2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第九章平面解析幾何圓的方程理

圓的方程圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心為(a，b)半徑為r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要條件：D2＋E2－4F>0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)概念方法微思索1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？提示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？如何推斷？提示點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種．已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)，(1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．（2024?北京）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】如圖示：，半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得該圓的圓心軌跡為為圓心，1為半徑的圓，故當(dāng)圓心到原點(diǎn)的距離的最小時(shí)，連結(jié)，在上且，此時(shí)距離最小，由，得，即圓心到原點(diǎn)的距離的最小值是4，故選．2．（2024?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，的圓的方程為_(kāi)_________．【答案】（或【解析】【方法一】依據(jù)題意畫(huà)出圖形如圖所示，結(jié)合圖形知經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，的圓，其圓心為，半徑為1，則該圓的方程為．【方法二】設(shè)該圓的方程為，則，解得，；所求圓的方程為．故答案為：（或．3．（2024?上海）若、是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】2【解析】圓，可化為，、是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為2，故答案為2．1．（2024?江西模擬）圓的半徑為5，圓心在軸的負(fù)半軸上，且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為6，則圓的方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓心為，，由題意知圓心到直線(xiàn)的距離為，解得，則圓的方程為，即為，故選．2．（2024?西城區(qū)模擬）若圓與軸，軸均有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】圓；圓心，；圓與，軸都有公共點(diǎn)；；故選．3．（2024?全國(guó)Ⅱ卷模擬）已知圓過(guò)點(diǎn)，，，點(diǎn)，在圓上，則面積的最大值為A．100 B．25 C．50 D．【答案】D【解析】設(shè)圓的方程為，將，，代入可得，，解得，，，故圓的一般方程為，即，故的面積，故選．4．（2024?長(zhǎng)春三模）已知圓的圓心在軸上，且與圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為，則圓的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】圓的圓心在軸上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，設(shè)半徑為，則圓的方程為：，即，又圓的方程為：，兩圓方程相加得公共弦所在直線(xiàn)的方程為：，又公共弦所在直線(xiàn)的方程為，，解得，圓的方程為：，故選．5．（2024?懷柔區(qū)一模）已知圓與圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則圓的方程為A． B． C． D．【答案】D【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則所求圓的方程為．故選．6．（2024?鄭州二模）圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】由圓可得圓心坐標(biāo)，半徑為2，由題意可得關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的圓心與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，半徑為2，設(shè)所求的圓心為則解得：，，故圓的方程為：，故選．7．（2024?西城區(qū)一模）設(shè)，，則以線(xiàn)段為直徑的圓的方程是A． B． C． D．【答案】A【解析】弦長(zhǎng)，所以半徑為，中點(diǎn)坐標(biāo)，所以圓的方程，故選．8．（2024?拉薩二模）圓心為且和軸相切的圓的方程是A． B． C． D．【答案】A【解析】圓心為且和軸相切的圓，它的半徑為1，故它的的方程是，故選．9．（2024?綿陽(yáng)模擬）已知圓，點(diǎn)，在圓上，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)意且，則的最大值為A．8 B． C．4 D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，若平面上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)意，又由，則為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，設(shè)的中點(diǎn)為，，，又由且，則為等腰直角三角形，故，圓，即，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故選．10．（2024?綿陽(yáng)模擬）已知圓，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且將圓及其內(nèi)部區(qū)域分為兩部分，則當(dāng)這兩部分的面積之差的肯定值最大時(shí)，直線(xiàn)的方程為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，當(dāng)直線(xiàn)與垂直時(shí)，直線(xiàn)分圓的兩部分的面積之差的肯定值最大，，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的方程為：，即，故選．11．（2024?和平區(qū)校級(jí)二模）已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且過(guò)點(diǎn)，，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】依據(jù)題意，圓的圓心在直線(xiàn)上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則有，解可得，則，即圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；故答案為：．12．（2024?江蘇模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)圓的面積最小時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】依據(jù)題意，直線(xiàn)與圓相交，設(shè)其交點(diǎn)為、，則有，聯(lián)立解可得：或，即、的坐標(biāo)為，和；當(dāng)為圓的直徑時(shí)，圓的面積最小，此時(shí)圓的圓心，，半徑；則此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；故答案為：．13．（2024?河?xùn)|區(qū)一模）已知圓過(guò)點(diǎn)、、，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)最小距離為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，圓過(guò)點(diǎn)、、，，求得，故圓的方程為，即，表示圓心為、半徑為的圓．，故點(diǎn)到圓上的點(diǎn)最小距離為，故答案為：．14．（2024?南通模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知過(guò)點(diǎn)的圓與圓相切于原點(diǎn)，則圓的半徑是__________．【答案】【解析】圓化為，圓心坐標(biāo)為，半徑為．如圖，所求的圓與圓相切于原點(diǎn)，兩圓圓心的連線(xiàn)在直線(xiàn)上，可設(shè)所求圓的圓心為，則，解得，所求圓的半徑為．故答案為：．15．（2024?濱海新區(qū)模擬）以點(diǎn)為圓心，且被軸截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，圓的半徑為．又圓心為，所求圓的方程為．故答案為：．16．（2024?東城區(qū)一模）圓心在軸上，且與直線(xiàn)和都相切的圓的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)所求圓的方程為，因?yàn)閳A與直線(xiàn)和都相切，則，解得，，所以圓的方程為．故答案為：．17．（2024?河西區(qū)一模）已知圓的圓心在第一象限，且在直線(xiàn)上，圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)和軸都相切，則圓的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】圓的圓心在第一象限，且在直線(xiàn)上，故可設(shè)圓心為，，圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)和軸都相切，故圓的半徑，解得，或（舍去），故半徑為2，則圓的方程為，故答案為：．18．（2024?宿遷模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線(xiàn)相切，當(dāng)圓面積最小時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】，分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線(xiàn)相切，所以原點(diǎn)在圓上，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，當(dāng)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為直徑時(shí)，該圓最?。?，直線(xiàn)與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)意，解得，所以圓心坐標(biāo)為，故圓的方程為．故答案為：．19．（2024?濱海新區(qū)模擬）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線(xiàn)上，則圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．【答案】【解析】由，，得的中點(diǎn)為，，又，的垂直平分線(xiàn)方程為，即．聯(lián)立，解得．圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：．20．（2024?如皋市校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】由，圓上可化為，設(shè)點(diǎn)，則這表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的和，所以點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，取得最小值，如圖所示，所以的最小值是．故答案為：．21．（2024?江蘇一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓與圓外切于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】已知圓，整理得：，令，圓的方程轉(zhuǎn)換為：，解得或6．由于圓與圓相切于且過(guò)點(diǎn)．所以．即圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．所以圓心在這兩點(diǎn)連線(xiàn)的中垂線(xiàn)軸上，軸與的交點(diǎn)為圓心．所以．令，則．即，．所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故答案為：．22．（2024?南通模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的半徑為，圓心在直線(xiàn)上，若圓上存在一點(diǎn)，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，則當(dāng)實(shí)數(shù)改變時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．【答案】，【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直，且分別過(guò)定點(diǎn)，，故點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，直徑，即半徑為，圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故兩圓有公共點(diǎn)，所以?xún)蓤A的圓心距滿(mǎn)意，即，解得，故答案為，．23．（2024?南通模擬）已知半徑為1的圓的圓心在射線(xiàn)上，若圓上有且僅有一點(diǎn)，滿(mǎn)意，其中，，則圓的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)，則由得：，整理得，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上；又點(diǎn)在圓上，且兩圓有唯一公共點(diǎn)，則兩圓相切，如圖所示；當(dāng)兩圓外切時(shí)，，解得或，應(yīng)取；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)解，的值不存在；綜上知，圓的圓心為，圓的方程為．故答案為：．24．（2024?許昌一模）若圓的半徑為3，則__________．【答案】【解析】依據(jù)題意，圓的半徑為3，則有，解可得：；故答案為：．25．（2024?南開(kāi)區(qū)校級(jí)模擬）過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上的圓的半徑為_(kāi)_________．【答案】【解析】，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的垂直平分線(xiàn)方程為，即．聯(lián)立，解得．所求圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．故答案為：．26．（2024?洛陽(yáng)二模）已知點(diǎn)，分別在軸，軸上，，．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線(xiàn)，，與曲線(xiàn)分別交于，（不同于點(diǎn)兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．由得所以因?yàn)樗詣t（2）由題可知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程：聯(lián)立得：，解得則，由于，為過(guò)相互垂直的直線(xiàn)，同理得直線(xiàn)的斜率為直線(xiàn)的方程為化簡(jiǎn)得：因此直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)．27．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知圓過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線(xiàn)與圓相交于、兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程；【解析】（1）過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為①；的垂直平分線(xiàn)方程為；由①②聯(lián)立得圓心，半徑；圓的方程為．（2）因?yàn)橹本€(xiàn)，所以直線(xiàn)的斜率為．設(shè)直線(xiàn)的方程為，即則圓心到