\s\up6(→))＝(0，eq\f(3,2)，4)、eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(3,2)，4)、eq\o(DF,\s\up6(→))＝(1,3,4)．設(shè)平面AMN，平面EFBD的法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)、n2＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AM,\s\up6(→))＝0,n1·\o(AN,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1＋4z1＝0,\f(3,2)y1＋4z1＝0))，令x1＝1，得z1＝eq\f(1,4)，y1＝－eq\f(2,3).又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(DE,\s\up6(→))＝0,n2·\o(DF,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)y2＋4z2＝0,x2＋3y2＋4z2＝0))，令y2＝－1，得z2＝eq\f(3,8)、x2＝eq\f(3,2).∴n1＝(1，－eq\f(2,3)，eq\f(1,4))、n2＝(eq\f(3,2)，－1，eq\f(3,8))．∴n1＝eq\f(2,3)n2，即n1∥n2，∴平面AMN∥平面EFBD.學(xué)科核心素養(yǎng)向量方法解決平行問題有關(guān)空間中的平行關(guān)系是歷年高考的必考內(nèi)容，它包括線線平行、線面平行和面面平行．其中高考考查頻率最高的是線面平行，間或也考查線線平行，幾乎不考查面面平行，其基本做法是將這些關(guān)系轉(zhuǎn)化到直線的方向向量與平面的法向量，通過向量的線性運(yùn)算達(dá)到解題的目的．典例4如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C(1)求證：MN∥平面A1BD；(2)求證：平面A1BD∥平面CB1D1.[證明](1)以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M(0,1，eq\f(1,2))，N(eq\f(1,2)，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是eq\o(MN,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)．設(shè)平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，則n·eq\o(DA1,\s\up6(→))＝0且n·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0，,x＋y＝0，))取x＝1，得y＝－1，z＝－1.故n＝(1，－1，－1)．又eq\o(MN,\s\up6(→))·n＝(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))·(1，－1，－1)＝0，故eq\o(MN,\s\up6(→))⊥n.又MN?平面A1BD，因此MN∥平面A1BD.(2)由(1)知D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，則eq\o(D1B1,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(D1C,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．設(shè)平面CB1D1的一個(gè)法向量為m＝(x′，y′，z′)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(D1B1,\s\up6(→))＝0，,m·\o(D1C,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＋y′＝0，,y′－z′＝0，))令x