2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高一上冊9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（40分）1.下列關(guān)系中：①，②，③，④正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】根據(jù)元素和集合之間的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】對于①：因為0是的元素，所以，故①正確；對于②：因為空集是任何集合的子集，所以，故②正確；對于③：因為集合的元素為0，1，集合的元素為0,1，兩個集合的元素全不相同，所以之間不存在包含關(guān)系，故③錯誤；對于④：因為集合的元素為，集合的元素為，兩個集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④錯誤；綜上所述：正確個數(shù)為2.故選：B.2.若集合，，則滿足的實數(shù)a的個數(shù)為（）A1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】利用，知，求出的值，根據(jù)集合元素的互異性舍去不合題意的值，可得答案．【詳解】因為，所以，即或者，解之可得或或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，根據(jù)集合元素互異性可判斷不成立。所以實數(shù)a的個數(shù)為2個.故選：B3.已知正實數(shù)a，b，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】因為，，若，則，可得，則，所以成立，即甲是乙的充分條件；若，可知，則，即，可得，即，即甲是乙的必要條件．綜上可知：甲是乙的充要條件．故選：C．4.已知，，則的取值范圍是（

）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用和范圍求出，然后利用不等式的性質(zhì)求解即可【詳解】由，，得，即，，所以，即，故選：D5.已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】解不等式得到或，根據(jù)題意得到是的充分不必要條件，從而得到兩不等式的包含關(guān)系，求出答案.【詳解】由條件，解得或；因為是的充分不必要條件，所以是的充分不必要條件，故是或x>1的真子集，則的取值范圍是，故選：B．6.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，則下面選項正確的為（）A.B.C.D.整數(shù)屬于同一“類”的充分不必要條件是“”【正確答案】C【分析】求被除的余數(shù)，判斷A，求被除的余數(shù)，判斷B，根據(jù)新定義及集合相等的定義判斷C，結(jié)合新定義及充分條件，必要條件的定義判斷D.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，每個整數(shù)除以后的余數(shù)只有，沒有其他余數(shù)，所以，又，故，C正確；對于D，若，則，若，則，不妨設(shè)，則，所以，，所以除以后余數(shù)相同，所以屬于同一“類”所以整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，D錯誤；故選：C.7.在中，角的對邊分別為，已知周長為3，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【正確答案】C【分析】利用“”的代換，結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】由題意得，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立，故當(dāng)時，取到最小值.故的最小值為.故選：C.8.記表示中最大的數(shù)．已知均為正實數(shù)，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.4【正確答案】C【分析】設(shè)，可得，利用基本不等式運算求解，注意等號成立的條件.【詳解】由題意可知：均為正實數(shù)，設(shè)，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，可得，即，所以的最小值為2.故選：C.關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)定義得出，，再結(jié)合基本不等式求得.二、多選題（18分）9.下列說法正確的是（）．A.的一個必要條件是B.若集合中只有一個元素，則C.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件D.已知集合，則滿足條件的集合N的個數(shù)為4【正確答案】CD【分析】對于A，舉例時不成立，進(jìn)而由充分條件和必要條件的定義得不是的充分條件，也不是的必要條件；對于B，按和兩種情況去探究方程的解即可；對于C，先由一元二次方程有一正一負(fù)根得，該不等式組的解即為方程有一正一負(fù)根的充要條件；對于D，先由得，再由結(jié)合子集個數(shù)公式即可得解.【詳解】對于A，當(dāng)時滿足，但不成立，所以不是的充分條件，不是的必要條件，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，方程的解為，此時集合中只有一個元素，滿足題意，當(dāng)時，為一元二次方程，則由集合中只有一個元素得，故，所以符合題意的有兩個，或，故B錯誤；對于C，一元二次方程有一正一負(fù)根，則，所以“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件，故C正確；對于D，因為，所以，又，故集合N的個數(shù)為個，故D正確.故選：CD.10.下列說法正確的是（）A.若，則B.命題“，”的否定是“，或”C.若，則函數(shù)的最小值為2D.當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是【正確答案】BD【分析】特殊值法判斷A,特稱命題的否定判斷B,應(yīng)用基本不等式判斷C,應(yīng)用恒成立得出判別式即可求參判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，命題“”的否定是“或”，故B正確；對于C，則，當(dāng)且僅當(dāng)，此時無解，故取不到等號，所以，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，，故D正確.故選：BD.11.定義全集的子集的特征函數(shù),這里表示在全集中的補集,那么對于集合、,下列所有正確說法是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】利用特征函數(shù)的定義知,由,對與、關(guān)系分類討論,可得A正確;利用特征函數(shù)的定義可判斷B的正誤;取特殊值情況,利用定義可判斷C的正誤;利用集合運算與函數(shù)運算進(jìn)行分類討論可判斷D的正誤,綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于A:,分類討論:①當(dāng),則,此時;②當(dāng),且,即,此時;③當(dāng),且,即時,,,此時.綜上有,故A正確;對于B:,故B正確;對于C:假設(shè),任取,則,則,,則,故C不正確;對于D:(1)若,則,有三種情況:①當(dāng)時,;②當(dāng)時,;③當(dāng)且時,,以上均滿足.(2)若時,有以下4中情況,①當(dāng)且時,,;②當(dāng)且時,,;③當(dāng)時,;④當(dāng)時,,以上均滿足.綜上所述,,故D正確.故選:ABD三、填空題（15分）12.已知集合，，，若，，則__________．【正確答案】4【分析】求出集合，根據(jù)集合關(guān)系可得，求出的值，然后驗證可得.【詳解】，，因為，，所以，，由得，即，解得或，當(dāng)時，解得，此時，不滿足題意；當(dāng)時，解得，滿足題意.所以.故413.設(shè)集合，，其中、、、、是五個不同的正整數(shù)，且，已知，，中所有元素之和是246，請寫出所有滿足條件的集合A：__________________.【正確答案】或【分析】由題意可得，所以，分類討論當(dāng)和時情況，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，得，所以.由于中有9，因此A中有3，此時集合有共同元素1，若，則，于是；此時且，無正整數(shù)解；若，集合有共同元素1和9，則，所以，且，而，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；因此滿足條件的共有2個，分別為.故答案為:或14.對于一個由整數(shù)組成的集合，中所有元素之和稱為的“小和數(shù)”，的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為的“大和數(shù)”．已知集合，則的“小和數(shù)”為__________，的“大和數(shù)”為__________．【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)題意，求出集合中所有元素之和即為“小和數(shù)”；將集合的個子集，分為與，其中，，且無重復(fù)，則與的“小和數(shù)”之和為的“小和數(shù)”，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，的“小和數(shù)”為，集合共有11個元素，則一共有個子集，對于任意一個子集，總能找到一個子集，使得，，且無重復(fù)，則與“小和數(shù)”之和為的“小和數(shù)”，這樣的子集對共有個，其中當(dāng)時，，則子集對有，則的“大和數(shù)”為.故；四、解答題（77分）15.已知集合.（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）或．【分析】(1)根據(jù)可知，列出不等式組即可求解．(2)分和兩種情況討論即可．【小問1詳解】∵，∴，∴，∴的范圍是．【小問2詳解】(i)若，則，即，此時滿足；(ii)若，則，若，則或，解得或，∴或；綜上，或．16.已知非空集合，，全集．（1）當(dāng)時，求；（2）若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）方法一，根據(jù)條件，直接利用補集、并集的運算法則，即可求出結(jié)果；方法二，利用，利用交集運算，求出，即可求出結(jié)果.（2）根據(jù)條件得出是的真子集，再根據(jù)集合間的包含關(guān)系即可求出結(jié)果.【小問1詳解】方法一：當(dāng)時，，所以或．因為，所以或，所以或．方法二：當(dāng)時，，故，所以或．【小問2詳解】因為是成立的充分不必要條件，所以是的真子集，當(dāng)時，或解得或，綜上，實數(shù)a的取值范圍是．17.已知p:關(guān)于x的方程有實數(shù)根，．（1）若命題是假命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由命題是假命題，可得命題是真命題，則由，求出的取值范圍；（2）由是的必要不充分條件，可得出兩個集合的包含關(guān)系，由此列出不等式求解即可.【小問1詳解】因為命題是假命題，則命題是真命題，即關(guān)于的方程有實數(shù)根，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由（1）知，命題是真命題，即，因為命題是命題的必要不充分條件，則，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.18.對于二次函數(shù)，若存在，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動點.（1）求二次函數(shù)的不動點；（2）若二次函數(shù)有兩個不相等的不動點、，且、，求的最小值.（3）若對任意實數(shù)，二次函數(shù)恒有不動點，求的取值范圍.【正確答案】（1）和3（2）8（3）【分析】（1）根據(jù)不動點定義列方程，解二次方程即可；（2）根據(jù)不動點定義得方程有兩個不相等的正實數(shù)根，列不等式求得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及基本不等式求得最值即可；（3）根據(jù)不動點定義得，結(jié)合判別式即可求解.【小問1詳解】由題意知，即，則，解得，，所以不動點為和3.【小問2詳解】依題意，有兩個不相等的正實數(shù)根，即方程有兩個不相等的正實數(shù)根，所以，解得，所以，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.【小問3詳解】由題知：，所以，由于函數(shù)恒有不動點，所以，即，又因為是任意實數(shù)，所以，即，解得，所以的取值范圍是.關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了新定義，解題關(guān)鍵是把握不動點的定義，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)、判別式來求解.19.給定整數(shù)，由元實數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合S為一個元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對值之和.（1）判斷、哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；（2）任取一個元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；（3）當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)的最小值.注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).【正確答案】（1）集合A不是規(guī)范數(shù)集；集合B是規(guī)范數(shù)集；（2）證明見詳解；（3）.【分析】（1）根據(jù)元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合中的元素兩兩相減的差的絕對值，是否都大于等于1即可；（2）利用元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，從而分類討論、與三種情況，結(jié)合去絕對值的方法即可證明；（3）法一：當(dāng)時，證得，從而得到；當(dāng)時，證得，從而得到；當(dāng)時，分類討論與兩種情況，推得，由此得解；法二：利用規(guī)范數(shù)集的性質(zhì)與（2）中結(jié)論即可得解.小問1詳解】對于集合A：因為，所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；對于集合B：因為，又，，，，，，所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.【小問2詳解】不妨設(shè)集合S中的元素為，即，因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立；當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立；當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；綜上所述.【小問3詳解】法一：不妨設(shè)，因為S為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當(dāng)時，則當(dāng)時，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即范數(shù)的最小值；當(dāng)時，則當(dāng)時，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，則范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即范數(shù)的最小值；當(dāng)，使得，且，當(dāng)，即，即時，則當(dāng)時，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則當(dāng)時，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則范數(shù)；對