2024-2025學(xué)年滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末沖刺復(fù)習(xí)：四類手拉手相似模型（原卷版）

專題13四類手拉手相似模型

目錄

解題知識必備..............................................

壓軸題型講練..............................................

類型一、任意三角形..................................................2

類型二、等腰三角形..................................................4

類型三、直角三角形..................................................7

類型四、等邊三角形或等腰直角三角形..................................9

壓軸能力測評(10題).....................................

X解題知識必備”

"手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的

圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。

1、利用三邊證相似三角形

(1)如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.

可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.

(2)利用三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意邊之間注意的對應(yīng)關(guān)系，主要運(yùn)用短對短、長對長、

中間對中間的方法找對應(yīng)邊另外要注意兩個(gè)三角形的先后順序.

2.利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似

(1)如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似.

(2)利用兩邊及其夾角判斷兩個(gè)三角形是否相似的方法：依據(jù)題目給出的條件，若存在一組角對應(yīng)相等，

則需要判斷出該角的兩邊是否成比例.若成比例，則兩個(gè)三角形相似；若不成比例，則兩個(gè)三角形不相似

若存在兩組邊成比例，則需要判斷兩邊的夾角是否相等.若相等，則兩個(gè)三角形相似；若不相等，則兩個(gè)

三角形不相似。

3.利用兩角判定兩個(gè)三角形相似

(1)如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

(2)利用兩角判定兩個(gè)三角形相似的方法：如果根據(jù)已知條件，在兩個(gè)三角形中不能直接找出兩個(gè)角分別

相等，那么可先結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、對頂角等知識，設(shè)法求出其中一個(gè)三角形中的第三個(gè)角，再判斷

兩個(gè)三角形中是否有兩角分別相等，若有，則兩個(gè)三角形相似，否則兩個(gè)三角形不相似。

X壓軸題型講練??

于點(diǎn)入點(diǎn)。在5c邊上，求竺的值;

拓展創(chuàng)新：如圖（3）,。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，ABAD=ACBD=30°,ZBDC=9Q）,AB=4,AC=2y/3,直

接寫出AO的長.

【變式訓(xùn)練1】.在VABC和VADE中，BA=BC,DA=DE,且NAfiC=NADE=(z,點(diǎn)E在VABC的內(nèi)

部，連接EC,EB,EA和2。，并且ZACE+ZABE=90。.

【觀察猜想】

（1）如圖①，當(dāng)&=60。時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為,線段EA,EB,EC的數(shù)量關(guān)系為

【探究證明】

（2）如圖②，當(dāng)&=90。時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由;

【拓展應(yīng)用】

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若BC=2小,請直接寫出VBZ汨的面積.

【變式訓(xùn)練2】.在0ABe中，AB=AC,BBAC=a，點(diǎn)P是她BC外一點(diǎn)，連接BP,將線段8尸繞點(diǎn)尸逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,連接BD,CD,AP.

觀察猜想:

圖1圖2圖3

CD

（1）如圖1,當(dāng)a=6。。時(shí)’衣的值為一'直線CO與A尸所成的較小角的度數(shù)為

類比探究:

(2)如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，求出大的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；

AP

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)、E,尸分別為AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長線上，點(diǎn)A,D,P三

點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)、G,CD交AB于點(diǎn)H.若CZ)=2+也，求的長.

【變式訓(xùn)練3】.(1)嘗試探究：如圖①，在44BC中，ZACB=90°,ZA=30°,點(diǎn)、E、尸分別是邊2C、AC

上的點(diǎn)，且EFI3AB.

①震的值為;

②直線"與直線BE的位置關(guān)系為;

(2)類比延伸：如圖②，若將圖①中的ACEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AF,BE,則在旋轉(zhuǎn)的過程中，

請判斷黑的值及直線AF與直線3E的位置關(guān)系，并說明理由；

BE

(3)拓展運(yùn)用：若3C=3,CE=2,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)反瓦歹三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請直接寫出此時(shí)線段

題的長.

類型二、等腰三角形

例.如圖1,在VABC中，AB=AC,ZBAC=a,D,E分別為AB,BC邊上的點(diǎn)，連接DE,且BD=DE,

將_八跖繞點(diǎn)2在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).

圖3

圖4

An

⑴觀察猜想：若々=60。，將二八的繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，貝lJ==

CE

An

(2)類比探究：若&=90。將DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，求黑的值；

⑶拓展應(yīng)用：若a=90。，。為的中點(diǎn)，AB=20，如圖4,將一DBE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)至如圖5所示位置

(AD'A-BE'Y請直接寫出線段A"的長.

【變式訓(xùn)練L問題發(fā)現(xiàn)

圖(1),在△043和OCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB^ZCOD=35°,連接AC,BD交于點(diǎn)、M.

①類的值為______;②NA7WB的度數(shù)為_______.

BD

(2)類比探究

圖(2),在△OAB和OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC,交3D的延長線于

Ar

點(diǎn)M,請計(jì)算”的值及NAMB的度數(shù)；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，若OD=2,AB=8,將OCZ)繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周.

①當(dāng)直線DC經(jīng)過點(diǎn)8且點(diǎn)C在線段3。上時(shí)，求AC的長；

②請直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中M點(diǎn)到直線。8距離的最大值.

【變式訓(xùn)練2】.觀察猜想

M

圖2圖3

（1）如圖1,在等邊VABC中，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）,連接AM,以A"為邊作等邊」加亞,

連接CN，則/ABC與NACN的數(shù)量關(guān)系是.

（2）類比探究

如圖2,在等邊VA3C中，點(diǎn)M是BC延長線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)

論還成立嗎？請說明理由.

⑶拓展延伸

如圖3,在等腰VABC中，區(qū)4=BC,點(diǎn)M是邊8C上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)8、C）,連接A",以A"為邊

作等腰使頂角/4AW=NABC.連按CN.試探究—ABC與NACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式訓(xùn)練3].（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1,在和，OCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,

連接AC,交于點(diǎn)填空：①辭的值為；②NWB的度數(shù)為.

（2）類比探究如圖2,在△OAB和OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC交的

AT

延長線于點(diǎn)請判斷C上的值及NWB的度數(shù)，并說明理由；

BD

（3）拓展延伸在（2）的條件下，將，OCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC3n所在直線交于點(diǎn)用,若=

OB=0請直接寫出當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)。、。在同一條直線上時(shí)AD的長.

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是—，位置關(guān)系是.

【探究證明】（2）如圖2,在Rt.ABC和RtADE中，AB=AC,A。=AE,將，ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,

D,E在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；

【拓展延伸】（3）如圖3,在Rt3co中，/BCD=90°,BC=2CD=4,將，ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C

對應(yīng)點(diǎn)E,設(shè)旋轉(zhuǎn)角NC4E為a(0°<a<360°),當(dāng)點(diǎn)C,D,E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段8E

的長度.

【變式訓(xùn)練1].如圖LAD,3。分別是AASC的內(nèi)角N5AC、—ABC的平分線，過點(diǎn)A作AE_LAO,

交3D的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：NE=；NC；

(2汝口圖2,如果AE=AB,且3。:。￡；=2:3,求cosNABC的值;

⑶如果—ABC是銳角，且AABC與AADE相似，求—ABC的度數(shù)，并直接寫出乎也的值.

【變式訓(xùn)練2】.如圖1,在RZ0ABe中，0C=9O°,0A=3O°,8C=1,點(diǎn)。，E分別為AC,8C的中點(diǎn).S1CDE

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0。4旗360。)，記直線與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P.

(1)如圖1,當(dāng)a=0。時(shí)，與BE的數(shù)量關(guān)系為,與8E的位置關(guān)系為；

(2)當(dāng)0。<族360。時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請說明理由；

(3)回CQE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大

值.

【變式訓(xùn)練3】.某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題:

圖1

⑴問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,VA3C中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)尸是底邊8C上一點(diǎn)，連接AP,以AP為腰

作等腰Rt^APQ,且4PAQ=90。，連接CQ、則8P和CQ的數(shù)量關(guān)系是.

⑵變式探究：如圖2,VA3C中，ZSAC=90°,AB^AC.點(diǎn)尸是腰AB上一點(diǎn)，連接CP,以CP為底邊

作等腰Rt^CP。，連接AQ,判斷BP和A0的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑶問題解決：如圖3,在正方形A8C'。中，點(diǎn)尸是邊8c上一點(diǎn)，以。P為邊作正方形。PER點(diǎn)0是正方

形。尸兩條對角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形DPEF的邊長為M，CQ=y[2,求正方形ABCD的邊長.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在等邊VABC中，點(diǎn)尸是邊3c上任意一點(diǎn)，連接AP,以"為邊作等邊△AP。，連

接c。，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是二

(2)變式探究：如圖2,在等腰VA2C中，AB=3C,點(diǎn)尸是邊BC上任意一點(diǎn)，以AP為腰作等腰△AP。，

使AP=PQ,ZAPQ=ZABC,連接CQ,判斷-ABC和4C0的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶解決問題:如圖3,在正方形ADBC中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APEF,Q是正方形APEF

的中心，連接C。.若正方形APEF的邊長為5,CQ=與,求正方形AD3C的邊長.

【變式訓(xùn)練1工在等邊VABC中，D為BC邊上一點(diǎn),DEJ.AC”.

(1)如圖1,若AB=6,BD=2,求cos/ADE的值；

⑵如圖2,線段CD的垂直平分線交DE于F,點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接BG,BF,G/，求證：BG=6GF；

⑶如圖3,將線段AD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段DM,點(diǎn)、N為3c邊上點(diǎn)。右邊一動(dòng)點(diǎn)，連接BM、跖V,

當(dāng)創(chuàng)取得最小值時(shí)，直接寫出逛產(chǎn)”的值.

)ABC

【變式訓(xùn)練2】.如圖，以VA8C的兩邊AB、AC分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE,BE與DC交于前P,

已知PA=3,尸3=4,PC=5.

⑴求證：.ADC二一ABE；

⑵求NDPB的度數(shù)及BE的長；

⑶若點(diǎn)。、R分別是等邊和等邊"CE的重心(三邊中線的交點(diǎn))，連接A。、4?、QR,作出圖象,

求QR的長.

【變式訓(xùn)練31.某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題:

⑴問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,VABC中，ABAC=90°,AB=AC.點(diǎn)尸是底邊3c上一點(diǎn)，連接AP,以AP為腰

作等腰RtaAPQ,且/PA。=90。，連接CQ、則和CQ的數(shù)量關(guān)系是；

(2)變式探究：如圖2,VABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)尸是腰A3上一點(diǎn)，連接CP,以CP為底邊

作等腰Rt^CP。，連接A。，判斷3P和A。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶問題解決：如圖3,在正方形A5CD中，點(diǎn)尸是邊2c上一點(diǎn)，以￡＞尸為邊作正方形。尸所，點(diǎn)。是正方形

DPEF兩條對角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形DPEF的邊長為2加，CQ=2應(yīng),請直接寫出正方形ABCD

的邊長.

”壓軸能力測評“

1.如圖，在等腰RtEIABC中，0ACB=9O°,AB=80.點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC±,將線段ED繞點(diǎn)E按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連結(jié)BF,BF的中點(diǎn)為G.

圖3

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí).

①如圖1,若AD=BD,求BF的長.

②當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長.

(2)當(dāng)AE=3,點(diǎn)G在EIDEF一邊所在直線上時(shí)，求AD的長.

2.如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE,其中AB=AC,AD^AE.

⑴如圖1,若SBAC=90。，當(dāng)C、。、E共線時(shí)，的延長線AH3BC交8C于點(diǎn)R則0ACE=；

(2)如圖2,連接C。、BE,延長交BC于點(diǎn)R若點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，S\BAC=SDAE,證明：A￡)0C￡)；

⑶如圖3,延長QC到點(diǎn)M,連接使得0ABM+a4cM=180。，延長ED、交于點(diǎn)N,連接AN,若MAC

=2回Ml。，請寫出fflAOM、SDAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

3.如圖，VABC和VADE是有公共頂點(diǎn)直角三角形，N54c=NZME=90。，點(diǎn)尸為射線3。，CE的交點(diǎn).

(1)如圖1,若VABC和VADE是等腰直角三角形，求證：CP工BD；

(2)如圖2,若NADE=NABC=30。，問：(：L)中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

(3)在(1)的條件下，AB=4,AD=3,若把VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/￡AC=90。時(shí)，請直接寫出PB的

長度

4.如圖1,在用ABC中，ZACB=90°,AC=BC,在斜邊AB上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)。作￡>E〃5C,交AC于

點(diǎn)E.現(xiàn)將VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置(點(diǎn)。在VABC的內(nèi)部)，使得ZABD+ZACD=90°.

圖1圖2圖3圖4

(1)①求證：ABD-ACE；

②若。=1,BD=y[6,求AD的長；

AT

(2)如圖3,將原題中的條件〃AC=BC〃去掉，其它條件不變，*=啜=%設(shè)，若CD=LBD=3fAD=4f

ABAD

求左的值；

AF?

(3)如圖4,將原題中的條件"NACB=90°”去掉，其它條件不變，若牛=牛=；，設(shè)8=相，

ABAD3

BD=n,AD=p,試探究機(jī),，"三者之間滿足的等量關(guān)系.(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)

5.數(shù)學(xué)課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學(xué)們在不同位置嘗試操作.

(1)如圖1擺放，當(dāng)點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在上，得知AD=7,DB=1,求CE的長.

(2)如圖2,在(1)的條件下，連結(jié)C。，求ACD的面積.

(3)如圖3擺放,把這同樣的兩塊三角板的直角頂點(diǎn)互相重合放置，小三角板MCN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連結(jié)40、

BN,當(dāng)AM_LCM時(shí)，求cosNABN的值.

(4)△ACB不變，當(dāng)△MCN的三邊長擴(kuò)大一倍后，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，直線AM與3N交于點(diǎn)請你直

接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)路徑.

6.(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖(1),在.MC,點(diǎn)。是邊3c的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)E,使AE=AB,連接CE,可

得4。與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

(2)【探究遷移】如圖(2),在一ABC中，AB=AC,ABAC=90°,點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段EB繞點(diǎn)E

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段所，連接3尸，CF,點(diǎn)。為CF的中點(diǎn)，連接DE、AE,試判斷DE和AE的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

(3)【拓展應(yīng)用】在(2)的條件下，若AB=AC=5,EB=2,當(dāng)EF04C時(shí)，請直接寫出DE的長.

E

7.在VABC中，CA=CB,ZACB=a,點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn)，連接AP,將線段AP

繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接AD,BD,CP.

⑴觀察猜想

如圖①，當(dāng)