2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章末題型歸納總結(jié)

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求具體函數(shù)與抽象函數(shù)的定義域經(jīng)典題型二：求函數(shù)的解析式經(jīng)典題型三：求函數(shù)的值域經(jīng)典題型四：函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)典題型五：函數(shù)的奇偶性經(jīng)典題型六：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用經(jīng)典題型七：冪函數(shù)經(jīng)典題型八：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求具體函數(shù)與抽象函數(shù)的定義域【典例1-1】（2024·高三·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，∴，∴.故選：D【典例1-2】（2024·高一·江西宜春·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋圆坏仁綄?duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上，，即的取值范圍是.故選：D.【變式1-1】（2024·高一·安徽宿州·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A．且 B．且C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故選：C.【變式1-2】（2024·高一·浙江麗水·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈亩x域是，所以要使得有意義，需滿足，解得．則函數(shù)的定義域?yàn)槭枪蔬x：B【變式1-3】（2024·高一·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?又函數(shù)的值域?yàn)?，所以的值域?yàn)?故選：D.【變式1-4】（2024·高一·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，則且，則函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.【變式1-5】（2024·高三·福建寧德·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)的定義域是，得，因此在函數(shù)中，，解得，所以所示函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A經(jīng)典題型二：求函數(shù)的解析式【典例2-1】（2024·高一·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且，求的解析式；（2）已知函數(shù)，求的解析式；（3）已知函數(shù)滿足，求函數(shù)的解析式；【解析】（1）設(shè)，則.，解得，或，或.（2）令，則，，即.（3）在已知等式中，將換成，得，與已知方程聯(lián)立，得，解得.【典例2-2】（2024·高一·天津?qū)氎妗るA段練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，求的表達(dá)式；（2）已知，求的表達(dá)式.【解析】（1）令，因?yàn)?，所以，則．由題意可知：即，可得，解得，所以；（2）因?yàn)?，所以．【變?-1】（2024·高三·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）求下列函數(shù)解析式(1)函數(shù)滿足，求函數(shù)的解析式;(2)函數(shù)滿足，求函數(shù)的解析式.【解析】（1）令，則(R)，又，所以，所以函數(shù)的解析式為.（2）∵，∴用替換上式中的，得到，解方程組，得.【變式2-2】（2024·高三·海南·開學(xué)考試）（1）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求的解析式.【解析】（1）設(shè)，則，，即，所以，所以．（2）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，所以設(shè).由，得．由，得，整理得，所以，所以，所以．（3）用替換中的x，得，由，解得.【變式2-3】（2024·高一·全國·課堂例題）（1）已知，求；（2）已知為二次函數(shù)，且，求；（3）已知函數(shù)對(duì)于任意的x都有，求．【解析】（1）方法一

（換元法）：令，則，，所以，所以的解析式為．方法二

（配湊法）：．因?yàn)?，所以的解析式為．?）設(shè)，則，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到關(guān)于與的方程組，解得．【變式2-4】（2024·高一·上?！ふn堂例題）（1）已知是一次函數(shù)，且，求的表達(dá)式；（2）已知，求的表達(dá)式；（3）已知，求的表達(dá)式；（4）已知，求的表達(dá)式．【解析】（1）設(shè)．∵，，解得或，∴或．（2）令則．∵，∴．（3）令，，則，即．∵，∴，∴．（4）∵，①∴．②得，∴．經(jīng)典題型三：求函數(shù)的值域【典例3-1】（2024·高一·全國·課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)；(3)，；(4)．【解析】（1），且，則．所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，所以的值域?yàn)?（3）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)的值域?yàn)椋镜淅?-2】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)；(3)．【解析】（1）因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，又，，∴函數(shù)，的值域?yàn)椋?）令，即，解得，所以的定義域?yàn)?，又∵，∴，故，∴的值域?yàn)椋?）因?yàn)椋?，所以，∴函?shù)的值域?yàn)椋咀兪?-1】（2024·高一·河北邯鄲·期中）（1）求當(dāng)時(shí)，的值域.（2）已知，求函數(shù)的最小值.【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則函數(shù)值域?yàn)?（2）因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為，此時(shí).【變式3-2】（2024·高一·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的最小值．【解析】因?yàn)?，，所以，等?hào)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立，所以函數(shù)最小值為4．【變式3-3】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列函數(shù)的值域：(1)(2)(3)【解析】（1）因?yàn)?，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）令，則，可得，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的值域?yàn)?（3）因?yàn)?，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?【變式3-4】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)閇1，3]，求的值【解析】由題意定義域?yàn)?，則在上有解，當(dāng)符合題意，當(dāng)，即的解集為[1，3]，故1和3為關(guān)于y的二次方程的兩個(gè)根所以解得【變式3-5】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【解析】（1）因?yàn)?，所以．故值域?yàn)椋?）因?yàn)?，且，所以，所以，故函?shù)的值域?yàn)椋?）令，則，且，所以（）．故函數(shù)的值域．（4），其中，，當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，所以．故函?shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，即取得最小值8．故函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?-6】（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）完成下列各小題:(1)若正數(shù)，滿足，求的最小值.(2)已知，求的最小值.(3)已知定義在的函數(shù)，求函數(shù)的值域【解析】（1）由題得，正數(shù)，滿足，因?yàn)?，所以，所以；?dāng)且僅當(dāng)，得，即時(shí)，等號(hào)成立；所以的最小值為.（2）因?yàn)?，所以，令，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以時(shí)，的最小值為.（3）因?yàn)?所以所以因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以所以，即所以函?shù)的值域?yàn)榻?jīng)典題型四：函數(shù)的單調(diào)性【典例4-1】（2024·高一·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求在或上的值域；(2)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．【解析】（1）當(dāng)，若，則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；若，則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．所以在或上的值域?yàn)椋海?），且，有．由得：．所以，又由，得．于是：，即．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．【典例4-2】（2024·高一·湖南邵陽·開學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②，均有，函數(shù)，若曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，令.(1)求實(shí)數(shù)的值及；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，不用說明理由；(3)已知，且，證明：.【解析】（1）由，均有且，令，可得，令，可得.因?yàn)榍€與hx恰有一個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以，又因?yàn)榍€與hx恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，因?yàn)?，可得，解得，所以，則.（2）函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減.設(shè)且，則，其中當(dāng)時(shí)，，則，即，此時(shí)函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，即，此時(shí)函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減.（3）證明：因?yàn)椋?，可得，即，所以，整理得，又因?yàn)?，由基本不等式，可?【變式4-1】（2024·高一·安徽阜陽·階段練習(xí)）函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，可得在上是單調(diào)遞減的，則，解得.故選：A【變式4-2】（2024·高一·江蘇常州·期中）已知函數(shù)，若對(duì)于任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由任意，都有，知在單調(diào)遞減，要使在單調(diào)遞減，則或，即或.故選：A.【變式4-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）.A． B．C． D．，【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，又的圖象是由向右平移個(gè)單位而來，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：D【變式4-4】（2024·高一·吉林·階段練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】開口向上，對(duì)稱軸為，要想函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則需，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A【變式4-5】（2024·高一·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.經(jīng)典題型五：函數(shù)的奇偶性【典例5-1】（2024·高一·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，.【答案】【解析】當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，可得因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，，可得，即當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，故答案為：.【典例5-2】（2024·高一·吉林·階段練習(xí)）若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集是.【答案】【解析】因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，則，在上是增函數(shù)，則在0,+∞上也單調(diào)遞增，又，故，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，綜上，的解集為.故答案為：【變式5-1】（2024·高一·吉林·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則.【答案】【解析】設(shè)，則，且為奇函數(shù)，即.又；所以，所以.故答案為：【變式5-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)殚_口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，,所以.又當(dāng)時(shí)，，，所以.又，所以為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，則可得：，即，解得，故答案為：【變式5-3】（2024·高一·全國·課堂例題）函數(shù)是奇函數(shù)，則滿足條件的一組值可以是，．【答案】1（不唯一）；0【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，得，當(dāng)時(shí)，，滿足，為奇函數(shù).故答案為：1（不唯一）；0【變式5-4】（2024·高一·天津·階段練習(xí)）（1）解關(guān)于的不等式：；（2）設(shè)定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）原不等式化為：，解得或，當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；綜上得：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.（2）因?yàn)?，是偶函?shù)，所以，又fx在，所以，所以，解得.所以a的取值范圍是.【變式5-5】（2024·高一·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解不等式.【解析】（1））函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，.（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意且，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù).（3）由題意，不等式可化為，所以，解得，所以該不等式的解集為.經(jīng)典題型六：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例6-1】（2024·高一·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；(3)若關(guān)于的不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）證明：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù).（2）證明：當(dāng)時(shí)，，任取，且，可得因?yàn)?，且，可得，，所以，即，所以函?shù)在0,+∞上是增函數(shù).（3）因?yàn)楹瘮?shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在0,+∞上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上也是增函數(shù)，又因?yàn)?，所以函?shù)在上是增函數(shù)，又由，可得，因?yàn)椴坏仁綄?duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，即不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，可得不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，即不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式即為恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，綜上可得，，即實(shí)數(shù)的取值范圍0,1.【典例6-2】（2024·高一·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式；(3)對(duì)（2）中的，當(dāng)，時(shí)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，若在上單調(diào)遞減，則，即的取值范圍為；（2）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，；所以；（3）當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，恒有成立，所以當(dāng)，恒有成立，令，，則，當(dāng)，即時(shí)，，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，解得，所以；綜上可得.【變式6-1】（2024·高一·浙江嘉興·階段練習(xí)）若函數(shù)在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”.(1)函數(shù)①②，哪個(gè)函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù).①函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值.【解析】（1）在上的最大值為3，最小值為2，最大值與最小值的差為1，是在上的“美好函數(shù)”；在上遞增，最大值為4，最小值是1，最大值與最小值的差為3，不是在上的“美好函數(shù)”；（2）①，(i)時(shí)，在上遞增，時(shí)，，時(shí)，，所以；(ii)時(shí)，在上遞減，時(shí)，，時(shí)，，所以得，綜上，；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)為，(i)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得；(ii)當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得；(iii)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，若，則，由得或，均舍去；若，則，由，得，均舍去，綜上，或．【變式6-2】（2024·高一·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)任意的且時(shí)，有成立.(1)證明：在上單調(diào)遞增；(2)解不等式：；(3)若對(duì)所有的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）取任意，且；由是定義在上的奇函數(shù)，可得，又因?yàn)閷?duì)任意的且時(shí)，有成立，所以，且；因此可得，即.所以在上單調(diào)遞增；（2）由于是定義在上的奇函數(shù)，將不等式變形可得；由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式需滿足，解不等式可得；解不等式可得或；解不等式可得或；綜合可得；即不等式的解集為（3）由（1）可知，在上的最大值為，因?yàn)閷?duì)所有的恒成立，所以對(duì)所有的恒成立，即對(duì)所有的恒成立，令，即對(duì)所有的恒成立，所以，即，解得或或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或或【變式6-3】（2024·高一·云南紅河·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；(2)根據(jù)第（1）問的結(jié)論，求的值．【解析】（1）由題意設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．即函數(shù)為奇函數(shù)，而，由于，即，因?yàn)?，故，解得，即函?shù)圖象的對(duì)稱中心為；（2）由（1）的結(jié)論可知，則，而，故.【變式6-4】（2024·高一·河北石家莊·階段練習(xí)）如果函數(shù)滿足：對(duì)定義域內(nèi)的所有x，存在常數(shù)a，b，都有，那么稱是“中心對(duì)稱函數(shù)”，對(duì)稱中心是點(diǎn)．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)試探究的值并根據(jù)該關(guān)系式寫出函數(shù)的對(duì)稱中心；(3)設(shè)，若函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且其橫坐標(biāo)分別為，求．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）知，所以，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；（3）因?yàn)椋怯珊瘮?shù)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，且對(duì)稱點(diǎn)不在的圖象上，由（2）知函數(shù)的對(duì)稱中心也為，若函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以.【變式6-5】（2024·高一·四川德陽·期末）對(duì)稱美在日常生活中隨處可見，在數(shù)學(xué)中也非常常見．高一某同學(xué)通過自主探究發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)時(shí)：若恒有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；若恒有，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，必為偶函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則必為奇函數(shù)；③三次函數(shù)一定有對(duì)稱中心；四次函數(shù)不一定有與軸垂直的對(duì)稱軸.請(qǐng)您對(duì)上訴結(jié)論作進(jìn)一步探究，結(jié)合自己的實(shí)際，解答以下問題：(1)求三次函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)若四次函數(shù)有垂直于軸的對(duì)稱軸，求的值；(3)若，求的值.【解析】（1）法一：，可由奇函數(shù)右移1個(gè)單位，再上移3個(gè)單位得到，故三次函數(shù)的對(duì)稱中心為.法二：令，則，解得：，即，可由奇函數(shù)右移1個(gè)單位，再上移3個(gè)單位得到，故三次函數(shù)的對(duì)稱中心為.（2）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，解得.（3）令，由（1）知，由奇函數(shù)平移得到，其對(duì)稱中心為，又在R上單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞增，所以，可化為，所以，故.【變式6-6】（2024·高一·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).(1)求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；(2)根據(jù)第（1）問的結(jié)論，求的值；(3)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.【解析】（1）設(shè)的對(duì)稱中心為點(diǎn)，，則為奇函數(shù)，即，，，即，，整理得，，，解得，即，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為；（2）由（1）知，，，且，；（3）推廣結(jié)論：函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).經(jīng)典題型七：冪函數(shù)【典例7-1】（2024·高二·湖南·開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則.【答案】【解析】由題意可得為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在0,+∞單調(diào)遞減，符合題意.故答案為:.【典例7-2】（2024·高一·天津·期中）若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以或，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，滿足題意；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為，圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，舍去，所以，不等式為，因?yàn)楹瘮?shù)在和上單調(diào)遞減，所以或或，解得或.故答案為：.【變式7-1】（2024·高一·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）若冪函數(shù)過，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)，由題意可得：，解得，即，可知為定義在上的偶函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若，可得，整理可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式7-2】（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·期中）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：．①；②對(duì)于任意兩個(gè)不同的正數(shù)，都有恒成立；③對(duì)于任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，都有．【答案】（答案不唯一）【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)于①，，故滿足①；對(duì)于②，由對(duì)于任意兩個(gè)不同的正數(shù)，都有恒成立，得函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，而函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，故滿足②；對(duì)于③，任取，則，因?yàn)椋裕?，所以，故滿足③.故答案為：（答案不唯一）.【變式7-3】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）若，且函數(shù)與的圖象若有1個(gè)交點(diǎn)，則寫出一個(gè)符合條件的集合；若有兩個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的不同集合A有個(gè)．【答案】（答案不唯一）4【解析】作出五個(gè)函數(shù)圖象，如圖：由圖可知：圖像與、、、的圖象有1個(gè)、1個(gè)，2個(gè)、2個(gè)交點(diǎn)；圖像與、、的圖像有1個(gè)、1個(gè)，1個(gè)交點(diǎn)；圖像與、的圖像有2個(gè)、2個(gè)交點(diǎn)；圖像與的圖像有3個(gè)交點(diǎn).綜上可得，函數(shù)與的圖象若有1個(gè)交點(diǎn)，則，，，，；滿足函數(shù)與的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn)的集合有4個(gè)：，，，．故答案為：（答案不唯一）；4.【變式7-4】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以該冪函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?【變式7-5】（2024·高一·湖北武漢·期末）若冪函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為.【答案】【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，符合題意，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則，解得或，即不等式的解集為.故答案為：.【變式7-6】（2024·高一·廣東梅州·期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)得，解得，則，定義域?yàn)?由可得為偶函數(shù)，又冪函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.于是等價(jià)于，解得或.所以的取值范圍是.故答案為：.【變式7-7】（2024·高一·四川南充·期末）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】考慮函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和.所以不等式等價(jià)于或者或者，解得：或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：.故答案為：經(jīng)典題型八：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例8-1】（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）某保健廠研制了一種足浴氣血生機(jī)的足療盆，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腳起保健作用.根據(jù)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度起到干擾作用，已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為2；對(duì)右腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為k，且當(dāng)時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為0.06.(1)求臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和的最小值，并求此時(shí)x的值.【解析】（1）由題意，，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以，.（2）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，所以當(dāng)時(shí)，臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和的最小，為.【典例8-2】（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)機(jī)是一種電子教學(xué)類產(chǎn)品，也統(tǒng)指對(duì)學(xué)習(xí)有輔助作用的所有電子教育器材．學(xué)習(xí)機(jī)較其他移動(dòng)終端更注重學(xué)習(xí)資源和教學(xué)策略的應(yīng)用，課堂同步輔導(dǎo)?全科輔學(xué)功能?多國語言學(xué)習(xí)?標(biāo)準(zhǔn)專業(yè)詞典以及內(nèi)存自由擴(kuò)充等功能成為學(xué)習(xí)機(jī)的主流競(jìng)爭(zhēng)手段，越來越多的學(xué)習(xí)機(jī)產(chǎn)品全面兼容網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)?情境學(xué)習(xí)?隨身學(xué)習(xí)機(jī)外教?單詞聯(lián)想記憶?同步教材講解?互動(dòng)全真題庫?權(quán)威詞典?在線圖書館等多種模式，以及大內(nèi)存和SD/MMC卡內(nèi)存自由擴(kuò)充功能根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查．某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為1196萬元；當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為2960萬元．(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為1196萬元，所以，解得，當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為2960萬元，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上．（2）①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以此時(shí)的最大值為，綜合①②知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為3680萬元．【變式8-1】（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為已知此工廠的年產(chǎn)量最小為噸，最大為噸．(1)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為萬元，且產(chǎn)品全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？并求出最大利潤．【解析】（1）由題意可得，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，符合題意.所以當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，平均成本最低為萬元．（2）設(shè)利潤為，則，又，當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)年產(chǎn)量為噸時(shí)，最大利潤為萬元．【變式8-2】（2024·高一·遼寧·開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，.動(dòng)點(diǎn)P，Q從A同時(shí)出發(fā)，且速度均為，點(diǎn)P，Q分別沿折線，向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為.(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，x的值為______.(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍.(3)當(dāng)PQ長度不變時(shí)，直接寫出x的取值范圍及PQ的長度.【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，，且點(diǎn)P速度為，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.（2）分類討論：當(dāng)時(shí)，如圖，所以，所以；當(dāng)時(shí)，如圖，∴，的高即為長，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，所以，，，∴.綜上可知：.（3）由題意可知當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)或點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)長度一定發(fā)生變化，所以討論即可，此時(shí)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，如圖，過點(diǎn)作于.所以，，，所以，，所以當(dāng)長度不變時(shí)，，且.【變式8-3】（2024·高一·上?！るA段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為2，E為邊上的一點(diǎn)，．F為線段上的一點(diǎn)，，垂足為G，，垂足為H．

(1)設(shè)，求：矩形的面積關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域.(2)求：矩形的面積的最大值．【解析】（1）如圖，作，交于，交于，因?yàn)?，，所以，，由得到，所以，所以，故，解得，所以，?）設(shè)，由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，綜上當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【變式8-4】（2024·高一·上?！て谥校┚W(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式．根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式．已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進(jìn)貨價(jià)格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150％”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，求該公司最大月利潤．【解析】由題意知，且.每件產(chǎn)品售價(jià)定為，設(shè)該公司的月利潤為y萬元，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，答：該公司最大月利潤為37.5萬元．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想【典例9-1】設(shè)函數(shù)，用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】A

【解析】令，解得或，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有最小值，綜上：函數(shù)的最小值為1，故選：【典例9-2】已知冪函數(shù)滿足，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】由冪函數(shù)的概念可知，，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，，則，滿足題意，則，其定義域?yàn)榱睿瑒t，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x【變式9-1】若定義在R的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C

【解析】定義在R的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以在上也是單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或，解得或或，所以滿足的x的取值范圍是故選：【變式9-2】已知函數(shù)的最小值為，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)最小值為，要使的最小值為，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時(shí)最小值為，不滿足的最小值為綜上可得故選【變式9-3】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，在遞增，故，，即時(shí)，的最大值是或，令，解得：，故時(shí)，，時(shí)，，，，故，故時(shí)，最小，最小值是，故選②轉(zhuǎn)化與化歸思想【典例10-1】定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上也是單調(diào)遞減，所