九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關講解練（滬科版）-重難點專項突破01二次函數(shù)的最值（5種題型）（原卷版）

重難點專項突破01二次函數(shù)的最值（5種題型）【題型細目表】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑題型二：面積最值問題題型三：最大利潤問題題型四：線段最值問題題型五：周長最值問題【考點剖析】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑一、單選題1．（2020秋·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標系中，已知，，為軸正半軸上一個動點，將線段繞點逆時針旋轉，點的對應點為，則線段的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·安徽安慶·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，P為此拋物線對稱軸l上任意一點，則△APC的周長的最小值是（）A．2 B．3 C．5 D．+二、填空題3．（2020·安徽安慶·統(tǒng)考模擬預測）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關于拋物線的對稱軸的對稱點為E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為_____．4．（2022秋·安徽滁州·九年級?？茧A段練習）已知二次函數(shù)y=-x2-2x+3的圖象與x軸分別交于A、B兩點（如圖所示），與y軸交于點C，點P是其對稱軸上一動點，當PB+PC取得最小值時，點P的坐標為__________．5．（2021·安徽·九年級專題練習）已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(m﹣4，0)和B(m，0)，與直線y＝﹣x+p相交于點A和C(2m﹣4，m﹣6)，拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點D，點P在拋物線的對稱軸上，連PA，PD，當PA+PD的長最短時，點P的坐標為_____．6．（2023春·安徽黃山·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖①，是一建筑物造型的縱截面，曲線OBA是拋物線的一部分，該拋物線開口向右、對稱軸正好是水平線OH，AC，BD是與水平線OH垂直的兩根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．（1）如圖②，為了安全美觀，準備拆除支柱AC、BD，在水平線OH上另找一點P作為地面上的支撐點，用固定材料連接PA、PB，對拋物線造型進行支撐加固，用料最省時點O，P之間的距離是_____．（2）如圖③，在水平線OH上增添一張2米長的椅子EF（E在F右側），用固定材料連接AE、BF，對拋物線造型進行支撐加固，用料最省時點O，E之間的距離是_____．7．（2023春·安徽六安·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形中，，，是上一個動點，過點作，垂足為，連接，取中點，連接，則線段的最小值為____________．三、解答題8．（2020·安徽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，二次函數(shù)的頂點的坐標為．(1)求，的值；(2)已知點為拋物線上異于的一點，且點橫、縱坐標相等，為軸上任意一點，當取最小值時，求出點坐標和此時的面積．9．（2021秋·安徽黃山·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)．（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（2）求△AOC和△BOC的面積比；（3）在對稱軸上是否存在一個P點,使△PAC的周長最?。舸嬖冢埬闱蟪鳇cP的坐標；若不存在，請你說明理由．10．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學?？茧A段練習）如圖，拋物線交x軸于點，交y軸于點B，對稱軸是直線.（1）求拋物線的解析式；（2）P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.11．（2021·安徽·統(tǒng)考三模）如圖所示拋物線過點，點，且（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點的坐標.12．（2021秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習）已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過點，它與軸的另一交點為，與軸的交點為.（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；（2）在直線上求點，使的周長最小，并求出的周長.題型二：面積最值問題一、單選題1．（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將一張邊長為1的正方形紙折疊，使得點B始終落在邊上，則折起部分面積的最小值為（）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽合肥·九年級校聯(lián)考期中）在中，邊的長與邊上的高的和為8，當面積最大時，則其周長的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽蚌埠·九年級專題練習）如圖，在菱形中，，，矩形的四個頂點分別在菱形的四邊上，，則矩形的最大面積為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023春·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點E為正方形的邊上一點，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點F，已知正方形邊長為1．（1）若，則DE的長為________；（2）△AEF的面積為S的最大值是________．5．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級校考期中）用木料制作成一個如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔，也用木料，其中，要使窗框的面積最大，則的長為___________m．三、解答題6．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，矩形是某生態(tài)農莊的一塊植物栽培基地平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路（寬度不計）經(jīng)過該矩形區(qū)域，其中，都在矩形的邊界上．已知，（單位：百米），小路將矩形分成面積為，（單位：平方百米）的兩部分，其中，且點在面積為的區(qū)域內，記小路的長為百米．

(1)如圖1，已知，設百米．①若，求的大小；②求的最大值；(2)若，點在邊上，點在邊上，求的取值范圍．7．（2023春·安徽宿州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，，，點在邊上，、分別為、的中點，連接．過點作的垂線，與、分別交于、兩點，連接，交于點．(1)的度數(shù)為；(2)與存在怎樣的位置關系與數(shù)量關系？請說明理由；(3)連接，求的面積的最大值．8．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖（1），一塊鋼板余料截面的兩邊為線段，，另一邊曲線為拋物線的一部分，其中點為拋物線的頂點，于，以邊所在直線為軸，邊所在直線為軸，建立平面直角坐標系，規(guī)定一個單位代表1米．已知米，米，米．(1)求曲線所在拋物線的函數(shù)表達式；(2)若在該鋼板余料中截取一個一邊長為3米的矩形，設該矩形的另一邊長為米，求的取值范圍；(3)如圖（2），若在該鋼板余料中截取一個，其中點在拋物線上，記的面積為，求的最大值．9．（2022秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，．若動點D從點B出發(fā)，沿線段運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作交于點E，設動點D運動的時間為x秒，的長為y．(1)求出y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，的面積有最大值，最大值為多少？10．（2022秋·安徽合肥·九年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形窗戶邊框由矩形，矩形，矩形組成，其中．已知制作此窗戶邊框的材料的總長是6米，設（米）；窗戶邊框的面積為S（米）．(1)用含x的代數(shù)式表示．(2)求當S取得最大值時，的長．11．（2022秋·安徽安慶·九年級安慶市第四中學校考階段練習）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點和．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)請直接寫出不等式組的解集是___________；(3)點是線段上一點，過點作軸于點，連接，若的面積為，求的最小值．12．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥38中校考期中）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知點B的坐標為，點C的坐標為．(1)求拋物線的表達式：(2)點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當?shù)拿娣e最大時，求點P的坐標．題型三：最大利潤問題一、解答題1．（2023·安徽六安·?？寄M預測）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖．已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價P（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系為：，日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系如圖所示：(1)求日銷售量y與時間t的函數(shù)關系式？(2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈元給村里的特困戶，在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍．2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）“龍池香尖”是懷寧縣一款中國國家地理標志產(chǎn)品，素有：“揚子江心水，蒙山頂上茶”的美譽．某茶莊以的價格收購一批龍池香尖，為保護消費者的合法權益，物價部門規(guī)定每千克茶葉的利潤不低于元，且不超過進價的，經(jīng)過試銷發(fā)現(xiàn)，日銷量與銷售單價滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：……(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，求出關于的函數(shù)關系式．(2)在銷售過程中，每日還需支付其他費用元，當銷售單價為多少時，該茶莊日利潤最大，并求出最大利潤．3．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）牛草山奶牛養(yǎng)殖場如今達到了日產(chǎn)鮮奶千克的規(guī)模．根據(jù)以前市場銷售經(jīng)驗，如果鮮奶售價為元/千克，每天可售出鮮奶千克，鮮奶售價每提高1元，日銷售鮮奶數(shù)量將減少千克，每天沒能銷售的鮮奶全部按元/千克的價格廉價賣給奶制品加工廠．養(yǎng)殖場研究決定將鮮奶的售價提高到x元/千克，而當?shù)匚飪r部門結合本地收入與消費水平規(guī)定鮮奶售價不超過元/千克，設養(yǎng)殖場每天鮮奶總銷售收入為y元．(1)求y與x之間的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)鮮奶售價定為多少時，養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多？養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多是多少元？4．（2023春·安徽淮北·九年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）某商場試銷一款玩具，進價為20元/件，商場與供貨商約定，試銷期間利潤不高于，且同一周內售價不變．從試銷記錄看到，當售價為22元時，一周銷售了80件該玩具；當售價為24元時，一周銷售了60件該玩具．每周銷量（件）與售價（元）符合一次函數(shù)關系．(1)求每周銷量（件）與售價（元）之間的關系式；(2)若商場一周內銷售該玩具獲得的利潤為210元，則該玩具的售價為多少元(3)商場將該玩具的售價定為多少時，一周內銷售該玩具獲得利潤最大最大利潤為多少元5．（2023·安徽·模擬預測）小明同學利用寒假天時間販賣草莓，了解到某品種草莓成本為元/千克，在第x天的銷售量與銷售單價如下（每天內單價和銷售量保持一致）銷售量m（千克）銷售單價n（元/千克）當時，當時，設第x天的利潤w元．(1)請計算第幾天該品種草莓的銷售單價為元/千克；(2)這天中，該同學第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【注：利潤（售價成本）銷售量】(3)在實際銷售的前天中，草莓生產(chǎn)基地為刺激銷售,鼓勵銷售商批發(fā)草莓,每多批發(fā)1千克就發(fā)給元獎勵，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前8天中，每天獲得獎勵后的利潤隨時間x（天）的增大而增大，試求a的取值范圍．6．（2022秋·安徽蕪湖·九年級蕪湖市第二十九中學?？计谥校┠吵薪?jīng)銷一種銷售成本為每件40元的商品，據(jù)市場調查分析，如果按每件50元銷售，一周能售出500件，若銷售單價每漲1元，每周銷量就減少10件，設銷售單價為x元，一周的銷售量為y件，(1)寫出y與x的函數(shù)關系式（標明x的取值范圍）；(2)設一周的銷售利潤為S，寫出S與x的函數(shù)關系式，并確定當單價是多少時利潤最大；(3)在超市對該種商品投入不超過12000元的情況下，使得一周銷售利潤不低于8000元，銷售單價應在什么范圍內？7．（2022秋·安徽六安·九年級校考期末）某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據(jù)市場調查，銷售單價是元時，每天的銷售量是件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．(1)求出每天的銷售利潤（元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關系式；(2)求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于元，且每天的總成本不超過元，那么銷售單價應控制在什么范圍內？（每天的總成本每件的成本每天的銷售量）8．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市廬陽中學?？计谥校┠成痰赇N售一種商品，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：在實際銷售中，售價x為整數(shù)，且該商品的月銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價x（元/件）．月銷售量y（件）．月銷售利潤w（元）的部分對應值如表：售價x（元/件）4045月銷售量y（件）300250月銷售利潤w（元）30003750注：月銷售利潤＝月銷售量×（售價－進價）(1)求該商品的成本價，并求出y關于x的函數(shù)表達式；(2)若用w（元）表示該商品的月銷售利潤，求w關于x的函數(shù)解析式；(3)當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤．題型四：線段最值問題一、填空題1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，點是線段上一動點，，均為等邊三角形，，連接．

（1）若，則__________；（2）長度的最小值為__________．二、解答題2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線經(jīng)過點，，點是拋物線的對稱軸上一點，點在拋物線上，且點的橫坐標為．(1)求拋物線的函數(shù)關系式；(2)若，求點到直線的距離的最大值；(3)若、、、四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，某數(shù)學興趣小組以樓梯為場景設計的小球彈射實驗示意圖，樓梯平臺寬為3，前方有六個臺階（各拐點均為90°），每個臺階的高為2，寬為2，樓梯平臺到x軸距離，從y軸上的點C處向右上方彈射出一個小球P（小球視為點），飛行路線為拋物線，當點P落到臺階后立即彈起，其飛行路線是與L形狀相同的拋物線．(1)通過計算判斷小球P第一次會落在哪個臺階上；(2)若小球P第二次的落點在臺階中點M上，求小球P第二次飛行路線的解析式；(3)若小球P再次從點M處彈起后落入x軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿也為接收），接收裝置最大截面為矩形，點E橫坐標為16，，，求出小球第三次飛行路線的頂點到x軸距離最小值．4．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）如圖1，拋物線的頂點坐標為，與y軸交于點C，與x軸交于點A和點B．(1)求拋物線的解析式．(2)若M為y軸上一點，當?shù)闹底钚r，求點M的坐標．(3)如圖2，若P是第一象限內拋物線上的一個動點，求的面積的最大值．5．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過，，三點，D為直線上方拋物線上一動點，過點D作軸于點Q，與相交于點M．于E．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求線段長度的最大值；(3)連接，是否存在點D，使得中有一個角與相等？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2023秋·安徽六安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標中，是直角三角形，，，，，拋物線經(jīng)過、兩點，拋物線的頂點為．(1)求該拋物線的解析式；(2)點是直角三角形斜邊上一動點（點A、除外），過點作軸的垂線交拋物線于點，當線段的長度最大時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一個點，使是以為直角邊的直角三角形?若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．7．（2023秋·安徽合肥·九年級?？计谀┤鐖D，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點C．點P是第一象限內拋物線上的一個動點，過點P作直線軸于點D，交直線BC于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段的最大值；(3)當時，求點的坐標．8．（2022秋·安徽蕪湖·九年級校考階段練習）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，且點B的坐標為，與y軸交于點C，拋物線對稱軸為直線．連接，點P是拋