【沖鋒號(hào)考場(chǎng)模擬】贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷 04卷(新高考專用)(解析版)

【沖鋒號(hào)?考場(chǎng)模擬】贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷04卷（新高考專用）

（解析版）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第I[卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測(cè)試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=-'+3i的共枕復(fù)數(shù)為1則W+Iz|=（）

22

A.一，+gB.1一烏C.，+且iD.-1-^i

22222222

【答案】B

【分析】先分別求得W、|z|,再去求富|z|即可解決.

【詳解】復(fù)數(shù)z=」+3i的共物復(fù)數(shù)短」-@i

2222

復(fù)數(shù)z=-<+]i的模目=母）=],

則z+|z|=----^i+1=---^i

2222

故選：B

2.已知集合A={x|xvl},B={x|log2x<l},plij（）

A.4QB={x|x<l}B.A\\B=R

C.AUB={x|xvl}D.ACB={X[0<R<1}

【答案】D

【分析】求出集合B后再逐項(xiàng)計(jì)算，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】，集合A={x|xvl},fi={x|log2x<l}={x|0<x<2},

.?.AB={x|O<x<l},故A錯(cuò)誤，D正確；

AB={x|x<2},故B,C錯(cuò)誤.

故選：D.

3.若tana=1,則sin2a-cos2ar=()

A.—B.—C.7-D.1

542

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，將所求式子寫成分母為1的形式，用

sii?a+cos2a=1進(jìn)行代換，分子、分母同時(shí)除以cos?。，然后把tana的值代入求值即可.

，?斗.cc2sinacosa-cos'a+sin2a2tana-l+tan2a2xl-l+l2?

Li\-m-Jsin2a-cos2a=-----------------------=-------；-----------=---------------=1.

sin~a+cos~atana+11~+1

故選：D.

4.科學(xué)家康斯坦丁?齊奧爾科夫斯基在1903年提出單級(jí)火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的理想情況下的最

大y滿足公式：色土生?，其中明，秩分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推進(jìn)劑的質(zhì)量，％是發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度.己

m\

知某實(shí)驗(yàn)用的單級(jí)火笳模型結(jié)構(gòu)質(zhì)量為。kg,若添加推進(jìn)劑3〃依，火箭的最大速度為2.8歷2/s,若添加

推進(jìn)劑5a依，則火箭的最大速度約為(參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7Jn3a.i)()

A.4.7hn/sB.4.2krn/sC.36kmisD.3.1hn/s

【答案】C

【分析】由題目條件求出公式v=%ln2詈中的％,再把題中信息代入公式即可得到答案.

【詳解】由題目條件知2.8=%ln空即二％ln4,則％=蕓=聾=2.

aIn421n2

所以p=%In"+5"=v0In6=2(In2+In3)=3.6.

故選：C.

5.已知各項(xiàng)為正的數(shù)列應(yīng)}的前〃項(xiàng)和為S“，滿足S”=：(g+1>，則”3的最小值為()

U

4n+*-

9

A.-B.4C.3D.2

2

【答案】D

【分析】由S.=：(4+1)2結(jié)合q=5“-5小求出凡，從而求得S,，由此求出邦塔的表達(dá)式，利用基本不

4n

等式即可求得答案.

【詳解】各項(xiàng)為正的數(shù)列{4},q>0,

+1)2,

二.幾.2時(shí)，an=Sn-Sn_x+

即4：一々3-2(4+4_1)=0,化為：(4+%)(4-4_「2)=0,

可+。,1>0，?.q-QT=2,

又4=：（4+1））解得4=1,

數(shù)到｛%｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為2.

:.an=1+2（〃-1）=2〃-1,

??.S“=%2〃-1+1)2=〃2,

,2=2^=~=〃+?±-2..2\^7^-2=2

當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào),

a“+32/1—1+3〃+1/i+1Y'7/1+1

2S+6

??一^的最小值為2?

%+3

故選：D.

6.在四面體A3CD中,AB_Z3C,A區(qū)=24,30=10,40=13夜，乙4c0=45，則四面體ABC。外接球的表面積

為（）

67641694

A.676〃B■--------C.169乃

3

【答案】A

【分析】通過解三角形，分析出兩個(gè)直角三角形從而獲解

【詳解】因?yàn)锳B，BC,48=24,8C=10,所以4。=JAB?+8C?=26

13點(diǎn)26

AC

在“8中,由正弦定理得，即V2-sinZADC

sinZACDsinZADC

2

所以sinZADC=1,所以ZADC=90

D

取AC的中點(diǎn)0,可知。為四面體ABCD外接球的球心，外接球的半徑R=^AC=\3

所以四面體A8CZ)外接球的表面積S=4;rR2=676/r

故選：A

7.已知拋物線C：V=4x,焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線(。-1卜+)」2々+1=0的

垂線，垂足為P,則|"?|+|明的最小值為()

A.B.C.5D.3

22

【答窠】A

【分析】由條件確定點(diǎn)P的軌跡，結(jié)合拋物線的定義，圓的性質(zhì)求可尸|+|網(wǎng)的最小值.

【詳解】V拋物線C的方程為丁=4%,

???G1,0),拋物線c的準(zhǔn)線方程為戶-1,

*/方程(4—1)%+,―2/7+1=0可化為,_1=(1_々)(4_2),

???(a-l)x+y-2a+l=0過定點(diǎn)3(2,1),

設(shè)P(x,y),設(shè)尸,8的中點(diǎn)為A,則哈3因?yàn)槿缙?，尸為垂足?/p>

???歸川=4五8|=孝,所以[一|)=；，

即點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心，半徑為它的圓，

2

過點(diǎn)M作準(zhǔn)線x=-l的垂線，垂足為必，貝=|

A\MF\+\MP\=\MM]+\MP\?又-9，當(dāng)且僅當(dāng)MJ*一:點(diǎn)共線且P在",4之間時(shí)等號(hào)成立,

???|MF|+|MP閆+-孝，

過點(diǎn)A作準(zhǔn)線L1的垂線，垂足為A，則|MM|十|MA3儀|=|，當(dāng)且僅當(dāng)A，M，A三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

A\MF\+\Mp\>^dl,當(dāng)且僅當(dāng)A，M，P，A四點(diǎn)共線且尸在M,A之間時(shí)等號(hào)成立，

所以|MF|十的最小值為三巨，

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=kiru|+|coW-sin2x-l,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.〃x)是以乃為周期的函數(shù)

B.尸卷是曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

C.函數(shù)f(X)的最大值為&,最小值為近一2

D.若函數(shù)/(力在(O,M4)上恰有2021個(gè)零點(diǎn),則號(hào)＜”,,1011

【答案】B

【分析】結(jié)合周期函數(shù)的定義證明幻=/(x)后判斷A,由對(duì)稱性判斷B,在xe。潤上分類討論去掠

絕對(duì)值符號(hào)求函數(shù)的最大值和最小值判斷C,根據(jù)周期性研究/(幻在(0,加上零點(diǎn)個(gè)數(shù)后可得參數(shù)范圍，從

而判斷D.

【詳解】因?yàn)?(x+i)=/(x),所以/(")是以乃為周期的函數(shù)，A正確：又

/(^?-x)=|siiu|+|co&x|+sin2x-l^/(x),B錯(cuò)誤；

由A知只需考慮/(x)在［0,萬］上的最大值.

①當(dāng)xwO.y時(shí)，令F=sinx+cosx=&sin(x+?),則Ew［l,0］,/(同=一產(chǎn)+/=〃(。，易知〃⑺在區(qū)間”,應(yīng)］

上單調(diào)遞減，所以，/(X)的最大值為〃(1)=0,最小值為〃(夜)=夜-2.

②當(dāng)xeg定時(shí)，令，=sinx-cosx=V5sm［一()，則fc［l,夜］J(x)=/+f-2=v(f),易知y(r)在區(qū)間

［1,01卜.單調(diào)遞增，所以，/⑺的最大值為k0)=&,最小值為川)=0.

綜合可知：函數(shù)f(x)的最大值為&,最小值為0-2,C正確；

因?yàn)椤κ且阅藶橹芷诘暮瘮?shù)，可以先研究函數(shù)“X)在(0,句上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).易知/(不)=0.

當(dāng)xe(0費(fèi)時(shí)，令/(力=〃(。=--+￡=0,解得/=0或1,

1=后中+?卜0在（0,引上無解，1=而比1+北=1在（0囹上僅有-解釬不

當(dāng)1寸，令/（力=乂。=r+'-2=0,解得］=-2或1.

/=缶皿［一?）=一2在停萬）上無解，t=

上也無解.

綜合可知：函數(shù)“力在（0,句上有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為x=1和1=航

又因?yàn)閒（X）是以乃為周期的函數(shù)，所以，若〃eN'，則/（x）在（0,〃句上恰有2〃個(gè)零點(diǎn).

on?I

又己知函數(shù)“可在（0,“乃）上恰有2021個(gè)零點(diǎn)，所以早VM,1011,D正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的周期性，對(duì)稱性，最值，零點(diǎn)等問題，對(duì)于最值問題，解題關(guān)

鍵是結(jié)合周期性根據(jù)絕對(duì)值的定義分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)得出最值.零點(diǎn)問題

也是在一個(gè)周期內(nèi)研究即可得.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若a,b,c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若a>b>0,則僅sN"）B.若ac?>加。,則

C.若a>0,則十D，若a>b,c>d,則ac>Ad

【答案】AB

【分析】利用不等式的性質(zhì)，逐個(gè)判斷命題的真假.

【詳解】對(duì)于A,若a>b>0,當(dāng)〃GN’時(shí)，由不等式的性質(zhì)，有優(yōu)>N，故A1E確;

對(duì)于B,由題意得"0,有/>0,若如2>尻2,則￡>容，即彳,與，故B正確；

ccCC

對(duì)于C,不妨取。=1*=-1,滿足但故c錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于D,若a>b,c>d,不妨取。=2,。=1,。=-1,〃=一2,則ac=M,故D錯(cuò)誤，

故選：AB

10.已知函數(shù)/（力=4^（以+0）伊>0,口>0,0<0<兀）在工=工處取得極小值一2,與此極小值點(diǎn)最近的

心）羽象的一個(gè)對(duì)稱中心為信。）

則下列結(jié)論正確的是（）

A./(x)=2cos(2x+^B.將）=2sin2x的圖象向左平移彳■個(gè)單位長度即可得到

/W的圖象

c.7（X）在區(qū)間（0弓）上單調(diào)遞減D./（力在區(qū)間。卷）上的值域?yàn)椴?,6］

【答案】ACD

【分析】利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)以及圖象的平移變換即可一一判斷求解.

【詳解】第一步：根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出A,切，*的值，判斷A選項(xiàng)

A選項(xiàng)：由題知，A=2,

設(shè)/（%）的最小正周期為T，

則4=茲-?=￡,?..7=冗=生，???/=2.（三角函數(shù)圖象的相鄰對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離為1，其

41264ci）4

中了為該三角函數(shù)的最小正周期）

.”圖=2c°s（2靖+°卜一2,

...陪+q=一1,貝IJ—+(p=n+2lai(keZ),

6

jr

得＞=7+2E(2eZ),(整體思想)

6

又0＜伊＜加，：.（p=j

6

:./（力=2cos（2x+看上2sin（2x+yj,故A正確；

第二步：利用三角函數(shù)圖象的平移變換法則判斷B選項(xiàng)

B選項(xiàng)：/（X）的圖象可以由y=2sin2x的圖象向左平移g個(gè)單位長度得到,

故B錯(cuò)誤；

第三步：利用整體思想及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷C,D選項(xiàng)

C選項(xiàng)：由0＜若得已＜2"看＜詈，則/（x）在區(qū)間jog）上單調(diào)遞減，

故C正確；

D選項(xiàng)：*.*0＜x＜—,2x+—€—cosf2xH—-I,--,

2cos

???〃x）在區(qū)間0,日上的值域?yàn)椋?2,百］,故D正確.

故選:ACD.

22

11.在橢圓C:=+馬?=l（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓廠:/+V=儲(chǔ)+從上，稱此圓為

a~b-

該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圓由法國數(shù)學(xué)家（1746-1818）最先發(fā)現(xiàn).若橢圓。:二+亡=I,則下列說法正

169

確的有（）

A.橢圓C外切矩形面積的最小值為48

B.橢圓C外切矩形面積的最大值為48

C.點(diǎn)P（x,y）為蒙日?qǐng)A「上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M（-10,0）,N（0,10）,當(dāng)NPM/V取最大值時(shí)，tan/PMN=2+石

D.若橢圓。的左、右焦點(diǎn)分別為耳，K，過橢圓C上一點(diǎn)P和原點(diǎn)作直線/與蒙日?qǐng)A相交于點(diǎn)M,N,則

PF\PF?=PMPN

【答案】ACD

【分析】先求得橢圓C的蒙日?qǐng)A方程“2+），2=25,然后利用外切矩形的面積結(jié)合二次函數(shù)求最值可判斷A,

B選項(xiàng)，

利用兩角和的正切公式，橢圓的定義，向量運(yùn)算的轉(zhuǎn)化來判斷C,D選項(xiàng)

【詳解】對(duì)于A,B：如圖，設(shè)對(duì)于橢圓C上任意點(diǎn)過點(diǎn)“作橢圓的切線交圓「：/+寸=25于產(chǎn)，Q

兩點(diǎn)，

P,。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)分別為S,T,則橢圓C的一個(gè)外切矩形為夕。仃，

則S二|PQHQS|,由圖象易知,

圓心0到直線PQ的距離＜/e[3,4],所以|P。e[6,8].

又|PQ『+|QS|2=100,所以外切矩形為PQST的面積S=^|?0|2（100-1P（2|2|e[48,50],

因此A對(duì)，B錯(cuò).

對(duì)「C：當(dāng)PM與圓相切且切點(diǎn)P在圓下方時(shí)，NPMN最大,tan/PMO=立,/NMO=45,

3

現(xiàn)1

二.tanNPMN=3=2+石,C對(duì).

「同

3

對(duì)于D：PF[+PF2=8,?.PF；+PF；+2PF{-=64,

PF;+PF；=64-2PFlPF2,

2

P￡-PK=2P0PF；+PF^+2PFtPF2=4PO?

PFl-PF2=鳥E+PF；-2PFX-PF2=6后②

①+②得尸尸+PF：=2PO2+14,/.PO2=25-PRPF”

PMPN=(r-OP)(r+OP)=25-(25-PF.PF2)=PFi-PF2t故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵一方面結(jié)合題目要求求出蒙日?qǐng)A方程，建立參數(shù)間的關(guān)系式來表示面積進(jìn)而利用

函數(shù)求最值問題，

另一方面結(jié)合橢圓定義式，向量的運(yùn)算推導(dǎo)尸耳/用的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想

12.如圖，在正方體ABC。-AgCQ中，E,尸是底面正方形A8CO四邊上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A、E、F

的平面記為。，則()

B.當(dāng)E,尸分別是AB/C的中點(diǎn)時(shí)，。分正方體兩部分的體積9%化＜匕)之比是25：47

C.當(dāng)石，尸分別是ARAB的中點(diǎn)時(shí)，4片上存在點(diǎn)p使得AP〃a

D.當(dāng)戶是BC中點(diǎn)時(shí)，滿足|E〃|=2|E用的點(diǎn)E有且只有2個(gè)

【答案】BCD

【分析】A.若截面Q為五邊形，則截面Q與正方體的5個(gè)面都相交，則必有兩條交線平行，與正五邊形的

性質(zhì)矛盾.

B.作出截面以，分別求出兩部分的體積，再求體積比.

C.作出截面再在線段A片上找出P，證明A尸〃a.

D.分別從點(diǎn)E在線段AB,BC,CD,AO上去討論怛〃|二21七尸|是否成立.

【詳解】A.若。截正方體的截面為五邊形，則五邊形必有兩條邊位于正方體相對(duì)的平行平面上，此時(shí)該五

邊形必有兩條邊相互平行，但正五邊形沒有哪兩條邊平行，故截面不可能是五邊形，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

B.如圖，延長E尸分別交于點(diǎn)G,/,連接分別交AACG于點(diǎn)”，J，

???截面為五邊形。內(nèi)石可，記正方體楂長為6,CI=AG=XCJ=AH=2t

截面RHEE/下側(cè)的體積為V=』x,x9x9x6-Lx」x3x3x2xLx3x3x2=8l—3—3=75,

323232

另側(cè)體積為：=216-75=141,=75:141=25:47,故選項(xiàng)B正確.

C.截面a為圖中等腰梯形以四A，此時(shí)取A片中點(diǎn)P,知AP〃片產(chǎn)，

4

A

APN平面a,片產(chǎn)U平面。AAP//a,故選項(xiàng)C正確.

D.當(dāng)E在CO上時(shí)，設(shè)￡D=x,C￡>=2,

由=2\EF\="+f=25/(2-x)2+1=>x=p故CD上有一個(gè)點(diǎn)E；

當(dāng)七在AO上時(shí)，圈曄=黑=坐<2,故AO上不存在這樣的點(diǎn)E；

IEFImmIM>

四)血=回=也=20>2

當(dāng)E在BC上時(shí)，lEFIgx|CF|1?故BC上也不存在；

22

當(dāng)E在A8上時(shí)，設(shè)AE=y,工,8+/=242一"+1ny=6,故ABl二存在一個(gè)點(diǎn)E，???共2

個(gè)，選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】作截面的三種方法：

①直接法：截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上

②平行線法：截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行

③延長交線得交點(diǎn)：截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量力=。,一2),Z>=(-1,2),若①山〉《多乃)，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是.

【答案】(總2卜(2，+8)

【分析】已知〈〃，〃〉€(]"),則它們數(shù)量積小于。且兩向量不為相反向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,

共線向量的坐標(biāo)表示，即可求出實(shí)數(shù);t的取值范圍.

【詳解】解：已知如，刀￡(1，萬)，則它僅數(shù)量積小于。且兩向量不為相反向量，

所以4包=(1,_2)(_1,4)=_2/1_1<0=；1>_，，

2

1一2

若為相反向量，則兩向量共線，有「;二一二義二？，

-1A

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍是且;IH2.

故答窠為：卜最2卜(2,+00).

14.已知多項(xiàng)式42(工一1)4=4(x+l)6+4(x+l)5++4(%+])+0,貝ljq=.

【答案】-88

【分析】利用換元法，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】令x+l=，=>x=f-l,

所以由Y(x-l)4=q(x+iy+a2(x+l)S++。6(工+1)+々7，可得

(r—1)—2)=(1^4-++4,+%，

即—27+1)(/-2)=+(1^+4-(iff+ci-j,

二項(xiàng)式(，一2)4的通項(xiàng)公式為心=C：?L.(-2/,

用『以④=1XC：X(-2)3+(-2)XC：X(-2)2+1XC：X(-2)=—88.

故答案為：-88

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用換元法，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.

15.在RtZXABC中，AB1BC,AB=4,BC=3,點(diǎn)￡)在邊AB上，且4P=3￡>3,動(dòng)點(diǎn)尸滿足=

則CP的最小值為.

【答案】1

【分析】以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，結(jié)合E4=2PD,利用坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡，再結(jié)合圓的性質(zhì)求得

最小值即可.

【詳解】建立如圖直角坐標(biāo)系，依題意知，A(4,0),8(0,0),C(0,3),力(1,0),設(shè)P(x,y),

由R4=2PD知，J(x-4>+y2=2j(x-lf+y2,整理得丁+丁二人

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓，

由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)P(0,2)時(shí)，CP最小，為3-2=1.

故答案為：1.

16.已知函數(shù)/")的定義域?yàn)榉?(2x+2)為偶函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=or+R若

"4)=1,則同+唱+名>唱=一.

【答案】0

【分析】根據(jù)題意可得/(力關(guān)于％=2對(duì)稱，也關(guān)于(1,0)對(duì)稱，進(jìn)一步得到周期為4,再求出。力的值，最后

可求出同+喝+名>(|)的值,

【詳解】解：因?yàn)閒(2》+2)為偶函數(shù)，

所以“幺+2)=f(2x+i),即/(-x+2)=/(x+2),

所以函數(shù)“力關(guān)于x=2對(duì)稱，所以f(T)=f(x+4),

又因?yàn)?(x+1)為奇函數(shù)，

所以“T+1)=—4X+1),

所以函數(shù)/(%)關(guān)于(1。)對(duì)稱,f(r)=—〃X+2)=-f(r+2).

即〃%)=-〃X+2),

所以〃x+2)=-/(x),/[(x+2)+2]=-/(x+2)=f(x),

gpy(x+4)=/(x),

所以〃司的周期為4,

在f(-x+l)=—〃x+l)中令x=0,得/⑴=一/⑴，所以70)=0,即a+b=O,

又因?yàn)?4)=1,所以"0)=1,即〃=1,所以a=—l,

所以當(dāng)時(shí)，/(x)=-x+i,

所以/

所以噌卜/(1+如毋1-；)=-心=總

“卜嗎=/(2-3=展)=-；，

⑺3311

/-=/(2+9=/(2-9=/(-)=-,

⑶2222

尼卜嗎=心)<

所以則同+同+佃+電卜.

故答案為：0.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在dBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,t?2+Z>2(l-4cos2B)=-ab,且c=2Z?8sB.

⑴求8；

⑵若二ABC的周長為4+26，求8c邊上中線的長.

【答窠】(1)8=2

O

【分析】(1)已知條件結(jié)合余弦定理求得。=彳，再由正弦定理求反

(2)rh(1)求出角A,利用三角形周長求出各邊的長，再由余弦定理求BC邊上中線的長.

【詳解】(1)Sa2_4cos_B^=-ab,Wa2+-4b2cos2B=-ab?

又c=2bcosB,所以『二4//cc/A,即/+〃2一「2=一〃力，

得8SC=^X-ab1

由余弦定理,

2ab2ab~~2

又Ce(0,7t),所以C=手，

由c=2Z?cosB及正弦定理，得sinC=2sinBcosB,所以sin28=@,

2

由Bw(0，S，得2研0,引，所以28g解得8哈

(2)由⑴可知B=$C==,所以,4=冗-"空

63636

所以〃=b,由c=2Z>cos8,得c=5/5a.

因?yàn)椤癐BC的周長為4+26.

所以〃+。+豆。=4+2\/5,解得。=2.

設(shè)6c的中點(diǎn)為。，則8=；8。=1,如圖所示:

AB

在"18中由余弦定理，得:

4D=^AC2+CD2-2ACCD-C0S=J+1-2x2xIx(-g)=不,

所以8C邊上中線的長為J7.

18.如圖，在四棱柱A8CO—中，底面ABCO和側(cè)面8CGq都是矩形，DQ=D￡,AB=3BC=3.

⑵若平面83由與平面8DR所成的角為60,求三棱錐8。。的體積.

【答案】(1)見解析

【分析】（1）由題意可得出AOJ_CD,ADI.DD.,即可證明AD_L平面C。。?,再由線面垂直的判定定理即

可證明；

（2）取A8的中點(diǎn)/，以｛EEECEA｝為正交基底建系，設(shè)皿”僅>0）,寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出平

面或>口與平面BCG用的法向量，根據(jù)它們所成的銳二面角的大小為9，利月夾角公式列出方程可求加

〃=述，再由體積公式結(jié)合等體積法即可得出答案..

【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌鍭8CO和側(cè)面5CG用都是矩形，

所以4O_LCO,ADV￡>D,,

又COnOA=。，CD,ORu平面CDQG，

所以4￡>_L平面。AG，又。Cu平面a）nc，

所以4O_LRC.

（2）取E為。。的中點(diǎn)，連接。E,因?yàn)锳D_L平面8AG，

又OEu平面CD〃G，所以ADLDE,

又因?yàn)椤∣=DC，所以AEJ_OC,

又ADCDC=D,AD,OCu平面A8CD

所以"E_L平面ABC。，

取AB的中點(diǎn)尸，E為8的中點(diǎn)，底面A8C。是矩形，

所以即/C。、以E為原點(diǎn)，以EF,EC,EDj所在直線分別為％,>,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系E-型，如圖所示：

設(shè)即=4（4>0）,則E(0,0,0),,〃(o,o,a),C,G(0,3,a),

^O,-1,ol設(shè)平面孔壯的法向量〃=a，y,zj,08=(130),OR=(o,Q

%+3y=0

%DB=0

由，可得：3

%?DD、=0-y}+az}=0

令M=2a可得％=-6。，Z|=-3,所以“=(-6a,2a,-3),

設(shè)平面8CC|B1的法向量%=(工2，%*2)，CB=(1,0,0),CG=(O.TM).

n2cB=0々=°.、

由＜可得，＜3八，令馬=3可得%=-2%所以小=(0,—為3)

也”=0-y2+az2=0

7T

由于平面8CGB1與平面BDR所成的銳二面角的平面角為q,

所以麻”，斗端二仙；；：城+94

可得：32々"+36。2—81=0，貝1］（4〃2十9）（蹌2-9）=0,

解得。=逑.

4

因?yàn)?。_1_平面C0AG,AD//BC,所以3C/平面。

又因?yàn)镃CJ/DD-所以CG<Z平面3?？?，?！?lt;=平面8?！ǎ?/p>

所以CG〃平面3。2，

所以%-8力口叫=,cDf'BC

11「八八口”11.372.3上

=-x--CD?D.E-BC=-x—x3x---x1=----.

3213248

19.已知數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意的都有爭(zhēng)墨++墨=〃.

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)"二1詬1-----（〃eN）,且數(shù)列帆｝的前〃項(xiàng)和為7；,問是否存在正整數(shù)機(jī)，對(duì)任意正整數(shù)〃有

白恒成立？若存在，求出機(jī)的最大值：若不存在，請(qǐng)說明理由?

2022

【答窠】（1）見=2"，〃cN

⑵存在，1010

【分析】⑴由卜導(dǎo)++祟=〃得到：爭(zhēng)墨++器■=82）,兩式相減得即可求解;

(2)由(1)得到d-一二，利用裂項(xiàng)相消求和得到7；二1-一二，由數(shù)列的單調(diào)性定義可得數(shù)列｛1｝為

遞增數(shù)列，結(jié)合條件得到矗＜g，即可求解.

【詳解】⑴因?yàn)椴诽?hào)++故=〃，般wN,

當(dāng)讓2時(shí)，卜袋+?+爵=〃-1,

兩式相減得寸=1(w＞2),即q=2"(〃22).

又當(dāng)〃=1時(shí)，得4=2,滿足上式.

X

故4=2",/1GN.

所以數(shù)列｛1｝為遞增數(shù)列，所以4之7；=4=3.

因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)〃有7；＞矗恒成立，

所以懸解得機(jī)＜畔=1011?又用eN",所以見皿=1010-

202222

所以存在正整數(shù)小，使得對(duì)任意正整數(shù)〃有金恒成立，且現(xiàn)的最大值為1010.

20.2022世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行.近年來，乒乓球運(yùn)動(dòng)已成

為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一.今有甲、乙兩選手爭(zhēng)奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率

先獲得兩局勝利時(shí)比賽結(jié)束.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為:、；，且每局比賽相

互獨(dú)立.

(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；

(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個(gè)白球與1個(gè)黃球”的白盒與“裝有1個(gè)白球與2個(gè)

黃球''的黃盒.每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄.裁

判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球.記甲、

乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)門球剩余的總數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴言

（2）分布列見解析，二

【分析】（1）甲獲得乒兵球比賽冠軍這個(gè)事件為前兩局甲全獲勝，或前兩局中甲勝一局第三局甲勝，由獨(dú)

立事件與互斥事件概率公式計(jì)算；

（2）甲乙決出冠軍共進(jìn)行了y局比賽，易知y=2或y=3,記叫表示第i局從白盒中抽取的白色球，Y表示

第i局從黃盒中抽取的黃色球，X的所有可能取值為1,2,3,根據(jù)丫=2和y=3分類討論確定事件X=1,

X=2,X=3的情形，求出概率得分布列，再由期望公式計(jì)算期望.

（1）

記事件仆“甲在第i局比賽中獲勝”，（1=123）,事件4廣甲在第i局比賽中末勝”a=l,2,3）.

O1

P（A）=（P（Z）=1-P（4）=熱（i=L2,3）.記事件A:“甲奪得冠軍”,

則PG4）=p（A4）+P（A*）+P（*4）=（：j+；xS+；x（步崇

（2）

設(shè)甲乙決出冠軍共進(jìn)行了y局比賽，易知y=2或y=3.

4

貝iJp（y=2）=P（A4）+P,故P（y=3）=i-p（y-2）=§.

記也表示第i局從白盒中抽取的白色球，匕表示第i局從黃盒中抽取的黃色球,

X的所有可能取值為1,2,3；

p（x=1）=尸（丫=2）p（叫叼+尸（丫=3乂2（叱嗎叼+p（%歷引+p（麗明））

5（21）4（21,2111I35

9（32）913232333J81*

P（X=2）=P（Y=2）（尸佃咐+P便可）+2（丫=3）（P佃喇）+P（師閭）

5（2111、"212121132

913233J91323332）81'

尸（X=3）=尸（丫=2）尸色）+P（r=3）尸監(jiān)引中衿）+煢泊X￡）哈.

綜上可得，X的分布列如下：

X123

353214

P818?8?

數(shù)學(xué)期望為E(X)=lx335+2x3±2+3x1*4=4"7

81818127

21.已知雙曲線E:=1的焦距為4,以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線x-y+6=0相切.

⑴求雙曲線E的方程；

（2）已知點(diǎn)尸為雙曲線E的左焦點(diǎn),試問在％軸上是否存在一定點(diǎn)”，過點(diǎn)〃任意作一條直線/交雙曲線E于

尸，。兩點(diǎn)，使FP?產(chǎn)Q為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴氏J-y2=]

（2）存在，定值為1,/W（-3-73.0）

【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得。的只，再根據(jù)焦距，求得b即可求解?；

（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M,先在直線星直于>軸時(shí)，求得定值，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，分析驗(yàn)證直線

不至直于y軸時(shí)，求得此定值的情況，從而得出結(jié)論.

【詳解】（1）原點(diǎn)到宜.線K