函數(shù)的凹凸性及其應用8600字【論文】

函數(shù)的凹凸性及其應用 1 1 1 4 5 5 5 6 7 7 8 121緒論1.1問題研究背景坐標軸原點對稱還是y軸對稱或者前兩者都不是。但是還有一些情況的拋物線，如y=x2,,我們可以利用奇偶定義來判斷他們圖像的對稱性，根據(jù)單調性的定義，可以判斷出他們在區(qū)間[0,1]上的單調性，但是我們不好判斷在此區(qū)間內多個自變量的函數(shù)值組成的式子的大小。從畫出來的圖像上來看，他們的彎曲方向不一樣，在同一個函數(shù)中，對于一點的函數(shù)值比另一個點的函數(shù)值是大還是小，尤其是在不等式這里，僅僅運用我們所知道的單調性這一個知識點是很難證明出來的，這說明無論是增加我們的知識面，還是對于我們進一步學習函數(shù)時，僅僅知道單調性這些基礎的函數(shù)性質是不夠的，還需要考慮函數(shù)圖形的彎曲方向，讓我們知道這個圖像的趨勢是怎樣的一個情況，根據(jù)函數(shù)圖像的趨勢我們能總結得出怎樣的結論，這樣的結論才是我們學習的重點。通過查閱了國內外的參考文獻，數(shù)學競賽以及對近幾年高考試題的分析中，發(fā)現(xiàn)函數(shù)凹凸性不但在解決高中題時有很多方便之處，在證明不等式，求最值時有著一定的簡便之處，而且函數(shù)的凹凸性這塊知識點主要重點用于高等數(shù)學中，凸函數(shù)也在泛函分析、最優(yōu)化理論、數(shù)理經(jīng)濟學以及數(shù)學規(guī)劃和控制論等現(xiàn)代數(shù)學與工程技術領域有著廣泛的應用，然而高中課本中并沒有涉及函數(shù)凹凸性的相關概念，雖然函數(shù)的凹凸性在高中教材中沒有給出系統(tǒng)定義、性質，但發(fā)現(xiàn)它的影子不僅在課本題目中，還在高考大題中頻頻出現(xiàn)，這充分說明了高考命題源于課本，又高于課本的原則，同時也體現(xiàn)了高考為高校輸送優(yōu)秀人才的選拔性功能，在遇到解決高中涉及函數(shù)的凹凸性的相關問題時，大部分的學生常常感到迷茫，不知道從那開始下手，于是學生在努力回憶自己學習的知識點時，發(fā)現(xiàn)沒有涉及這一部分的內容，心里面更是沒有其他想法，在思考題目時找不到突破口，于是導致在接下來的解題中感到困難，然而有部分學生雖然找不到新的突破口，但還是會根據(jù)之前學習的知識，按部就班的去看待題目，按照之前的解題模式，嘗試著去做題，能做到那一步就盡量做到那一步，然而這部分學生在遇到計算量大或繁鎖時，就會產(chǎn)生厭學數(shù)學的情緒，除此之外，還會影響接下來的解題思路，甚至情緒也會被調撥起來。為了解除這種困惑，培養(yǎng)與提高學生學習數(shù)學的興趣，讓學生掌握函數(shù)凹凸性及其在不同類型題目中的應用是很必要的，因此本畢業(yè)論文從凹凸函數(shù)的基礎知識和函數(shù)凹凸性在不同題型中的解題應用兩個大的方面，對函數(shù)凹凸性定義、相關性質及其應用進行進一步的分析和總結。探討函數(shù)凹凸性在證明不等式、求最值以及解數(shù)形結合問題等方面的應用，尋找解決有關函數(shù)凹凸性的相關問題提供比較清晰的解題思路和解題方法。1.2問題的研究及其意義對該問題的研究還可以：①有利于方便解決更多復應用很廣泛，同樣的知識點，但對于不同類型的題目，運靈活性大，更多的是需要學生的靈活變通，去的知識點。在學生學習生涯中，數(shù)學中的重。那么在初高中階段學習函數(shù)的概念，函數(shù)的單調性，但這些知識點不足于學生解決更深層次點的函數(shù)問題，進性可以幫助學生數(shù)形結合思想的提高，并加深展。能處理好數(shù)學問題并非易事，首先要擁有一識的儲備能力，更重要的是要擁有自主學習能力及到很多數(shù)學方法和數(shù)學思想的問題，這些數(shù)學方法和聯(lián)系，相對于學生來說無論是數(shù)學方法還是數(shù)學思數(shù)問題中需要考慮多方面的因素，特別是在數(shù)學要性，利用函數(shù)的凹凸性可以更方便的解決涉及函考命題的趨勢都有涉及到函數(shù)凹凸性的內容，并且是值比較高，可以用來區(qū)分學生水平的一個關鍵點，不有利于即將進入大學學習的一個基礎鋪墊。函數(shù)的性很高，主要用于高等數(shù)學中。無論是數(shù)學專一科來說，函數(shù)都是特別重要的知識點，其進一步深入學習等方面的問題，并不是說是為了學習才研究，也不是說是為了考試而研究，是為了更好的解決在理論上的或實踐中的運用，因此，研究函數(shù)凹凸性及其應用是非常有必要的。1.3研究動態(tài)根據(jù)所查到的相關文獻資料可知，目前有關函數(shù)凹凸性在高等數(shù)學和初等數(shù)學中的研究甚多，學者們從不同的方面和角度對其進行了較為廣泛的探討，張嫣[11在《函數(shù)凹凸性在高中數(shù)學中的應用探究》中從復旦大學數(shù)學系陳傳璋編寫的《數(shù)學分析》,從不同的方面給出了三種不同的函數(shù)凹凸性定義，還說明函數(shù)凹凸性的相關性質以及一些重要不等式，并用實際例子來說明函數(shù)凹凸性在高考數(shù)學中的應用。魏遠金[2]的《函數(shù)四凸性在高考中的應用》一文主要闡述了利用函數(shù)凹凸性解決一些用初等數(shù)學知識難以解決的問題。劉海燕[3]的《凸函數(shù)在不等式證明中的應用》一文給出了凸函數(shù)的定義，性質及其在證明不等式中的應用，夏紅衛(wèi)[4]的《凸函數(shù)與不等式》一文從凸函數(shù)的定義出發(fā)，得到函數(shù)的連續(xù)性，推導出詹森不等式，并由此得到個正數(shù)的平均值不等式。韓艷娜5在《關于函數(shù)凹凸性的教學探究》中說到凹凸性反映在函數(shù)圖形上就是曲線的彎曲方向，它揭示了函數(shù)的因變量隨自變量變化而變化的快慢程度。并規(guī)定定義：在某區(qū)間內，如果曲線弧位于其上任意一點的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間內是凹的(上凹的);如果曲線弧位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間內是凸的(下凹的)。說明函數(shù)凹凸性的本質：函數(shù)的凹凸性揭示了函數(shù)因變量隨自變量變化而變化的快慢程度對自變量的每一個單位增量，凹函數(shù)的因變量增量越來越大，凸函數(shù)的因變量增量越來越小。并提出問題：函數(shù)的單調性可由導數(shù)判定，函數(shù)的凹凸性是否也能由導數(shù)判定呢，利用二階導數(shù)總結出判斷函數(shù)凹凸性的定理：設通過分析和整理文獻發(fā)現(xiàn)，有不少的人在研究函數(shù)的凹凸性，并且從不同的角度得出關于函數(shù)凹凸性的定義以及函數(shù)凹凸性基本性質之間的聯(lián)系和函數(shù)凹凸性在不同類型題目中的應用。2函數(shù)的凹凸性理論基礎2.1函數(shù)凹凸性的定義函數(shù)的凹凸性是函數(shù)性質中一個特別重要的性質，對于深入學習函數(shù)來說，函數(shù)的凹凸性這塊知識點起到很大的重要，可以說是簡單性質的升華，是進一步學習函數(shù)復雜定義的鋪墊。不同教材中給出不同的函數(shù)定義。本文采用的是復旦大學數(shù)學系陳傳璋編寫的《數(shù)學分析》[7]中的定定義1函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，若對[a,b]中任意兩點x?,x?,恒有),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹(凸)函數(shù)。定義2f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，若對區(qū)間D上任意兩點x?,x?,及λ?>0,λ?>0若f(A?x?+λzx?)>λ?f(x?)+λ?f(x?),則稱f(x)在區(qū)間D上是上凸的，其中當且僅當x?=x?時取等號。若f(A?x?+λ?x?)<λ?f(x?)+λ?f(x?),則稱f(x)在區(qū)間D上是下凸的，其中當且僅當x?=x?時取等號。在高等數(shù)學的教材中，曲線的凹凸性定義為：設曲線弧的方程為y=f(x),且曲線弧。上每一點都有切線，如果在某區(qū)間內，該曲線孤位于其上任一點切線的上方，則稱曲線弧在該區(qū)間內是凹的；如果在某區(qū)間內，該曲線弧位于其上任一點切線的下方，則稱曲線弧在該區(qū)間內是凸的。這是在高等數(shù)學中，函數(shù)的凹凸性直接用語言的形式描述出來。從這里，我們可以看出無論是數(shù)學分析還是高等數(shù)學中函數(shù)凹凸性的定義，它的定義與函數(shù)單調性的定義相比較，函數(shù)的凹凸性都比較復雜些，根據(jù)函數(shù)凹不論是那一種情況，我們都可以根據(jù)函數(shù)凹凸性的定義來判斷不同函數(shù)值的大小。2.2函數(shù)凹凸性的相關性質我們已經(jīng)知道函數(shù)凹凸性的定義，必然也少不了從定義中總結出一些相關的性質，下面是對函數(shù)凹凸性的相關性質[7做出歸納總結性質1設函數(shù)f為區(qū)間I上的可導函數(shù)，則下列論斷互相等價(2)f'為I上的增函數(shù)；性質2設f為區(qū)間I上的二階導數(shù)在，則在I上f為下凸(上凸)函數(shù)的充要條性質3對于函數(shù)f(x)有這樣的性質(1)函數(shù)f(x)與f-1(x)、-f(x)的凸性相反；(3)若g(x)是線性函數(shù)，則函數(shù)f(x)+g(x)與f(x)凸性相同；函數(shù)凹凸性的相關性質對我們去解決問題有一定的幫助，對于簡單類型的題目，我們可以直接應用函數(shù)凹凸性的定義去解決，對于復雜點的題目，函數(shù)凹凸性的性質可以幫助我們找到新的突破口，提供解決問題的思路。2.3函數(shù)凹凸性的判別方法判斷函數(shù)的凹凸性，我們有幾種類型，一是根據(jù)函數(shù)凹凸性的定義判斷函數(shù)圖像是凹的還是凸的，二是根據(jù)函數(shù)凹凸性的三個性質來判斷，三是一些特殊判別方法。以下是常用的判別方法[8及其特殊方法[9]定理1設f(x)在(a,b)上二階可導，則f(x)在(a,b)上是凸函數(shù)的充要條件是定理2設f(x)為區(qū)間(a,b)上的可導函數(shù)，則(x)為凸函數(shù)的充要條件是對區(qū)定理3設函數(shù)u=φ(x)在區(qū)間(a,b)內具有二階導數(shù)，函數(shù)y=f(u)在對應區(qū)間(1)若函數(shù)y=f(u)在(a,β)內為單調增加的凹函數(shù)，函數(shù)u=φ(x)是區(qū)間(a,b)內的凹函數(shù)，則y=f[φ(x)]也是區(qū)間(a,b)內的凹函數(shù)；(2)若函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(α,β)內為單調增加的凸函數(shù)，函數(shù)u=φ(x)是區(qū)間(a,b)內的凸函數(shù)，則y=f[φ(x)]也是區(qū)間(a,b)內的凸函數(shù)；的凸函數(shù)，則y=f[φ(x)]也是區(qū)間(a,b)內的凹函數(shù)；(4)若函數(shù)y=f(u)在(a,β)內為單調減少的凸函數(shù)，函數(shù)u=φ(x)是區(qū)間(a,b)內的凹函數(shù)，則y=f[φ(x)]也是區(qū)間(a,b)內的凸函數(shù)；3函數(shù)凹凸性的幾個應用3.1函數(shù)凹凸性在高中數(shù)學問題中的應用代化生活和未來發(fā)展提供更高水平的數(shù)學基礎，使他們獲得更高水平的數(shù)學素養(yǎng)，為學生進入高一級學校提供必要的數(shù)學準備，同時把提高學生的數(shù)學思維能力作為數(shù)學教育的基本目標之一”。近幾年來，高考命題制度的改革是在逐漸變化，許多的省市開始自主命題，然而這些省市主要是由高校的教授和中學教學一線的教師參加到高考命題的工作中，并且高校教授占高考命題工作人員的絕大部分。高中課堂為了滲透新課程理念，強調培養(yǎng)學生學習能力和自主探究能力。高考命題工作人員為了體現(xiàn)這樣的目標，將題目與這種目標相結合，很快就會有人發(fā)現(xiàn)在近幾年來許多高考數(shù)學題目強化了對學生創(chuàng)新能力和自主探究能力的考察。然而這些考察方式往往都是以高等數(shù)學知識為背景出現(xiàn)，也就是說試題會以高等數(shù)學知識相關的背景為來源設計。但是這類題目往往是用高中數(shù)學所學的初等知識來解決。針對這類題目的解決方法，要求學生具有一定的知識儲備能力以及做題然而在高中數(shù)學教材中，函數(shù)凹凸性沒有給出具體的定義和性質，但函數(shù)凹凸性的理論和思想在課本題目中，高考和數(shù)學競賽中都有體現(xiàn)。對學生思維的抽象性、邏輯性，學生的自主學習和探究能力提出了更高一步的要求，也體現(xiàn)了高在教材中，函數(shù)凹凸性的影子經(jīng)常出現(xiàn)，如人教版高中數(shù)學《集合與函數(shù)概念》第45頁第5題的第二問：這道題主要考察的是有關函數(shù)的概念，比較同一函數(shù)不同自變量的函數(shù)值，判斷兩個函數(shù)值的大小，學生在解決此類題目時經(jīng)常用作差法，得出的值與零相比較，判斷與零的大小，最后得出結論。證明如下：,所,即命題。其實從圖形中不難看出來，函數(shù)g(x)=x2+ax+b是一個二次函數(shù)，開口向上，是一個凹函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)的定義，我們就可以直接判斷出這個不等式成立。由于學生沒有學習函數(shù)凹凸性的定義。他們看到這樣的題目也只會根據(jù)自己學習的知識點來解決相信很多學生看到這樣的題目，很有可能就這樣按部就班的證明下來，如果|cotx?+cotx?+……+cotxnlP≤nP-1(|c像這樣類型的復雜題目，計算起來計算量不僅很大，而且應用有關函數(shù)的基本性質，像單調性，奇偶性等這些基本知識我們是不能夠去解決，找不到好的解決方法。這時我們就需要更深一點的知識，更簡單的解決辦法。所以我們是很有必要學習函數(shù)的凹凸性及其它的應用，它能夠幫助我們解決更深層次的問題。3.2函數(shù)凹凸性在證明不等式中的應用從分析文獻中和學習到的內容中，函數(shù)凹凸性的應用顯著地體現(xiàn)在求最值、不等式的證明上，想要證明不等式的方法有很多，關鍵在于方法簡不簡單，實用性是否強，在證明不等式中，雖然函數(shù)凹凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體形態(tài)，從部分的區(qū)間中可以明顯的觀察到函數(shù)圖像的趨勢，但是需要我們用數(shù)學語言證明出來，是一個難題，解決此類的題目，關鍵在于方法的靈活運用。因此函數(shù)的凹凸性可以很好的幫助我們去證明不等式，可以通過構造凸函數(shù)，應用凸函數(shù)相關的性質去進一步證明我們遇到的不等式。在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮著很重要的作用，在數(shù)學規(guī)劃中有著廣泛的應用背景，我們可以根據(jù)凸凹函數(shù)的特性，來解決一系列擁有較大難度的不等式，以及導出一些較難的不等式，通過凸函數(shù)的性質來得到比較直觀的證明。解決不等式的證明有著許多方便之處，凸函數(shù)適當?shù)膽?，使證明過程更加簡潔，會使結論的得出更加的方便。在利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式，最關鍵也是最難的一步是在如何根據(jù)題目的要求構造出一個新的函數(shù)。如：例1證明不等例2證明下列不等式證明(1)構造函數(shù)f(x)=x"(x>0,n∈N*,n>1),則f'(x)=nxn-1,f"(x)=n(n-1)xn-2。由條件知，在(0,+○)上，f"(x)>0,故f(x)是上的由條件知，在這題的思路是先構造一個函數(shù)，求出一階導數(shù)和二階導數(shù)，利用凹凸函數(shù)的性質，直接得出這個函數(shù)是凹函數(shù)，根據(jù)定義，直接得出結論，命題得證。從這個題目中可以看出利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式有著很大的技巧，在此過程中0。在這道題目中，只需要三個步驟就證明出不等式，構造、求導數(shù)、Jenson不等式，這個過程思路清楚，解題過程簡單。3.3函數(shù)凹凸性在求最值中的應用不論是在中學階段還是在大學學習中，當我們遇到求最值的問題，我們一般都是根據(jù)題目中已知的信息，列出相關等式或者不等式，然后再根據(jù)題目的問題要求，找到他們之間的對應關系，留下題目需要的式子，最后運用解題方法把最后的結論求出來，一般的求最值的問題，最后都是轉化為不等式的問題，在沒有學習函數(shù)凹凸性之前，我們接觸到求最值有很多種方法，如利用函數(shù)單調性，函數(shù)的連續(xù)性等等?？梢郧蟪鲆话愫瘮?shù)的最值，但是對于復雜的函數(shù)，我們需要求它的單調性，判斷它在區(qū)間內是遞增的還是遞減的，是在那一個自變量能夠取得它的最值，然而在求復雜函數(shù)的單調性這里，我們就有可能進行不下去了，有些復雜的函數(shù)，根據(jù)我們的知識