2024-2025學(xué)年廣東省深圳市九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬試卷（含答案解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬試卷

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一、單選題

1.下列方程是關(guān)于X的一元二次方程的是（）.

1,

A.—Fx=2B.x—2y=0

x

C.A:2+2x=x2—1D.x2=0

2.如圖，燒杯內(nèi)液體表面A5與燒杯下底部CO平行，光線所從液體中射向空氣時發(fā)生折

射，光線變成尸"，點G在射線E尸上.已知NHFB=20。，ZFED=60°,則NGF"的度數(shù)

為（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

3.若關(guān)于1的方程f—%+根=。沒有實數(shù)根，則根的值可以為（）

A.-1B.——C.0D.1

4

4.如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)yi=kx+b（k、b是常數(shù)，且后0）與反比例

函數(shù)y2=￡（c是常數(shù)，且存0）的圖象相交于A（-3,-2）,B（2,3）兩點，則不等式

X

yi>y2的解集是（）

A.-3<x<2B.x<-3^x>2C.-3<x<0或x>2D.0<x<2

5.如圖，在平面直角坐標系中，直線A8經(jīng)過點4（6,0）、5（0,6）,。的半徑為2（。為

坐標原點），點尸是直線AB上的一動點，過點P作；。的一條切線PQ,。為切點，則切線

長PQ的最小值為（）

A.714B.gC.3D.372

nA2

6.如圖，以點。為位似中心，作四邊形ABCZ）的位似圖形AB'C'D,已知「=—,若四邊

0A3

形ABC。的面積是4,則四邊形AB'C'D'面積是（）

A.6B.9C.16D.18

7.近日，安徽省政府正式印發(fā)《支持5G發(fā)展若干政策》，加快布局5G基礎(chǔ)設(shè)施，壯大5G

產(chǎn)業(yè)2020年底，全省將建成5G基站數(shù)量約1.5萬座，按照計劃，到2022年底全省5G基

站總數(shù)量將達到15萬座，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為x,則下列方程正確的是（）

A.1.5（1+2x）=15B.1.5（l+x）2=15

C.1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）z=15D.1.5X2=15

8.如圖，四邊形AOBC是平行四邊形，點8在x軸上，C4的延長線與y軸交于點。，反

k

比例函數(shù)y=—（左＞。,尤＞。）的圖象經(jīng)過點A（2,y）,且與邊8C交于點E.若S平行四邊形AOBC=6,

且AT＞=AC,則點￡的橫坐標為（）.

試卷第2頁，共6頁

/)

A.1+V2B.1+2&C.1+2A/5D.1+A/5

二、填空題

9.因式分解：cue-9a=.

10.如果反比例函數(shù)y=I的圖象位于第二、四象限，那么％的取值范圍是.

x

11.如圖，正方形紙片ABC。的邊長為12,E是邊C。上一點，連接AE.折疊該紙片，使

點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點8,得到折痕8尸，點尸在AD上.若￡>E=5,則GE

的長為.

12.如圖，已知。的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為4,H為邊AF的中點，則圖中陰影

部分的面積是.

三、解答題

13.(1)計算“石-1卜［］萬-3.14)°+人;

⑵化簡：［1-白卜

(a—1)a—2a+1

14.關(guān)于x的一元二次方程Y-2(%+l)x+蘇+2=0.

(1)若方程總有兩個實數(shù)根，求機的取值范圍；

⑵在(1)的條件下，若兩個實數(shù)根耳，X?滿足玉+々=占々，求加的值.

15.為了落實“作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質(zhì)”五項管理要求，了解學(xué)生的“讀物”情況，某

校調(diào)查了一個班學(xué)生每周的課外閱讀時間，繪制成了不完整的條形圖.

01234時間小

(1)若本班學(xué)生每周課外閱讀時間的平均數(shù)為2.5h,請補全條形圖；

⑵嘉嘉參與了本次調(diào)查，在(1)的條件下，求嘉嘉的課外閱讀時間不少于3h的概率.

(3)將每周課外閱讀時間為4h的學(xué)生視為“閱讀達人”，本班的“閱讀達人”中一人為女生，其

余為男生，老師計劃從中隨機抽取兩人參加市級的中學(xué)生詩歌大賽，小強認為選中的兩名學(xué)

生都是男生的概率大，請用列表或畫樹狀圖的方法驗證他的結(jié)論是否正確.

16.如圖，在等邊VABC中，點。是邊AC上一點，連接班)，將線段繞點B按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)60。后得到3E,連接AE.求證：

(1)ABE-CBD；

(2)AE//BC.

17.如圖，點A在反比例函數(shù)y=：(x>o)的圖象上，軸于點3,AB=2,OB=4.

試卷第4頁，共6頁

⑴求反比例函數(shù)的表達式；

⑵若直線CD垂直平分線段A0,交A0于點。，交y軸于點C,交無軸于點E,求線段OE

的長.

18.如圖，已知A3是。的直徑，C是。上的點，點。在AB的延長線上，N3CD=4AC.

⑴求證：C￡＞是「。的切線；

⑵若ND=30。，BD=4,求圖中陰影部分的面積.

19.2023年杭州亞運會吉祥物“江南憶”，融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因，

三個吉祥物分別取名“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”，造型形象生動，一開售就深受大家的喜愛，

據(jù)統(tǒng)計某電商平臺7月份的銷售量是5萬件，9月份的銷售量是7.2萬件，

（1）若該平臺7月份到9月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？

（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某一間店鋪吉祥物公仔的進價為每個60元，若售價為每個100元，每天

能銷售20件，售價每降價10元，每天可多售出20件，為了推廣宣傳，每個吉祥物的利潤

不允許高于進價的30%,設(shè)銷售吉祥物公仔每天的總利潤為w（元），那么每個吉祥物公仔

的售價定為多少元時該店鋪可獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

20.【深度閱讀】蘇格蘭哲學(xué)家托馬斯?卡萊爾（1795-1881）曾給出了一元二次方程

d+6x+c=0的幾何解法：如圖1,在平面直角坐標系中，已知點4（。，1）,8（-瓦c）,以48

為直徑作IP.若：尸交x軸于點M（私0）,N（凡0）,則機，〃為方程d+6x+c=0的兩個

實數(shù)根.

【自主探究】(1)由勾股定理得，AM-^U+tv1,BM2=c2+(-b-m^,AB2=(l-c^+b2,

在RtABM中，AM2+BM-=AB2，所以12+n?+，+(-b-m)2+廿，化簡得:

m2+6m+c=0.同理可得一

所以w為方程f+Zw+cnO的兩個實數(shù)根.

【遷移運用】（2）在圖2中的x軸上畫出以方程/一3尤-2=0兩根為橫坐標的點M,N.

（3）已知點4?1）,8（4,-3）,以為直徑作（C.判斷C與x軸的位置關(guān)系，并說明

理由.

【拓展延伸】（4）在平面直角坐標系中，已知兩點A（0,a）,B（也c）,若以A3為直徑的圓

一元二次方程是

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678

答案DBDCABCD

1.D

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一

元二次方程定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二

次方程，逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.-+x=2,是分式方程，不是一元二次方程；故該選項不符合題意；

X

B.無2-2y=0,含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

C.爐+2彳=/一1,化簡后為：2x+l=0,不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

D.無2=o,是一元二次方程，故該選項符合題意；

故選D.

2.B

【分析】由題意知，AB//CD,則NGFB=NFED=60。，根據(jù)NGFH=NGFB-NHFB,計

算求解即可.

【詳解】解：由題意知，AB//CD,

ZGFB=ZFED=60°,

：.Z.GFH=ZGFB-ZHFB=40°,

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系.

3.D

【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程f—x一根=。沒有實數(shù)根，判斷出A<0,求出加的取值范圍，

再找出符合條件的機的值.

【詳解】解：.??關(guān)于x的方程x-x+m=0沒有實數(shù)根，

A=(-1)2-4xlxm=l-4m<0,

解得：相>:，

4

故選項中只有D選項滿足，

故選D.

答案第1頁，共14頁

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，需要掌握一元二次方程沒有實數(shù)根相當于判

別式小于零.

【分析】一次函數(shù)yl=kx+b落在與反比例函數(shù)y2=.圖象上方的部分對應(yīng)的自變量的取值

X

范圍即為所求.

c

【詳解】???一次函數(shù)yl=kx+b(k、b是常數(shù)，且k，0)與反比例函數(shù)y2=-(c是常數(shù)，且

*0)的圖象相交于A(-3,-2),B(2,3)兩點，

...不等式y(tǒng)l>y2的解集是-3<x<0或x>2,

故選C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

5.A

【分析】連接OP、OQ,根據(jù)勾股定理知尸。2=0尸2_當。尸，至?xí)r，線段。尸最短,

即線段P。最短.

【詳解】連接。只OQ.

:PQ是。的切線,

OQ±PQ,

根據(jù)勾股定理知產(chǎn)°?=OP2-OQ2,

:當尸時，線段尸Q最短,

又?；A(6,0)、5(0,6),

0A=0B=6,

??AB=6y/2,

答案第2頁，共14頁

OP=-AB=3y/2,

2

*.*OQ=2,

：?PQ=y]0P2-Q02=V14,

故選：A.

【點睛】此題考查切線長定理，解題關(guān)鍵在于掌握切線長定理和勾股定理運算.

6.B

【分析】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì).根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得善衛(wèi)■

3四邊形4597/

即可求解.

【詳解】解：???四邊形ABCD和四邊形ABC'。'是位似圖形,

???四邊形ABC。的面積是4,

四邊形AB'C'D'面積是9.

故選：B

7.C

【分析】設(shè)2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為x,根據(jù)2020年底

及2022年底全省5G基站的數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程.

【詳解】設(shè)2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為x,

依題意，得：1.5+1.5(1+%)+1.5(1+%)2=15,

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準等量關(guān)系，正確列出一

元二次方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出按同一增長率2023年底全省5G基站數(shù)量.

8.D

【分析】由題意可得CD=2AD=4,再根據(jù)四邊形AOBC是平行四邊形求得8(2,0),然后

答案第3頁，共14頁

根據(jù)S平行四邊形AOBC=6可得y=3,即C（4,3）,A（2,3）；進一步得到反比例函數(shù)為y=。、直線BC

解析式為y=再將y=9代入y=：x-3求得滿足題意的尤即可解答.

【詳解】解：,?,A（2,y）,AD=AC,

:.CD=2AD=4,

???四邊形A05C是平行四邊形

???AC=OB=2

：.3（2,0）,

**S平行四邊形A08C=6

2y=6,即y=3,

???C（4,3）M（2,3）,

...反比例函數(shù)為y=g,

X

設(shè)直線BC解析式為y="+b（k豐0）,

把3（2,0）,c（4,3）代入可得：

f3

[4k+b=3k=-

L.c，解得：2,

|2左+6=0,,

i[b=-3

3

直線BC解析式為y=]X-3,

將y=9代入y=：x-3可得：-=|x-3,解得：x=l±V5,

x2x2

:點E在第一象限，

x-1+下,

.?.點E橫坐標為1+石.

故選D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合、平行四邊形的性質(zhì)等知識點，正確

求得反比例函數(shù)和直線3c解析式是解答本題的關(guān)鍵.

9.tz（x+3）（x-3）

【分析】先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：ax2-9a

答案第4頁，共14頁

=a^x2-9)

=a(x+3)(x-3)

故答案為：?(x+3)(x-3).

【點睛】本題主要考查了分解因式，熟練掌握平方差公式后-加=(a+6)(a-3是解題的關(guān)

鍵.

10.k<2

【分析】根據(jù)雙曲線所在的象限，得至1^-2<。，求解即可.掌握反比例函數(shù)的圖象是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意，得：k-2<0；

k<2；

故答案為：k<2.

11.”

13

【分析】先根據(jù)勾股定理得出AE的長，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BF垂直平分AG,再根

據(jù)4ABMrADE,求出AM的長，從而得出AG,繼而得出GE的長

【詳解】解：在正方形ABCD中，ZBAD=ZD=90°,

ZBAM+ZFAM=90°

在Rt_ADE中，AE=7AD2+DE2=A/122+52=13

:由折疊的性質(zhì)可得，ABF三GBF

，AB=BG,ZFBA=ZFBG

，BF垂直平分AG,

；.AM=MG,ZAMB=90°

ZBAM+ZABM=90°

ZABM=ZFAM

答案第5頁，共14頁

???_ABM?二ADE

.AM_AB.AM12

**DE-AE'13

.?.AM聆，AG="

1313

.?12049

..GE=13-----=——

1313

【點睛】本題考查了正方形與折疊，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形相似的判定

和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵

O

12.4-\/3H—71

3

【分析】本題考查等邊三角形性質(zhì)，正六邊形性質(zhì)，扇形面積公式等.根據(jù)題意先計算出

SMDH的面積，再計算扇形COD面積及以co?面積，即可得到本題答案.

【詳解】解：過點H作交CD于點E,連接。COD,

V。的內(nèi)接正六邊形ABCDE/的邊長為4,X為邊AF的中點，

AZC（9D=60°,ZECO=60°,CO=OD=4,E為邊C￡＞的中點，

CE=DE=2,

???OE=26,

，EH=46，

SCDH=5x4x4\/3=8\/3,

扇形COD面積：空吃=§兀，

36003

：Scw=gx4x2若=4若，

陰影部分的面積：8石+（|兀-4g）=8豆+|兀-4石=4君+g兀,

故答案為：4石+§兀.

答案第6頁，共14頁

〃一1

13.(1)g+3;(2)

〃+2

【分析】(1)首先計算絕對值，負整數(shù)指數(shù)嘉，零指數(shù)募和算術(shù)平方根，然后計算加減;

(2)根據(jù)分式的混合運算法則求解即可.

【詳解】(1)|V3-l|+||j一(萬一3.14)°+囪

=6-1+2-1+3

=6+3;

a_2(a-1)

ct—\(Q+2)(Q-2)

ci—1

Q+2

【點睛】本題考查了實數(shù)的運算、異分母分式的加減運算，涉及了算術(shù)平方根、負指數(shù)累、

零指數(shù)早的運算等，熟練掌握各運算的運算法則是解題的關(guān)鍵.

14.(l)/n>-

2

(2)777=2

【分析】本題考查了一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是將熟練掌握一元

二次方程的判別式與根的關(guān)系及兩根之積與兩根之和.

(1)由方程求出判別式A20即可.

(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用含加代數(shù)式表示兩根之和及兩根之積，進而求解.

【詳解】(1)解：A=[-2(/77+l)]2-4(m2+2)=8m-4,

\?方程總有兩個實數(shù)根，

/.8m-4>0,

m>—.

2

(2)由玉+々=玉光2，

玉+%=2(m+1),x[x2=nr?+2,

答案第7頁，共14頁

2(m+1)=m2+2,

整理得m2-2m=0，

解得叫=0或網(wǎng)=2,

Vm>-,

2

m=2.

15.⑴見解析

⑵2

20

(3)小強的結(jié)論不正確，理由見解析

【分析】(1)利用方程求出閱讀1小時的人數(shù)，補圖即可;

(2)運用列舉法求概率即可；

(3)運用樹狀圖求概率即可.

【詳解】(1)解：設(shè)時間為1小時的人數(shù)為。人，則

Ixa+2x9+3x6+4x3一

—2.5,

。+9+6+3

解得：a=2,

經(jīng)檢驗：a=2是原方程的解，

則補圖為：

(2)解：由(1)可知參力口課外閱讀的人數(shù)為2+9+6+3=20人，其中課外閱讀時間不少于

3h的有6+3=9人，

嘉嘉的課外閱讀時間不少于3h的概率為°斤：，=在；

2+9+6+320

(3)解：畫樹狀圖得：

答案第8頁，共14頁

開始

由樹狀圖可知共有6種等可能結(jié)果，其中選中的兩名學(xué)生都是男生的有2種，所以概率為

6,

.??小強的結(jié)論不正確.

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖，列舉法求概率，畫樹狀圖求概率，掌握等可能事件概率的求

法是解題的關(guān)鍵.

16.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的

判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定

是解此題的關(guān)鍵.

(1)由旋轉(zhuǎn)可知，ZEBD=60°,BE=BD,由等邊三角形的性質(zhì)可得

ZABC=ZDCB=60°,AB=BC,進而可得=根據(jù)全等三角形的判定可得結(jié)

論；

(2)由ABE會CBD可得/EAB=NDCB,進而可得=結(jié)合平行線的判定

可得AE〃3c.

【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可知，ZEBD=60°,BE=BD,

B4C是等邊三角形，

:.ZABC=ZDCB=60°,AB=BC,

ZEBD=ZABC=60°,

ZEBD-ZABD=ZABC-ZABD,即N￡BA=〃3C,

A4BE^ACBD(SAS)；

(2)證明：由(1)知，ABE2CBD,

:./EAB=/DCB,

ZABC=ZDCB=60°,

答案第9頁，共14頁

:.NEAB=ZABC,

:.AE//BC.

Q

17.⑴y=—

x

（2）5

,、k

【分析】（1）由題意可得點A的坐標為（2,4）,代入y=：,求出％的值即可；

（2）連接AE,過點A作AF，OE于點尸，由直線CD為線段0A的垂直平分線可得AE=OE,

設(shè)線段OE的長為機，則AE=〃z,EF=m-2,由勾股定理得AE?=人尸+石尸，即

m2=42+（zn—2）2,求出m的值即可.

【詳解】（1）解：軸，

..NABO=90。，

VAB=2,08=4,

.?.點A的坐標為（2,4）,

將4（2,4）代入＞=：,

得k二8,

Q

??.反比例函數(shù)的表達式為y=&.

X

（2）解：連接AE,過點A作AF_LO￡于點尸，如圖所示：

AE=OE,

設(shè)線段的長為根，則AE=加,

點A的坐標為（2,4）,

:.AF=4,OF=2,

EF=m—2,

答案第10頁，共14頁

在Rt.AEF中，由勾股定理得，AE2=AF2+EF->

即m2=42+(m—2)2,

解得：m=5,

.??線段OE的長為5.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、線段

垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

18.⑴見解析

⑵皿_4百

3

【分析】(1)連接OC,可得N3CD=NOC4,由于AB是，。的直徑，可得NACB=90。，

從而得至ijZ.OCA+Z.OCB=/BCD+ZOCB=90°,即可；

(2)設(shè)。的半徑為廣，則鈣=2r，由于ND=30。,NOCD=90。，可得到廠=4,

ZAOC=120°,BC=4,再求出AC=4A/L分別計算CMC的面積以及扇形AOC的面積即可

求出陰影部分面積.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

'：OA=OC,

,NBAC=NOCA,

,：ZBCD=ZBAC,

：.ZBCD=ZOCA,

是。的直徑，

ZACB=90°,

：.ZOCA+ZOCB=/BCD+ZOCB=90°,

：.NOCD=90。，

,/oc是半徑，

CO是。的切線；

(2)設(shè)。的半徑為r,則。4=OC=O8=r,

答案第11頁，共14頁

.**AB=2r,

?.,ZD=30°,ZOCD=90°,

.?.OD=2OC=2r,/COB=60°,

?；OB=OC,

???BOC是等邊三角形,

BC=OC=r,

???ZAOC=120°f

BD=4,

OD=r+A

r+4=2r,

解得：r=4,

：.OA=BC=4f

???ZACB=90°,

???NA=30。，

：.AB=2BC=8

AC=yjAB2-BC2=473，

過點。作OELAC于點E,

OE=-OA=2,

2

：.SAnr=-OE-AC=-x2x4y/3=443,

"22

..0120^-x421671

"扇形A。?！?360一—~3~'

???陰影部分面積為S扇形01ALsA℃=*S

【點睛】本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，勾股定理，含30度的直角三角形的

性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

19.(1)月平均增長率是20%

(2)每個吉祥物公仔的售價定為78元時該店鋪可獲得的利潤最大，最大利潤是1152元

【分析】(1)設(shè)月平均增長率為加，根據(jù)7月份的銷售量是5萬件，9月份的銷售量是7.2萬

件列出方程，解方程即可；

(2)設(shè)每個吉祥物公仔的售價為龍元，先根據(jù)每個吉祥物的利潤不允許高于進價的30%,

答案第12頁，共14頁

列出不等式求出x<78,再列出二次函數(shù)解析式w=(x-60)20+—(100-