《泰勒公式的應(yīng)用探究》3400字（論文）

泰勒公式的應(yīng)用研究摘要泰勒公式在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中有著非常重要的作用,可以利用泰勒公式將復(fù)雜的函數(shù)展成泰勒展開式,從而來進(jìn)行相關(guān)的計算.利用泰勒公式進(jìn)行數(shù)學(xué)計算,在很多時候可以使得計算變得更加的簡便易懂.因此它有著廣泛的應(yīng)用,在本文中分別從泰勒公式在初等函數(shù)、求函數(shù)極限、拐點(diǎn)判斷、積分計算、不等式證明、求高階導(dǎo)、行列式計算等方面來討論它的應(yīng)用.關(guān)鍵詞泰勒公式；初等函數(shù)；函數(shù)極限；拐點(diǎn)判斷；積分計算；不等式證明.目錄TOC\o"1-3"\h\u緒論 11.泰勒公式的概念 21.1帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 21.2帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式 22.泰勒公式的應(yīng)用 22.1定義初等函數(shù) 22.2使用泰勒公式近似計算 32.3求函數(shù)極限 42.3.1用泰勒公式求解型極限 42.3.2用泰勒公式求解型極限 52.4在積分計算上的相關(guān)應(yīng)用 52.5研究函數(shù)極值 72.6求高階導(dǎo)數(shù)在一些點(diǎn)的值 72.7證明不等式 82.7.1證明冪函數(shù)和初等函數(shù)不等式 82.7.2證明定積分不等式 92.8判斷級數(shù)的斂散性 102.9求行列式的值 12總結(jié) 13參考文獻(xiàn) 14緒論在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中，泰勒公式起著重要的作用.在教材中只介紹了泰勒公式和求泰勒展開式的方法，而對于它在解決其他數(shù)學(xué)問題中的作用沒有做過多的說明，所以在解決問題時，我們很少能夠想到用泰勒公式去解決復(fù)雜問題.但實(shí)際上，泰勒公式是一個很重要的數(shù)學(xué)工具，在一些問題解決中有著重要作用,利用泰勒公式能使解題過程化繁為簡.面對一些很復(fù)雜的函數(shù)，我們通常是希望能夠找到一個很簡單的函數(shù)去代替它.多項(xiàng)式函數(shù)就是最簡單的一種，因此我們通常用多項(xiàng)式函數(shù)近似的表達(dá)其他函數(shù).英國的數(shù)學(xué)家泰勒在這方面有著杰出的貢獻(xiàn).本文也是利用這一發(fā)現(xiàn)，討論它在高等數(shù)學(xué)問題解決中的作用.因此，在本文中我首先介紹了泰勒公式的相關(guān)概念，再羅列了幾種泰勒公式的應(yīng)用來體現(xiàn)它在解決數(shù)學(xué)問題中的作用.1.泰勒公式的概念1.1帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式假設(shè)函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),那么.形如稱為佩亞諾余項(xiàng),函數(shù)叫做在點(diǎn)的泰勒公式.1.2帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式假設(shè)函數(shù)在某領(lǐng)域內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則.形如稱為為拉格朗日余項(xiàng),其中在與之間,叫做在點(diǎn)的泰勒公式.2.泰勒公式的應(yīng)用2.1定義初等函數(shù)假設(shè)函數(shù)在上連續(xù),則存在原函數(shù),在一些特殊的情況下,初等函數(shù)不一定能夠表示出這些原函數(shù),也就是說原函數(shù)沒有辦法直接運(yùn)用積分求出來.在這個時候要是被積函數(shù)能夠通過泰勒公式展開成冪級數(shù)的形式,那么就可以用冪級數(shù)和函數(shù)形式來表示出原函數(shù).例1ADDINCNKISM.Ref.{5F74FB2C567540f3964382877A453FB3}[1]求函數(shù)在上的原函數(shù).解 根據(jù)泰勒公式可知 .2.2使用泰勒公式近似計算在微分的利用中,我們用求函數(shù)近似計算.所求出來的結(jié)果精確度是比較低的,這是因?yàn)槲覀冎粚λM(jìn)行了泰勒公式的一階近似,要想提高它的精確度,我們可以利用高階泰勒公式來計算.例2求的近似值.解 由于,則,此時的誤差.因此在進(jìn)行微分近似運(yùn)算時,使用泰勒公式可根據(jù)誤差要求來控制近似計算的精確度. 在函數(shù)中,能夠精確的計算定積分的只有很少的一部分,并且是通過大量采用近似計算的方法,所以我們在這里運(yùn)用泰勒公式來對于一些函數(shù)定積分求近似計算,并且這也是一種很好的方法.例3ADDINCNKISM.Ref.{C1F9E5692AB2412bBB021EBBBFE09682}[2]求的近似值.解 的泰勒展開式為：,因此,又因?yàn)?所以,故.在此計算中對的展開只有三項(xiàng),也可根據(jù)題目要求的精確度多展開幾項(xiàng)從而達(dá)到提高精確值的目的.2.3求函數(shù)極限對于型以及型極限的求法,我們一直是根據(jù)洛必達(dá)法則,對分子、分母分別進(jìn)行求導(dǎo)計算.但對于求導(dǎo)無法解決的題型,我們則無法用洛必達(dá)法則進(jìn)行計算.這時我們可以根據(jù)泰勒展開式來解答.2.3.1用泰勒公式求解型極限例4ADDINCNKISM.Ref.{716A30BDD4BD4c88BE9AF16186C61FC5}[3]解 根據(jù)泰勒公式可知：,因此.2.3.2用泰勒公式求解型極限例5解 由于當(dāng)時,,則,又因?yàn)?,因此,則.2.4在積分計算上的相關(guān)應(yīng)用在積分學(xué)中,有理函數(shù)積分占了重要地位.在實(shí)際理論上,有理函數(shù)積分的相關(guān)問題已近得到解決,那就是任何有理函數(shù)積分都可以用初等函數(shù)去表示.但在具體的計算積分時,用待定系數(shù)法較為麻煩,因此用泰勒公式使得計算簡單化.例6ADDINCNKISM.Ref.{FB6C1100C20A46458036D3FE74E2EED6}[2]求不定積分.分析此有理積分函數(shù)按照常規(guī)方法來解答會非常麻煩,下列用泰勒公式求解.解 令,使用泰勒公式將在處展開,則,故.因此對于形如的有理積分函數(shù)求積分,可用泰勒公式將的任意一點(diǎn)展成泰勒多項(xiàng)式再求積分.例7計算.解使用泰勒公式將展開,得到,則.2.5研究函數(shù)極值一般我們討論函數(shù)極值的方法:當(dāng),且（或）,則是函數(shù)的極大（或者小）值.但如果此時,想要去判斷是否為極值點(diǎn)時,那么我們就要利用函數(shù)的泰勒展開式,要是在處的一、二、三直到階的導(dǎo)數(shù)全部都是零,通過泰勒公式可以知道.即當(dāng)為偶數(shù),且時,在處取得極小值.時,在處取得極大值.當(dāng)為奇數(shù)時,在處不取極值.例8已知函數(shù)在領(lǐng)域內(nèi)二階可導(dǎo),且當(dāng)時取得極小值,問在能否取得極值,如果有極值,極值為多少？解 在處的泰勒展開式為,因?yàn)楹瘮?shù)在時取得極小值且,則且,因此,故,,則在處取極大值,并且極大值為1.2.6求高階導(dǎo)數(shù)在一些點(diǎn)的值在求高階導(dǎo)數(shù)在一些點(diǎn)的值的時候,如果函數(shù)的泰勒展開式已經(jīng)知道了,并且在它的通項(xiàng)中的系數(shù)正好是,從而可分離出求解.而不必依次求導(dǎo)計算.例9ADDINCNKISM.Ref.{41E56EBED8B24ca68C4E8A36BF7A3B56}[1]求函數(shù)在的高階導(dǎo)數(shù)值.分析如果我們直接去求高階導(dǎo)數(shù)的話,相對來說就會比較麻煩,而且它的規(guī)律性也不是很強(qiáng).在這個時候的話,我們就可以利用函數(shù)在處的麥克勞林展開式來解題.解 先寫出的97階麥克勞林展開式,(1)又因?yàn)樵谔幍?00階麥克勞林公式為(2)由于(1)和(2)中項(xiàng)的系數(shù)相同,則,從而.這里我們通過將復(fù)雜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)的泰勒公式表示,這樣就讓計算變得更加的簡便,這也使利用泰勒公式去計算高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的值成為常用的方法.2.7證明不等式2.7.1證明冪函數(shù)和初等函數(shù)不等式如果在證明的不等式中含有初等函數(shù)、三角函數(shù)和冪函數(shù)的時候,在對要證明的題目進(jìn)行有效解答時,可利用泰勒公式中麥克勞林展開式.例10ADDINCNKISM.Ref.{EC06304899A14ec0A37C9366B4230FC8}[4]證明不等式.分析此不等式左邊為無理函數(shù),右邊為初等函數(shù)無法直接比較兩者大小.應(yīng)將左邊無理函數(shù)展開成二階泰勒公式,再與右邊二次三階項(xiàng)比較.解令則.因?yàn)?又因?yàn)?,,故.當(dāng)時,,則.2.7.2證明定積分不等式使用泰勒公式展開式根據(jù)題意對展開式放縮,從而來證明這個定積分不等式.例11ADDINCNKISM.Ref.{7FEFC2E5526C47c3900D32C4E23028EB}[5]對在上單調(diào)遞增,并且,證明.解 對在點(diǎn)處的泰勒展開式表示為因?yàn)?所以,故(1)將,分別代入(1)式并相加,則,,故(2)對(2)式兩邊在上求積分,則,故,所以.2.8判斷級數(shù)的斂散性當(dāng)級數(shù)由不同類型組成,并且通項(xiàng)的表達(dá)式形式復(fù)雜.當(dāng)我們用一般的判定方法沒有辦法解決這個問題的時候,我們一般都是利用泰勒公式去化簡級數(shù)的通項(xiàng),讓它們形式保持一致.再利用泰勒公式找到與級數(shù)通項(xiàng)等價的無窮小量,之后用無窮小量去替代通項(xiàng)從而去判斷它的斂散性.例12確定的斂散性.解 當(dāng)時,根據(jù)泰勒公式可知,所以,因?yàn)槭鞘諗康?因此收斂.例13判斷級數(shù)的收散性.解因?yàn)?可知,由此可知級數(shù)的通項(xiàng),根據(jù)這個級數(shù)為正向級數(shù),則.且得出.因?yàn)槭諗?所以由此我們可以根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的判別法,從而來判斷原級數(shù)收斂.2.9求行列式的值在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中,在計算行列式的時候,我們一般采用數(shù)學(xué)歸納法、遞推法等方法去計算,很少使用微積分的方法計算.由泰勒公式和行列式的特點(diǎn),我們發(fā)現(xiàn)相應(yīng)行列式函數(shù)可以根據(jù)行列式來構(gòu)造,再依據(jù)泰勒公式把該行列式函數(shù)在某一點(diǎn)的展開式表示出來,再進(jìn)行計算.這樣會使行列式的計算變得更加的簡便.例14ADDINCNKISM.Ref.{859CAC94C77D4278B0340E23761D90F8}[1]求階行列式解記,依據(jù)泰勒公式在處展開(1)可知(2)根據(jù)上述泰勒展開式和（2）式可以知道,時都成立.依據(jù)行列式求導(dǎo)法則可以知道, .所以在處的各階導(dǎo)數(shù)為： .把上式導(dǎo)數(shù)代入(1)中,可以得到當(dāng),有,當(dāng),有總結(jié)文章探討了泰勒公式在幾個方面的一些應(yīng)用，利用例題的形式說明了具體的解決方法，以及它的一些便利性.所以要弄明白泰勒公式成立的條件還有泰勒公式的相關(guān)應(yīng)用，對我們來說是一件很重要的事情，這也是未來我們解決其他問題的理論基礎(chǔ).借助這些例子,我們能夠更加深刻而具體地去理解泰勒公式和它的相關(guān)作用，這讓掌握泰勒公式變得更加地簡單.也讓我們在應(yīng)用泰勒公式時更加便捷.因此我首先通過了解泰勒公式的概念、分類，對其有了初步認(rèn)識.再通過羅列應(yīng)用、加上例題解釋，對其有了進(jìn)一步認(rèn)識.參考文獻(xiàn)ADDINCNKISM.Bib[1]許雁琴.泰勒公式及其應(yīng)用[J].河南機(jī)電高等專科學(xué)校學(xué)報,2015,23(6):11-15.[2]韋蘭英.泰勒公式在積分學(xué)中的應(yīng)用[