【教無憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第48講 專題2-13 圓錐曲線章末重點(diǎn)題型十九大題型

專題2-13圓錐曲線章末重點(diǎn)題型十九大題型匯總題型1圓錐曲線的定義 7題型2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 11題型3圓錐曲線定義的應(yīng)用 15題型4圓錐曲線的離心率 20題型5和差最值 24題型6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 30題型7中點(diǎn)弦問題 39題型8弦長問題 45題型9面積問題 52題型10定點(diǎn)問題 62題型11定值問題 70題型12定直線問題 76題型13角度問題 85題型14點(diǎn)共線問題 96題型15取值范圍問題 105題型16最值問題 115題型17向量問題 123題型18存在性問題 131題型19解答題綜合 140知識點(diǎn)一．橢圓的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2.焦點(diǎn)：兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3.焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4、半焦距：焦距的一半．知識點(diǎn)二.橢圓的幾何性質(zhì)匯總焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)知識點(diǎn)三.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：1.點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；2.點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；3.點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.知識點(diǎn)四直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：1.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．2.當(dāng)Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；3.當(dāng)Δ＝0時，方程有一解，直線與橢圓相切；4.當(dāng)Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．知識點(diǎn)五.求橢圓中焦點(diǎn)三角形面積的方法：1.根據(jù)橢圓的定義求出|PF1|+PF2|＝2a；2.利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；3.利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積4.結(jié)論：S?P知識點(diǎn)六.求解直線被橢圓截得弦長的方法：1.當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．2.當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點(diǎn)，則弦長|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．知識點(diǎn)七.雙曲線的定義1.定義：在平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.2.焦距：這兩個定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1.若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；2.若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡不存在；4.若常數(shù)，則動點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識點(diǎn)八.雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長：eq\a\vs4\al(2b)；半實(shí)軸長：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)知識點(diǎn)九.直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程y=kx+m與雙曲線的方程x若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若即，①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點(diǎn)；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點(diǎn)；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn)知識點(diǎn)十.雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：1.根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；2.利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；3.利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積4.結(jié)論：S知識點(diǎn)十一.雙曲線的弦長公式已知直線y=kx+m與雙曲線E:x2a2知識點(diǎn)十二．拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：1.定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．2.拋物線的定義用集合語言表示為：P＝{M||MF|＝d}(d為M到直線l的距離)．3.定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動三定”：一個動點(diǎn)，設(shè)為M點(diǎn)；一個定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)；一個定值(即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì)．知識點(diǎn)十三.拋物線的幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下知識點(diǎn)十四.解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．2.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．4.涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．知識點(diǎn)十四.拋物線的弦長公式1.已知直線y=kx+m與拋物線y2=2px(p>0)交于Ax2.若直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)且與拋物線交于Ax1,題型1圓錐曲線的定義【例題1】（21·22·全國·專題練習(xí)）已知動點(diǎn)P(x,y)滿足2(x?3)2+(y+2)2=|2x+y?5|A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】先將所給式子變形成動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比，再利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行判定其軌跡形狀.【詳解】因?yàn)?(x?3)所以(x?3)2即動點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)(3,?2)的距離與到定直線2x+y?5=0的距離的比是常數(shù)52故選：C．【變式1-1】1.（21·22·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)M與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到定直線x=254的距離之比是常數(shù)45A．x24+C．x225+【答案】C【分析】先利用動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比判定軌跡是橢圓，再求其標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到定直線x=25所以由橢圓的第二定義得M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，設(shè)方程為x2則c=4a2c=25則b2所以M的軌跡方程為x2故選：C．【變式1-1】2.（15·16·成都·期中）已知動點(diǎn)P到點(diǎn)M(?2,0)和到直線x=?2的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是A．拋物線 B．雙曲線左支C．一條直線 D．圓【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，設(shè)P(x,y)，因?yàn)閯狱c(diǎn)P到點(diǎn)M(?2,0)和到直線x=?2的距離相等，即|PA|=d，即(x+2)2+y2=|x+2|考點(diǎn)：軌跡方程的求解.【變式1-1】3.（22·23下·黔西·一模）在正方體AC1中，點(diǎn)M為平面ABB1A1內(nèi)的一動點(diǎn)，d1是點(diǎn)M到平面ADD1A1的距離，dA．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】根據(jù)條件作出正方體AC1，再以A為原點(diǎn)，直線AB、AD和AA1分別為x、y和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體AC1的棱長為a（a>0），再設(shè)點(diǎn)Mx,0,z，根據(jù)題目條件得到x【詳解】由條件作出正方體AC1，并以A為原點(diǎn)，直線AB、AD和AA1分別為x、設(shè)正方體AC1的棱長為a（a>0），點(diǎn)所以得d1=x由d1=λd所以x2=λ2a?x2當(dāng)λ=1時，①式化得：z2此時，點(diǎn)M的軌跡是拋物線；當(dāng)λ≠1時，①式化得：λ2即λ2??z2當(dāng)0<λ<1時，λ2?1<0，則②式，是雙曲線的方程，即點(diǎn)當(dāng)λ>1時，λ2?1>0，則②式，是橢圓的方程，即點(diǎn)故選：A.【變式1-1】4.（多選）（21·22上·浙江·期末）若橢圓的焦點(diǎn)為F1?c,0，F(xiàn)2c,0（c>0），長軸長為A．x+c2+yC．x?c2+y【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓的兩個定義可判斷AC；根據(jù)分母不能為0可判斷B；直接化簡可判斷D.【詳解】由橢圓定義可知，A正確；由橢圓第二定義可知C正確；B中顯然x≠±a，即橢圓上的長軸端點(diǎn)不滿足B中方程，故B錯誤；由x?c2+y2=a?ca故選：ACD【變式1-1】5.（21·22·全國·課時練習(xí)）已知Px,y滿足1+x【答案】雙曲線【分析】由圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解即可【詳解】由1+x2+y其幾何意義可看成動點(diǎn)Px,y到定點(diǎn)?1,0的距離與到定直線x+y?1=0的距離之比為2由2>1故答案為：雙曲線【變式1-1】6.（21·22·全國·專題練習(xí)）確定曲線|x+y|=2(x?3)【答案】橢圓【分析】對|x+y|=2(x?3)2+【詳解】由已知可得(x?3)2即動點(diǎn)x,y到定點(diǎn)3,?6與到定直線x+y=0的距離比為定值22由圓錐曲線的第二定義可知動點(diǎn)x,y的軌跡為以3,?6為焦點(diǎn)，x+y=0為準(zhǔn)線，離心率為22題型2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例題2】（22·23上·淄博·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?yA．x23?C．x23?【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程及點(diǎn)到直線的距離公式計算即可.【詳解】設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為c,0，由題意可得?ba=?又c2∴a2=3b2故選：A【變式2-1】1.（23·24上·洛陽·期中）已知橢圓C過點(diǎn)(3,0)，且離心率為63A．x29+C．x29+y23=1【答案】D【分析】就焦點(diǎn)的位置分類討論后結(jié)合基本量的關(guān)系可求標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】若焦點(diǎn)在x軸上，則a=3．由e=ca=63此時橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2若焦點(diǎn)在y軸上，則b=3．由e=ca=此時橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2綜上所述，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+故選：D.【變式2-1】2.（23·24上·長沙·期中）雙曲線C與橢圓x29+A．x24?y2=1 B．y【答案】A【分析】由橢圓方程求得半焦距c，則漸近線方程及焦點(diǎn)位置設(shè)出雙曲線方程，再由半焦距c求得參數(shù)值得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】由題意知c=5，設(shè)雙曲線的方程為x2?4y2=λλ>0，∴x故選:A.【變式2-1】3.（23·24上·邢臺·期中）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，對稱軸為坐標(biāo)軸，且C的準(zhǔn)線與圓O：x2【答案】y2【分析】設(shè)出拋物線方程，利用準(zhǔn)線與圓相切可求出p，即可得拋物線方程.【詳解】由圓的對稱性，不妨設(shè)拋物線方程為y2則拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?p所以圓心到準(zhǔn)線的距離d=0??解得p=26所以拋物線方程為y2同理，滿足條件的拋物線還有y2=?46x，故答案為：y2【變式2-1】4.（浙江省衢州、麗水、湖州三地市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且AF1//BF2，∠AF1【答案】2【分析】作出圖像，由余弦定理及雙曲線的定義表示出AF1和BF2，再根據(jù)AF1∥PQ∥B【詳解】做出圖像，如圖所示，則F1在△AF1F2中，由設(shè)AF1=m所以m2+(2c)2?在△BF1F2中，由設(shè)BF2=n所以n2+(2c)2?因?yàn)锳F所以PQA則PQAF1所以1AF1所以O(shè)Q=2由PQ∥AF1可得，△PQF所以b22a2b2故答案為：2．【變式2-1】5.（23·24上·開封·期中）已知雙曲線C1:x(1)求C1(2)若雙曲線C2:y2m2?x2【答案】(1)x(2)y【分析】（1）由雙曲線定義可得答案；（2）由題可設(shè)C2:y【詳解】（1）雙曲線C1:xC1上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離差的絕對值等于6，所以2a=6，a=3，b所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（2）雙曲線C2:y設(shè)C2將點(diǎn)M3,42帶入C2所以C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y題型3圓錐曲線定義的應(yīng)用【例題3】（21·22上·沈陽·期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明．他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程mxA．0,8 B．8,+∞ C．0,5 D．【答案】A【分析】將原方程兩邊同時開平方，結(jié)合兩點(diǎn)得距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可得關(guān)于m的不等式，從而可得出答案.【詳解】解：由方程mx2+得mx則m?則22可得動點(diǎn)x,y到定點(diǎn)0,?1和定直線2x?2y+3=0的距離之比為常數(shù)22由雙曲線得定義可得22m>1故選：A.【變式3-1】1.（14·15上·湖北·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+A．(0,1) B．(1,+∞) C．(0,5) 【答案】D【分析】先將方程化簡，可得看成是軌跡上點(diǎn)到0,?1的距離與到直線x?2y+3=0的距離的比，利用曲線為橢圓，結(jié)合離心率的取值范圍列式，即可求得m的取值范圍.【詳解】由m(x2+y2+2y+1)=(x?2y+3)2可得mx故選：D【變式3-1】2.（22·23·云南·三模）在3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯編》中完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<1是地，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程kx+2y+12=A．0,15 B．15,+∞ 【答案】B【分析】根據(jù)題意化簡方程為5k=(x?2)2【詳解】由方程kx+2y+12=x即kx+2y+1所以k=即5k=可得動點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)(2,0)和到定直線x+2y+1=0的距離比為常數(shù)5k，要使得方程表示的曲線是雙曲線，則滿足5k>1，解得k>即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1故選：B.【變式3-1】3.（多選）（23·24上·浙江·期中）已知曲線C的方程為x2A．?m∈R，曲線CB．?m∈R，曲線C表示焦點(diǎn)在yC．?m∈R，曲線C都不表示焦點(diǎn)在yD．當(dāng)m∈?5,?1時，曲線C【答案】ACD【分析】A.由m+5=m+1>0求解判斷；B.由m+1>m+5>0求解判斷；C.由m+1>0,m+5<0求解判斷；D.由當(dāng)m∈?5,?1時，方程x【詳解】解：若方程x2m+5+所以?m∈R，曲線C若方程x2m+5+y2所以不存在m，使得曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故B錯誤；若方程x2m+5+y2所以?m∈R，曲線C都不表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故C正確；D.當(dāng)m∈?5,?1時，方程x則a2=m+5,b故選：ACD【變式3-1】4.（多選）（23·24上·鹽城·期中）已知方程x25?t+A．當(dāng)1<t<5且t≠3時，曲線C是橢圓；B．當(dāng)t>5或t<1時，曲線C是雙曲線；C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則3<t<5；D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則t<1.【答案】AB【分析】利用橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一一判定即可.【詳解】①若曲線C是橢圓，則需5?t>0t?1>05?t≠t?1?t∈且當(dāng)5?t>t?1>0?1<t<3時，該橢圓表示焦點(diǎn)在橫軸上，故C錯誤；②若曲線C是雙曲線，則需5?tt?1<0?t>5或且當(dāng)t?1>05?t<0時，即t>5故選：AB.【變式3-1】5.（多選）（23·24上·河南·期中）若關(guān)于x,y的方程x2+λyA．當(dāng)λ=?1時，C表示雙曲線B．當(dāng)λ=0時，C表示兩條直線C．當(dāng)λ=1時，C表示圓D．當(dāng)λ=2時，C表示關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的橢圓【答案】ABC【分析】根據(jù)各個選項(xiàng)的條件，得出相應(yīng)關(guān)于x,y的方程，再根據(jù)方程和雙曲線、直線、圓及橢圓的特征，即可得出結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)λ=?1時，x,y的方程為x2可變形為(x+12)2?對于選項(xiàng)B，當(dāng)λ=0時，x,y的方程為x2可變形為(x+2)(x?1)+y(x?1)=0，即(x+y+2)(x?1)=0，故x+y+2=0或x?1=0，所以選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)λ=1時，x,y的方程為x2因?yàn)镈2+E對于選項(xiàng)D，當(dāng)λ=2時，x,y的方程為x2故選：ABC.題型4圓錐曲線的離心率【例題4】（23·24上·沙坪壩·期中）橢圓C1:x2a12+y24=1a1>2A．e1e2=1 B．e2=2【答案】D【分析】由橢圓、雙曲線共焦點(diǎn)，結(jié)合對應(yīng)方程得a1【詳解】由橢圓與雙曲線焦點(diǎn)相同，即參數(shù)c相同，而e12=c2由1e12當(dāng)e1e2=1，則當(dāng)e2=2e當(dāng)e22?e1綜上，A、B不成立，C不一定成立，D一定成立.故選：D【變式4-1】1.（23·24上·浙江·階段練習(xí)）已知橢圓x2a2A．12 B．22 C．23【答案】A【分析】根據(jù)圖像，求出各點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合向量共線，求出a,c關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)x=c時，c2所以A(?a,0),B(c,b2aOM=(則OM//OB，則故選：A

【變式4-1】2.（23·24上·臺州·期中）如圖，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y

A．292 B．293 C．192【答案】B【分析】延長QF2與雙曲線交于點(diǎn)P＇，易得F1P=F2【詳解】延長QF2與雙曲線交于點(diǎn)P＇，因?yàn)镕1

設(shè)F1P=F2P'=2t，則所以P'Q=12t=243即P'Q2在△P'F1F2中，由勾股定理得故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：延長QF2與雙曲線交于點(diǎn)P＇，利用雙曲線對稱性及定義求出∠F【變式4-1】3.（23·24上·嘉興·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為Fc,0，點(diǎn)PA．23 B．63 C．22【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和離心率公式計算求解.【詳解】由已知設(shè)Pa則FP=則FP?又OP?兩式做差可得a2c2則ca故選：C.【變式4-1】4.（多選）（23·24上·衡水·階段練習(xí)）已知雙曲線M:x2aA．M的離心率為233 B．MC．M的漸近線方程為y=±3x D．直線x+y?2=0經(jīng)過【答案】AD【分析】依題意可得c=2，再根據(jù)兩條漸近線的夾角為60°,a>b>0及【詳解】依題意得c=2，則a2+b所以兩條漸近線的傾斜角分別為30°,150°，所以所以雙曲線方程為x2所以離心率e=233，漸近線方程為y=±33顯然直線x+y?2=0過點(diǎn)2,0；故選：AD【變式4-1】5.（多選）（23·24上·河北·期中）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作A．2λλ+1 B．3λλ2+1 C．【答案】AC【分析】設(shè)出直線AF方程：y=?abx?c，分別與兩漸近線聯(lián)立，求得A,B【詳解】不妨設(shè)C的一條漸近線的方程為y=bax，則直線AF則lAF：y=?ab聯(lián)立直線AF的方程與y=?by=?abx?cy=?b由y=?abx?cy=bax因?yàn)镕B=λFA，所以因?yàn)閑=c所以e=2λλ+1或故選：AC題型5和差最值【例題5】（23·24上·無錫·期中）設(shè)F是橢圓x24+y23=1上的右焦點(diǎn)，PA．95 B．3 C．132 【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短、點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】x2設(shè)Q為該橢圓的左焦點(diǎn)，Q?1,0所以PQ+于是PA?顯然當(dāng)Q,P,A三點(diǎn)共線，且PA與x+3PA?PF有最小值，最小值為故選：D【變式5-1】1.（22·23上·鎮(zhèn)江·期中）已知F是橢圓x29+y25=1

A．6?3 B．6?5 C．6?2【答案】C【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'(2,0)，根據(jù)橢圓的定義可得|PA|+|PF|=6+|PA|?|PF【詳解】橢圓x29+y25=1如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'則|PF|+|PF∴|PA|+|PF|=|PA|+6?|PF由圖形知，當(dāng)P在直線AF'（與橢圓的交點(diǎn)）上時，當(dāng)P不在直線AF||PA|?|PF∴當(dāng)P在F'A的延長線（與橢圓的交點(diǎn)）上時，|PA|?|PF∴|PA|+|PF|的最小值為6?2

故選：C．【變式5-1】2.（23·24上·株洲·階段練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2A．25?2 B．1+5 【答案】A【分析】利用橢圓的定義可求代數(shù)式的最小值.【詳解】設(shè)Px,y，則P在橢圓x又x2設(shè)S0,1,F如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1x2當(dāng)且僅當(dāng)P,S,F1三點(diǎn)共線且S在而SF1=2，故故選：A.

【變式5-1】3.（22·23·南通·三模）已知F為橢圓C：x24+y2=1的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓A．5 B．6 C．4+23 D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識確定正確答案.【詳解】依題意a=2,b=1,c=3，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F圓x2+y?32=1PQ+當(dāng)P,F1,Q三點(diǎn)共線，且F而QF所以PQ+當(dāng)P,F1M,Q四點(diǎn)共線，且F1在P,Q之間，Q是故選：D

【變式5-1】4.（23·24上·大慶·開學(xué)考試）已知定點(diǎn)A?2,3，點(diǎn)F2為橢圓xA．12，27 B．10+5C．12，8 D．9，2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義，結(jié)合線段和差的三角不等式列式求解即可.【詳解】令橢圓x225+y216=1

顯然點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，|AM|+|MF2|=10+|AM|?|MF1而||AM|?|MF1||≤|AF1當(dāng)點(diǎn)M與M1重合時，(|AM|?|MF1當(dāng)點(diǎn)M與M2重合時，(|AM|?|MF1所以AM+故選：C【變式5-1】5.（多選）（23·24上·衡水·階段練習(xí)）已知橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，直線A．四邊形MF1NF2C．直線BM，BN的斜率之積為?34 D．若點(diǎn)P為橢圓C上的一個動點(diǎn)，則【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓定義結(jié)合橢圓對稱性可判斷A；利用橢圓定義以及基本不等式判斷B；設(shè)Mx1,y1，N?x1,?【詳解】對于A，由題意知對于橢圓C:x24l:y=kxk≠0與橢圓C交于M，N則M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱，且|MF1|+|M故四邊形MF1N

對于B，由于M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱，故NF所以1=1當(dāng)且僅當(dāng)|MF2|MF對于C，設(shè)Mx1,y1故kBM而Mx1,y1即x12=4對于D，由于點(diǎn)P為橢圓C上的一個動點(diǎn)，故|PF則|PF1|=4?|P當(dāng)且僅當(dāng)T,P,F2共線時，且P在而F2(1,0)，故PT?PF故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于D的判斷，解答時要注意利用橢圓的定義將線段差轉(zhuǎn)化為線段之和，結(jié)合圖形的幾何意義即可求解.題型6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例題6】（23·24上·溫州·期中）已知直線l:y=x+m與橢圓C:x24A．?7,7C．?6,6【答案】A【分析】直線l和橢圓C有公共點(diǎn)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y便可得到關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，從而有判別式Δ≥0【詳解】直線y=x+m代入橢圓方程消去y得：7x∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，方程有解，∴Δ=64解得?7≤m≤7故選：A【變式6-1】1.（多選）（23·24上·淮安·階段練習(xí)）已知直線l的方程為ax?y+1=0，A．l一定經(jīng)過(0,1)B．l與橢圓x2C．l與圓x?12D．(3,4)到l的距離可能為5【答案】AC【分析】將直線方程化為點(diǎn)斜式可判斷A；判斷直線所過定點(diǎn)與橢圓和圓的位置關(guān)系可判斷BC；注意到當(dāng)BC⊥l時，已知點(diǎn)到直線距離最大，然后求出最大距離即可判斷D.【詳解】直線l的方程化為點(diǎn)斜式得y?1=ax?0，所以l一定經(jīng)過(0,1)易知點(diǎn)(0,1)為橢圓x22+

因?yàn)??12+12<4，所以點(diǎn)(0,1)令3a?4+1a記B3,4,C0,1，過點(diǎn)B作BD⊥l，垂足為D，當(dāng)l與BC不垂直時，必有BD<BC，當(dāng)BC⊥l時，點(diǎn)B因?yàn)?2<5，所以(3,4)到故選：AC

【變式6-1】2.（多選）（23·24上·連云港·期中）已知雙曲線E：x2A．E的焦距為6B．E的虛軸長為5C．E上任意一點(diǎn)到E的兩條漸近線的距離之積為定值D．過點(diǎn)2,1與E有且只有一個公共點(diǎn)的直線共有3條【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線方程，得到a=2,b=5對于選項(xiàng)C，設(shè)出E(x0,y0)，求出雙曲線的漸近線方程為對于選項(xiàng)D，借助幾何圖形，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】因?yàn)殡p曲線E：x24?對于選項(xiàng)A，因?yàn)榻咕酁?c=6，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)樘撦S長為2b=25對于選項(xiàng)C，雙曲線E：x24?y25=1設(shè)E(x0,又x024?y對于選項(xiàng)D，如圖，由雙曲線的性質(zhì)知，當(dāng)直線過2,1且與漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，這樣的直線有兩條，又雙曲線的右頂點(diǎn)為(2,0)，所以直線x=2與雙曲線只有一個交點(diǎn)，當(dāng)直線與漸近線不平行時，且斜率存在時，設(shè)直線方程為y?1=k(x?2)，聯(lián)立y?1=k(x?2)x消y得到(5?4k由Δ=化簡得到5(2k?1)2=0綜上，有4條直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯誤，

故選：AC.【變式6-1】3.（多選）（22·23上·省直轄縣級單位·階段練習(xí)）直線y=x?2與拋物線C:y2=2xA．拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=?12 B．拋物線CC．若O為原點(diǎn)，則∠AOB=90° D．若A【答案】BC【分析】根據(jù)拋物線的方程即可得準(zhǔn)線和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷AB，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷C，由焦半徑公式即可判斷D.【詳解】由C:y2=2x，則其焦點(diǎn)為F聯(lián)立直線與拋物線得y2?2y?4=0，設(shè)y1+y由OA?OB=顯然直線y=x?2不過焦點(diǎn)F，由拋物線定義有AF=x1故選：BC【變式6-1】4.（多選）（23·24上·廣州·階段練習(xí)）已知過點(diǎn)F0,1，傾斜角為60°的直線l與拋物線C:x2=4y相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限）.過線段AB的中點(diǎn)P作平行于y軸的直線，分別與拋物線CA．PM=MN C．FA=3FB D．直線AN與拋物線【答案】ABD【分析】將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；利用斜率關(guān)系判斷出NF⊥AB，可判斷B選項(xiàng)；求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用拋物線的焦半徑公式，可判斷C選項(xiàng)；求出直線AN的方程，將直線AN的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，結(jié)合Δ法可判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意可知，直線l的方程為y=3x+1，設(shè)點(diǎn)Ax1,聯(lián)立y=3x+1x2=4y由韋達(dá)定理可得x1+x2=4故點(diǎn)P23,7，所以，直線MN由x=23x2=4y可得拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=?1，所以，點(diǎn)N2易知點(diǎn)M為線段PN的中點(diǎn)，所以，PM=kNF=?1?123?0=?33解方程x2?43x?4=0可得所以，y1=3y2=3所以，F(xiàn)AFBkAN所以，直線AN的方程為y+1=2+3x?2聯(lián)立直線AN和拋物線C的方程得y=2+可得x2?42+所以，直線AN與拋物線C相切，D對.故選：ABD.【變式6-1】5.（多選）（23·24上·長沙·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A1,1在拋物線C:x2=2py(p>0)上，過點(diǎn)B(0,?1)的直線交A．C的準(zhǔn)線為y=?14 B．直線AB與C．|OP|?|OQ|≥|OA|2 【答案】ACD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)A坐標(biāo)的代入拋物線方程得1=2p，所以拋物線方程為x2=y，故準(zhǔn)線方程為kAB=1?(?1)1?0=2，所以直線AB的方程為y=2x?1，聯(lián)立y=2x?1x2=y，可得設(shè)過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線y與拋物線C只有一個交點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx?1,Px聯(lián)立y=kx?1x2=y得x所以k>2或k<?2,y又|OP|=x所以|OP|?|OQ|=y因?yàn)閨BP|=1+所以|BP|?|BQ|=1+k2故選：ACD．【變式6-1】6.（23·24上·楊浦·開學(xué)考試）已知曲線C:xx①曲線C的圖像不經(jīng)過第二象限；②若P(x0,y0③存在m∈R,x?2y+m=0與曲線④直線x?2y+m=0與曲線C無公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)m∈?其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②【分析】分x、y的符號情況化簡曲線C的方程，從而可畫出曲線C的圖象，結(jié)合圖象逐一分析即可．【詳解】當(dāng)x≥0，y≥0時，曲線C的方程為x2?4y2=4當(dāng)x≥0，y<0時，曲線C的方程為x2+4y2=4當(dāng)x<0，y≥0時，曲線C的方程為?x2?4當(dāng)x<0，y<0時，曲線C的方程為?x2+4y2雙曲線x24?y2綜上，可作出曲線C的圖象，如圖：

故①正確；由圖象可知曲線C的圖象上的點(diǎn)都在直線x?2y=0的下方，所以當(dāng)P(x0,y0)在曲線直線x?2y+m=0是表示與直線x?2y=0平行或重合的直線，由曲線C的圖象可知，直線x?2y+m=0與曲線C不可能有四個交點(diǎn)，故③錯誤；設(shè)直線x?2y+n=0與橢圓x24+y2所以Δ=16n2?32(n2?4)=0即直線x?2y?22=0與曲線所以若直線x?2y+m=0與曲線C無公共點(diǎn)，結(jié)合曲線C的圖象，m≥0或m<?22，故④故答案為：①②．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．曲線方程中帶有絕對值，一般是分絕對值里的式子的符號討論去絕對值；2．直線與曲線的交點(diǎn)問題常采用數(shù)形結(jié)合的方法．【變式6-1】7.（23·24上·南昌·階段練習(xí)）已知直線y=kx?1與雙曲線x2?y【答案】?【分析】聯(lián)立方程，利用二次函數(shù)根的分布得到關(guān)于k的不等式組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與雙曲線x2?y把y=kx?1代入x2?y所以fx=1?因?yàn)閒0=?5<0，所以所以1?k2<0則實(shí)數(shù)k的范圍為?5題型7中點(diǎn)弦問題【例題7】（23·24上·常州·期中）已知橢圓x2+y22=1，過點(diǎn)P12,1的直線l與橢圓相交于AA．?1 B．?14 C．1 【答案】A【分析】設(shè)A(x1,y1【詳解】設(shè)A(x1,y1),B(x因?yàn)锳(x1,y1兩式相減得x12(x1+所以直線AB的斜率k=y故選：A【變式7-1】1.（23·24上·廣州·期中）在橢圓C：x216+A．x+4y?5=0 B．x?4y+3=0 C．4x+y?5=0 D．4x?y?3=0【答案】A【分析】結(jié)合點(diǎn)差法求得弦所在直線方程.【詳解】設(shè)弦為AB，Ax1,兩式作差得x12?x22=?4且直線AB的斜率存在，所以?14x則AB所在直線方程為y=?14x?1故選：A【變式7-1】2.（24·25上·寶雞·一模）設(shè)A，B為雙曲線x2?yA．1,1 B．?1,2C．1,4 D．1,3【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得kAB【詳解】設(shè)Ax1,y1,Bx2,可得kAB因?yàn)锳,B在雙曲線上，則x12?所以kAB對于選項(xiàng)A：可得k=1,kAB=9聯(lián)立方程y=9x?8x2?此時Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：可得k=?2,kAB=?聯(lián)立方程y=?92x?此時Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：k=4,kAB=聯(lián)立方程y=94x+此時Δ=對于選項(xiàng)D：可得k=3,kAB由雙曲線方程可得a=1,b=3，則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故D錯誤；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)差法得到kAB【變式7-1】3.（22·23·成都·二模）已知直線l:y=kx(k>0)與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線與雙曲線C的另外一個交點(diǎn)為M，點(diǎn)N在A．y=±3x B．y=±5x C．【答案】C【分析】作出輔助線，設(shè)Bx1,y1x1<0,y1<0，根據(jù)點(diǎn)差法得到kBM?【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示．

因?yàn)锽N//NM，所以B、N、M三點(diǎn)共線．設(shè)線段BM的中點(diǎn)為根據(jù)題意，顯然可得點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)Q//設(shè)Bx1,y1x1因?yàn)辄c(diǎn)B，M都在雙曲線C上，則x12a即y1+y2x所以kBM?k又因?yàn)锳B⊥AM，則OB⊥OQ，即kOB?kOQ=?1所以kBM=?b2y即|ON|=?7|OA|cos而kBM=kBN，故則雙曲線C的漸近線方程為：y=±6故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問題，常用點(diǎn)差法，該法計算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握，若相交弦涉及AM=λ【變式7-1】4.（23·24上·全國·課時練習(xí)）直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．3【答案】C【分析】將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,y將直線方程與拋物線方程聯(lián)立y2得k2x2－4由已知得x1+x2=故選：C.【變式7-1】5.（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）已知橢圓x2a2+y【答案】3【分析】先利用點(diǎn)差法應(yīng)用弦中點(diǎn)，再求橢圓離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，其中Ax將A,B兩點(diǎn)代入橢圓可得x12a即x1+x2x所以x1+x令b2=t，則a2所以e2故答案為：3【變式7-1】6.（22·23下·長寧·期中）已知拋物線y2=4x與過焦點(diǎn)的一條直線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為32，則弦AB【答案】5【分析】根據(jù)題意設(shè)AB:x=ty+1，聯(lián)立拋物線及韋達(dá)定理，結(jié)合弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)求參數(shù)t，最后應(yīng)用弦長公式求|AB|即可.【詳解】由題意拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，且直線AB斜率不為0，設(shè)AB:x=ty+1，聯(lián)立拋物線得y2?4ty?4=0，Δ>0，故y所以xA+x則|AB|=1+故答案為：5題型8弦長問題【例題8】（23·24上·南京·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),C的上頂點(diǎn)為A，兩個焦點(diǎn)為F1,F2，離心率為A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】由離心率為12，得到a，b，c之間的關(guān)系，做出簡圖，分析可得直線DE的方程為：y=33(x+c)，且直線DE垂直平分AF2，所以△ADE的周長等于【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為e=ca=12如圖，AF1=AF2=F1所以∠DF1F2=30°設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)x1,y1，點(diǎn)將直線方程與橢圓方程x24c顯然Δ>0,則x1+所以DE=解得c=138，由圖，直線DE垂直平分AF2，所以△ADE的周長等于△F故選：C.【變式8-1】1.（22·23下·遂寧·階段練習(xí)）已知雙曲線E：x23?y2=1，若拋物線y2A．163 B．83 C．8 【答案】A【分析】分別求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和直線方程，聯(lián)立消y求x1+x【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2=2pxp>0雙曲線E：x23?所以焦點(diǎn)到漸近線的距離d=p21所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)且傾斜角為π4所以直線方程為y=x?23所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立消y，得x2由韋達(dá)定理得，x1所以弦長AB=故選：A【變式8-1】2.（22·23上·唐山·期末）已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，連接AF并延長，交拋物線C于點(diǎn)D，若AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為AB?1，則當(dāng)【答案】16【分析】由AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為AB?1，可知AF+BF=2AB【詳解】由題可得拋物線焦點(diǎn)為0,1，準(zhǔn)線為y=?1，設(shè)Ax則由拋物線定義可得AF+BF=由題意可得AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1+y22由余弦定理可得cos=3則cos∠AFB≥12，且∠AFB∈0,π此時△ABF為等邊三角形，AB//x軸，直線AD斜率為3或?3如圖，設(shè)此時AD方程為y=3將其與拋物線聯(lián)立有y=3x+1x可知Δ=設(shè)Dx3,y則y1所以由拋物線定義有AD=故答案為：16.【變式8-1】3.（22·23·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，對稱中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦距為26，且過點(diǎn)A5,6，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若斜率為2的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)．且OP【答案】y2?【分析】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的定義可求得雙曲線方程；設(shè)直線l:y=2x+m，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得參數(shù)m，再根據(jù)弦長公式即可求得PQ．【詳解】由已知，可設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F根據(jù)雙曲線的定義可知：|A即52+(2又c2=故雙曲線的方程為：y2設(shè)直線l:y=2x+m,P(聯(lián)立方程組y2?Δ=400x∴∵OP?OQ=?21因此PQ=1+k【變式8-1】4.（23·24上·紅橋·期中）已知橢圓的長軸長為2a，焦點(diǎn)是F1?3,0、F23,0，點(diǎn)F1到直線x=?a2(1)求橢圓的方程；(2)求線段AB的長．【答案】(1)x(2)85【分析】（1）根據(jù)題意及橢圓方程a,b,c的關(guān)系求解即可；（2）聯(lián)立橢圓方程和直線方程，利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】（1）由已知可得c=3且?3?

則b2所以橢圓方程：x2（2）由已知可得直線l斜率k=1，方程為y=x?3聯(lián)立y=x?3x2設(shè)Ax1,y1，B則AB=所以線段AB的長為85【變式8-1】5.（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）給定橢圓E:x2a2+y2(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l:y=kx+m與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，與其“伴隨圓”交于C、D兩點(diǎn)，CD=13．求弦長【答案】(1)x(2)2【分析】（1）由離心率得a,c關(guān)系，結(jié)合b=1及關(guān)系式，可求a,c，進(jìn)而得到橢圓E的方程；（2）由圓的幾何關(guān)系求得弦心距，再結(jié)合圓心到直線距離公式可求m關(guān)于k的關(guān)系式，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式化簡，結(jié)合基本不等式可求|AB|的最大值．【詳解】（1）由題可知，b=1，e=ca=63故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）由（1）可求“伴隨圓”為：x2因?yàn)閨CD|=13，所以圓心到直線距離為d=由圓心到直線距離公式得d=mk2聯(lián)立直線與橢圓方程x23+由Δ>0得3k2+1?m2>0設(shè)Ax1,由弦長公式可得：AB=3若k=0時，則AB=若k≠0時，則AB當(dāng)且僅當(dāng)9k綜上所述：弦長AB的最大值2.【變式8-1】6.（23·24上·南京·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)直線l:y=kx+3與雙曲線交于M,N兩點(diǎn)，若MN=163，求【答案】(1)x(2)k=±214565【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線距離、離心率和雙曲線a,b,c關(guān)系可求得a,b，由此可得雙曲線方程；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，利用弦長公式可構(gòu)造方程求得k的值.【詳解】（1）由雙曲線方程知：漸近線方程為y=±bax∴焦點(diǎn)到漸近線的距離d=bc又離心率e=ca=72∴雙曲線C的方程為：x2（2）由y=kx+3x24則3?4k2≠0Δ=48設(shè)Mx1,y1∴MN即1+k23?k2=43?4k2∴k=±214565或題型9面積問題【例題9】（21·22上·深圳·期中）若橢圓x2m+y2t=1m>t>0與雙曲線A．t2 B．t C．2t 【答案】B【分析】設(shè)PF1=p，PF2=q，再根據(jù)橢圓與雙曲線的定義列式，化簡可得【詳解】設(shè)PF1=p，P則p+q=2m?①，p?q=2n?可得①2+②2：p∴△F①2?②2：pq=m?n=2t，S故選：B【變式9-1】1.（23·24上·全國·課時練習(xí)）如圖所示，已知橢圓的方程為x24+y23=1【答案】3【分析】根據(jù)橢圓的定義、余弦定理等知識求得PF1,【詳解】由已知a=2,b=3，得c=則F1F2在△PF1F所以PF由PF1+所以4?PF1所以△PF1F故答案為：33【變式9-1】2.（23·24上·南京·階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1的離心率為32，上頂點(diǎn)為M，下頂點(diǎn)為N，MN=2，設(shè)點(diǎn)Tt,2t≠0在直線y=2上，過點(diǎn)T的直線TM,TN(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若△NFP的面積為△MEP的面積的2倍，求t的值.【答案】(1)x(2)t=67【分析】（1）根據(jù)離心率為32，MN=2，即可計算得出a2（2）利用M,N,T的坐標(biāo)可求出直線TM,TN方程，與橢圓方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)E和點(diǎn)F坐標(biāo)，求出直線EF方程可得P0,12，分別寫出△NFP和△MEP【詳解】（1）如下圖所示：

由題可知MN=2b=2，可得b=1，即b又離心率e=ca=32所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由（1）可知M0,1,N所以直線TM的斜率為kTM=2?1同理可得直線TN的斜率為kTN=2+1聯(lián)立直線TM與橢圓方程x24+y2設(shè)直線TM,TN分別交橢圓C于點(diǎn)ExE,易知xE=?8t同理直線TN與橢圓方程x24+y2即得xF=24t可得k=?t所以直線EF的方程為y?t2?4即直線EF與y軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)P0,12此時△NFP的面積為S△NFP△MEP的面積為S△MEP又△NFP的面積為△MEP的面積的2倍，即S△NFP=2S解得t=±677，所以t的值為t=【變式9-1】3.（23·24上·廣東·階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P為雙曲線右支上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P與雙曲線相切的直線l，直線l與雙曲線的漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，求△FMN的面積的最小值．【答案】(1)x(2)3【分析】（1）求出漸近線方程，由點(diǎn)到直線距離公式得到b=3，再由離心率求出a=1，c=2（2）解法1：先考慮直線l的斜率不存在時，S△FMN=12MN?PF=3，再考慮直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，與雙曲線方程聯(lián)立，由Δ=0得到解法2：可設(shè)l:x=my+n，與雙曲線方程聯(lián)立，由Δ=0得到3m2+n2=1【詳解】（1）由已知得漸近線方程為bx±ay=0，右焦點(diǎn)Fc,0∴bca又∵a2+b2=又因?yàn)殡x心率e=ca，解得a=1，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解法1：x2?y當(dāng)直線l的斜率不存在時，此時P1,0，直線l方程為x=1得到y(tǒng)=±3，故MN=23故△FMN的面積S△FMN當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，直線與雙曲線聯(lián)立得x2因?yàn)橄嗲?，所以?4k2另設(shè)Mx1,

聯(lián)立3x∴x1+xy1y1在△OMN中，OM=2x1∴S△OMN所以S△FMN所以S△FMN因?yàn)閙2=k綜上所述，S△FMN≥3解法2：由條件知，若直線l的斜率存在，則斜率不為零，故可設(shè)l:x=my+n，直線與雙曲線聯(lián)立得，x2因?yàn)橄嗲?，所以?36m2又因?yàn)橹本€l與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，設(shè)為Mx1,聯(lián)立x2由于3m2+則y1由直線l的方程得，直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為n,0，∴S=1∵3m∴n2≤1即?1≤n≤1，且∴n=1時，S△FMN的最小值為3綜上所述，S△FMN≥3【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．【變式9-1】4.（22·23上·安徽·期中）設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)，(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)F且斜率為1的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN的面積．【答案】(1)y2(2)22【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求出p值作答.（2）求出直線l的方程，與C的方程聯(lián)立，再求出三角形面積作答.【詳解】（1）拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=?p2，依題意，所以拋物線C的方程為y2（2）由（1）知，F(xiàn)(1,0)，則直線l的方程為y=x?1，由y=x?1y2=4x消去y得：y2?4y?4=0所以△OMN的面積S△OMN

【變式9-1】5.（22·23下·常德·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(12,0)，點(diǎn)B在直線l:x=?12上運(yùn)動，過點(diǎn)B與l(1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P是軌跡E上的動點(diǎn)，點(diǎn)R,N在y軸上，圓C:(x?1)2+y2【答案】(1)y(2)8【分析】（1）由題意結(jié)合拋物線的定義，即可求得.（2）寫出直線PR，PN的方程，根據(jù)直線與圓相切的條件，求得方程(x0?2)x2+2y【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M(x,y)為軌跡上任意一點(diǎn)，由題意知，|MA|=|MB|，所以動點(diǎn)M的軌跡E是以A(12,0)設(shè)其方程為y2=2px(p>0)，所以p2=1所以動點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2（2）設(shè)P(x0,y0)，所以直線PR的方程為(y圓C:(x?1)2+y2因?yàn)閳AC:(x?1)2+y2=1內(nèi)切于則圓心(1,0)到直線PR的距離為1，即|y則2x0b(y?b)+因?yàn)閤0>2，所以化簡①得，(x圓C:(x?1)2+y2=1內(nèi)切于同理可得(x0?2)由②③可知，b,c為方程(x0?2)又b>c，y02=2所以|b?c|=b?c=(b+c)2?4bc=故△PRN的面積為S=12(b?c)x0=等號當(dāng)且僅當(dāng)x0?2=4x0此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,22))或故當(dāng)P的坐標(biāo)為(4,22)或(4,?22)時，

【變式9-1】6.（23·24上·泰安·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，動圓P過定點(diǎn)F0,14，且與定直線l:y=?14(1)求W的方程；(2)已知正方形ABCD有三個頂點(diǎn)在W上，求正方形ABCD面積的最小值.【答案】(1)y=(2)2【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡求得W的方程.（2）利用基本不等式求得正方形邊長的最小值，從而求得正方形ABCD面積的最小值.【詳解】（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，則由題意得：|y+1整理得：y=x2，即W的方程為（2）如圖，不妨設(shè)三個頂點(diǎn)中有兩個在y軸右側(cè)（包括y軸），且設(shè)A?B?C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1?x2,yy3?y又A?B?C三點(diǎn)在拋物線W上，所以y1=x12代入上面兩式得：x3=k?x由于|AB|=|BC|，即x1所以1+1k2所以1k+2x所以k3≥1，k≥1，且有所以正方形邊長為1+==k當(dāng)且僅當(dāng)k=1時，即B點(diǎn)為原點(diǎn)時等號成立.所以正方形面積的最小值為2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的一般方法：1.待定系數(shù)法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法.2.直接法：如果動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程．題型10定點(diǎn)問題【例題10】（多選）（23·24·大理·一模）過拋物線C：y2=2px上一點(diǎn)A．C的準(zhǔn)線方程是x=?4B．過C的焦點(diǎn)的最短弦長為12C．直線MN過定點(diǎn)4,4D．當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時，直線MN的方程為2x+y?38=0【答案】AD【分析】對于A,根據(jù)點(diǎn)A1,?4在拋物線上，求出拋物線方程，即可求出準(zhǔn)線方程；根據(jù)過拋物線C的焦點(diǎn)且與x軸垂直時弦長最短為2p，可判斷B；對于C,設(shè)直線MN為x=my+n，聯(lián)立直線和拋物線方程消元后，再根據(jù)韋達(dá)定理即AM⊥AN，即可求得直線MN所過定點(diǎn)；對于D,當(dāng)MN⊥AP時，點(diǎn)A到直線MN的距離最大，即可求得MN【詳解】將A1,?4代入拋物線C中得p=8，則拋物線C為y故拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=?4，故A正確；當(dāng)過拋物線C的焦點(diǎn)且與x軸垂直時弦長最短，此時弦長為16，故B錯誤；設(shè)直線MN為x=my+n，My12聯(lián)立拋物線可得，y2∴y1+y∵AM⊥AN，∴AM?AN∵y1≠?4，y2≠?4∴y1化簡整理可得，y1∴?16n?64m+272=0，得n=?4m+17，∴直線MN為x=my?4∴直線MN過定點(diǎn)P17,4當(dāng)MN⊥AP時，點(diǎn)A到直線MN的距離最大，此時kMN?k此時直線MN為2x+y?38=0，D正確.故選：AD.【變式10-1】1.（多選）（23·24上·長沙·階段練習(xí)）已知F是拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)，Ax1A．若BB'垂直C的準(zhǔn)線于點(diǎn)B'，且BBB．若AF=54，則C．若直線AB過點(diǎn)F，則2x1D．若OA?OB=?1【答案】BCD【分析】對于A，由條件可得BF垂直于x軸，然后可得四邊形OFBB'的周長，對于B，由條件可得點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)，即可得△AOF的面積，對于C，設(shè)直線AB:x=my+14，然后聯(lián)立拋物線的方程消元，然后得到x1x2=1【詳解】

對于選項(xiàng)A，由題意知OF=14，且BF垂直于x設(shè)BB'與y軸的交點(diǎn)為D，易知故OB所以四邊形OFBB'的周長為14對于選項(xiàng)B，由題意得AF=x1+1從而S△AOF=1對于選項(xiàng)C，若直線AB過點(diǎn)F，設(shè)直線AB:x=my+1聯(lián)立直線AB與拋物線方程得y2?my?1則y1所以2x當(dāng)且僅當(dāng)2x對于選項(xiàng)D，設(shè)直線AB:x=my+t，聯(lián)立直線AB與拋物線方程得y2則Δ=m2?4t>0，即m2由OA?OB=?即t2?t=?1故直線AB的方程為x=my+12，即直線AB恒過定點(diǎn)故選：BCD.【變式10-1】2.（多選）（23·24上·長春·階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（

）A．直線x+2y+2=0的傾斜角是2B．過點(diǎn)(1,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程為x?y+1=0C．圓C:x2D．橢圓C的方程為x2【答案】ABD【分析】根據(jù)直線斜率即可計算傾斜角判斷A，根據(jù)直線是否過原點(diǎn)分類討論求解直線方程即可判斷B，把圓的方程變形，列式求解即可得定點(diǎn)判斷C，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求解判斷D.【詳解】對于A，直線x+2y+2=0的斜率為：?12，則其傾斜角的正切值為?1對于B，若直線l過原點(diǎn)，則方程為：y=2x，若直線l不過原點(diǎn)，則設(shè)直線l的方程為y=kx+b，由題意k+b=2b=bk所以直線l方程為y=x+1，即x?y+1=0，綜上，直線l的方程為y=2x或x?y+1=0，錯誤；對于C，C:x2+(λ?2)x+令x2+y所以圓C:x2+(λ?2)x+對于D，因?yàn)闄E圓C的方程為x225+y216=1所以橢圓C的焦距為2c=6，短軸長為2b=8，錯誤.故選：ABD.【變式10-1】3.（多選）（23·24上·濟(jì)南·開學(xué)考試）已知拋物線C：y2=4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交拋物線于Ax1,A．y1y2=?8 C．S△AOB的最小值為22 D．【答案】ABD【分析】設(shè)直線l的方程為x=my+n,聯(lián)立直線和拋物線方程并消去x，利用韋達(dá)定理可求得y1+y2=4m,y1y2=?4n，在把OA?OB=?4轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，可求得y1【詳解】設(shè)直線l的方程為x=my+n,聯(lián)立x=my+ny2=4x則y1又OA?OB即y12y2216+則?4n=?8,即n=2，所以直線l的方程為x=my+2,則直線l過定點(diǎn)2,0，故A,B正確；S=16m2即S△AOB的最小值為42，故因?yàn)閤1x2當(dāng)且僅當(dāng)x2=4x1，即故選：ABD【變式10-1】4.（23·24上·福州·期中）已知圓E:(x+1)2+y2=8，F(xiàn)(1,0)為圓E內(nèi)一個定點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)，線段FP的垂直平分線l交EP于點(diǎn)(1)求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)已知圓O：x2+y2=23在C的內(nèi)部，A,B是C【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓定義求解即可.（2）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切得到k與m的關(guān)系，當(dāng)直線斜率不存在時，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，先猜后證的方法，猜測恒過原點(diǎn)，再驗(yàn)證以AB為直徑的圓過原點(diǎn)即可.【詳解】（1）

因?yàn)辄c(diǎn)Q是線段FP的垂直平分線上的一點(diǎn)所以QF因?yàn)镼E所以點(diǎn)Q的軌跡C是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓其中a=2，c=1，所以點(diǎn)Q的軌跡C的方程為：x（2）

（i）當(dāng)直線AB垂直于x軸時，不妨設(shè)A63,此時OA?OB=0，所以O(shè)A⊥OB，故以AB（ii）當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB方程為y=kx+m，Ax1,因?yàn)橹本€AB與圓O相切，所以點(diǎn)O到直線AB的距離為d=m即3m由y=kx+mx22所以x1+x所以O(shè)A?===所以O(shè)A⊥OB，故以AB為直徑的圓過點(diǎn)O.綜上所述，以AB為直徑的圓過定點(diǎn)O.【變式10-1】5.（23·24上·湖南·期中）已知拋物線C:y2=2pxp>0經(jīng)過點(diǎn)M2,?22，直線(1)求拋物線C的方程；(2)如果OA?OB=?4【答案】(1)y(2)過定點(diǎn)2,0【分析】（1）將點(diǎn)M2,?22代入拋物線方程，可得（2）設(shè)出直線方程l:my=x+n，與拋物線方程聯(lián)立，由數(shù)量積公式結(jié)合韋達(dá)定理可得n=?2，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）由題意可知，將點(diǎn)M2,?2可得?222=2p×2則拋物線方程為y2（2）因?yàn)?，直線l與拋物線相交于不同的A、B兩點(diǎn)，所以直線不與x軸平行，可設(shè)l:my=x+n，與y2=4x聯(lián)立，得設(shè)Ax1,y1，B由OA====n2+4n=?4∴l(xiāng):my=x?2過定點(diǎn)2,0．題型11定值問題【例題11】（22·23上·南陽·階段練習(xí)）已知橢圓C:x26+y22=1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A．AB的最大值為2B．AFC．C的焦距是短軸長的2倍D．存在點(diǎn)A，使得A【答案】C【分析】由橢圓方程，結(jié)合橢圓的對稱性、定義及余弦定理判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由題意，a2=6，b2=2，c2=a而AB≤2a=26，由橢圓的對稱性知，AF當(dāng)A在y軸上時，cos∠F1所以存在點(diǎn)A，使得AF

故選：C【變式11-1】1.（22·23·鄭州·模擬預(yù)測）已知A，B分別為雙曲線x29?y2=1的左、右頂點(diǎn)，P為該曲線上不同于A，B的任意一點(diǎn)，設(shè)A．tanα+tanβ為定值 C．S?tanα+β為定值 D．【答案】C【分析】利用三角換元得到P3cosθ,tanθ,θ∈0,π2，利用斜率公式可求【詳解】由于雙曲線的對稱性，可設(shè)P3由雙曲線x29?則tantanβ=?tanθ3cos因此tanα=13對于A,對于B,由于tanαtanβ=若tanα2tanβ2為定值,則tan于是tanα,對于選項(xiàng)C,因此S?tan(α+β)=?9故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方是利用三角換元法假設(shè)出P3【變式11-1】2.（22·23下·河南·二模）已知動點(diǎn)P在雙曲線C：x2?y23①C的離心率為2；

②C的焦點(diǎn)弦最短為6；③動點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值；④當(dāng)動點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時，PF1P其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①由性質(zhì)可得；②用特殊值可判定；③設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)計算化簡即可，④利用雙曲線的焦半徑辦公計算即可.【詳解】由題意可得e=41=2顯然當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)弦過左、右焦點(diǎn)時，該弦長為實(shí)軸，長度為2＜6，即②錯誤；易知雙曲線的漸近線方程為y=±3x，設(shè)點(diǎn)Px0,y0對于④，先推下雙曲線的焦半徑公式：對雙曲線x2a2?y則PF同理PF所以PF設(shè)點(diǎn)Px0,y0故PF其中1?2x0≥3由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值為18，當(dāng)且僅當(dāng)11?2x0=綜上正確的是①③兩個.故選：B【變式11-1】3.（多選）（23·24上·江蘇·開學(xué)考試）已知橢圓C：x24+y23=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若P為橢圓C上一動點(diǎn)，記△PF1F2的內(nèi)心為I，外心為M，重心為GA．∠F1PF2的最大值為πC．PI?PG為定值 D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式求出PF1?PF2的取值范圍，再由余弦定理求出cos∠F1【詳解】對于A：在橢圓C中，a=2，b=3，則c=a2?b由橢圓的定義可得PF1+由基本不等式可得PF1?所以cos=P又0<∠F1PF2<π對于B：∵S當(dāng)點(diǎn)A為橢圓C的短軸的頂點(diǎn)時，S△PF1∴r=S△AF1F對于C：如圖，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與三邊分別相切與A，B，C，又G，則PB=PC，F(xiàn)1所以PB=所以PI==1即PI?對于D：∵S△PF又F1F2則R==12?6PF故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解得的關(guān)鍵是由基本不等式求出PF【變式11-1】4.（多選）（23·24上·浙江·階段練習(xí)）已知拋物線E:y2=4x上的兩個不同的點(diǎn)Ax1,y1,BA．E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0 B．x1C．x1x2是定值【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可判定A選項(xiàng)；根據(jù)A、B關(guān)于直線對稱及點(diǎn)在拋物線上可得x1+x2=ky1【詳解】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，即A正確；設(shè)A、B的中點(diǎn)為D，則Dx1+又kAB=y1?將③④代入②可得：y1代入①可得x1故B正確，C錯誤；所以A、B的中點(diǎn)D坐標(biāo)為2,?2則直線AB的方程為：y+2令y=0得：x0而D位于拋物線內(nèi)部，即?2k2則x0故選：ABD題型12定直線問題【例題12】（22·23下·嘉定·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線C：y2=4x上一點(diǎn)，直線l：（1）OA?OB=?3；（2）若點(diǎn)M(9,?6)（3）點(diǎn)P在定直線x=?3上；（4）設(shè)點(diǎn)Q(3,0)，則MQ的最小值為3．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷（1），（2），分別求出點(diǎn)A,B處的切線方程，聯(lián)立切線方程求點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可判斷（3），設(shè)My【詳解】對于（1），設(shè)A(x1,y1由16m所以y1所以O(shè)A=(=?12(m對于（2），因?yàn)镸(9,?6)，直線AM與BM傾斜角互補(bǔ)，所以kAM所以2my所以?24m+4m(6m?6)?72?12所以24m2?48m?72=0所以m2?2m?3=0解得m=3，所以（2）正確，對于（3），設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，B在x軸下方，設(shè)Ayx軸上方的拋物線方程為y=2x，x軸下方的拋物線方程為y=?2此時在點(diǎn)A處的切線的斜率為k1=1x1所以在點(diǎn)A處的切線方程為y?y1=2y方程化簡為yy1=2x+兩式相除化簡得x=y對于（4），設(shè)My024,當(dāng)y02=4時，MQ故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線切線方程的求法，解題的關(guān)鍵是直線方程代入拋物線方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后逐個分析，考查計算能力，屬于較難題.【變式12-1】1.（多選）（22·23·滄州·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為6.過F2作直線l交雙曲線A．C的漸近線方程為y=±B．點(diǎn)H與點(diǎn)G均在同一條定直線上C．直線HG不可能與l平行D．HG的取值范圍為2【答案】ABD【分析】根據(jù)題意求出b、a、c的值，可得出雙曲線C的漸近線方程，可判斷A選項(xiàng)；利用切線長定理以及雙曲線的定義可判斷B選項(xiàng)；取l⊥x軸，可判斷C選項(xiàng)；設(shè)直線AB的傾斜角為θ，求出HG=22sinθ【詳解】設(shè)雙曲線C半焦距為c，雙曲線C的漸近線方程為y=±bax雙曲線C的右焦點(diǎn)F2c,0到漸近線的距離為由題意知e=c所以a2=2，所以c=b2+故漸近線方程為y=±3對于B選項(xiàng)，記△AF1F2的內(nèi)切圓在邊AF1、AF2、

由切線長定理可得AM=AN，F(xiàn)1由AF1?得MF1?記H的橫坐標(biāo)為x0，則Ex0,0，于是同理內(nèi)心G的橫坐標(biāo)也為a，故HG⊥x軸，即H、G均在直線x=a上，故B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)l與x軸垂直時，HG//對于D選項(xiàng)，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則∠OF∠HF2O=在△HF2Gc?asin由于直線l與C的右支交于兩點(diǎn)，且C的一條漸近線的斜率為ba=3結(jié)合圖形可知60°<θ<120°，即故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【變式12-1】2.（多選）（21·22·江蘇·單元測試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線x2=2y的焦點(diǎn)的直線l與該拋物線的兩個交點(diǎn)為AxA．yB．以AB為直徑的圓與直線y=?1C．OA·OBD．經(jīng)過點(diǎn)B與x軸垂直的直線與直線OA交點(diǎn)一定在定直線上【答案】ABD【分析】聯(lián)立直線l與拋物線x2取AB中點(diǎn)M即為圓心，分別過A、B、M作直線y=?12的垂線，由拋物線定義得M到直線OA·OB=x1寫出兩條直線方程并聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合前面結(jié)論化簡交點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可判斷D．【詳解】解：由拋物線x2=2y，知焦點(diǎn)由題意知直線l斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+1聯(lián)立x2=2y，消x得所以y1設(shè)AB中點(diǎn)為M，M為以AB為直徑的圓的圓心，又y=?12是拋物線分別過A、B、M作直線y=?12的垂線，垂足分別為A'、B得MM由拋物線定義知AA'+B故B正確；聯(lián)立直線l與拋物線x2=2y，得y1因?yàn)閥1所以k=y即xOA·故C錯誤；經(jīng)過點(diǎn)B與x軸垂直的直線為x=直線OA為y=y聯(lián)立得交點(diǎn)x2因?yàn)閤1則y1所以經(jīng)過點(diǎn)B與x軸垂直的直線與直線OA交點(diǎn)一定在定直線y=?1故D正確．故選：ABD．【變式12-1】3.（多選）（21·22上·南京·開學(xué)考試）已知F為拋物線C：y2=2px（A．拋物線y=ax2的的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為B．已知拋物線C與直線l：4x?3y?2p=0在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|=λ|FBC．過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則四邊形D．若過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別作拋物線C的切線l1，l2，切線l1【答案】BCD【分析】A：根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p(p>0)即可判斷A選項(xiàng)；B：聯(lián)立{4x?3y?2p=0y2=2px，得x1=p8,x2=2p，進(jìn)而結(jié)合焦半徑公式得到|AF|與|FB|進(jìn)而可以求出λ的值，從而判斷B選項(xiàng)；C：由題意可知直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線【詳解】A：拋物線y=ax2的的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為B：聯(lián)立{4x?3y?2p=0y2=2px，則由題意可知|AF|=x故5p2=4×5pC：由題意可知直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)直線聯(lián)立{x=my+p2設(shè)兩交點(diǎn)為A(x1,所以|AB