2024-2025學年滬科版九年級數(shù)學上冊期末沖刺復習：三角函數(shù)與四類特殊圖形（相似三角形、圓、拋物線、雙曲線）（解析版）

專題16三角函數(shù)與四類特殊圖形

（相似三角形、圓、拋物線、雙曲線）

目錄

解題知識必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................2

類型一、三角函數(shù)與相似三角形....................................................2

類型二、三角函數(shù)與圓............................................................8

類型三、三角函數(shù)與拋物線.......................................................17

類型四、三角函數(shù)與雙曲線.......................................................29

壓軸能力測評...................................................................39

X解題知識必備”

解題

名稱定義幾何語育1

在RtA4?C中，4C=900.乙4

在RtA4^C中，

的對邊與斜邊的比叫做乙4的

Z.C=90°tsinA=

正弦正弦.記作sin4,即sinA=

a

乙4的對邊

斜邊

在RtAABC中，Z_C=90°,44

在RtAABC中，

的鄰邊與斜邊的比叫做乙A的,/必a，,斜邊

Z.C=90°,cosA=4人的對邊。

余弦余弦，記作cosA,即cosA=

bCbA

乙4的鄰邊

c的鄰邊

斜邊4Z

■

在RtAABC中，ZLC=90°,44

在RtZ\48C中，

的對邊與鄰邊的比叫做乙4的

Z-C=90°,tanA=

正切正切，記作tanA.即tanA=

a

44的對邊

Z.A的我邊

1.30。,45。,60。角的三角函數(shù)值

如下表：

6001

銳角a

30°45°

三角函數(shù)

1巨

sinaT____?____

1

cosa

2T

tana叵1）3

3..；

2.記憶30。,45。,60。角的三角函數(shù)值的方法

(1)數(shù)形結(jié)合記憶法：由定義結(jié)合圖形可得特殊角的三角函數(shù)值?

(2)特殊值記憶法：30。,45。,60。角的正弦值依次為當孝，李

30。,45。,60。角的余弦值依次為與，專專.

30。,45。,60。角的正切值依次為,，亭，冬

(3)口訣記憶法2.3：3.2,1；3.9,27；弦比2,切比3,分子根號別忘添.

“壓軸題型講練??

類型一、三角函數(shù)與相似三角形

把銳角三角函數(shù)與相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合考察，掌握相似三角形的判定與性質(zhì).平行線分線段成比

例定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義等進行求線段長或者比例問題。

例.如圖，點E是矩形ABC。中邊上一點，將0ADE沿AE折疊，點。恰好落在BC邊F處.

⑴寫出圖中一定相似的三角形，并證明.

⑵若圖中的相似三角形超過2對，試求這樣的矩形兩鄰邊，即黑的值.

DC

【答案】⑴SABF^SFCE,證明見解析

⑵在

2

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得她￡>￡EHAFE,由余角的性質(zhì)可證團54尸=回（了￡,可證0A8R2HFCE；

（2）由相似三角形的性質(zhì)可求aBAP=afAE=aDAE=30。，由銳角三角函數(shù)可求解.

【詳解】（1）相似的三角形有：0AQEEHAFE,0ABF30FCE,

理由如下：回將EIAOE沿AE折疊，

'S^ADES^AFE,

EEL4D￡EIEL4FE,

E0AFE=[3D=9O°,

^\AFB+^BAF=^\AFB+^EFC=90°,

又EHB=EIC=90°,

^EABF^EFCE；

（2）若圖中的相似三角形超過2對，則必有她歹砸她8尸，

^\BAF=ZFAE,

又回HAZJEEHAFE,

0AD=AF,^FAE^DAE,

^BAF^FAE^DAE,

B3\BAD=90",

EHBAP=fflME=0DA￡=30",

向CMI?ABABAB

團cos回5Ab=------=------=——=—.

AFADBC2

【點睛】本題考查矩形的折疊問題，分清折疊前后的對應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【變式訓練1]如圖，已知EIABC,HBAC=90°

（1）尺規(guī)作圖：過點A作一條直線交BC于D,使其將團ABC分成兩個相似三角形（保留作圖痕跡，不寫作

法）;

4

(2)若AD=4,tan0BAD=->求CD的長

3

r---------------------------c

【答案】（1）見解析；（2）3

【分析】（1）利用相似三角形的判定方法得出：當ADI3BC時，EABD00CAD.直接利用過直線外一點作已知

直線的垂線作法作出垂線AD即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得回BAD=囪C,由tan回BAD=］可得黑=柒=］即可求出CD.

【詳解】解：（1）如圖，AD即為所求作.

理由：0AD0BC,

E0B+0BAD=9O°.

E0BAC=9O°,

E0BAD+0DAC=9O".

0EIB=[3DAC.

又UBADB=[3ADC,

asABDaacAD.

(2)00ABD0BCAD,

EEIBAD=aC.

0CD=3.

【點睛】本題考查了及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、利用正切值求邊長以及

能過直線外一點作已知直線的垂線是解題關(guān)鍵.

【變式訓練21.如圖，0X03=90。，OA^OB,C為的中點，。為A。上點，連結(jié)AC、BD交于點、P,

過點C作CE//OA交BD于點E.

（1）問題發(fā)現(xiàn)

Ap

當。為A。的中點時，通過圖中的相似三角形，可以發(fā)現(xiàn)正=（填數(shù)值）；

（2）拓展探究

①樂的值’

②直接寫出tan回BPC的值.

CEBC]]

【分析】（1）通過證明EIBEC0勖?！辏?可得一=—,可求EC=-OO=-A￡>,通過證明EIECPEBDAP,可

ODCO22

ADAP

得一=—=2；

ECPC

（2）①通過證明aBEGSSBO。，可得空=生，可求EC=！。。，通過證明aECPlffiDAP,可得里=四，

ODCO2PEEC

即可求解；

②設(shè)則30=49=4%,OD=3t,由勾股定理可求3。的長，由相似三角形的性質(zhì)可求尸。=%=AO,

可證媯=胤4尸。=團3尸。，即可求解.

【詳解】解：（1）H1CE0AO,

團團BECRH1B0D,

CEBC

回一=

0D~CO

回C為0B的中點，D為A0的中點,

1

回BC=—BO,AD=DO,

2

11

團EC=-D0=—AD,

22

SCEI21A0,

團團ECP團團DAP,

ADAP

團---=----2，

ECPC

故答案為：2；

(2)①團CE團AO,

團團BEC團團BOD,

CEBC

回---=---，

ODCO

團C為OB的中點，

團BC=—BO,

2

團EC=—DO,

2

MEMO,

配1ECP團團DAP,

DPAD1DO2

I?]--=---------=—?

PEEC1DQ3'

2

gA。1

AO4

設(shè)AD=t,貝ljBO=AO=4t,OD=3t,

0AO0BO,艮fl回AOB=90°,

回BD==J16/+9/=53

5

團BE=DE=T，

2

DP2

0-----=一，

PE3

回PD=t,PB=4t,

團PD=AD,

團團A=IEAPD=?BPC,

貝Ijtan!3BPC=tan[3A=——=—.

OA2

【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形，平行線分線段成比例定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)

定義等知識，準確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，也是求解的難點，這就要求同學們在平時的學習中對公

式定理要熟練掌握并靈活運用，不斷提高自己的數(shù)學學習能力.

【變式訓練3】.在七年級第二學期14.7這一章節(jié)的課后練習部分，我們學習了以平習題，如圖，己知8、

C、E在一直線上，VABC和△OCE都是等邊三角形，聯(lián)結(jié)AK3D,試說明ZWCE和△BCD全等的現(xiàn)由.現(xiàn)

在我們已經(jīng)學習了相似三角形、銳角的三角比這兩章節(jié)的內(nèi)容.在此基礎(chǔ)上我們繼續(xù)探究：已知，

ACE=BCD,AC與8。交于點足

（1）求證：AB-^BEAF-,

⑵若BC=3,CE=6,求的正弦值.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明ABFBEA,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可

得出答案；

（2）由ZABF=ZBEA，過A作Ml，2E于根據(jù)勾股定理求出AM、EM、AE的值即可根據(jù)sinZABF=駕

AE

求解.

【詳解】（1）團VA5C和△OCE都是等邊三角形，

^\ZABC=ZCAB=ZDCE=60°,AB=BC=AC,

團AB〃CD,

⑦ZABF=NCDB,

團ACE=.BCD,

⑦ZAEB=/CDB,

^\ZABF=ZBEAf

又回ZABC=ZBAF=60°,

回ABFBEA,

ABAF

團m---=----

BEAB

^AB2=BEAF;

(2)過A作/于M,

13

0SC=AC=3,CM=-BC=-

22

唯，EM=CM+CE=—

^AM=y/AC2-CM2

22

^AE^^EM2+AM2

0sinZABF=sinZAEM=—=輩=—

AE6幣14

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，正弦，添加恰當輔助線構(gòu)造直角三角形

是解題的關(guān)鍵.

類型二、三角函數(shù)與圓

圓的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線等分線段定理等，在涉及比例

問題時，往往把比例和三角函數(shù)的概念結(jié)合。求三角函數(shù)值也會結(jié)合相似三角形，當然也離不開直角三角

形，需要構(gòu)造時進行作垂線、連直徑等方法構(gòu)造。

例.如圖，在VABC中，=圓。是VABC的外接圓，5。的延長線交邊AC于D

⑴當△BCD是等腰三角形時，求：NBCD的余弦值;

(2)當AD=2,CD=3時，求：邊2c的長.

【答案】⑴cos67.5°或cos72°；

(2)還

2

【分析】本題主要考查了圓的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、余弦函數(shù)、

平行線等分線段定理等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

(1)如圖：連接。C,A。，先證明△AO3/△AOC可得=進而得到ZB4c=2ZABD、

ZBDC=3ZBAD,然后再分區(qū))=BC、BD=BC、CD=3C三種情況求解即可；

(2)如圖：連接AO并延長交BC于X,過A作AE〃臺C交3D的延長線于E,則等=妥=彳，再說明

BCDC3

AnAF4

BC=2BH,BP—=—=-；設(shè)OB=OA=4〃,O"=3a,

OHBH3

由勾股定理可得8H2=A4-4/2=04—。"2,進而得到8"=迪，再結(jié)合BC=25”即可解答.

4

【詳解】(1)解：如圖：連接OCA。，

^\OA=OA,OB=OC,AB=ACf

^AAOB^AAOC,

0ZBAO=ZCAO=-ABAC,

2

0OA=OB,

[?]ZABD=ZBAO=-ZBAC,BPZBAC=2ZABD,

2

BZBDC=ZBAC+ZABD=3ZBAD,

當BD=BC時,ZBCD=ZBDC=3ZABD,

0AB=AC,

回NABC=NBCD=3NABD,

0ZABC+ZBCD+ZBAC=180°,

[7]3ZABD+3ZABD+2ZABD=180°,解得：1ABD22.5?,即N5CD=67.5。，

團N5CD的余弦值為cos67.5。；

當時，ZBCD=ZBDC=3ZABD,

團AB=AC,

SZABC=ZBCD=3ZABD,

0ZABC+NBCD+NBAC=180°,

03ZAB￡>+3ZABD+2ZABD=18O°,解得：?ABD22.5?,即/BCD=67.5°,

E/BCD的余弦值為cos67.5°；

當CD=BC時，ZCBD=NBDC=3ZABD,

0ZABC=ZABD+ZDBC=4ZABD

0AB=AC,

BZABC=ZBCD=4ZABD,

SZABC+ZBCD+ABAC=,

04ZABD+4ZABD+2ZABD=18O°,解得：ZABD=18°,即ZBCD=72°,

0/BCD的余弦值為cos72°；

當CD=BD時,ZDBC=ZDCB

^\ZABC=ZBCD,即。和A重合，不符合題意.

綜上，/BCD的余弦值為cos67.5?；騝os72。.

（2）解：如圖：連接A。并延長交8c于過A作AE〃3C交BD的延長線于E,則

AED^BCD

AEAD2

團---=---=—，

BCDC3

團ZBAO=ZCAO,AB=AC,

⑦BC=2BH,

0AE//BC,

0AEOsBHO

AOAE4

團---=----

OHBH3

設(shè)OB=OA=4a,OH=3a,

利用勾股定理可得：BH2=AB2-AH2=OB2-OH\

25

025-49a2=16/—9a2,解得：

56

^\BH2=OB2-OH2=1^=—,即5"=述

84

5J?

^BC=2BH=-!—

2

【變式訓練1】.如圖，已知反比例函數(shù)y=&(x>0)與正方形ABCO交于點M,N(l,右)，連接ON,以

X

點。為圓心，ON長為半徑作四分之一圓，分別交x軸，y軸正半軸于點D,E.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求證：BM=BN；

⑶如圖所示，陰影部分面積和：51+S2+S3=

【答案】(l)y=且；

X

⑵證明見解析；

⑶3+；-2-.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解;

(2)求出血/、的長度即可求證；

(3)連接QW,利用三角函數(shù)可得/CON=AOM=/MON=30。，再分別求出H、S2、S3的值即可求解；

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)比例系數(shù)上的幾何意義，三角函數(shù)，扇形的面積,

坐標與圖形，勾股定理，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：團反比例函數(shù))=：(x>0)與正方形A8C0交于點M,N{1網(wǎng),

lk

團將N(l,道)代入y=：(x>0)中，得真=丁,

解得k=色,

回反比例函數(shù)的解析式為：“昱;

X

(2)證明：0OC=V3,四邊形ABC。是正方形,

SOA=BC=AB=OC=y/3,

回點M的橫坐標為欄,

把x=,代入y=中得，>=1,

X

回M(若,1),

SAM=1,

SBM=AB-AM=y/3-l,

回N(l,⑹，

SCN=1,

SBN=BC-CN=y/3~l,

回BM=BN；

(3)解：連接QM,

OADX

S℃N=>=今方形,

回四邊形ABC。為正S0AM=

團NQ4M=NOCN=90。，

0,

^tanZCON=—=-^=—LtanZAOM=—=

OC733OA

回NCON=AQW=30。，

團ZMON=90°-30°-30°=2SO。，

30TIx22兀

回S扇形NOE=S扇形"ON=§扇形AOM

3603

0C7V=1,oc=6

2

回ON=Jr+I=2,

回S]=§2=S扇形NOE-SCON=§一，

S3-S正方形A8C0—SCON-SAOM~S扇形“?？?(6)-*-與4=3一64,

叫+S?+邑=-1+三-1+3一8'=3+三-25

故答案為：3+--2y/3.

【變式訓練2].如圖，口心鈿。中，ZACB=90°,在邊AC上取一點。，以。為圓心，A0為半徑作圓,

分別交至、AC于點￡）、E,連接DEDC,ZDCB=2ZA.

（1）求證：0c是,：。切線；

⑵若tanA=g,BC=5,求的面積.

【答案】（1）證明見解析

⑵10

【分析】(1)如圖：連接0D,由NC8=2NA,ZDCB=2ZA,得/COD=NDCB,貝！]

ZCOD+ZOCD=ZDCB+ZOCD=ZACB=90°,所以NODC=90。，即可證明結(jié)論；

(2)如圖：作CF_LAB于點F,則/BCF=NA=90O-/3,由ZADE=ZBDE=90。，證明/B+NCED=180。,

而/O￡D+NCED=180。，所以NB=NOED,可證明DCB^DOE,則NCD3=N0DE,因為

BF1

NOED=NODE,所以ZB=NCDB,則B/=DE，由一=tanZBCF=tanA=-,得CF=2BE；由

CF2

BCNCP+BP=&F=5,所以BF=5貝U3￡>=2BF=2式，CF=2BF=245,求得

SDnRmr=-BD-CF=10.

【詳解】（i）證明：如圖：連接on,

NCOD=2ZA,

團NDCB=2NA,

⑦NCOD=NDCB,

ZACB=90°f

團/COD+ZOCD=ZDCB+ZOCD=ZACB=90°,

:.ZODC=180°-(ZCOD+ZOCD)=90°,

團0。是[。的半徑，且OC_LOD,

回0c是Q切線.

(2)解：作CF_LAB于點憶則NCF6=NAC5=90。,

E]ZBCF=ZA=90°-ZB,

團人￡是《)0的直徑,

:.ZADE=90°,

:.ZBDE=90°,

ZB+ZCED=360°-ZACB-ZBDE=180°,

/OED+NCED=180°,

:./B=/OED,

/DCB=/DOE,

團DCBsDOE,

:.ZCDB=ZODEf

OD=OE,

,\ZOED=ZODE,

:.NB=NCDB,

DC=BC,

BF=DE,

BF1

團=tanZBCF=tanA=—,

CF2

:.CF=2BF,

BC=VCF2+BF2=^(IBF^+BF1=非BF=5,

SBF=45,

BD=2BF=2A/5,CF=2BF=2層,

SnRC=-BD-CF=-x2y/5x2y/5=10,

22

.,.△■DBC的面積為10.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、同角的補角相等、相

似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識點，正確地作出所需要的輔助線

是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練3】.如圖，43是＜O的直徑，點C是圓上的一點，CD,49于點。，AD交。于點口，連接

AC,若AC平分過點尸作尸G1A5于點G,交AC于點打，延長A3,DC交于點、E.

(1)求證：CD是：。的切線；

(2)求證：AFAC=AEAH；

AAJ-J

⑶若sin/DEA==,求警的值.

5FH

【答案】⑴證明，見解析

(2)證明，見解析

AH4A/10

2)------=---------

FH5

【分析】(1)連接。C,根據(jù)AC平分NDW,則ND4C=NC45,根據(jù)。4=OC,得NC4B=NOC4,根

據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，即可；

(2)由(1)得，ZDAC=ZCAB,根據(jù)NAZ/FNC4B+90。，NACE=NOC4+90。，相似三角形的判定和

性質(zhì)，即可；

(3)根據(jù)sinNDEA=z4，則O鼻C=4『，設(shè)。的半徑為4%,則OE=5無，根據(jù)勾股定理求出CE；根據(jù)

5OE5

4

AE=OA+OE,AD=-x9x,根據(jù)勾股定理求出。E,再根據(jù)OC=DE-CE,在根據(jù)勾股定理求出AC,

根據(jù)A普T-I=雋AC，即可.

rriC七

【詳解】(1)連接OC

EIAC平分NZM3,

0ZZMC=ZG4B,

團Q4=OC,

團NC4B=NOC4,

0ZZMC=ZOC4,

團AD〃OC,

0C￡)±AZ),

^\ZD=ZOCE=90°,

回CD是《。的切線.

(2)證明，如下：

由(1)得，ZOCE=90°,

^1ZDAC=ZCAB,

^\FG±AB,

0ZFG4=9O°,

團NAHF=NC4B+90。，

團NACE=NOC4+90。，

回.ACEs一AHF,

ACAE

0-----=-----，

AHAF

^\ACAF=AEAH.

4

(3)0sinZDEA=—,

OC4

0二—，

OE5

設(shè)《。的半徑為4x,

0OE=5x,

團C石=，C石2—。。2=3%,

^\AE=OA+OE=9x,

436/-------------27

團AD=—x9x=x,DE—vAE2—AD2=x,

田DE=DC+CE,

團DC-x,

HAC2=AD2+￡>C2+(￡)，

12A/10

EAC=-------------X

團AC石sA/TF,

12碗

回AHAC5*4M.

~FH~~CE~~3x-5

【點睛】本題考查圓，相似三角形，銳角三角形函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵圓的切線定理的運用，相似三角

形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的運用.

類型三、三角函數(shù)與拋物線

銳角三角函數(shù)在于二次函數(shù)結(jié)合考察時，有時是直接根據(jù)圖形求三角函數(shù)值，只需要直接找出或者轉(zhuǎn)化等

角的三角函數(shù)值；還有一種是根據(jù)三角函數(shù)的思想求出線段的長，往往和相似進行結(jié)合較多。

例.如圖，直線/：、=無+6與坐標軸分別交于點A,C,拋物線L>=依2-2x+c經(jīng)過點8(2,0)和點C,

其頂點為M,對稱軸與x軸交于點H,點P是拋物線L上的一點，設(shè)點P的橫坐標為“

(1)求拋物線L的解析式，并經(jīng)過計算判斷拋物線L是否經(jīng)過點A.

(2)若點尸介于點M,B之間(包括端點)，點。與點尸關(guān)于對稱軸對稱，作DE〃y軸，交/于點E.

①當旭=1時，求。E的長；

②若DE的長隨m的增大而增大，求m的取值范圍.

⑶若點尸在第二象限，度談寫中點尸與直線/距離的最大值.

【答案】(l)y=-；f-2x+6,拋物線L經(jīng)過點A

(2)(1)DE=|,@-2<m<-l

⑶述

4

【分析】(1)先求點C(0,6),用待定系數(shù)法求解析式，再將點A坐標代入解析式判斷即可；

(2)①先求點尸[1，3,根據(jù)對稱性求出川-5'3,再求出E(—5，l)即可；②由題意知P卜，-;/-2m+6),

則蘇一2加+6],E(-m-4,-m+2),DE=-1(m+l)2+|,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求取值

范圍即可；

(3)如圖，作PQLAC于點。，作尸軸于點G,交AC于點足則/尸尸。=NAFG=NA=45。，

PQ=PF-sin45°=gPF,由題意知，，-2m+6^j,則尸(m,m+6),PF=-^m2-3m,貝I]

尸。=尸尸?sin45。=-孝(加+3)2+竽，然后求最值即可.

【詳解】(1)解:當尤=0時,y=6,即點C(0,6),

當＞=。時，無+6=0,

解得，x=-6,

0A(-6,O),

f4Q—4+c—0

將3(2,0),。(0,6)代入,=依一2%+。得，\,

[c=6

解得，＜”—5,

c=6

12c，

^\y=--x-2x+6；

當犬=-6時，y=0,

團拋物線L經(jīng)過點A

i7

(2)①解：當機=1時，y=---2+6=—,

國拋物線L的對稱軸為直線x=-2,

回w

當龍=一5時，y=-5+6=1,即￡(—5,1),

75

團DE=—1=—,

22

回DE的長為：；

2

②解：由題意知，尸,，一;蘇一2根+6),則。卜機一4,一；病一2機+6),E(-m-4,-m+2),

團當加4-1時，OE隨著m的增大而增大,

又回—2<m<2，

團當OE的長隨機的增大而增大，根的取值范圍是-24加<-1；

(3)解：如圖，作PQLAC于點。，作軸于點G,交AC于點?

BOA=OC=6,^AOC=90°,

0ZC4O=45°,

團/尸尸。=NA尸G=NA=45。，

團尸Q=尸尸。缶45。二豐產(chǎn)產(chǎn)，

由題意知，，PI-2m+6I,則/(他m+6),

11

0PF=——m2-2m+6-m—6=——m2-3m,

22

0P2=PFsin45°=

回當機=-3時，PQ最大,最大值為見1.

4

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，正弦，

二次函數(shù)與線段綜合等知識，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰三

角形的性質(zhì)，正弦，二次函數(shù)與線段綜合是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練1].如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=gf+bx+c與％軸交于點和點8,與y

軸交于點C（0，-4）,點尸是拋物線上的動點（不與點A,B,C重合）.設(shè)點P的橫坐標為相，過點尸作

軸，垂足為點D.

⑴求這條拋物線的函數(shù)解析式；

⑵若點P在第三象限，且tan/CPD=2,求機的值；

⑶連接PC,直線PD交直線BC于點E,當點E關(guān)于直線PC的對稱點￡落在y軸上時，求機的值.

4?

【答案】⑴y=§/+y_4

⑵一？

O

717

⑶-了或一1

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；

（2）設(shè)尸]機,gn?+|加一“，如圖工，點尸在第三象限，過點C作CGLPZ）于點G,則OC=4,G（m,-4）,

—m

=CG=-m,由tan/CPD=生=2,可得428=2,計算求出滿足要求的解即可;

33PG~~m--m

（3）分點E在尸的上方，點E在尸的下方，兩種情況求解即可.

4

—+b+c=0

【詳解】（1）解：將A。，。）、C（0,-4）代入y=+如+。得，＜3

c=-4

l

解得，｛b=一耳，

c=-4

484

0y=—x2+—x-4；

33

（2）解：+|m-4j,

如圖1,點尸在第三象限，過點C作CGLPD于點G,

0ZPGC=ZCGZ）=90°,

0C（O,-4）,

回。C=4,G（m,-4）,

48

回PG=——m9——m,CG=-m,

33

團tan/CPD=2,

-m

BtanZCPD=—=2,即428=

PG—m——m

33

解得，利=-193或〃?=0（舍去）,

O

13

回機的值是——;

O

（3）解：設(shè)■加+|m-4）,

42

令3=0,貝!|耳爐+§川―4=0,

解得，X=1或JT=—3,

團J3（-3,0）,

由勾股定理得，什C=J32+42=5,

設(shè)直線BC的解析式為y=履+d,

—3k+d=0

將3（-3,0）,C（0,-4）代入得,

d=-4

k-

解得3,

d=—4

4

團直線BC的解析式為y=-jx-4,

當E在尸上方時，如圖2,點尸在第三象限，過點E作跖，y軸于點尸，則四邊形DEFO是矩形,

[?]E^m,--m-4j,EF=OD=-m,

4

回PE=——m9-4m,

3

回點E與點廳關(guān)于尸。對稱，

由NECP=NECP,CE=CE,

回P￡y軸，

團ZEPC=ZEfCP=ZECP,

@PE=CE=CE,

團EF〃Q4,

0△CEFs/\CBO,

CEEFCE—m

0——=——，即Rn——二

BCBO5"T

解得，CE=-1m,

4245

回—m—4m=——m,

33

7

解得'〃或根=°（舍去）;

當E在尸下方時，P在第一、第二、第四象限，如圖3,

解得，m=--^或加=0（舍去），

4

717

綜上所述，加的值是或

44

【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，

一次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、坐標與圖形等知識.數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練2].如圖1,一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置。4,A處的噴頭向外噴水,

水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度y（m）與水平

⑴柱子Q4的高度是多少米？若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池

外？

⑵如圖2,為了吸引更多的游客前來參觀游玩，準備在水池的邊緣增設(shè)彩光燈，彩光燈的底座為Rt'CD形

狀，其中邊在地面上，點C離柱子的距離為2.1米，NCBD=90。，燈孔尸在CD邊上，燈孔尸離地面的距

離為:米，若水流恰好落在燈孔P處，求tanNDCB的值.

2

【答案】①柱子Q4的高度為（米，水池的半徑至少要|三+1米才能使噴出的水流不至于落在池外

（2）?

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)與實際應(yīng)用的綜合，掌握從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型，三

角形函數(shù)的計算方法等知識是解題的關(guān)鍵.

(1)柱子。4的高度即為拋物線與y軸交點的縱坐標，令二次函數(shù)解析式中的x=0即可求解；令y=o,解

關(guān)于x的一元二次方程，求得正數(shù)解即可；

(2)把y=g代入解析式即可求出點尸的橫坐標，過點P作尸于點E,可求出的值，在

RtAPCE中即可求tanZDCB的值.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，拋物線與y軸的交點的縱坐標的值即為柱子。4的高度，

7

團當％=0時，y=—

4

、.7

，柱子桃的高度為了米,

水池的半徑指的是05的長度,

77

回在,=_/+2%+7中，當＞=0時，—X7+2xH—=0,

4

“呼+1,…羋

又.%>0,

2

水池的半徑至少要米才能使噴出的水流不至于落在池外.

(2)解：燈孔P離地面的距離為:米，即點p的縱坐標為;，且點P在拋物線y=-f+2無+：(xN0)的圖

像上，

171

團當y=一時，一/+2尤+—=一,

242

解得%=g,%=_:(舍去)，

如圖所示，過點P作尸EL3c于點E,

團點C離柱子的距離為2.1米，

521

^\CE=OE-OC=一一2.1=-,且PE=—,

252

2

PE74

回在Rt△尸CE中，tanZPCB=—=^-=-.

CE5

2

【變式訓練3】.如圖，已知拋物線y=爾+9+5經(jīng)過A(-5,0)、3(<-3)兩點,與x軸的另一個交點為C,

(1)求拋物線的表達式.

(2)若點P在直線BC的下方運動時，過點P作PEL3c交于點E,過點P作y軸的平行線交直線BC于點P.求

!尸所周長的最大值及此時點尸的坐標.

⑶在該拋物線上是否存在點P,使得=/BCD若存在，求出所有點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=/+6x+5

(2)!尸砂周長最大為9(3+1),此時點P坐標為1!

4

⑶存在，點P的坐標為或(0,5)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)延長PP交x軸于點G,作軸于點H,根據(jù)拋物線的解析式可得到。(-1,0),。(-3,-4),進而

求出直線BC的解析式為y=x+1,設(shè)尸。，產(chǎn)+6/+5）,則f+1）,得到尸/=_〃_5/-4,證明PEF^_CHB,

得到=由2c=3應(yīng)，COTB=6+3A/2,可推出CPEF=—（夜+1）+￡|+：（應(yīng)+1），即可求解；

（3）分兩種情況討論：①當點尸在BC上方時，過點8作2片。交拋物線于點片，則/

利用待定系數(shù)法求出直線C￡＞的解析式為，=2尤+2,進而可求出直線8片的解析式為y=2x+5,聯(lián)立

y=2x+5

y=d+6x+5'即可求解；②當點「在BC下方時，作C8C交、軸于點連接.交拋物線于點尸”

可得到△BCD是直角三角形，且NCBD=90。，tan乙BCD=絲=：,由3（-4,-3）,C（-l,0）,知V6b是等

BC3

CM1

腰直角三角形，得至U/3CH=45°,進而得到△CO暇也是等腰直角三角形tan/6BC=y=w，推出

BC3

/P?BC=/BCD,求出直線3g的解析式為y=gx—1,

1?

v=—x—1

聯(lián)立2,即可求解.

y=x2+6x+5

【詳解】（1）解：將4（-5,0）、3（＜-3）代入拋物線丁=以2+陵+5中得：

25a-5b+5=0

16〃-4"5=—3’

6Z—1

解得:

b=6

，拋物線的表達式為：y=X2+6x+5

(2)在了=%2+6%+5中，令y=0,貝!Jf+6》+5=0,

解得：》=一1或了=一5,

C(-l,0),

又y=f+6x+5=(x+3)2-4,

???頂點￡>(—3,T),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n,

將3(*3),C(-l,0)代入得:

[-4k+n=-3

\-k+n=0，

「?直線5C的解析式為y=x+l,

設(shè)產(chǎn)(￡,產(chǎn)+61+5),

"〃》軸，

,+1),

.e.P尸=.+1-+6,+5)=-/-5/-4,

如圖，延長尸尸交不軸于點G,作而，X軸于點H,即以(-4,0),

PELBC,

ZPEF=ZCHB=90°,

ZEFP=ZCFG,

ZPEF+/EPF=ZFGC+ZFCG,

/EPF=/FCG,

一PEFs一CHB,

CPEF_PF

CCHBBC'

又BC=百+(4-1)2=3點,CCHB=3+3+3叵=6+3g,

-z2-5r-4)=-(V2+l)(/2+5r+4),

又產(chǎn)+5r+4=「+g

.?.當t=時，CpM有最大值

周長最大為9(&+1),此時點p坐標為(一■!，-￡■

4

(3)存在，理由如下:

①當點尸在BC上方時，如圖,過點3作3片。交拋物線于點

貝!J/P】BC=ZBCD,

設(shè)直線CD的解析式為y=^+d,將c(—l,o),D(-3,T)代入得:

—k'+d—0

—3k，+d——4

kr=2

解得:

d=2

，直線CD的解析式為y=2x+2,

???設(shè)直線BPX的解析式為y=2x+e,

將3（-4,-3）代入得：2x（Y）+e=-3,

解得：e=5,

???直線期的解析式為y=2x+5,

y=2%+5

聯(lián)立

y=x2+6x+5'

x=0x=-4

解得:產(chǎn)5或（舍去）,

y=-3

^（0,5）；

②當點P在BC下方時，作CW,3c交y軸于點連接交拋物線于點心,

在△BCD中，BC2=18,B￡>2=I2+12=2>CD2=42+22=20,

BC2+BD2=CD2,

二△BCD是直角三角形，且NCBD=90。，

Atan=

BC3723

由3（-4,-3）,C（-l,0）,知VM是等腰直角三角形,

4cH=45°,

又CM工BC,

/.ZOCM=45°,

??.△COM也是等腰直角三角形,

???^（0,-1）,C