2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓 壓軸填空題練習(xí)題（含答案解析）

第第頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓壓軸填空題練習(xí)題一．填空題（共25小題）1．在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B(0，3)，過點(diǎn)B作直線BC∥x軸，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以AP為邊在AP右側(cè)作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：AQ＝1：2，連結(jié)AB、BQ，則△ABQ周長(zhǎng)的最小值為2．如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，則弦AB的長(zhǎng)度為；當(dāng)點(diǎn)E在⊙G的運(yùn)動(dòng)過程中，線段FG的長(zhǎng)度的最小值為．3．點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，連AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，若AI＝2CD，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，則IE的長(zhǎng)為．4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，I為△ABC的內(nèi)心，連接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，則AB的長(zhǎng)為．5．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD．過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是．6．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CM為直徑的圓與BM相交于點(diǎn)Q，P為CD上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，PQ，則AP+PQ的最小值是．7．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直徑，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A′B′C′D′，且AD′交⊙O于點(diǎn)E，AB′交⊙O于點(diǎn)F，D′C′與⊙O相切于點(diǎn)M．下列說法正確的有．（只填寫序號(hào)）①AE＝4，②AE=EM=MB，③AF=438．如圖，AB為⊙O的直徑，CD、CB為⊙O的切線，D、B為切點(diǎn)，連接AD、BD，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE交BD于G，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，以下結(jié)論：①AD∥OC；②點(diǎn)E為△CDB的內(nèi)心；③FC＝FE；④EG＝FE；⑤∠CFE＝∠AGB．其中正確的有．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AD，BE＝3，BD＝35．P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為．10．如圖，∠ACB＝60°，半徑為2的⊙O與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)t＝PE+2PF，則t的取值范圍是．11．如圖，等腰△ABC中，底邊BC長(zhǎng)為10，腰長(zhǎng)為7，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線與過A、B、D三點(diǎn)的圓交于點(diǎn)E，連接DE，則DE的最小值是．#ZZ0112．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝6，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論正確的．（填序號(hào)）①CE＝CF；②當(dāng)EF∥AB時(shí)，點(diǎn)F恰好落在弧BC上；③當(dāng)EF與半圓相切時(shí)，AD＝2；④當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是6313．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，直線l經(jīng)過△ABC的內(nèi)心O，過點(diǎn)C作CD⊥l，垂足為D，連接AD，則AD的最小值是．14．已知⊙O半徑為4，點(diǎn)A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B=21313，則線段OC15．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝4，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠F＝30°；②CE＝CF；③線段EF的最小值為23；④當(dāng)AD＝1時(shí)，EF與半圓相切；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是83．其中正確的結(jié)論的序號(hào)為．16．如圖，半圓O的直徑DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)D、E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8cm．當(dāng)t＝時(shí)，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O與x軸正半軸，y軸負(fù)半軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C（﹣2，2）在⊙O上，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，連結(jié)CD并延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)F在x軸的正半軸上，聯(lián)結(jié)DF，CF交⊙O于點(diǎn)G，若弧AG＝弧BE，則△CDF的面積為．#ZZ0118．△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，E是AC的中點(diǎn)，MN分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，D也是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，連接ED交⊙O于F，連接FM，MN，則FM+MN的最小值為．19．如圖，半徑為2的⊙O與正六邊形ABCDEF相切于點(diǎn)C，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為．20．正方形ABCD中，E是AD邊中點(diǎn)，連接CE，作∠BCE的平分線交AB于點(diǎn)F，則以下結(jié)論：①∠ECD＝30°，②△BCF的外接圓經(jīng)過點(diǎn)E；③四邊形AFCD的面積是△BCF面積的5倍；④BFAB=521．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（﹣5，2），M（﹣5，3），⊙P的半徑為1，直線l：y＝ax，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a＝1時(shí)，直線l與⊙P相離；②若直線l是⊙P的一條對(duì)稱軸，則a=?2③若直線l與⊙P只有一個(gè)公共點(diǎn)A，則OA＝27；④若直線l上存在點(diǎn)B，⊙P上存在點(diǎn)N，使得∠MBN＝90°，則a的最小值為?3其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是．22．已知矩形MNPQ的頂點(diǎn)M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，在點(diǎn)M從E移動(dòng)到D的過程中，下列對(duì)矩形MNPQ的判斷：①矩形MNPQ的面積與周長(zhǎng)保持不變；②矩形MNPQ的面積逐漸減少；③矩形MNPQ的周長(zhǎng)逐漸增大；④矩形MNPQ的對(duì)角線長(zhǎng)存在最小值．一定正確的是．（填序號(hào)）23．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半徑OA上，過點(diǎn)C作CD⊥AB交半圓O于點(diǎn)D．以CD，CA為邊分別向左、下作正方形CDEF，CAGH．過點(diǎn)B作GH的垂線與GH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)I，M為HI的中點(diǎn)．記正方形CDEF，CAGH，四邊形BCHI的面積分別為S1，S2，S3．（1）若AC：BC＝2：3，則S1S2（2）若D，O，M在同條直線上，則S1+S24．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，⊙D過A、B、C三點(diǎn)，P是⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PO，則2PC+5PO的最小值為25．已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12，圓C半徑為6，P為斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM、PN分別與圓C相切于M、N，連接MN交PC于點(diǎn)Q，則AQ的最小值為．

參考答案與試題解析一．填空題（共25小題）1．在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B(0，3)，過點(diǎn)B作直線BC∥x軸，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以AP為邊在AP右側(cè)作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：AQ＝1：2，連結(jié)AB、BQ，則△ABQ周長(zhǎng)的最小值為213【考點(diǎn)】圓周角定理；軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理的逆定理．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；應(yīng)用意識(shí)．【答案】213+【分析】設(shè)P（m，3）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．利用新三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)推出，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=?3x+53，作點(diǎn)A關(guān)于直線y=?3x+53的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交直線于Q′，連接AQ′，此時(shí)△【解答】解：∠APQ＝90°，且AP：AQ＝1：2，∴∠AQP＝30°．∴tan∠AQP=PA設(shè)P（m，3）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．∵∠AMP＝∠APQ＝∠QNP＝90°，∴∠APM+∠NPQ＝90°，∠NPQ+∠PQN＝90°，∴∠APM＝∠PQN，∴△AMP∽△PNQ，∴AMPN∴3PN∴PN＝3，NQ=3（m∴Q（m+3，23?3∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是y=?3x+53作點(diǎn)A關(guān)于直線y=?3x+53的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交直線于Q′，連接AQ′，此時(shí)△ABQ∵A′（7，23），B（0，3），A（1，0），∴A′B=72+(3)2∴△ABQ的周長(zhǎng)的最小值＝AQ′+BQ′+AB＝A′Q′+BQ′+AB＝A′B+AB＝213+故答案為：213+【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考填空題中的壓軸題．2．如圖，以G（0，1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，則弦AB的長(zhǎng)度為23；當(dāng)點(diǎn)E在⊙G的運(yùn)動(dòng)過程中，線段FG的長(zhǎng)度的最小值為3?1【考點(diǎn)】垂徑定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】作GM⊥AC于M，連接AG．因?yàn)椤螦FC＝90°，推出點(diǎn)F在以AC為直徑的⊙M上推出當(dāng)點(diǎn)F在MG的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)G的長(zhǎng)最小，最小值＝FM﹣GM，想辦法求出FM、GM即可解決問題；【解答】解：作GM⊥AC于M，連接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，∴AG＝2OG，OA=2∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝23，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝23，MG=12∵∠AFC＝90°，∴點(diǎn)F在以AC為直徑的⊙M上，當(dāng)點(diǎn)F在MG的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)G的長(zhǎng)最小，最小值＝FM﹣GM=3故答案為23，3?【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、直角三角形30度角的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．3．點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，連AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，若AI＝2CD，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，則IE的長(zhǎng)為4．【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】延長(zhǎng)ID到M，使得DM＝ID，連接CM．想辦法求出CM，證明IE是△ACM的中位線即可解決問題；【解答】解：延長(zhǎng)ID到M，使得DM＝ID，連接CM．∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∠BCD＝∠IAB，∴∠DIC＝∠DCI，∴DI＝DC＝DM，∴∠ICM＝90°，∴CM=I∵AI＝2CD＝10，∴AI＝IM，∵AE＝EC，∴IE=12故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、三角形的中位線定理、直角三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題．4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，I為△ABC的內(nèi)心，連接OI，AI，BI．若OI⊥BI，OI＝1，則AB的長(zhǎng)為25．【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形中位線定理；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【專題】計(jì)算題；幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】25．【分析】延長(zhǎng)BI交⊙O于M點(diǎn)，連接MA，通過中位線定理可求出AM的長(zhǎng)，再通過角的關(guān)系可求得∠MIA＝45°，進(jìn)而求證直角三角形MAI為等腰直角三角形，求得MI的長(zhǎng)，MB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)．【解答】解：延長(zhǎng)BI交⊙O于M點(diǎn)，連接MA，在△ABM中斜邊AB經(jīng)過圓心O，∴∠AMB＝90°，又∵BI⊥OI，AO＝OB，∴OI為△AMB的中位線，∴AM＝2OI＝2，在Rt△ABC中，I為三個(gè)角平分線的交點(diǎn)∴∠IAB+∠IBA＝45°，即∠MIA＝45°（三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系），∴Rt△MAI為等腰直角三角形，∴MA＝MI＝IB＝2，根據(jù)勾股定理可得，AB2＝MA2+MB2＝22+42＝20，即AB＝25，故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線，三角形內(nèi)切圓圓心，直角三角形以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，三角形內(nèi)切圓圓心，直角三角形性質(zhì)以及勾股定理．5．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD．過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，則BE的最小值是13?2【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形三邊關(guān)系；勾股定理．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，連接BO′、BC．在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O′、E、B共線時(shí)，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解決問題．【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)O′，連接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC=A在Rt△BCO′中，BO′=B∵O′E+BE≥O′B，∴當(dāng)O′、E、B共線時(shí)，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E=13故答案為：13?【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定等E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，屬于中考填空題中壓軸題．6．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CM為直徑的圓與BM相交于點(diǎn)Q，P為CD上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，PQ，則AP+PQ的最小值是213?2【考點(diǎn)】垂徑定理；軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；正方形的性質(zhì)．【專題】幾何動(dòng)點(diǎn)問題；動(dòng)點(diǎn)型；數(shù)形結(jié)合；幾何直觀；推理能力．【答案】213【分析】AP+PQ中，A點(diǎn)是定點(diǎn)，P，Q是動(dòng)點(diǎn)，P在線段DC上，想到將軍飲馬，Q在以BC為直徑的圓上，最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓最值問題．【解答】解：連接CQ，以CD為一條邊在右側(cè)作正方形CDEF，則∠MQC＝90°，∴∠BQC＝90°，∴點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP，∴△ADP≌△EDP（SAS），∴AP＝EP，∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON=OF2+EF∴AP+PQ的最小值為213故答案為：213【點(diǎn)評(píng)】本題考查了將軍飲馬、隱圓、點(diǎn)圓最值問題，關(guān)鍵是找出定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，以及動(dòng)點(diǎn)在什么圖形上運(yùn)動(dòng)．7．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直徑，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A′B′C′D′，且AD′交⊙O于點(diǎn)E，AB′交⊙O于點(diǎn)F，D′C′與⊙O相切于點(diǎn)M．下列說法正確的有①②③④．（只填寫序號(hào)）①AE＝4，②AE=EM=MB，③AF=43【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；壓軸題；推理填空題；矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】①②③④．【分析】連接OE，OM，過點(diǎn)O作ON⊥AD′于點(diǎn)N，可得四邊形OMD′N是矩形，證明OM＝ND′＝4，根據(jù)OA＝OE，ON⊥AD′，可得AN＝EN＝2，進(jìn)而可以判斷①正確；證明△OAE是等邊三角形，可得∠EOM＝60°，∠BOM＝60°，進(jìn)而可以判斷②正確；連接BF，根據(jù)AB是⊙O的直徑，可得∠AFB＝90°，利用含30度角的直角三角形即可判斷③正確；根據(jù)∠DAB＝90°，∠D′AO＝60°，即可判斷④正確．【解答】解：如圖，連接OE，OM，過點(diǎn)O作ON⊥AD′于點(diǎn)N，∵D′C′與⊙O相切于點(diǎn)M，∴OM⊥C′D′，∴四邊形OMD′N是矩形，∴OM＝ND′，∵AB＝8，AB是⊙O的直徑，∴OM＝ND′＝4，在矩形ABCD中，由旋轉(zhuǎn)可知：AD′＝AD＝6，∴AN＝AD′﹣ND′＝6﹣4＝2，∵OA＝OE，ON⊥AD′，∴AN＝EN＝2，∴AE＝4，故①正確；∵AE＝AO＝OE＝4，∴△OAE是等邊三角形，∴∠AOE＝∠OEA＝60°，∴∠OED′＝120°，∵∠D′＝∠OMD′＝90°，∴∠EOM＝60°，∴∠BOM＝60°，∴AE=EM=如圖，連接BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∵∠EAO＝60°，∠D′AB′＝90°，∴∠BAF＝30°，∴BF=12∴AF=3BF＝43，故③∵∠DAB＝90°，∠D′AO＝60°，∠DAD′＝30°，故④正確．綜上所述：正確的有①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何綜合題，是中考選擇題的壓軸題，考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是得到△OAE是等邊三角形．8．如圖，AB為⊙O的直徑，CD、CB為⊙O的切線，D、B為切點(diǎn)，連接AD、BD，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE交BD于G，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，以下結(jié)論：①AD∥OC；②點(diǎn)E為△CDB的內(nèi)心；③FC＝FE；④EG＝FE；⑤∠CFE＝∠AGB．其中正確的有①②④⑤．【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；垂徑定理；圓周角定理；切線的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】①②④⑤．【分析】如圖所示，連接OD，DE，EB，先證明Rt△CDO≌Rt△CBO（HL），得到∠COD＝∠COB，再由圓周角定理得到∠COB=∠DAB=12∠DOB即可判斷①；根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠DOC+∠DCO＝90°＝∠ODE+∠CDE，進(jìn)而推出∠BDE=12∠BOE則DE是∠CDB的角平分線，同理可證得BE是∠CBD的平分線，即可判斷②；若FC＝FE，則應(yīng)有∠OCB＝∠CEF，應(yīng)∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠OCB，進(jìn)而推出∠COB＝60°而∠COB的度數(shù)不一定是60度，即可判斷③；由E為△CBD的內(nèi)心，推出BE是∠FBG的角平分線，證明△FEB≌△【解答】解：如圖，連接OD，DE，EB，∵CD、BC是⊙O的切線，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，∵OC＝OC，∴Rt△CDO≌Rt△CBO（HL），∴∠COD＝∠COB，∴∠COB=∠DAB=1∴AD∥OC，故①正確；∵CD是⊙O的切線，∴∠ODC＝90°，∴∠DOC+∠DCO＝90°＝∠ODE+∠CDE，∵OD＝OE，∴2∠ODE+∠DOC＝180°∴∠CDE=1∵∠BDE=1∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分線，同理可證得BE是∠CBD的平分線，∴E為△CBD的內(nèi)心，故②正確；若FC＝FE，則應(yīng)有∠OCB＝∠CEF，應(yīng)有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠OCB，∴∠COB＝∠OAE+∠OEA＝2∠OCB，∴∠COB＝60°，而∠COB的度數(shù)不一定是60度，故③不正確；∵E為△CBD的內(nèi)心，∴BE是∠FBG的角平分線，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，即BE⊥FG，∴△FEB≌△GEB（ASA），∴EG＝FE，BG＝BF，故④正確；∵BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG，∴∠CFE＝∠AGB，故⑤正確；因此正確的結(jié)論有：①②④⑤．故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，內(nèi)心的概念，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AD，BE＝3，BD＝35．P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為6或230．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】6或230．【分析】連接OD，DE，根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理求出OD＝6，然后分三種情況討論：①當(dāng)AP＝PD時(shí)，此時(shí)P與O重合，②如圖2，當(dāng)AP′＝AD時(shí)，③如圖3，當(dāng)DP′′＝AD時(shí)，分別進(jìn)行求解即可．【解答】解：如圖1，連接OD，DE，∵半圓O與BC相切于點(diǎn)D，∴OD⊥BC，在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝35．∴OB2＝BD2+OD2，∴（OD+3）2＝（35）2+OD2，解得OD＝6，∴AO＝EO＝OD＝6，①當(dāng)AP＝PD時(shí)，此時(shí)P與O重合，∴AP＝AO＝6；②如圖2，當(dāng)AP′＝AD時(shí)，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴ODAC∴6AC∴AC＝10，CD＝25，∴AD=AC2∴AP′＝AD＝230；③如圖3，當(dāng)DP′′＝AD時(shí)，∵AD＝230，∴DP′′＝AD＝230，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，∴AH＝P″H，DH＝DC＝25，∵AD＝AD，∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL），∴AH＝AC＝10，∴AH＝AC＝P″H＝10，∴AP″＝2AH＝20（P為AB邊上一點(diǎn)，不符合題意，舍去），綜上所述：當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為6或230．故答案為：6或230．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想．10．如圖，∠ACB＝60°，半徑為2的⊙O與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)t＝PE+2PF，則t的取值范圍是6﹣23≤t≤6+23【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】6﹣23≤t≤6+23【分析】設(shè)半徑為2的⊙O與角的兩邊相切于M，N，連接OM，ON，延長(zhǎng)NO交CB于D，求得∠CND＝∠OMD＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠CDN＝30°，求得OD，得到CN=33DN，如圖1，延長(zhǎng)EP交BC于Q，推出△ECQ與△PFQ是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE＝EQ，PQ＝2PF，求得t＝PE+2PF＝PE+PQ＝EQ，當(dāng)EQ與⊙O相切且點(diǎn)P在圓心的右側(cè)時(shí)，t有最大值，連接OP，則四邊形ENOP是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EN＝OP＝2，求得t；如圖2，當(dāng)EQ與⊙O相切且點(diǎn)P在圓心的，左側(cè)時(shí)，t有最小值，同理可得【解答】解：設(shè)半徑為2的⊙O與角的兩邊相切于M，N，如圖1，連接OM，ON，延長(zhǎng)NO交CB于D，∴∠CND＝∠OMD＝90°，∵∠ACB＝60°，∴△CND是直角三角形，∴∠CDN＝30°，∵ON＝OM＝2，∴OD＝4，∴DN＝OD+ON＝4+2＝6，∴CN=33DN＝2如圖1，延長(zhǎng)EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠EQC＝30°，∴△ECQ與△PFQ是直角三角形，∴3CE＝EQ，PQ＝2PF，∴t＝PE+2PF＝PE+PQ＝EQ，當(dāng)EQ與⊙O相切且點(diǎn)P在圓心的右側(cè)時(shí)，t有最大值，連接OP，則四邊形ENOP是正方形，∴EN＝OP＝2，CN＝CM＝23，∴t＝PE+2PF＝PE+PQ＝EQ=3CE=3（CN+EN）=3（23如圖2，當(dāng)EQ與⊙O相切且點(diǎn)P在圓心的左側(cè)時(shí)，t有最小值，同理可得t＝PE+2PF＝PE+PQ＝EQ=3CE=3（CN﹣EN）=3（23故t的取值范圍是6﹣23≤t≤6+23故答案為：6﹣23≤t≤6+23【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．如圖，等腰△ABC中，底邊BC長(zhǎng)為10，腰長(zhǎng)為7，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的平行線與過A、B、D三點(diǎn)的圓交于點(diǎn)E，連接DE，則DE的最小值是26．#ZZ01【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；應(yīng)用意識(shí)．【答案】26．【分析】如圖，連接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先證明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O的半徑最小時(shí)，DE的值最小，推出當(dāng)AB是直徑時(shí)，DE的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D，連接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．∵BE∥AC，∴∠EBC+∠C＝180°，∵∠EBC+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠EOD＝2∠EAD，∴∠EOD＝2∠C＝定值，∴⊙O的半徑最小時(shí)，DE的值最小，∴當(dāng)AB是⊙O的直徑時(shí)，DE的值最小，∵AB＝AC＝7，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝5，∴AJ=AC2∵OK⊥DE，∴EK＝DK，∵AB＝7，∴OE＝OD＝3.5，∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，∴sin∠EOK＝sin∠C=AJ∴EK3.5∴EK=6∴DE＝26，∴DE的最小值為26，故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓，解直角三角形，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．12．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝6，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論正確的①②．（填序號(hào)）①CE＝CF；②當(dāng)EF∥AB時(shí)，點(diǎn)F恰好落在弧BC上；③當(dāng)EF與半圓相切時(shí)，AD＝2；④當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是63【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；軸對(duì)稱的性質(zhì)；圓周角定理；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；幾何直觀；推理能力．【答案】①②．【分析】①由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE＝CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE＝CF，②利用三角形的中位線的判定方法得到△FBD等邊三角形，只需證明∠AFB＝90°，就能得出結(jié)論，③連接OC，OD，易證△AOC是等邊三角形，AD＝OD，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AD長(zhǎng)，④首先根據(jù)對(duì)稱性確定線段EF掃過的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系，就可求出線段EF掃過的面積．【解答】解：①連接CD，如圖1所示：∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF，故①正確，②連接FB、CO、CD，如圖2所示：∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴ED⊥AC，∴∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠ACB＝90°，∴ED∥BC，∵EC＝CF∴FH＝DH，∵DE∥BC，∴∠FHC＝∠FDE＝90°，∴BC是DF的垂直平分線，∴BF＝BD，CF＝CD，∴∠FBH＝∠DBH＝30°，∴∠FBD＝60°，∴△FDB是等邊三角形，∴∠FDB＝60°，∵EF∥AB，∴∠CFB＝∠FDBC＝60°，∴△FDC是等邊三角形，∴DC＝DF∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠FBA＝90°，∵OA＝OC，∠FBA＝30°，∴∠A＝∠ACO＝60°，∴△OAC是等邊三角形又∵EF∥AB，EG＝GD，∴CG＝AG，∵AC⊥ED，∴DA＝DC，∴DAC是等邊三角形，∴點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，即：OF與DF重合，∴DF＝OF＝OA∴點(diǎn)F恰好落在弧BC上，故②正確，③連接OC，CD，如圖3所示：∵EF與半圓相切，∴OC⊥EF，∴∠ECO＝90°，∴∠ECA+∠ACO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OA＝OC，∠B＝30°，∴∠A＝∠ACO＝60°，∴△OAC是等邊三角形，∠ECA＝∠B＝30°，∴AC＝OA=12∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴∠ECA＝∠DCA＝30°，∴∠A+∠DCA＝90°，∴AD=12AC故③錯(cuò)誤，④∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AB關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NB與AB關(guān)于BC對(duì)稱．∴EF掃過的圖形面積就是圖4中△MAC和△NCB面積，∴S△MAC+△NCB＝2S△ABC＝2×12×＝AC?BC＝3×33＝93，∴EF掃過的面積為93，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)幾何綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定、切線的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30°角的直角三角形判定和性質(zhì)、求圖形面積等知識(shí)，熟練掌握幾何圖形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，直線l經(jīng)過△ABC的內(nèi)心O，過點(diǎn)C作CD⊥l，垂足為D，連接AD，則AD的最小值是22．【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；勾股定理．【專題】推理填空題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】22．【分析】圓O與Rt△ABC三邊的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，連接OE，OF，OG，先根據(jù)圓O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，求出正方形CEOF的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)勾股定理可得OC=2，連接AQ，過點(diǎn)Q作QP⊥AC于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段QA上時(shí)，AD【解答】解：如圖，圓O與Rt△ABC三邊的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，連接OE，OF，OG，∵圓O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴CE＝CF，BE＝BG，AF＝AG，AB=3∴四邊形CEOF是正方形，設(shè)正方形CEOF的邊長(zhǎng)為x，則BE＝BG＝3﹣x，AF＝AG＝4﹣x，根據(jù)題意，得3﹣x+4﹣x＝5，解得x＝1，∴OC=1∵CD⊥l，∴∠CDO＝90°，∴點(diǎn)D在以O(shè)C為直徑的圓Q上，如圖，連接AQ，過點(diǎn)Q作QP⊥AC于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段QA上時(shí)，AD取得最小值，∴CP＝QP=1∴AP＝AC﹣CP＝4?12=72，圓∴QA=Q∴AD的最小值為AQ﹣QD=522故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心．14．已知⊙O半徑為4，點(diǎn)A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B=21313，則線段OC的最大值為【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，連接OA，OB，作AD⊥OA，使得∠ADO＝∠ABC．利用相似三角形的性質(zhì)證明OC=23BD，求出【解答】解：如圖，連接OA，OB，作AD⊥OA，使得∠ADO＝∠ABC．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴sin∠ABC=AC設(shè)AC＝213k，BC＝13k，則AB＝313k，∵∠ADO＝∠ABC，∠DAO＝∠BAC＝90°，∴△DAO∽△BAC，∴ADAB∵∠DAO＝∠BAC，∴∠DAB＝∠OAC，∴△DAB∽△OAC，∴BDOC∴OC=23在Rt△ADO中，∵∠DAO＝90°，∴sin∠ADO=OA∵OA＝OB＝4，∴OD＝213，∵OD﹣OB≤BD≤OD+OB，∴213?4≤BD≤213∴BD的最大值為213+∴OC的最大值=4故答案為413【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．15．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB＝4，∠CBA＝30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠F＝30°；②CE＝CF；③線段EF的最小值為23；④當(dāng)AD＝1時(shí)，EF與半圓相切；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是83．其中正確的結(jié)論的序號(hào)為②③④．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；軸對(duì)稱的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；圓周角定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】壓軸題；推理能力．【答案】②③④．【分析】（1）由對(duì)稱證明出∠F＝∠CDF，得到只有當(dāng)CD⊥AB時(shí)，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°；（2）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE＝CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE＝CF；（3）根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時(shí)CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值；（4）連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD＝OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO＝90°，從而得到EF與半圓相切；（5）首先根據(jù)對(duì)稱性確定線段EF掃過的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系，就可求出線段EF掃過的面積．【解答】解：①連接CD，如圖1所示．∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．只有當(dāng)CD⊥AB時(shí)，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①錯(cuò)誤；②又∵∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF．故②正確；③當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖2所示．∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝4，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝23，∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD=12BC根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為3．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴線段EF的最小值為23．故③正確；④當(dāng)AD＝1時(shí)，連接OC，如圖3所示，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等邊三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝2，AD＝1，∴DO＝1．∴AD＝DO，∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，∴∠ECA＝∠DCA，∴∠ECA＝30°，∴∠ECO＝90°，∴OC⊥EF，∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，∴EF與半圓相切．故④正確；⑤∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AB關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NB與AB關(guān)于BC對(duì)稱．∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分．∴S陰影＝2S△ABC＝2×12?AC?BC＝43．故故答案為②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、垂線段最短等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，第五個(gè)問題解題的關(guān)鍵是通過特殊點(diǎn)探究EF的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考?jí)狠S題．16．如圖，半圓O的直徑DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)D、E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8cm．當(dāng)t＝1s，4s，7s時(shí)，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．【考點(diǎn)】切線的判定；含30度角的直角三角形；圓周角定理．【專題】推理填空題；動(dòng)點(diǎn)型；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】1s，4s，7s．【分析】分4種情況討論：①當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合是時(shí)；②當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到AC右側(cè)與AC相切時(shí)；③過C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)，當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時(shí)，圓心O到AB的距離等于6cm，且圓心O又在直線BC上，即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝4．【解答】解：①當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合是時(shí)，∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，此時(shí)AC與半圓O所在的圓相切，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了2cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝2÷2＝1（s）；②當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到AC右側(cè)與AC相切時(shí)，此時(shí)OC＝6cm，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的距離為8+6＝14（cm），所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝14÷2＝7（s）；③如圖1，過C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)；∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，∴FO＝6cm；當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時(shí)，∵圓心O到AB的距離等于6cm，且圓心O又在直線BC上，∴O與C重合，即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切；此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝8÷2＝4（s），當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB＝12cm時(shí)，如圖2，過點(diǎn)O作OQ⊥直線AB，垂足為Q．在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，則OQ＝6cm，即OQ與半圓O所在的圓相切．此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了32cm．所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t＝32÷2＝16s，綜上可知當(dāng)t的值為1s或4s或7秒或16s時(shí)，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．因?yàn)閳A心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，所以此種情況不符合題意舍去，故答案為：1s，4s，7s．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定，含30度角的直角三角形，直線與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是利用時(shí)間t來表示線段之間的關(guān)系是動(dòng)點(diǎn)問題中是常用的方法之一，要會(huì)靈活運(yùn)用．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O與x軸正半軸，y軸負(fù)半軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C（﹣2，2）在⊙O上，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，連結(jié)CD并延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)F在x軸的正半軸上，聯(lián)結(jié)DF，CF交⊙O于點(diǎn)G，若弧AG＝弧BE，則△CDF的面積為4+52．#ZZ01【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】4+52．【分析】先求出∠ECF＝45°，再過D作DH⊥CF，構(gòu)造一線三直角模型，求出點(diǎn)H，由C、D兩點(diǎn)確定直線CD的表達(dá)式，求出點(diǎn)K，由C、H兩點(diǎn)確定直線CF的表達(dá)式，求出點(diǎn)F，最后利用S△CDF＝S△CKF+S△DK求．【解答】解：過D作DH⊥CF，垂足為H，過H作MN∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q，過C作CM⊥MN，垂足為M，過D作DN⊥MN，垂足為N，設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)K，CM交y軸于點(diǎn)P，∵AG=∴EG=∵∠BOA＝90°，∴∠ECF＝45°，∴HC＝HD，∵點(diǎn)C（﹣2，2），∴OC＝22，∴OB＝22，∴OD=2∴D（0，?2設(shè)直線CD的表達(dá)式為y＝kx?2，代入點(diǎn)C（﹣2，2）得k＝﹣1?∴y＝（﹣1?22）x?2，令y＝0得x∴OK＝22?∵∠HCM+∠CHM＝90°，∠DHN+∠CHM＝90°，∴∠HCM＝∠DHN，∵∠CMH＝∠HND，CH＝HD，∴△CMH≌△HND（AAS），∴CM＝HN，MH＝DN，∴MN＝MH+HN＝DN+CM＝DN+CP+PM＝DN+2+DN＝2DN+2，∵M(jìn)N＝PD＝PO+OD＝2+2∴2DN+2＝2+2∴DN=2∴OQ=2∴QH＝HN﹣QN＝CM﹣OD＝2+22?∴H（22，2?設(shè)直線CH的表達(dá)式為y＝mx+n，代入點(diǎn)C（﹣2，2）、H（22，2?22∴m=1?2∴y=1?227x+16?427，令∴OF＝42，∴KF＝OK+OF＝22?2+42=6∴S△CDF＝S△CKF+S△DKF=12×KF×2+12×KF×2=62?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)表達(dá)式的求法，結(jié)合了一線三直角模型求點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是確定∠ECF＝45°．18．△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，E是AC的中點(diǎn)，MN分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，D也是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，連接ED交⊙O于F，連接FM，MN，則FM+MN的最小值為92【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】幾何綜合題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】92【分析】連接CF，根據(jù)圓周角定理可得∠CFD＝90°，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，可得FG=12CE，以CE為直徑作圓G，可得點(diǎn)F在圓G上，將△ABC沿AB對(duì)折得到△ABC′，過點(diǎn)G作GN″⊥BC′于點(diǎn)N″，交AB于點(diǎn)M，交圓G于點(diǎn)F，此時(shí)GN″最短，所以FM+MN＝FM+MN″＝FN″最小，延長(zhǎng)BC，B″G交于點(diǎn)P，可得∠【解答】解：如圖，連接CF，∵CD⊙O為直徑，∴∠CFD＝90°，∴∠CFE＝90°，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，∴FG=12∵AC＝4，E是AC的中點(diǎn)，∴CE＝AE=12∴CG＝FG＝1，以CE為直徑作圓G，∴點(diǎn)F在圓G上，將△ABC沿AB對(duì)折得到△ABC′，過點(diǎn)G作GN″⊥BC′于點(diǎn)N″，交AB于點(diǎn)M，交圓G于點(diǎn)F，此時(shí)GN″最短，∴FM+MN＝FM+MN″＝FN″最小，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴BC=3AC＝43，∠CBC延長(zhǎng)BC，B″G交于點(diǎn)P，∵∠PN″B＝90°，∴∠BPN″＝30°，∵CG＝1，∴PG＝2，∴CP=3∴BP＝43+3=∴BN″=5∴PN″=3BN″=∴FN″=152?∴FM+MN的最小值為92故答案為：92【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓的綜合題，考查了翻折變換，最短距離問題，含30度角的直角三角形，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．19．如圖，半徑為2的⊙O與正六邊形ABCDEF相切于點(diǎn)C，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為1334【考點(diǎn)】正多邊形和圓；扇形面積的計(jì)算；切線的性質(zhì)．【專題】推理填空題；正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】133【分析】連接OC，OF，CF，過點(diǎn)O作OH⊥DE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DM⊥CF于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥CF于點(diǎn)N，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)證明CF＝2CG＝23，可得CD＝2CM，EF＝2FN，列式計(jì)算得4CM＝23，所以CM=32，根據(jù)陰影部分的面積＝S梯形CDEF+S△COF﹣S扇形【解答】解：如圖，連接OC，OF，CF，過點(diǎn)O作OH⊥DE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DM⊥CF于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥CF于點(diǎn)N，∵半徑為2的⊙O與正六邊形ABCDEF相切于點(diǎn)C，F(xiàn)，∴OC⊥CD，OF⊥EF，∴∠OCD＝∠OFE＝90°，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝∠DCF=12∴∠OCF＝30°，∵OC＝OF，∴∠COF＝120°，∵CF∥DE，OH⊥DE，∴OG⊥CF，∴OG=12∴CG=3∴CF＝2CG＝23，∵∠DCF＝60°，CD＝2CM，同理：EF＝2FN，∵CD＝EF＝DE＝MN，∴CM＝FN，∵CM+MN+NF＝CF，∴4CM＝23，∴CM=3∴CD=3∴DM=3CM=∴S梯形CDEF=12（DE+CF）?DM=12（3+∵S扇形COF=120π×22360=4π3，S△COF=12∴陰影部分的面積＝S梯形CDEF+S△COF﹣S扇形COF=9故答案為：133【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握正多邊形和圓的性質(zhì)．20．正方形ABCD中，E是AD邊中點(diǎn)，連接CE，作∠BCE的平分線交AB于點(diǎn)F，則以下結(jié)論：①∠ECD＝30°，②△BCF的外接圓經(jīng)過點(diǎn)E；③四邊形AFCD的面積是△BCF面積的5倍；④BFAB=5?12【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；角平分線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】③④．【分析】根據(jù)tan∠ECD=12≠33，可判斷出①不正確；延長(zhǎng)CF交DA的延長(zhǎng)線于G，不妨正方形的邊長(zhǎng)為2，可證得∠G＝∠BCF，△AGF∽△BCF，進(jìn)而計(jì)算求得AG，AF，BF，進(jìn)而求得EF，從而判斷出②④，計(jì)算△BCF【解答】解：∵∠D＝90°，∴tan∠ECD=DE∴∠ECD≠30°，故①不正確；如圖，延長(zhǎng)CF交DA的延長(zhǎng)線于G，不妨正方形的邊長(zhǎng)為2，∴CE=D∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠G＝∠BCF，△AGF∽△BCF，∴BFAF∵CF平分∠BCE，∴∠BCF＝∠ECF，∴∠G＝∠ECF，∴GE＝CE=5∴AG＝GE﹣AE=5∴BFAF∴BFAF+BF∴BFAB∴④正確，∴BF=5∴AF＝AF﹣BF＝2﹣（5?1）＝3?∴EF2＝AF2+AE2＝（3?5）2+1＝15﹣65∵BF2＝（5?1）2＝6﹣25∴EF≠BF，∴∠CEF≠∠B＝90°，故②不正確，∵S△BCF=1S正方形ABCD＝4，∴S四邊形AFCD＝4﹣（5?1）＝5?5=∴四邊形AFCD的面積是△BCF面積的5倍，故③正確，故答案為：③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（﹣5，2），M（﹣5，3），⊙P的半徑為1，直線l：y＝ax，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a＝1時(shí)，直線l與⊙P相離；②若直線l是⊙P的一條對(duì)稱軸，則a=?2③若直線l與⊙P只有一個(gè)公共點(diǎn)A，則OA＝27；④若直線l上存在點(diǎn)B，⊙P上存在點(diǎn)N，使得∠MBN＝90°，則a的最小值為?3其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是①②③④．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】推理填空題；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】①②③④．【分析】①根據(jù)P（﹣5，2），M（﹣5，3），⊙P的半徑為1，當(dāng)a＝1時(shí)，直線l：y＝x，根據(jù)直線和圓的關(guān)系進(jìn)而可以判斷；②直線l是⊙P的一條對(duì)稱軸，則直線l一定過圓心，所以將P（﹣5，2）代入y＝ax，即可進(jìn)行判斷；③若直線l與⊙P只有一個(gè)公共點(diǎn)A，則直線l與圓P相切，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可判斷；④直線l上存在點(diǎn)B，⊙P上存在點(diǎn)N，使得∠MBN＝90°，并使y＝ax中a取得最小值，則BM⊥y軸，BN⊥x軸時(shí)，即B（﹣4，3），代入y＝ax，求出a的值，即可判斷．【解答】解：①∵點(diǎn)P（﹣5，2），M（﹣5，3），⊙P的半徑為1，當(dāng)a＝1時(shí)，直線l：y＝x，如圖，直線l1與⊙P相離，故①正確；②若直線l是⊙P的一條對(duì)稱軸，則直線l一定過圓心，所以將P（﹣5，2）代入y＝ax，得a=?25，故③若直線l與⊙P只有一個(gè)公共點(diǎn)A，則直線l與圓P相切，如圖中的l2，l3，則OP=5∵直線l2，l3與圓P相切，∴PA⊥l2，PB⊥l3，∵⊙P的半徑為1，∴OB＝OA=OP2?BP④若直線l上存在點(diǎn)B，⊙P上存在點(diǎn)N，使得∠MBN＝90°，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)N（﹣4，2），a＜?3則a的最小值是?34，故∴正確的結(jié)論序號(hào)是：①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系．22．已知矩形MNPQ的頂點(diǎn)M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，在點(diǎn)M從E移動(dòng)到D的過程中，下列對(duì)矩形MNPQ的判斷：①矩形MNPQ的面積與周長(zhǎng)保持不變；②矩形MNPQ的面積逐漸減少；③矩形MNPQ的周長(zhǎng)逐漸增大；④矩形MNPQ的對(duì)角線長(zhǎng)存在最小值．一定正確的是②④．（填序號(hào)）【考點(diǎn)】正多邊形和圓；矩形的性質(zhì)．【專題】代數(shù)幾何綜合題；推理填空題；一次函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；矩形菱形正方形；正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】以EF的對(duì)稱軸為y軸，AD所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，連接OE，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得E（1，3），D（2，0），設(shè)ED解析式為y＝kx+b，代入值可得ED解析式為y=?3x+23，根據(jù)M在ED上，設(shè)M（x，y）（1≤x2），根據(jù)矩形MNPQ，點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，可得N（﹣x，y），點(diǎn)M和點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，可得Q（x，﹣y），所以MN＝2x，MQ＝2y，然后表示矩形MNPQ【解答】解：∵正六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱圖形，∴以EF的對(duì)稱軸為y軸，AD所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2，連接OE，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，∴OE＝2，∠EOH＝60°，∴OH＝1，EH=3∴E（1，3），D（2，0），設(shè)ED解析式為y＝kx+b，k+b=3解得k=?3∴ED解析式為y=?3x+23∵M(jìn)在ED上，設(shè)M（x，y）（1≤x≤2），矩形MNPQ中，點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，∴N（﹣x，y），∵點(diǎn)M和點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，∴Q（x，﹣y），∴MN＝2x，MQ＝2y，∴矩形MNPQ周長(zhǎng)C＝2（MN+MQ）＝2（2x+2y）＝4x+4（?3x+23）＝﹣4（3?1）x+8∵﹣4（3?∴C的值隨x的增大而減小，點(diǎn)M從E移動(dòng)到D的過程中，x不斷增大，故周長(zhǎng)C會(huì)逐漸減小，故①③錯(cuò)誤；∵矩形MNPQ的面積S＝MN?MQ＝2x×2（?3x+23）＝﹣43x2+83x＝﹣43（x﹣1）2+43∵﹣43＜∴拋物線開口向下，當(dāng)x＞1時(shí)，S隨x的增大而減小，故矩形的面積S逐漸減小，故②正確；∵矩形MNPQ的對(duì)角線PM2＝MN2+NP2＝MN2+MQ2＝（2x）2+[2（?3x+23）]2＝16x2﹣48x+48＝16（x?32∴當(dāng)x=32時(shí)，PM2有最小值，此時(shí)，對(duì)角線PM最小，故綜上所述：②④．故答案為：②④．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于代數(shù)幾何綜合題，是中考填空題的壓軸題，考查了正多邊形和圓，矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的性質(zhì)．23．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半徑OA上，過點(diǎn)C作CD⊥AB交半圓O于點(diǎn)D．以CD，CA為邊分別向左、下作正方形CDEF，CAGH．過點(diǎn)B作GH的垂線與GH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)I，M為HI的中點(diǎn)．記正方形CDEF，CAGH，四邊形BCHI的面積分別為S1，S2，S3．（1）若AC：BC＝2：3，則S1S2的值為（2）若D，O，M在同條直線上，則S1+S2S【考點(diǎn)】圓周角定理；正方形的性質(zhì)；垂徑定理．【專題】矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的計(jì)算；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)AC＝2k，BC＝3k，利用相似三角形的性質(zhì)求出CD2即可解決問題．（2）當(dāng)D．O．M共線時(shí)，設(shè)CD＝a，AC＝b，由CD2＝AC?BC，推出BC=a2b，推出AB＝b+a2b=a2+b2b，CO＝OA﹣AC=a2?b22b，HM＝MI=12HL【解答】解：（1）如圖，利用AD，BD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵DC⊥AB，∴∠ACD＝∠DCB＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠DAC，∴△ACD∽△DCB，∴CD：CB＝AC：CD，∵AC：CB＝2：3，∴可以假設(shè)AC＝2k，BC＝3k，∴CD2＝6k2，∴S1故答案為32（2）當(dāng)D．O．M共線時(shí)，設(shè)CD＝a，AC＝b，∵CD2＝AC?BC，∴BC=a∴AB＝b+a2b=a2+b2b，CO＝OA﹣AC=∵CO∥HM，∴DCDH∴aa+b整理得：（ba）[（ba）2∵ba∴ba=5∵S1+S2S∴S1故答案為5?5【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．24．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，⊙D過A、B、C三點(diǎn)，P是⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PO，則2PC+5PO的最小值為35【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力；模型思想．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】2PC+5PO=2（PC+52PO），然后構(gòu)造52PO，因?yàn)镈P=5，OD=2，所以DP2＝OD?522，所以在DO的延長(zhǎng)線上截取DE【解答】解：如圖，由﹣x2+2x+3＝0得，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴OC＝3，∴C（0，3），∴可得圓心D（1，1），∴AD＝CD＝BD=5，OD=延長(zhǎng)DO至E，使DE=522，連接PE，作EF⊥OC于F∴PDOD=5∴PDOD∵∠D是公共角，∴△EDP∽△PDO，∴PEOP∴PE=52∴PC+52OP＝PC+∴當(dāng)E、P、C共線時(shí)，PC+52OP最?。健逥E=522，∴OE=5∴EF＝OF＝OE?sin∠EOF=3在Rt△CEF中，EF=32，CF＝OF+OC∴CE=E∴PC+52OP最小值是∴2PC+5OP=2（PC+52OP）最小值是故答案是35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“阿氏圓”問題，即形如“PA+k?PB”的最值問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．25．已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12，圓C半徑為6，P為斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM、PN分別與圓C相切于M、N，連接MN交PC于點(diǎn)Q，則AQ的最小值為62．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】62．【分析】過點(diǎn)A作⊙C的切線AE和AF，連接EF，交AC于G，同樣過點(diǎn)B作⊙C的切線，得出等同于點(diǎn)G的H點(diǎn)，連接CE，證明△CGE∽△CEA，從而CEAC=CGCE，進(jìn)而得出CG?AC＝CE2＝62＝36，同理可得，CH?CB＝36，PQ?PC＝CN2＝36，從而CQ?PC＝CG?AC，進(jìn)而得出△CGQ∽△CAP，從而∠CQG＝∠BAC＝45°，同理可得，∠CQH＝∠B＝45°，從而∠GQH＝∠CQG+∠CQH＝90°，點(diǎn)Q在以【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作⊙C的切線AE和AF，連接EF，交AC于G，同樣過點(diǎn)B作⊙C的切線，得出等同于點(diǎn)G的H點(diǎn)，連接CE，∴CE⊥AE，根據(jù)對(duì)稱性可得，EF⊥AC，∴∠AEC＝∠CGE＝90°，∵∠ACE＝∠GCE，∴△CGE∽△CEA，∴CEAC∴CG?AC＝CE2＝62＝36，同理可得，CH?CB＝36，PQ?PC＝CN2＝36，∴CQ?PC＝CG?AC，∴CGPC∵∠ACP＝∠QCG，∴△CGQ∽△CAP，∴∠CQG＝∠BAC，∵AB＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠CQG＝∠BAC＝45°，同理可得，∠CQH＝∠B＝45°，∴∠GQH＝∠CQG+∠CQH＝90°，∴點(diǎn)Q在以GH為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，連接AO交⊙O于Q′，作OR⊥AC于R，∵CG?AC＝36，∴12?CG＝36，∴CH＝CG＝3，∴GH=CG2∴半徑OG=3∵OR⊥CG，∴CR＝GR=3∴AR＝AC﹣CR＝12?3∵OR=1∴AO=O∴AQ′＝AO﹣OQ′=1522故答案為：62．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．

考點(diǎn)卡片1．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．2．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．3．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．5．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊．6．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．8．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．9．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語(yǔ)言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE=1210．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．11．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．12．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?3．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．14．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿