第一章隨機事件與概率知識課件

第一章隨機事件與概率隨機事件事件的概率條件概率事件的獨立性

第一章隨機事件與概率概念（隨機試驗、事件、概率、條件概率、獨立性）四個公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）（1）加法公式：對任意兩事件A、B，有

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

該公式可推廣到任意n個事件A1,A2,…,An的情形.

（2）乘法公式：設A、B

Ω，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A)上式就稱為事件A、B的概率乘法公式。上式還可推廣到三個事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)設A1，…,An是Ω的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件B

Ω有（3）全概率公式：概型（古典概型、伯努利(Bernoulli)概型）設事件A中所含樣本點個數(shù)為nA,以n記樣本空間Ω中樣本點總數(shù)，則有（1）古典概型中的概率概型（古典概型、伯努利(Bernoulli)概型）（2）伯努利概型中的概率在伯努利試驗中,若事件A發(fā)生的概率P(A)=p(0<p<1)，則在n重伯努利試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為

其中q=1?p,k=0,1,2,…,n.上式也稱為伯努利公式.第二章隨機變量隨機變量的概念離散型隨機變量及其分布分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其分布

隨機變量函數(shù)的分布隨機試驗的結果數(shù)量化隨機變量數(shù)學方法概率問題隨機試驗結果的概率研究問題隨機變量的概率分布問題隨機變量引入的意義

關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量——隨機試驗的結果數(shù)量化

定義.

設Ω={ω}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在Ω上的一個單值實函數(shù)，即對于每一個ω

Ω，有一實數(shù)X=X(ω)與之對應，則稱X=X(ω)為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z等表示。（變異性和隨機性）隨機變量的特點:

1.X的全部可能取值是互斥且完備的2.X的部分可能取值描述隨機事件?請舉幾個實際中隨機變量的例子EX．例2.1～例2.5借助于隨機變量可以方便地表述隨機事件隨機變量的分類：隨機變量離散型隨機變量(P43)定義若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布。可表為

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…X

x1 x2 …

xK

… Pk

p1 p2 … pk

…(1)pk

0,k＝1,2,…;(2)

例1設袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，2分布律的性質例2.某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數(shù)，求X的分布律。解：設Ai

第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.ΩX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

幾個常用的離散型隨機變量1.兩點分布X～B（1，p）若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從兩點分布((0－1)分布)

X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或兩點分布來自于伯努利試驗，所以兩點分布又稱為伯努利分布，它是最簡單的離散型分布。若以X表示n重伯努利試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。

記作X~B（n,p),其分布律為：

2.二項分布

二項分布是概率統(tǒng)計中重要的離散型分布之一，它涉及的是n重伯努利試驗。也就是說各次試驗是獨立的，且各次試驗條件是穩(wěn)定的。現(xiàn)實生活中的許多現(xiàn)象程度不同地符合這個條件。如產品的質量檢驗，從N個產品中有放回地取出n個，其中所含的次品數(shù)X就服從二項分布。例3.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:例4.

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。解：設X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…？不能輕視小概率事件：一個事件盡管它在一次試驗中發(fā)生的概率很小，但只要試驗次數(shù)足夠多，而且試驗是獨立進行的，那么這一事件的發(fā)生幾乎是肯定的。3.超幾何分布定義2.6

隨機變量X~H(n,M,N),若隨機變量X的分布律為

,k=0,1,2,…,l,其中l(wèi)=min{M,n};M<N;n<N,則稱隨機變量X服從超幾何分布,記作X~H(n,M,N).超幾何分布產生于不放回抽樣試驗，常見于產品檢驗中。注意：超幾何分布中，在取n個產品時，采用的是不放回抽樣方式，因此每次抽取時，優(yōu)質品率都不一樣。若采用的是放回抽樣方式，則每次抽取時，優(yōu)質品率都一樣，同為M/N，這是抽取的n個產品中所含優(yōu)質品數(shù)X就服從以n,M/N為參數(shù)的二項分布，其分布率為由此可見，按有放回與不放回兩種不同的抽取方式，所得的概率不一樣。但從直觀上分析，當產品總數(shù)N很大而抽取數(shù)n又不大時，采取放回抽樣與不放回抽樣，每次抽得優(yōu)質品的概率相差不大。事實上，可以證明：因此，當N很大而n相對于N又較小時（一般需n/N），可以用二項分布近似代替超幾何分布，即：其中p＝M/N，q＝1-p，這時，可把不放回抽樣當做放回抽樣處理。例5某種子公司宣稱其經營的水稻種子的良種率高達98%.一供銷人員隨即表示若任意抽取的100粒稻種中劣種不超過1粒則購買之,求供銷人員買此稻種的概率.解此時應進行不放回抽樣.若令X表示抽到的100粒稻種中的劣種數(shù),則X應服從超幾何分布.但由于種子公司稻種的總數(shù)N顯然很大,相比之下,100粒的抽取數(shù)是微乎其微的.從而可認為X近似地服從二項分布B(100,0.02),于是供銷人員購買此稻種的概率為4.泊松(Poisson)分布X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(

0)泊松定理設隨機變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記

=np，則

泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)

=np的泊松分布

而泊松分布的概率計算問題可通過查泊松分布表（見附表1）完成。

例4.

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。解

設X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…上題用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.例6.設某國每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為

的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。

解:由題意,X服從參數(shù)是的泊松分布例7.某儲蓄所開有1000個資金賬戶，每戶資金10萬元。假設每日每個資金賬戶到儲蓄所提取20％現(xiàn)金的概率為0.006，問該儲蓄所每日至少要準備多少現(xiàn)金才能以95％以上的概率滿足客戶提款的需求？解設每日提取現(xiàn)金的賬戶數(shù)為X，于是每日提取現(xiàn)金的總數(shù)為2X萬元。又設儲蓄所準備的現(xiàn)金數(shù)為x萬元，由題設，應求最小的x，使得而X～B(1000,0.006),有由泊松定理，注意到。上述不等式可近似表示為查的泊松分布表，得。即，故儲蓄所每日至少應準備20萬元現(xiàn)金。泊松分布主要用來描述大量重復試驗中稀有事件（即概率較小的事件）出現(xiàn)的次數(shù)。

泊松分布是概率論中最重要的分布之一。在實際應用泊松分布主要用來描述大量重復試驗中稀有事件（即概率較小的事件）出現(xiàn)的次數(shù)。如某時間段中來到公用設施前要求提供服務的人數(shù)、某時間段內系統(tǒng)發(fā)生故障的次數(shù)、商店里每天賣出的貴重商品的件數(shù)、書籍中出現(xiàn)的印刷錯誤個數(shù)等。此外，在管理科學中，泊松分布也具有十分重要的地位。想一想：離散型隨機變量的統(tǒng)計特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：熊貓彩電的壽命X是一個隨機變量，對消費者來說，你是否在意{X>5年}還是{X>5年零1分鐘}引例

什么是3σ原則？什么是六西格瑪（sixsigma）？§2.3分布函數(shù)

一、定義設X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{X

x}的概率P{X

x}稱為隨機變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P{X

x}.易知，對任意實數(shù)a,b(a<b),P{a<X

b}＝P{X

b}－P{X

a}＝F(b)－F(a).分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性二、分布函數(shù)的性質

1、單調不減性：若x1<x2,則F(x1)

F(x2);2、歸一性：對任意實數(shù)x，0

F(x)

1，且

3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質是分布函數(shù)的充分必要性質。一般地，對離散型隨機變量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例1

設隨機變量X的分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。

例2

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質點，以x表示質點坐標.假定質點落在[0,1]區(qū)間內任一子區(qū)間內的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)解：

F(x)=P{X≤x}

當x<0時,F(x)=0;當x>1時,F(x)=1當0≤x≤1時,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1實質上:分布函數(shù)是一個定義于全體實數(shù)集且以[0，1]為值域的普通函數(shù)，通過它可將微積分的方法引入到概率問題的研究中。用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？?ab§2.4

連續(xù)型隨機變量及其分布

一、概率密度

1.定義對于隨機變量X，若存在非負函數(shù)f(x)，(-

<x<+

)，使對任意實數(shù)x，都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為X～f(x),(-

<x<+

)密度函數(shù)f（x）的幾何意義為反映了點x附近所分布的概率的疏密程度，f（x）本身并非概率，但它決定隨機變量X落入?yún)^(qū)間（a,b）的概率大小2.密度函數(shù)的性質(1)非負性f(x)

0，(-

<x<

)；(2)歸一性性質(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質；

(3)若x是f(x)的連續(xù)點，則（4）對任意實數(shù)b，若X～f(x)，(-

<x<

)，P{X=b}＝0。于是（5）連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)也是連續(xù)函數(shù)二、幾個常用的連續(xù)型分布均勻分布若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內服從均勻分布。記作X~U(a,b)

對任意實數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有均勻分布的分布函數(shù)為均勻分布是常見的連續(xù)型分布之一。在數(shù)值計算中由四舍五入而引起的誤差、在每隔一定時間有一輛公共汽車通過的汽車站上乘客的候車時間等常被假設服從均勻分布。在隨機模擬中均勻分布也有廣泛的應用。2.指數(shù)分布若X～則稱X服從參數(shù)為

>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為指數(shù)分布是關于壽命和隨機服務系統(tǒng)中的等候時間一類隨機變量的概率模型，它具有無記憶性。即其中s>0,t>0其中

為實數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為

,

2的正態(tài)分布,記為N(

,

2)，可表為X～N(

,

2).若隨機變量3.正態(tài)分布

(1)單峰對稱

密度曲線關于直線x=

對稱；

稱為位置參數(shù) f(

)＝maxf(x)＝正態(tài)分布有兩個特性：(2)

的大小直接影響概率的分布

越大，曲線越平坦，

越小，曲線越陡峻。稱為形狀參數(shù)正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布4.標準正態(tài)分布

參數(shù)

＝0，

2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱

(x)的值。(P311附表2)，若Z~N（0，1）,

（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=

(2.43)-

(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)

(x)＝1－

(－x)；(2)若X～N(

,

2)，則EX設X

N(

,

2),求的值本題結果稱為正態(tài)分布的3

原則.在工程應用中，通常認為P{|X|≤3

}≈1，忽略{|X|>3

}的值.如在質量控制中，常用標準指標值±3

作兩條線，當生產過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報.表明生產出現(xiàn)異常.

即使用這一性質所引起的偏差概率還不到千分之三。六西格瑪（6，sixsigma）是當今世界最先進的質量管理方法。（數(shù)理統(tǒng)計學在質量管理體系中的應用）6σ管理關注過程，特別是企業(yè)為市場和顧客提供價值的核心過程。因為過程能力用σ來度量后，σ越大，過程的波動越小，過程以最低的成本損失、最短的時間周期、滿足顧客要求的能力就越強。為了達到6σ，首先要制定標準，在管理中隨時跟蹤考核操作與標準的偏差，不斷改進，最終達到6σ?，F(xiàn)己形成一套使每個環(huán)節(jié)不斷改進的簡單的流程模式：界定、測量、分析、改進、控制。6個西格瑪＝3.4失誤/百萬機會―意味著卓越的管理，強大的競爭力和忠誠的客戶5個西格瑪＝230失誤/百萬機會－優(yōu)秀的管理、很強的競爭力和比較忠誠的客戶4個西格瑪＝6,210失誤/百萬機會－意味著較好的管理和運營能力，滿意的客戶3個西格瑪＝66,800失誤/百萬機會－意味著平平常常的管理，缺乏競爭力2個西格瑪＝308,000失誤/百萬機會－意味著企業(yè)資源每天都有三分之一的浪費1個西格瑪＝690,000失誤/百萬機會－每天有三分之二的事情做錯的企業(yè)無法生存

西格瑪水平例一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的.求：使用的最初90小時內無一元件損壞的概率.解:設Y為使用的最初90小時內損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,p)其中例2.30設某城市成年男子的身高X~N(170,62)(單位:cm).問:(1)應如何設計公共汽車車門的高度,使男子與車門頂碰頭的機會小于0.01?(2)若車門高為182cm,求100個成年男子與車門頂碰頭的人數(shù)不多于2個的概率.解(1)由題設知X~N(170,62).設公共汽車車門的高度為l(cm),由設計要求l應滿足P(X>l)<0.01,即

P(X>l)=1?P(X≤l)=查表得>2.33,所以l>183.98(cm).(2)該問題是100重伯努利實驗中的概率計算問題.設Y為100個男子中身高超過182cm的人數(shù),故Y~B(100,p)即P(Y=k)=所求概率為P(Y≤2)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2),注意到n=100較大,p=0.0228較小,從而可利用(2.8)式作近似計算P(Y≤2)==0.6013.正態(tài)分布是最重要的連續(xù)型分布，實踐證明，凡一隨機現(xiàn)象是許多隨機因素共同作用的總和，各隨機因素所起的作用是均勻的，沒有哪個因素起主導作用，那么這個隨機現(xiàn)象的概率模型就是正態(tài)分布。于是，可以看作（或近似地看作）正態(tài)分布的隨機變量廣泛地存在于客觀世界中。定義：隨機變量X的函數(shù)§2.5