2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：直線和圓的方程 十大題型歸納（基礎(chǔ)篇）（含答案）

2024-2025高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第二章十大題型歸納（基礎(chǔ)篇）

【人教A版（2019）］

直線的傾斜角與斜率的求解。|

1.（2023上?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末）直線1:x=0的傾斜角為（）

A.0B.C.TTD.不存在

2.（2023下?陜西漢中?高二校聯(lián)考期末）已知直線I經(jīng)過4（-1,4）,B（l,2）兩點(diǎn)，則直線2的斜率為（）

A.3B.-3C.1D.-1

3.（2023上?河南南陽?高二?？茧A段練習(xí)）已知直線/過點(diǎn)4（2皿3）,B（2,-1）.

（1）若直線1的傾斜角為45。，求實(shí)數(shù)稅的值；

（2）若直線/的傾斜角為鈍角，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

4.（2023?全國?高二課堂例題）已知平面直角坐標(biāo)系中的四條直線人//，〃如圖所示，設(shè)它們的傾斜角分

別為%,%，%，/，而且斜率分別為七,k2,k3,fc4.分別將傾斜角和斜率按照從小到大的順序排列.

題型2卜直線方程的求解

1.(2023下?安徽蕪湖?高二統(tǒng)考期末)經(jīng)過點(diǎn)4(1,2),傾斜角為;的直線的點(diǎn)斜式方程為()

4

A.y—2=x—1B.y=x+1.

C.%—y+1=0D.x—y=-1

2.(2023下?湖北恩施?高二?？计谀?過點(diǎn)4(2,3)且平行于直線2x+y-5=0的直線方程為()

A.X—2y+4=0B.2x+y—7—0C.x—2y+3—0D.x—2y+S=0

3.(2023上?廣西防城港?高二統(tǒng)考期末)已知直線人:2久+y-2=0/與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A,B.直線6

經(jīng)過4點(diǎn)且傾斜角為

(1)求直線。的一般方程；

(2)求線段4B的中垂線方程.

4.(2023上?甘肅臨夏?高二?？计谀?已知直線I過點(diǎn)M(2,l),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若/與OM垂直，求直線】的方程：

(2)若直線與2x—y+l=0平行，求直線1的方程.

題型3N直線的交點(diǎn)問題

1.(2023上?廣東東莞?高二?？计谥?若直線k：ax+y—4=0與直線12：x—y—2=0的交點(diǎn)位于第一象

限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—1,2)B.(—1,+8)C.(—8,2)D.(—8,—1)U(2,+8)

2.(2023上?安徽宿州?高二校考階段練習(xí))若y=-。|%|的圖象與直線y=-a+%(a<0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

則a的取值范圍是()

A.-1<a<0B.aV—1

C.a<0D.a=-1

3.（2023上?全國?高二專題練習(xí)）判斷下列直線是否相交，若相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo).

⑴人：3%—y+4=0,%：%+3y+2=0；

(2)，i：3%—5y+10=0,Z2:9x—15y+30=0.

4.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）三條直線h：久+y+1=0、%：2%-y+8=0、以a%+3y-5=。有且只有兩個(gè)交

點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

題型41距離公式的應(yīng)用

1.（2023上?廣西河池?高二統(tǒng)考期末）已知直線x+ay+2=0,J:2x+4y+3=0相互平行,則小口之

間的距離為（）

A.農(nóng)B?立C.謔D.立

10552

2.（2023上?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)。（一2,-2）至！J直線I:2x-y+mx-m=0（mGR）距離的最大值

為（）

A.5B.V5C.2V2D.3

3.（2023上?新疆巴音郭楞?高二校聯(lián)考期末）已知直線x-2y+3=0與直線3x+y+2=0交于點(diǎn)P.

（1）求過點(diǎn)P且平行于直線3x+4y-5=0的直線k的方程，并求出兩平行線之間的距離；（直線方程寫成

一般式）

（2）求過點(diǎn)P且垂直于直線4x+3y+2=0的直線"的方程；（直線方程寫成一般式）

4.(2023下?浙江臺(tái)州?高一溫嶺中學(xué)?？计谀?已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

4(—1,3),8(2,-3),C(—3,-1)

(1)求直線4B方程；

(2)求△ABC的面積.

圓的方程的求解。|

1.(2023下?陜西榆林?高二校聯(lián)考期末)若圓C經(jīng)過點(diǎn)4(2,5),5(4,3),且圓心在直線Z：3x—y—3=0上,

則圓C的方程為()

A.(%—2)2+(y-3)2=4B.(%—2)2+(y-3)2=8

C.(尤一3)2+(y—6)2=2D.(x-3)2+(y-6)2=10

2.(2023上?云南臨滄?高二?？计谀?已知半徑為3的圓C的圓心與點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線x-y+1=0對(duì)稱,

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(X+1)2+(”1)2=9B.(%-I)2+(y-I)2=81

C.x2+(y+l)2=9D.久2+丫2=9

3.(2023下?新疆阿克蘇?高二?？计谀?求下列各圓的方程.

⑴圓心為點(diǎn)C(8,-3),且過點(diǎn)4(5,1)；

⑵過4(—1,5),B(5,5),C(6,—2)三點(diǎn).

4.(2023下?云南曲靖?高一?？计谀?已知圓C經(jīng)過點(diǎn)力(1,4),8(-1,-2)且圓心C在直線2x-y+8=0±.

(1)求圓C方程；

(2)若E點(diǎn)為圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)尸(3,0),求線段EF的中點(diǎn)M的軌跡方程.

直線與圓的位置關(guān)系的判定。?

1.（2023下?貴州?高二校聯(lián)考期末）圓C：/+/+4久—2y+l=o與直線八3一當(dāng)=0的位置關(guān)系為（）

43

A.相切B.相離C.相交D.無法確定

2.（2023下?黑龍江牡丹江?高二校考期末）“4一同<a<4+同”是“直線Z:2x—y=1與圓C:x2+y2+

2ax-2y+3=0相離''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023上?湖南岳陽?高二統(tǒng)考期末）已知直線2:x+y-1=0和圓心為C的圓/+y2-2%-4y+1=0.

（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；

（2）如果相交，求直線被圓所截得的弦長.

4.（2023上?湖北咸寧?高二統(tǒng)考期末）己知點(diǎn)4（一1,2）和直線Z:6x-4y+1=0.點(diǎn)8是點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)

稱點(diǎn).

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足|PO|=遍|PB|.若點(diǎn)P的軌跡與直線x+my-l=0有公共點(diǎn)，求小的取值范圍.

直線與部分圓的相交問題。?

1.（2023下?上海寶山?高二統(tǒng)考期末）若直線y=kx—1與曲線y=V——+4,—3恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)

數(shù)k的取值范圍是（）

A.G，+8)B.")C.明D.(詞

2.(2023上?浙江臺(tái)州?高二期末)已知曲線C:y=折中二中-l(y20),若存在斜率為一2的直線與曲

線C有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(—1,1)B.(—2,2)C.(—8,-1)u(1,+8)D.(—8,—2)U(2,+8)

3.(2023上?高二課時(shí)練習(xí))已知直線y=久+ni和曲線y=VI有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)nt的取值范圍.

4.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知曲線C:y=1+VI二定，直線y=k(久一2)+4.

⑴試探究曲線C的形狀；

(2)若直線2與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍.

圓與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用。|

1.(2023上?新疆?高二校聯(lián)考期末)已知圓G：(久—1)2+*=1,圓。2：(久—4>+y2=4,則圓的與圓C2的

位置關(guān)系為()

A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切

2.(2023上?浙江嘉興?高二統(tǒng)考期末)已知圓Ci：(x-l)2+(y+2)2=產(chǎn)(「>())與圓。2：(%一4尸+

(y—2尸=16有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為()

A.(0,1]B.[1,5]C.[1,9]D.[5,9]

3.(2023上?江蘇鹽城?高二?？计谀?已知圓C:/+V+2%+4y+機(jī)=0.

(1)若直線l：y=x-ni與圓C相切，求實(shí)數(shù)小的值.

(2)若圓C與圓M:/+y2—4%—4y-8=0外切，求實(shí)數(shù)ni的值；

4.（2023上?北京密云?高二統(tǒng)考期末）已知圓Ci：（x—1）2+（y—2）2=9,圓C2:/+/+以+4y+4=0,

直線%—y—3=0.

（1）求圓心G到直線I的距離；

（2）已知直線Z與圓G交于“，N兩點(diǎn)，求弦|MN|的長；

（3）判斷圓G與圓C2的位置關(guān)系.

圓系方程及其應(yīng)用。I

1.（2022下?江西宜春?高一?？茧A段練習(xí)）求過兩圓％2+y2_2y_4=0和％2+y2_4%+2y=0的交點(diǎn)，

且圓心在直線2%+4y-1=0上的圓的方程（）

A.%2+y2+3%+y—1=0B.%2+y2—4%—y—1=0

C.x2+y2+3%+y—4=0D.%2+y2—3%+y—1=0

2.（2023上?廣東佛山?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓M的圓心為（一1,一2）,且經(jīng)過圓Q：%2+y2+6%-4=0

與圓。2：/+y2+6y—28=0的交點(diǎn).則圓M的面積為（）

A.5TTB.25nC.10TTD.—

2

22

3.（2023上?安徽安慶?高二?？茧A段練習(xí)）已知圓G：/+/=I。與圓&：x+y+2x+2y-14=0.

（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；

（2）求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程.

4.（2022上?全國?高二專題練習(xí)）已知圓/+V=io與圓x2+y2+2x+2y-14=0.

（1）求證：圓G與圓C2相交；

(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；

(3)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程.

兩圓的公共弦問題。I

G：*2+y2—C2：/+y2—

1.(2023上?河南平頂山?高二統(tǒng)考期末)已知圓2比+2y—2=0與圓27nx=

0(m>0)的公共弦長為2,則m的值為()

A.—B.-C.V6D.3

22

1：2+y2=2：/+2+

2.(2023上?浙江杭州?高二統(tǒng)考期末)圓。久4和圓。)72久一4)7=0的交點(diǎn)為418,則有

()

A.公共弦48所在直線方程為尤—2y+1=0B.公共弦A8的長為g

C.線段48中垂線方程為2x—y=0D.zXO2B>90°

G：/+y2—222

3.(2023上?湖南張家界?高二統(tǒng)考期末)已知兩圓4y=0,C2:(x-2)+y=m(m>0).

(1)加取何值時(shí)兩圓外切？

(2)當(dāng)爪=2時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線1的方程和公共弦的長.

2222

4.(2022上.寧夏石嘴山.高二平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知圓G：x+y-2x=0^E|C2:x+y-6x-

4y+4=0相交于兩點(diǎn).

(1)求公共弦AB所在直線的方程.

(2)求的面積.

高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第二章十大題型歸納(基礎(chǔ)篇)

【人教A版(2019)］

直線的傾斜角與斜率的求解。|

1.(2023上?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末)直線1:x=0的傾斜角為()

A.0B.C.TTD.不存在

【解題思路】利用傾斜角的定義分析運(yùn)算即可得解.

【解答過程】解：直線1：x=0即為y軸，y軸和K軸垂直，

又知傾斜角的范圍是［0,2，

由定義可知直線，:x=。傾斜角為今

故選：B.

2.(2023下?陜西漢中?高二校聯(lián)考期末)已知直線窿過4(-1,4),B(l,2)兩點(diǎn)，則直線2的斜率為()

A.3B.-3C.1D.-1

【解題思路】直接代入直線斜率公式即可.

【解答過程】因?yàn)橹本€［經(jīng)過4(—1,4),8(1,2)兩點(diǎn)，

所以直線/的斜率為心B=各j=-L

故選：D.

3.(2023上?河南南陽?高二校考階段練習(xí))已知直線/過點(diǎn)4(2科3),B(2,-1).

(1)若直線I的傾斜角為45。，求實(shí)數(shù)小的值；

(2)若直線I的傾斜角為鈍角，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)斜率公式和斜率為傾斜角的正切值可得.

(2)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率小于0,再利用斜率公式可得.

【解答過程】(1)由題意得3年=tan45°=l,得加=3.

3-(-1)

(2)由題意得名W<0,得小<1,

故實(shí)數(shù)ni的取值范圍為(-8,1).

4.(2023?全國?高二課堂例題)已知平面直角坐標(biāo)系中的四條直線A%/，%如圖所示，設(shè)它們的傾斜角分

別為%,e2,e3,e4,而且斜率分別為七,k2,后,題.分別將傾斜角和斜率按照從小到大的順序排列.

【解題思路】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【解答過程】由題意，結(jié)合直線凡十七，〃的圖象，可得治＜。2＜。3＜。4,

因?yàn)閑=tan4,i=1,2,3,4,

又因?yàn)檎泻瘮?shù)在［o,f遞增且函數(shù)值大于0,在a1T)遞增且函數(shù)值小于0,

所以七VV＜V＜?

題型2直線方程的求解

1.(2023下?安徽蕪湖?高二統(tǒng)考期末)經(jīng)過點(diǎn)4(1,2),傾斜角為個(gè)的直線的點(diǎn)斜式方程為()

A.y-2=x-1B.y=x+1.

C.%—y+1=0D.x—y=-1

【解題思路】根據(jù)題意，由直線得點(diǎn)斜式方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)閮A斜角為%則斜率k=tan：=l,且過點(diǎn)4(1,2),

則y—2—l(x—1),即y—2—x—1.

故選：A.

2.(2023下?湖北恩施?高二校考期末)過點(diǎn)4(2,3)且平行于直線2久+y-5=0的直線方程為()

A.X—2y+4=0B.2x+y—7—0C.x—2y+3—0D.x—2y+5=0

【解題思路】由平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再根據(jù)過點(diǎn)2(2,3),可得到答案.

【解答過程】???所求直線與直線2x+y-5=0平行，

.??可設(shè)所求直線方程為2x+y+c=0(cH-5),

又過點(diǎn)力(2,3),則4+3+c=0,解得c=—7,

;所求直線方程為2x+y—7=0.

故選：B.

3.(2023上?廣西防城港?高二統(tǒng)考期末)已知直線":2x+y-2=0,4與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為4,8.直線"

經(jīng)過力點(diǎn)且傾斜角為;.

4

(1)求直線12的一般方程；

(2)求線段4B的中垂線方程.

【解題思路】(1)根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率，利用點(diǎn)斜式方程求解即可；

(2)求出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，利用點(diǎn)斜式方程求解即可.

【解答過程】(1)設(shè)直線％的斜率為七，則七=tan；=l

過令y=0,得x=—l,所以4(1,0),

由直線的點(diǎn)斜式方程y-y()=k(x-X。)，代入可得，y-0=lx(x-l),

化簡得％-y-l=0,所以所求的直線方程為x-y-l=0.

(2)設(shè)線段48的中垂線斜率為匕線段48的中點(diǎn)為C,設(shè)直線L的斜率為自，

由直線4:2x+y—2=0可得y=-2x+2,則/q=-2,

由垂直關(guān)系可知，kkr=-1,解得k=|；

令x=0,得y=2,所以B(0,2),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，c(等,等)，即C6,l)，

由直線的點(diǎn)斜式方程y-y()=k(x-比)，代入可得，y-l=|x^%-0,

化簡得2久一4y-3=0,即線段的中垂線方程是2x-4y+3=0.

4.(2023上?甘肅臨夏?高二?？计谀?己知直線，過點(diǎn)M(2,l),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若/與OM垂直，求直線I的方程：

(2)若直線與2%—y+1=0平行,求直線/的方程.

【解題思路】(1)根據(jù)垂直關(guān)系可得直線2斜率，利用直線點(diǎn)斜式可整理得到直線方程；

(2)根據(jù)平行關(guān)系可假設(shè)直線方程，代入所過點(diǎn)坐標(biāo)即可求得結(jié)果.

【解答過程】(1),?>k=直線2與OM垂直，的=—2,

0M2—02

又直線2過點(diǎn)M(2,l),.?.直線［方程為：y-l=-2(x-2),即2x+y-5=0.

(2)由題意可設(shè)直線I方程為：2x-y+c=0,

又直線I過點(diǎn)M(2,l),二4-l+c=0,解得：c=-3,

二直線】方程為：2x—y-3=0.

卜直線的交點(diǎn)問題O1

1.(2023上?廣東東莞?高二?？计谥?若直線4:ax+y-4=0與直線6：x-y—2=0的交點(diǎn)位于第一象

限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,2)B.(-1,+8)C.(-oo,2)D.(-oo,-l)u(2,+oo)

【解題思路】分a=-1和a豐-1討論，當(dāng)a豐-1時(shí)求出交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)位于第一象限列不等式組求解可得.

【解答過程】當(dāng)a=—1時(shí)，k:乂―y+4=0,此時(shí)二〃%，不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，解方程組管)二0°得%=總廠宏，

—>0

由題知，解得一l<aV2,

—>0

、a+l

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,2).

故選：A.

2.(2023上?安徽宿州?高二?？茧A段練習(xí))若y=—a|x|的圖象與直線y=-a+x(a<0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

則a的取值范圍是()

A.-1<aV0B.CLV—1

C.a<0D.a=-1

【解題思路】根據(jù)題意，分久之0與％V0討論，結(jié)合條件，列出不等式，即可得到結(jié)果.

【解答過程】當(dāng)％Z0時(shí)，由-a|%|=-。+久可得，一=當(dāng)。工一1時(shí)，解得％=熱；

當(dāng)xV0時(shí)，由—=—a+%可得，ax=—a+x,由aVO可知，方程的解是％=——―,

CL—1

又y=-a|%］的圖象與直線y=-a+x(a<0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

f—>0

所以a+l，其中aVO,解得aV—1；

---<0

a-l

綜上所述，a<-1.

故選：B.

3.(2023上?全國?高二專題練習(xí))判斷下列直線是否相交，若相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo).

(I)/1：3%—y+4=0,%：%+3y+2=0；

⑵k：3%—5y+10=0,l2'.9x—15y+30=0.

【解題思路】(1)聯(lián)立方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)l2\9x-15y+30=?；喌玫?支一5y+10=0,可得兩直線重合.

［解答過程1⑴解方程組H得"一一:，

14~roy十/一Uy______

V5

所以這兩條直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)是

（2）由切9x-15y+30=0化為方程3x-5y+10=0可知,

所以1有無數(shù)多個(gè)解，

故人:3x-5y+10=0與%：9久-15y+30=0重合.

4.（2022.高二課時(shí)練習(xí)）三條直線x+y+1=0、舊2久一y+8=0、?ax+3y—5=。有且只有兩個(gè)交

點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

【解題思路】首先確定匕/2有一個(gè)交點(diǎn)，則若三條直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，需片〃4或G〃％，由此可構(gòu)造方

程求得結(jié)果.

【解答過程】由及得：仁二二，即有一個(gè)交點(diǎn)（—3,2）,

—y十o—u{y—

??4〃/閾3〃公

即1義3—a=0或2X3+a=0,解得：a—3或a=-6.

題型4■距離公式的應(yīng)用O|

1.（2023上?廣西河池?高二統(tǒng)考期末）已知直線k：x+ay+2=0,%:2x+4y+3=0相互平行,則小%之

間的距離為（）

A.叵B.匹C?延D.匹

10552

【解題思路】根據(jù)兩直線平行得到關(guān)于。的方程，求出a的值，再由兩平行線之間的距離公式計(jì)算即可.

【解答過程】因?yàn)橹本€4:x+ay+2=。，必2x+4y+3=。相互平行，

所以2a-4=0,解得a=2,

所以4:x+2y+2=0,即2x+4y+4=0,

所以5%之間的距離4=號(hào)=祭

故選：A.

2.（2023上?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)。（一2,-2）到直線1:2萬一曠+爪％-m=0（爪610距離的最大值

為（）

A.5B.V5C.2V2D.3

【解題思路】首先確定直線Z所過的定點(diǎn)，再利用數(shù)形結(jié)合求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

【解答過程】直線Z：2x—y+m(x-1)=0,

所以直線Z表示過定點(diǎn)(1,2)的直線，如圖，當(dāng)時(shí)，川表示點(diǎn)到直線的距離,

當(dāng)ZM不垂直于［時(shí)，表示點(diǎn)到直線的距離，顯然

所以點(diǎn)。到直線(距離的最大值為I。*=J(—2—1)2+(-2—2)2=5,

所以點(diǎn)。到直線I距離的最大值為川=5.

故選：A.

3.(2023上?新疆巴音郭楞?高二校聯(lián)考期末)已知直線x-2y+3=0與直線3x+y+2=0交于點(diǎn)P.

(1)求過點(diǎn)P且平行于直線3久+4丫-5=0的直線"的方程，并求出兩平行線之間的距離；(直線方程寫成

一般式)

(2)求過點(diǎn)P且垂直于直線4x+3y+2=0的直線G的方程；(直線方程寫成一般式)

【解題思路】(1)聯(lián)立方程得到P(-1,1),根據(jù)平行得到斜率的關(guān)系，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到直線方程，再計(jì)算

距離即可.

(2)根據(jù)垂直關(guān)系得到斜率的關(guān)系，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到答案.

【解答過程】(1)^~+y+lZo'解得g二J故P(T，D，

設(shè)直線4的方程為y=kx+瓦』i平行于直線3%+4y-5=0,即y=-：%+：，

r44

則自=一支直線過點(diǎn)尸(-1,1),即l=：+b,解得b=%

故直線方程為y=—|x+%即3x+4y—1=0.

兩平行線之間的距離為d=與粵=J

V32+425

(2)設(shè)直線。的方程為丫=々2%+無，直線。與4%+3y+2=0垂直，即丫二一(第一|，

故七=3，直線過點(diǎn)故1=-：+52，62=%故直線方程為y=：%+：,

即3x-4y+7=0.

4.(2023下?浙江臺(tái)州?高一溫嶺中學(xué)?？计谀?已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(1)求直線4B方程；

(2)求A4BC的面積.

【解題思路】(1)根據(jù)坐標(biāo)求出直線斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程求法求解即可；

(2)先求出4B兩點(diǎn)間距離，再求出C到直線4B的距離，根據(jù)三角形面積公式求解答案即可.

【解答過程】(1)由已知得，直線4B斜率存在，為上導(dǎo)=-2,

所以直線2B方程為y-3=-2(久+1),

整理得直線4B方程為y=—2x+1

(2)因?yàn)?(—1,3),8(2,-3),C(—3,-1),

所以|4B|二J(-l-2尸+(3+3尸=3V5,

直線48方程為2x+y—1—0,

C到直線4B的距離d=I2X(-*)T=8,

V22+l2V5

所以△ABC的面積為T|XB|-d=jx3V5x^=12.

圓的方程的求解。|

1.(2023下?陜西榆林?高二校聯(lián)考期末)若圓C經(jīng)過點(diǎn)4(2,5),5(4,3),且圓心在直線Z：3x-y-3=0±,

則圓C的方程為()

A.(久一2尸+(y—3)2=4B.(X—2>+(y—37=8

C.(x—3/+(y-6尸=2D.(x-3)2+(y-6)2=10

【解題思路】求解4B的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標(biāo)，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.

【解答過程】圓C經(jīng)過點(diǎn)4(2,5),B(4,3),

可得線段4B的中點(diǎn)為(3,4),又％B=H=-1，

2—4

所以線段的中垂線的方程為y-4=%-3,

即久—y+1=0,

由gW解得&

即C(2,3),圓C的半徑r=V(2-2)2+(5-3)2=2,

所以圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=4.

故選：A.

2.(2023上?云南臨滄?高二校考期末)已知半徑為3的圓C的圓心與點(diǎn)尸(-2,1)關(guān)于直線尤-y+l=0對(duì)稱,

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+l)2+(y—=9B.(%-1)2+(y-1)2=81

C.x2+(y+I)2=9D.x2+y2=9

【解題思路】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系列出方程組，求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合半徑為3,即可求解.

【解答過程】設(shè)圓心坐標(biāo)C(a,b),由圓心C與點(diǎn)P關(guān)于直線y=久+1對(duì)稱，

得到直線CP與y=x+l垂直，

結(jié)合y=x+l的斜率為1,得直線CP的斜率為—1,

所以產(chǎn)=一1,化簡得a+b+l=0①

再由CP的中點(diǎn)在直線y=x+l上，—=等+1,化簡得a—6-1=0②

聯(lián)立①②，可得a=0,b=—1,

所以圓心C的坐標(biāo)為(0,-1),

所以半徑為3的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+(y+I)2=9.

故選：C.

3.(2023下?新疆阿克蘇?高二校考期末)求下列各圓的方程.

⑴圓心為點(diǎn)C(8,—3),且過點(diǎn)4(5,1)；

⑵過4(-1,5),B(5,5),C(6,-2)三點(diǎn).

【解題思路】(1)求出半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出即可.

(2)設(shè)出圓的一般方程，將三點(diǎn)代入解出即可.

【解答過程】(1)由題意知半徑r=J(8—5尸+(—3—1尸=5,

所以圓的方程為：(x—8)2+(y+37=25.

(2)設(shè)圓的一般方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

將4(-1,5),8(5,5),C(6,—2)代入得：

1+25—D+5E+F=0(D=-4

25+25+50+5￡+F=0=>￡=-2,

、36+4+62E+F=0=-20

所以圓的方程為：x2+y2-4x-2y-200.

4.(2023下?云南曲靖?高一?？计谀?已知圓C經(jīng)過點(diǎn)4(1,4),B(—1,—2)且圓心C在直線2x-y+8=0±.

⑴求圓C方程；

(2)若E點(diǎn)為圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)尸(3,0),求線段斯的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【解題思路】(1)根據(jù)題意利用待定系數(shù)法運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意利用相關(guān)點(diǎn)法運(yùn)算求解.

【解答過程】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,可知其圓心為(a,b),

(2Q—5+8=0=-3

由題意可得)(1-a)2+(4-b)2=r2,解得.b=2,

(.(—1—a)2+(—2—b)2—r2(r2-20

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y-2￥=20.

(2)設(shè)月)，

(x=紅!2=?_R

由F(3,0)及M為線段E尸的中點(diǎn)得/解得戶、「彳彳二，即E(2x—3,2y),

Iy=——(71—

又因?yàn)辄c(diǎn)E在圓C：(x+3尸+(y—2尸=20上，則(2x—3+3尸+(2y—2/=20,

化簡得：x2+(y-l)2=5,

故所求的軌跡方程為/+(y-1)2=5.

直線與圓的位置關(guān)系的判定。|

1.(2023下?貴州?高二校聯(lián)考期末)圓C：/+必+4久一2y+l=o與直線/：工-2=0的位置關(guān)系為()

43

A.相切B.相離C.相交D.無法確定

【解題思路】由圓心到直線的距離等于半徑可判斷相切.

【解答過程】由/+y2+4%一2y+1=0得(x+2尸+(y-l)2=4,

所以圓C的圓心坐標(biāo)為(-2,1),半徑為2,

由=0得3x-4y=0,

圓心到直線I的距離為：匕瓷等=2,

V32+42

故圓C與直線Z相切，

故選：A.

2.(2023下?黑龍江牡丹江?高二校考期末)“4-聞<a<4+聞”是“直線I:2久一y=1與圓C:/+/+

2a久―2y+3=0相離'’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)直線和圓相離求得參數(shù)a的取值范圍，比較該范圍和4-聞<a<4+回的關(guān)系，即

可判斷出答案.

【解答過程】將C:/+y2+2ax—2y+3=0配方，即(x+a)2+(y—I)2-a2—2,

x2+y2+2ax—2y+3=0表示圓需滿足a?-2>0,

所以a>/或a<-四，其圓心為C(-a,1),半徑為r=7a?-2,

因?yàn)橹本€Z：2x—y-1與圓C:/+y2+2ax—2y+3-0相離，

故圓心C到直線/的距離d=>7a2—2,解得4一同<a<4+同，

V5

結(jié)合a>/或a<一企可得&<a<4+聞或4-V30<a<一VL

(V15<4,.-.16<32-4V15,???4<V30-V2,4-V30<-V2)

則4—V30<a<4+成立推不出直線］:2x—y=1與圓C:x?+y2+2ax—2y+3=0相離；

反之成立，故“4-V30<a<4+廊”是“直線1:2x—y=1與圓C:x2+y2+2ax-2y+30相離”的必要

不充分條件，

故選：B.

3.(2023上?湖南岳陽?高二統(tǒng)考期末)已知直線+y-1=0和圓心為C的圓/+/一？久一4y+1=0.

(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；

(2)如果相交，求直線被圓所截得的弦長.

【解題思路】(1)代數(shù)法：聯(lián)立方程，根據(jù)得到方程解的個(gè)數(shù)判斷位置關(guān)系.幾何法：由已知得出圓心、半

徑，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，即可判斷；

(2)代數(shù)法：根據(jù)(1)求出的方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，即可求出弦長.幾何法：根

據(jù)垂徑定理，即可求出答案.

【解答過程】(1)解法1:代數(shù)方法

聯(lián)立直線/與圓C的方程,2,：+：—1n，

ix+y—2x—4y+1-0

消去y,得/=1,所以x=±l.

所以，直線/與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).

解法2:幾何法

將圓C方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(工一1)2+(y—2)2=4,因此圓心c的坐標(biāo)為(1,2),半徑為2,圓心C到直線的

距離d=辱W=V2<2.

V2

所以，直線/與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).

(2)解法1:代數(shù)方法

設(shè)4(與,%),B(x2,y2).

由(1)可知x=±1,不妨設(shè)X]=1>則yi=0,x2=—1,y2=2,

所以,71(-1,2),5(1,0).

因此J(-1-1尸+(2-0)2=2VI

解法2:幾何法

由(1)可知直線/與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，

且圓的半徑r=2,圓心C到直線的距離d=迎，

由垂徑定理，得=2Vr2—d2—2V2.

4.(2023上?湖北咸寧?高二統(tǒng)考期末)己知點(diǎn)4(一1,2)和直線I:6x—4y+1=0.點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)

稱點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足|PO|=b|PB|.若點(diǎn)P的軌跡與直線x+zny-1=0有公共點(diǎn)，求小的取值范圍.

【解題思路】(1)設(shè)點(diǎn)B(x,y),根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可列出方程，聯(lián)立解得答案；

(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y),根據(jù)|PO|=K|PB|求得尸點(diǎn)軌跡方程，根據(jù)點(diǎn)P的軌跡與直線x+my-1=0有公共點(diǎn)，

可知圓心到直線距離小于等于半徑，解不等式可得答案.

【解答過程】(1)設(shè)點(diǎn)B(x,y),由題意知線段4B的中點(diǎn)M(U，彳)在直線1上，

故：6(沼-4(釣+1=0,①

又?.?直線力B垂直于直線Z,故￡|=-1,②

聯(lián)立①②式解得：故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)；

(2)設(shè)點(diǎn)P(%,y),由題|P0|=g|P8|,貝！]|「?！?

故％2+y2=3[(x-2)2+y2],化簡得(％-3)2+y2=3,

又?.,直線》+my-1=0與圓。-3)2+y2=3有公共點(diǎn)，

故居W回解得小￡（一8,一耳U惇+OO）.

直線與部分鼬皎問題。I

1.（2023下?上海寶山?高二統(tǒng)考期末）若直線y=kx—1與曲線y=—+4%—3恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)

數(shù)k的取值范圍是（）

【解題思路】根據(jù)題意得：y=--1為恒過定點(diǎn)力（0,-1）的直線，曲線表示圓心為（2,0）,半徑為1的上半

圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出k的取值范圍.

【解答過程】根據(jù)題意得y=依-1為恒過定點(diǎn)力（0,-1）的直線，

由曲線y=V—x2+4%—3,可得（冗—2）2+y2=i（y>0）,

所以曲線表示圓心為C（2,0）,半徑為1的上半圓，如圖所示,

當(dāng)直線與圓C相切時(shí)，有加=1,解得k=0（舍去）或k=j

vk2+l3

把B（L0）代入y=kx-1得k-1=0,解得/c=1,

因?yàn)橹本€y=kx-1與曲線y=4-％2+4%-3恰有兩個(gè)公共點(diǎn),

由圖可得即k的取值范圍是［1彳）.

故選：B.

2.（2023上?浙江臺(tái)州?高二期末）已知曲線C:y=+1—刀—i（y20）,若存在斜率為—2的直線與曲

線C有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.(-1,1)B.(-2,2)C.(―OO,-1)U(1,+oo)D.(—00,—2)U(2,+oo)

【解題思路】數(shù)形結(jié)合，分析C8斜率可得.

【解答過程】由y=/不了二一1=>/+（y+1）2=皿2+1,（丫20）,若與X軸相交于（士|刈,0）,

記右側(cè)交點(diǎn)為8（|爪|,0）,則當(dāng)/CCB<決寸，存在斜率為-2的直線與曲線C相切，且切點(diǎn)在第一象限，故此時(shí)

存在斜率為-2的直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn).

故J-<-=>m>2或m<—2.

\m\2

3.（2023上?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線y=x+m和曲線y=71—/有兩個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)nt的取值范圍.

【解題思路】易得曲線y=VT=表示圓/+必=1在x軸及x軸上方的部分，結(jié)合圖象求出臨界值，進(jìn)而

可得出答案.

【解答過程】曲線y=VF中表示圓/+y2=1在支軸及X軸上方的部分，

當(dāng)直線y=x+m與半圓相切時(shí)，m>0,

此時(shí)解得m=&（m=—/舍去），

當(dāng)直線y=x+zn過點(diǎn)（-1,0）時(shí)，m-1,

由圖可知，mG[1,V2）.

4.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知曲線C:y=1+也二次，直線y=做久一2）+4.

（1）試探究曲線C的形狀；

（2）若直線E與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍.

【解題思路】（1）先求出％y的取值范圍，再對(duì)y=1+VT中化簡變形可判斷其形狀,

(2)由題意可得直線/恒過定點(diǎn)2(2,4),然后畫出圖形，結(jié)合圖形求解即可.

【解答過程】(1)由4一/20,得一2WxW2,則y21,

由y—1+V4—%2,得/+(y-1)2：4(-2<x<2,y>1)

所以曲線C是以(0,1)為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示.

(2)直線/:丫=做無-2)+4恒過定點(diǎn)2(2,4),

當(dāng)直線E與半圓相切，。為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線2的距離d=r,

所以瑞=2,解得k=*

當(dāng)直線I過點(diǎn)B(—2,1)時(shí)，直線I的斜率k==

2-(—2)4

則直線1與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(5,引.

圓與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用。I

1.(2023上?新疆?高二校聯(lián)考期末)已知圓Q:(x—1)2+必=1,圓C2:(x-4/+*=4,則圓Q與圓C2的

位置關(guān)系為()

A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切

【解題思路】確定兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷位置關(guān)系即可.

【解答過程】圓G的圓心6(1,0)與圓。2的圓心。2(4,0)，所以兩圓的圓心距為3,

又圓G的半徑為1,圓的半徑為2,且圓心距等于圓C1與圓的半徑之和，

所以圓的與圓的位置關(guān)系為外切.

故選：C.

2.(2023上.浙江嘉興.高二統(tǒng)考期末)已知圓G：(x-l)2+(y+2)2=產(chǎn)(「>0)與圓C2：(%-4)2+

(y—2尸=16有公共點(diǎn)，貝b的取值范圍為()

A.(0,1]B.[1,5]C.[1,9]D.[5,9]

【解題思路】根據(jù)題意得到|r-4|<IGC2I<r+4,再解不等式即可.

【解答過程】由題知:―,rr=r,C2(4,2),r2=4,

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