多面函數(shù)與二次曲面高程擬合的精度比較講義教材

報(bào)告人：張暉

日期：2012年12月3日多面函數(shù)與二次曲面高程擬合的精度比較關(guān)鍵詞：大地高正常高二次曲面法多面函數(shù)法摘要GPS平面測量數(shù)據(jù)由于其高精度的特性已在測繪領(lǐng)域到了廣泛的應(yīng)用。如何有效利用其高程信息，把大地高轉(zhuǎn)化為正常高，直接為測繪行業(yè)服務(wù)是一個(gè)非常實(shí)際且有意義的課題。針對目前GPS高程擬合的研究現(xiàn)狀，本文主要討論GPS點(diǎn)位成面狀分布時(shí)的兩種擬合方法，即對二次曲面法和多面函數(shù)法比較。

目錄GPS高程擬合基本理論二次曲面法擬合多面函數(shù)法擬合實(shí)例分析總結(jié)分析GPS高程擬合的基本理論正常高與大地高之間的關(guān)系為：因此求出高程異常進(jìn)而求的正常高，建立似大地水準(zhǔn)面的過程就是GPS高程擬合的過程。二次曲面法高程擬合曲面擬合法：當(dāng)GPS點(diǎn)布設(shè)成一定區(qū)域面時(shí)，可以用數(shù)學(xué)曲面擬合法求定待定點(diǎn)的正常高。其原理是:根據(jù)測區(qū)中已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)x、y(或大地坐標(biāo)B、L)和高程異常值，用數(shù)值法擬合，擬合出測區(qū)似大地水準(zhǔn)面，再內(nèi)插出待求點(diǎn)的高程異常，從而求出待求點(diǎn)的正常高。多項(xiàng)式曲面擬合：多項(xiàng)式曲面擬合法是近年來使用的主要擬合方法，其中二次多項(xiàng)式曲面擬合最為常見。多項(xiàng)式曲面擬合的一般模型為:式中

為模型的待定參數(shù)。當(dāng)控制點(diǎn)為n個(gè)，所取的項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)時(shí)，則存在如下方程組矩陣:二次曲面法高程擬合其中通過高斯消元法求出模型參數(shù)A，然后求出未知點(diǎn)的高程異常值，進(jìn)而求出正常高。二次曲面法高程擬合當(dāng)控制點(diǎn)個(gè)數(shù)多于多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)時(shí)，為了充分利用己知數(shù)據(jù)，通常會采用最小二乘法擬合。設(shè)點(diǎn)的高程異常與其平面坐標(biāo)

存在以下關(guān)系式：其中

根據(jù)最小二乘原理可求：帶入模型公式可求出未知點(diǎn)的高程異常，進(jìn)而求出正常高。二次曲面法高程擬合在工程中應(yīng)用較多的是二次曲面法擬合，其數(shù)學(xué)模型為：在求模型參數(shù)時(shí)需要至少6個(gè)已知點(diǎn)的高程異常值。多面函數(shù)法高程擬合多面函數(shù)擬合曲面的方法是美國Hardy教1977年提出的，其理論基礎(chǔ)是，任何一個(gè)圓滑的數(shù)學(xué)曲面總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的綜合，以任意精度逼近。GPS高程多面函數(shù)擬合法就是把擬合區(qū)域的高程異常，用多個(gè)曲面高度逼近，建立數(shù)學(xué)模型，借此可以求得未知點(diǎn)的高程異常，然后根據(jù)GPS所求的大地高來計(jì)算常規(guī)基準(zhǔn)下的正常高。一個(gè)數(shù)學(xué)表面上點(diǎn)的函數(shù)值可表達(dá)成多面函數(shù)法高程擬合式中，為待定系數(shù)；是x和y的二次核函數(shù)，其中核心在處，可由二次式的和確定，故稱多面函數(shù)；x,y為待求點(diǎn)的坐標(biāo)，為已知點(diǎn)坐標(biāo)。其矩陣形式為:根據(jù)最小二乘原理可知其模型參數(shù)：將模型參數(shù)代入函數(shù)模型可得高程異常值，進(jìn)而求出未知點(diǎn)的正常高。常用的核函數(shù)有正雙曲面和倒雙曲面兩種，其函數(shù)模型如下：正雙曲面：其中稱為光滑因子，當(dāng)其值為0時(shí)，正雙曲面退化為圓錐面。倒雙曲面：多面函數(shù)法高程擬合高程擬合的精度評定指標(biāo)內(nèi)符合精度：根據(jù)參與計(jì)算的己知點(diǎn)的高程異常值和計(jì)算后得到的高程異常值用求得殘差值，按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)的內(nèi)符合精度外符合精度：同樣根據(jù)參與檢核的己知點(diǎn)的高程異常值和計(jì)算后得到的高程異常值用求得殘差值，按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)的內(nèi)符合精度多面函數(shù)法高程擬合內(nèi)符合精度與外符合精度都是從點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)角度出發(fā)的，可以說是一種相對意義上的絕對精度評定。垂直數(shù)據(jù)因參考基準(zhǔn)的不同，會有不同的系統(tǒng)偏差，所以在某種意義上相對精度的評定更有說服力。水準(zhǔn)限差注：L為已知點(diǎn)與檢核點(diǎn)的距離（單位：公里）測量等級允許的最大限差（mm）三等幾何水準(zhǔn)測量四等幾何水準(zhǔn)測量普通幾何水準(zhǔn)測量實(shí)例分析右圖為某中型城市的城市控制網(wǎng)，圖中共有37個(gè)GPS—E級控制點(diǎn)。為了研究GPS擬合原理，對以上所有控制點(diǎn)都進(jìn)行了三等水準(zhǔn)測量，并應(yīng)用穩(wěn)健估計(jì)進(jìn)行粗差探測，未發(fā)現(xiàn)粗差。

為了保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性，其具體數(shù)據(jù)見下表。實(shí)例分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表（部分）序號X坐標(biāo)Y坐標(biāo)大地高正常高高程異常1-9230.899-30277.67911.8793.4938.3862-10589.011-26223.53614.3375.7578.5803-8775.220-23280.82713.1734.5008.6734-7666.317-19160.95512.2633.3978.8665-11649.851-36495.57411.5923.4308.1616-8129.317-33611.14113.3445.1348.2107-4334.088-33564.44012.8174.6108.2078295.107-32024.10411.8213.5978.22593802.651-31147.31313.0304.7768.25410-11790.336-21649.38812.5873.8088.77811-7892.980-26803.83912.3133.7558.558實(shí)例分析續(xù)表序號X坐標(biāo)Y坐標(biāo)大地高正常高高程異常122078.745-38769.45612.0974.1737.92513-9337.283-39433.37911.9313.9258.00514-14355.472-39856.99711.4673.4218.04615-17115.063-49101.97211.5793.8847.69516-18538.802-52552.99713.4035.8357.56917-15219.401-53448.17312.3774.8527.52518

-12601.594-53833.91211.3813.9067.47519-12173.846-29772.27611.2502.8228.42820-4986.383-37421.71111.3663.3328.034實(shí)例分析使用1、7、9、10、11、13、16、17、18、19、20、22、25、26、27、28、31、33、34、36共20個(gè)均勻分布的控制點(diǎn)應(yīng)作為已知點(diǎn)，2、3、4、5、6、8、12、14、15作為檢核點(diǎn)分別用二次曲面法和多面函數(shù)法進(jìn)行擬合計(jì)算，其分析結(jié)果如下表：

數(shù)據(jù)擬合分析序號已知高程異常擬合值殘差值二次曲面錐面倒雙曲面二次錐面倒雙曲面28.5808.5498.5368.624-0.031-0.0430.04538.6738.6268.7598.773-0.0470.0860.10048.8668.7269.5598.380-0.1400.693-0.48758.1618.2138.0488.1980.052-0.1140.03768.2108.2908.1778.2790.080-0.0330.06988.2258.2538.1748.3590.028-0.0510.134127.8997.9018.5517.5680.0020.627-0.3578.0468.1077.8968.0440.061-0.150-0.0027.6957.7327.5637.7160.037-0.1330.021外符合精度0.065

0.2070.224實(shí)例分析當(dāng)核函數(shù)為錐面函數(shù)時(shí)C取1，當(dāng)核函數(shù)為到雙曲面時(shí)取10000，以下是這三種擬合模型的殘差圖。實(shí)例分析當(dāng)選取1、7、9、10、11、13、19、20、22、26、28、33、34、36這14個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)進(jìn)行二次曲面擬合時(shí)其精度如下表：序號二次曲面擬合殘差（14點(diǎn)）二次曲面擬合殘差（20點(diǎn)）2-0.050-0.03130.002-0.0474-0.062-0.14050.0160.05260.0610.08080.0180.028120.1350.002140.011