2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制5.1.1任意學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-5.1隨意角和弧度制5.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解隨意角的概念．2．駕馭終邊相同角的含義及其表示．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．駕馭軸線(xiàn)角、象限角及區(qū)間角的表示方法．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))1.通過(guò)終邊相同角的計(jì)算，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助隨意角的終邊位置的確定，提升邏輯推理素養(yǎng).現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)超過(guò)0°～360°范圍的角．例如，體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”這樣的動(dòng)作名稱(chēng)，這里不僅有超出0°～360°范圍的角，而且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同．問(wèn)題：要精確地描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，你知道在數(shù)學(xué)中是如何表示此種現(xiàn)象的嗎？提示：借助正角、負(fù)角的概念．1．角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)圍著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．2．角的表示如圖，(1)始邊：射線(xiàn)的起始位置OA，(2)終邊：射線(xiàn)的終止位置OB，(3)頂點(diǎn)：射線(xiàn)的端點(diǎn)O.這時(shí)，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”．3．隨意角的分類(lèi)(1)按旋轉(zhuǎn)方向分(2)按角的終邊位置分①前提：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．②分類(lèi)：4．終邊相同的角全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．思索：終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？提示：終邊相同的角不肯定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角，終邊相同．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)其次象限角大于第一象限角． ()(2)其次象限角是鈍角． ()(3)終邊相同的角肯定相等． ()(4)終邊相同的角有多數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍． ()[提示](1)錯(cuò)誤．如其次象限角100°小于第一象限角361°.(2)錯(cuò)誤．如其次象限角－181°不是鈍角．(3)錯(cuò)誤．終邊相同的角可表示為α＝β＋k·360°，k∈Z，即α與β不肯定相等．(4)正確．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．下列說(shuō)法正確的是()A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或其次象限角B．第四象限的角肯定是負(fù)角C．60°角與600°角是終邊相同的角D．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為60°D[A錯(cuò)誤，90°角既不是第一象限角也不是其次象限角；B錯(cuò)誤，280°角是第四象限角，但它不是負(fù)角；C錯(cuò)誤，600°－60°＝540°不是360°的倍數(shù)；D正確，分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為－360°，將分針撥慢是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，撥慢10分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角為360°×eq\f(1,6)＝60°.]3．50°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2周，所得角是________．－670°[由題意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]4．已知0°≤α＜360°，且α與600°角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角．240°三[因?yàn)?00°＝360°＋240°，所以240°角與600°角終邊相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．]角的有關(guān)概念的推斷【例1】(1)給出下列說(shuō)法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角肯定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上)．(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．①420°.②855°.③－510°.(1)①[①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確；②－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②錯(cuò)誤；③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯(cuò)誤；④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯(cuò)誤．](2)[解]作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：①420°是第一象限角．②855°是其次象限角．③－510°是第三象限角．1．理解角的概念的關(guān)鍵與技巧：(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．(2)技巧：推斷命題為真須要證明，而推斷命題為假只要舉出反例即可．2．象限角的判定方法：(1)在坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的角，視察終邊的位置，確定象限．(2)第一步，將α寫(xiě)成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；其次步，推斷β的終邊所在的象限；第三步，依據(jù)β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．提示：理解隨意角這一概念時(shí)，要留意“旋轉(zhuǎn)方向”確定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”確定角的“肯定值大小”．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關(guān)系正確的是()A．A＝B＝C B．A?CC．A∩C＝B D．B∪C?CD[由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正確．]2．給出下列四個(gè)命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是其次象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)D[－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以這四個(gè)命題都是正確的．]終邊相同的角的表示及應(yīng)用【例2】(1)寫(xiě)出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．(2)寫(xiě)出終邊在直線(xiàn)y＝x上的角的集合S.S中滿(mǎn)意不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？[解](1)與α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴3eq\f(11,36)≤k＜6eq\f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4,5,6.k＝4時(shí)，β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5時(shí)，β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6時(shí)，β＝6×360°－1910°＝250°.(2)如圖，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出直線(xiàn)y＝x，可以發(fā)覺(jué)它與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線(xiàn)y＝x上的角有兩個(gè)：45°，225°.因此，終邊在直線(xiàn)y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素β有45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°.1．在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)假如所給的角的肯定值不是很大，可以通過(guò)如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采納連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采納連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．2．運(yùn)用終邊相同的角的留意點(diǎn)全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運(yùn)用時(shí)需留意以下四點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．(2)α是隨意角．(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不肯定相等，但相等的角終邊肯定相同，終邊相同的角有多數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．提示：表示終邊相同的角，k∈Z這一條件不能少．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．下面與－850°12′終邊相同的角是()A．230°12′ B．229°48′C．129°48′ D．130°12′B[與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當(dāng)k＝3時(shí)，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.]4．在－360°～360°之間找出全部與下列各角終邊相同的角，并推斷各角所在的象限．①790°；②－20°.[解]①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是70°和－290°，它們都是第一象限的角．②∵－20°＝－360°＋340°，∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是340°，它們都是第四象限的角．隨意角終邊位置的確定和表示[探究問(wèn)題]1．若射線(xiàn)OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射線(xiàn)OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°經(jīng)過(guò)的區(qū)域?yàn)镈，則終邊落在區(qū)域D(包括邊界)的角的集合應(yīng)如何表示？提示：終邊落在區(qū)域D包括邊界的角的集合可表示為{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．2．若角α與β的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，則角α與β分別具有怎樣的關(guān)系？提示：(1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.【例3】(1)若α是第一象限角，則－eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第一、四象限角C．其次象限角 D．其次、四象限角(2)已知，如圖所示．①分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(依據(jù)角終邊的對(duì)稱(chēng)性確定－\f(α,2)是第幾象限角)(2)①eq\x(視察圖形)→eq\x(確定終邊落在OA，OB位置上的角)(1)D[因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵詋·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋45°，k∈Z，所以eq\f(α,2)是第一、三象限角，又因?yàn)椋璭q\f(α,2)與eq\f(α,2)的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以－eq\f(α,2)是其次、四象限角．](2)[解]①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由全部介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．1．若將本例(2)改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°≤β＜105°與240°≤β＜285°，所以全部滿(mǎn)意題意的角β為{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合為{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．2．若將本例(2)改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150°≤β≤225°，則全部滿(mǎn)意條件的角β為{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．1．表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；其次步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．2．nα或eq\f(α,n)所在象限的推斷方法：(1)用不等式表示出角nα或eq\f(α,n)的范圍；(2)用旋轉(zhuǎn)的觀(guān)點(diǎn)確定角nα或eq\f(α,n)所在象限．例如：k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°，k∈Z.由0°＜eq\f(α,3)＜30°，每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°可得eq\f(α,3)終邊的位置．提示：表示區(qū)間角時(shí)要留意實(shí)線(xiàn)邊界與虛線(xiàn)邊界的差異．1．駕馭3個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)(1)隨意角的概念．(2)終邊相同的角與象限角．(3)區(qū)域角的表示．2．駕馭1種方法——數(shù)形結(jié)合由α所在象限，確定eq\f(α,2)所在象限，可用如下方法推斷：(1)畫(huà)出區(qū)域：將坐標(biāo)系每個(gè)象限二等分，得到8個(gè)區(qū)域；(2)標(biāo)號(hào)：自x軸正向逆時(shí)針?lè)较虬衙總€(gè)區(qū)域依次標(biāo)上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(如圖所示)；(3)確定區(qū)域：找出與角α所在象限標(biāo)號(hào)一樣的區(qū)域，即為所求．3．規(guī)避2個(gè)易錯(cuò)(1)銳角與小于90°角的區(qū)分．(2)終邊相同角的表示中漏掉k∈Z.1．下列角中，終邊在y軸非負(fù)半軸上的是()A．45° B．90°C．180° D．270°B[依據(jù)角的概念可知，90°角是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°，故其終邊在y軸的非負(fù)半軸上．]2．下列各個(gè)角中與2019°終邊相同的是()A．－149° B．679°C．319° D．219