2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.2.3空間中的垂直關系第2課時平面與平面垂直學案新人教B版必修2

PAGEPAGE1第2課時平面與平面垂直1．理解平面與平面垂直的定義．2．駕馭面面垂直的判定定理及性質定理．3．能用定義、判定定理、性質定理解決有關垂直問題．1．兩個平面相互垂直的定義(1)定義：假如兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線相互垂直，就稱這兩個平面相互垂直．(2)表示：平面α，β相互垂直，記作α⊥β．(3)畫法：兩個相互垂直的平面通常畫成如圖①、②所示．即把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直．2．平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理假如一個平面過另一個平面的一條垂線，則兩個平面相互垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?平面α,a⊥平面β))?α⊥β性質定理假如兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β.a?α,α∩β＝b,a⊥b))?a⊥β1．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：選C．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊥β))?eq\a\vs4\al(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,m⊥β,m?α))?α⊥β.)2．點P是菱形ABCD所在平面外一點，且PA＝PC．求證：平面PAC⊥平面PBD．證明：如圖所示，連接AC，BD交于點O，連接PO．因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又因為AO＝OC，PA＝PC，所以PO⊥AC．因為BD∩PO＝O，所以AC⊥平面PBD．又因為AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．3．已知α⊥β，α∩β＝l，作直線m，使m⊥l，則m⊥α嗎？解：不肯定．當m?β時，m肯定垂直α，如m?β，則m與α的關系不確定．面面垂直的判定如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，E，F(xiàn)，G分別是AD，DC，CA的中點．求證：平面BEF⊥平面BDG．【證明】因為E，F(xiàn)，G分別是AD，DC，CA的中點，且AD＝DC，所以DFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))EG，且DF＝DE，所以四邊形EDFG為菱形，所以EF⊥DG，又因為AB＝BC，AG＝GC，所以AC⊥BG，又因為EF∥AC，所以EF⊥BG．又BG∩DG＝G，所以直線EF⊥平面BDG，又因為EF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面BDG．eq\a\vs4\al()在證明兩平面垂直時，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中找尋平面的垂線，若圖形中沒有這樣的直線，則可通過作協(xié)助線來解決．在有平面垂直時，一般應用性質定理使之轉化為線面垂直，即達到“線線垂直、線面垂直、面面垂直”之間的相互轉化，這種垂直轉化也是立體幾何中解決垂直問題的重要思想．如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC＝BC＝a，求證：平面VAB⊥平面VCD．證明：因為AC＝BC，所以△ABC是等腰三角形．又D是AB的中點，所以CD⊥AB．又VC⊥底面ABC，AB?底面ABC，所以VC⊥AB．因為CD∩VC＝C，CD?平面VCD，VC?平面VCD，所以AB⊥平面VCD．又AB?平面VAB，所以平面VAB⊥平面VCD．面面垂直的性質已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC．【證明】如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點D，因為平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AD⊥BC．因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，因為AD∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以BC⊥AC．eq\a\vs4\al()證明線面垂直，除利用定義和判定定理外，另一種重要的方法是利用面面垂直的性質定理證明，應用時應留意：(1)兩平面垂直；(2)直線必需在一個平面內(nèi)；(3)直線垂直于交線．如圖，△ABC是邊長為2的正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD．求證：AE∥平面BCD．證明：如圖，取BC的中點M，連接DM，AM，因為BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC．又因為平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM．又因為AE?平面BCD，DM?平面BCD，所以AE∥平面BCD．垂直關系的綜合應用如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．【證明】(1)如圖，取EC的中點F，連接DF．因為EC⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以EC⊥BC．易知DF∥BC，所以DF⊥EC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，因為EF＝eq\f(1,2)EC，EC＝2BD，所以EF＝BD．又FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA．(2)取CA的中點N，連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2)EC．因為EC∥BD，BD＝eq\f(1,2)EC，所以MNeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BD，所以N點在平面BDM內(nèi)．因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，所以BN⊥平面ECA．因為BN在平面MNBD內(nèi)，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．(3)由其次問易知DM∥BN，BN⊥平面CAE，所以DM⊥平面ECA．又DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．eq\a\vs4\al()垂直關系的轉化在關于垂直問題的論證中要留意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一種垂直的判定都是從某一垂直起先轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD．證明：(1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD．(2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE．所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD．又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD．(3)因為AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD．因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF．所以CD⊥EF．又因為CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF．因為CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD．線線、線面、面面垂直的判定與性質定理的綜合應用概述：(1)線線、線面、面面垂直間的關系(2)線線、線面、面面的垂直是從低維到高維逐層推動的，其中線面垂直是紐帶．(3)線面垂直的判定方法運用兩個平面垂直的性質定理時，一般需作協(xié)助線．基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直．證明時要分清求證結論與題設．1．若兩個平面α與β垂直，在第一個平面α內(nèi)的一條直線a垂直于其次個平面β內(nèi)的一條直線b，則()A．a(chǎn)⊥βB．b⊥αC．a(chǎn)不肯定垂直于βD．過a的平面必垂直于過b的平面答案：C2．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：選D．因為AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD．又因為AD?平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1與平面BB1D1D的位置關系是．解析：如圖所示，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥BD,AC⊥BB1))?AC⊥平面BB1D1D,AC?平面AD1C))?平面AD1C⊥平面BB1D1D．答案：垂直4．如圖，已知PA垂直于圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中面面垂直的共有對．答案：3[學生用書P99(單獨成冊)])[A基礎達標]1．已知平面α、β、γ，則下列命題中正確的是()A．α⊥β，β⊥γ，則α∥γB．α∥β，β⊥γ，則α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，則a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，則b⊥α解析：選B．A中α，γ可以相交；C中如圖：a與b不肯定垂直；D中b僅垂直于α的一條直線a，不能判定b⊥α．2．下列命題中錯誤的是()A．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)肯定存在直線平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)全部直線都垂直于平面β解析：選D．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面β，其它與交線不垂直的直線均不與平面β垂直，故D項敘述是錯誤的．3．如圖所示，在立體圖形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：選C．因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，所以AC⊥平面BDE，因為AC?平面ABC，AC?平面ADC．所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE．4．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成幾何體A-BCD，則在幾何體A-BCD中，下列結論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：選D．由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，從而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC．又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．5．如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是()A．一條線段B．一條直線C．一個圓D．一個圓，但要去掉兩個點解析：選D．因為平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，所以AC⊥平面PBC．又因為BC?平面PBC，所以AC⊥BC．所以∠ACB＝90°．所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點．6．長方體ABCD-A1B1C1D1中，MN?平面BCC1B1，且MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關系是．解析：由面面垂直的性質定理知，MN⊥平面ABCD，因為AB?平面ABCD．所以MN⊥AB．答案：垂直7．如圖，在三棱錐P-ABC內(nèi)，側面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝．解析：因為側面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)．答案：eq\r(5)8．如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，下列結論：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°．其中正確的有(把全部正確的序號都填上)．解析：由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，由正六邊形的性質得AE⊥AB，又PA∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以AE⊥PB，①正確；由題意得平面PAD⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯；由正六邊形的性質得BC∥AD，又AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直線BC∥平面PAE不成立，③錯；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，所以∠PDA＝45°，所以④正確．答案：①④9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、AD的中點，求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD．證明：(1)因為E、F分別是AP、AD的中點，所以EF∥PD，又因為PD?平面PCD，EF?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD．(2)因為AB＝AD，∠BAD＝60°，F(xiàn)是AD的中點，所以BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，又因為BF?平面BEF．所以平面BEF⊥平面PAD．10．在斜三棱柱A1B1C1-ABC(側棱與底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側面BB1C1C⊥底面ABC．若D是BC的中點．(1)求證：AD⊥CC1；(2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側面BB1C1C．證明：(1)因為AB＝AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC，因為底面ABC⊥側面BB1C1C，所以AD⊥側面BB1C1C，所以AD⊥CC1．(2)如圖，取BC1的中點E，連接ME，DE．因為D為BC的中點，所以DE∥CC1，DE＝eq\f(1,2)CC1．因為AA1∥CC1，AA1＝CC1，且M為AA1的中點，所以AM∥CC1且AM＝eq\f(1,2)CC1．所以DE∥AM，DE＝AM，所以四邊形ADEM是平行四邊形，所以EM∥AD．因為AD⊥平面BB1C1C，所以EM⊥平面BB1C1C．又EM?截面MBC1，所以截面MBC1⊥側面BB1C1C．[B實力提升]11．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不肯定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：選D．如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，故選D．12．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為．解析：連接CM，則由題意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2)，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當CM⊥AB時CM有最小值，此時有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值為2eq\r(7)．答案：2eq\r(7)13．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．求證：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE．證明：(1)連接EO，因為四邊形ABCD為正方形，所以O為AC的中點，又E是PC的中點．所以EO∥PA．因為EO?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE．(2)因為PO⊥平