高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修一）第34講262雙曲線的幾何性質(zhì)

2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì)TOC\o"13"\h\z\u題型1雙曲線的幾何性質(zhì) 4題型2利用幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 9◆類型1共焦點(diǎn)問題 9◆類型2已知漸近線問題 11題型3離心率問題 15題型4離心率的取值范圍 20◆類型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求取值范圍 20◆類型2根據(jù)漸近線與雙曲線的位置關(guān)系求取值范圍 26◆類型3根據(jù)圖形位置關(guān)系求取值范圍 31◆類型4根據(jù)題目條件求取值范圍 34◆類型5根據(jù)直線、橢圓與雙曲線的綜合求取值范圍 40題型5直線與雙曲線的位置關(guān)系 46題型6雙曲線的弦長問題 53題型7雙曲線的中點(diǎn)弦問題 57題型8解答題 64知識(shí)點(diǎn)一.雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長：eq\a\vs4\al(2b)；半實(shí)軸長：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x知識(shí)點(diǎn)二.等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).注意：對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)1.雙曲線的焦點(diǎn)決定雙曲線的位置；2.雙曲線的離心率和漸近線刻畫了雙曲線的開口大小，離心率越大，雙曲線的開口越大，反之亦然．3.巧設(shè)雙曲線方程：與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．知識(shí)點(diǎn)三.雙曲線與漸近線的關(guān)系3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，知識(shí)點(diǎn)四.離心率相關(guān)問題定義：e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))范圍：(1，＋∞)拓展：=1\*GB3①e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2題型1雙曲線的幾何性質(zhì)【方法總結(jié)】由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟：1.把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵；2.由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值；3.由c2＝a2＋b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)。注意：求性質(zhì)時(shí)一定要注意焦點(diǎn)的位置【例題1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程和離心率．(1)x2(2)y2(3)8x(4)9y【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析；【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定焦點(diǎn)所在位置，求出a,b,c，即可求出實(shí)軸長、虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程和離心率．【詳解】（1）雙曲線x2則焦點(diǎn)在x軸上，且a2即a=4,b=25所以實(shí)軸長為2a=8，虛軸長為2b=45焦點(diǎn)坐標(biāo)為±6,0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為±4,0，漸近線方程為y=±5離心率為ca（2）雙曲線y2則焦點(diǎn)在y軸上，且a2即a=4,b=25所以實(shí)軸長為2a=8，虛軸長為2b=45焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,±4，漸近線方程為y=±2離心率為ca（3）雙曲線8x2?8則焦點(diǎn)在x軸上，且a2即a=2,b=2,c=22所以實(shí)軸長為2a=4，虛軸長為2b=4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為±22頂點(diǎn)坐標(biāo)為±2,0，漸近線方程為y=±x，離心率為ca（4）雙曲線9y2?則焦點(diǎn)在y軸上，且a2即a=3,b=9,c=310所以實(shí)軸長為2a=6，虛軸長為2b=18，焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±310頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,±3，漸近線方程為y=±1離心率為ca【變式11】1.（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線x2A．π4 B．23π C．3【答案】B【分析】由雙曲線的漸近線的斜率與雙曲線的離心率的關(guān)系，以及直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】由于雙曲線x2a2且注意到雙曲線的離心率為e=c又在雙曲線中有平方關(guān)系：c2所以離心率為e=c又由題意e=2，所以有1+b2a即雙曲線的漸近線的斜率為ba由直線斜率和傾斜角的關(guān)系可知此雙曲線的漸近線的傾斜角可以是23π或故選：B.【變式11】2.（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C1:xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程確定a>0，且焦點(diǎn)在x軸上，從而得到方程，求出答案.【詳解】C2:x2?由題意得a2?1=1+a，解得故選：B【變式11】3.（2022秋·山西·高二長治市上黨區(qū)第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知雙曲線C:yA．C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為±4,0 B．C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,±3C．C的離心率為43 D．C的虛軸長為【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】因?yàn)閍2=9,b因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±4)，頂點(diǎn)為0,±3，離心率為43，虛軸長為2故選：A.【變式11】4.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知雙曲線x29?A．兩個(gè)雙曲線有公共頂點(diǎn)B．兩個(gè)雙曲線有公共焦點(diǎn)C．兩個(gè)雙曲線有公共漸近線D．兩個(gè)雙曲線的離心率相等【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程可得答案.【詳解】雙曲線x2而雙曲線y2雙曲線x29?雙曲線y216?雙曲線x29?而雙曲線y216?故選：C.【變式11】5.（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線mx2?y2【答案】3【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解.【詳解】由題得m>0，因?yàn)?=ba故答案為：3.題型2利用幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程◆類型1共焦點(diǎn)問題【例題21】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)2,3且與橢圓5xA．x2?y23=1 B．x【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求焦點(diǎn)坐標(biāo)為±2,0，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)2,3可求雙曲線的方程.【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y2設(shè)雙曲線的方程為x2故4a2?故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選:A.【變式21】1.（2022秋·高二單元測試）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0與橢圓A．x2?y24=1 B．x【答案】B【分析】由漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合C與橢圓E有相同的焦點(diǎn)，求出雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線C：x2a2?∴設(shè)雙曲線C：x∵雙曲線C與橢圓E有相同的焦點(diǎn)∴4λ+λ=5，解得：λ=1∴雙曲線C的方程為x2故選：B.【變式21】2.（2021秋·河南駐馬店·高二新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?yA．x28?y210=1 B．x24?【答案】B【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的概念和性質(zhì)，結(jié)合題意即可求解.【詳解】橢圓x210+y2又雙曲線C：x2a2所以ca所以b=5，故所求的雙曲線方程為x2故選：B.【變式21】3.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若雙曲線與橢圓x2A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24【答案】D【分析】由題設(shè)，若雙曲線為x2－y2＝λ(λ≠0)，由橢圓方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)曲線共焦點(diǎn)、雙曲線參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)λ.【詳解】設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)為(0,±43∴λ<0且?2λ=(4故選：D.【變式21】4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）與雙曲線x216?【答案】x【分析】設(shè)雙曲線方程為x216?k?y2【詳解】解：設(shè)雙曲線方程為x216?k?y2即1816?k?44+k=1故所求雙曲線方程為x2故答案為：x◆類型2已知漸近線問題【例題22】（2022秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,4，且漸近線方程為x=±2y，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．y216?C．x2?y【答案】A【分析】由頂點(diǎn)位置可假設(shè)雙曲線方程y2a2【詳解】∵雙曲線頂點(diǎn)在y軸上，∴可設(shè)其方程為y2∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,4，漸近線方程為x=±2y，即y=±1∴a=4ab=12，解得：故選：A.【變式22】1.（多選）（2022秋·重慶·高二重慶八中?？计谥校┮阎行脑谠c(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線C與橢圓x29+y2A．x24?y2=1 B．x【答案】AD【分析】求出橢圓的焦距即雙曲線的焦距，從而可設(shè)雙曲線方程為x24?y2=λ【詳解】解：∵橢圓x29+∴焦距|F∵雙曲線C與橢圓x29+∴設(shè)雙曲線的方程為x24?y2當(dāng)λ>0時(shí)，c=4λ+λ=5∴雙曲線的方程為x2當(dāng)λ<0時(shí)，c=?λ?4λ=5∴雙曲線的方程為y2綜上，雙曲線的方程可能為x24?故選：AD.【變式22】2.（2023秋·湖南永州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到雙曲線E的一條漸近線y=33x【答案】x23【分析】分焦點(diǎn)在x軸和y軸上時(shí)，分別列方程求解計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)F到雙曲線E的一條漸近線的距離為d=當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為x2a2點(diǎn)F到雙曲線E的一條漸近線y=33x的距離為1，即b所以此時(shí)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為y2a2點(diǎn)F到雙曲線E的一條漸近線y=33x的距離為1，即a所以此時(shí)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2綜上，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23?故答案為：x23【變式22】3.（2023秋·云南保山·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線M:x2a【答案】x【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】由題意得：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為?2,0,漸近線方程為y=±bax則2ba2+則a2所以M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故答案為：x2

【變式22】4.（2022秋·江西宜春·高二?？计谥校┮阎p曲線C與橢圓E:x216(1)求橢圓E的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(±2,0)；(2)x2【分析】（1）由橢圓方程及其參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)c，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）由漸近線及焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)雙曲線方程為x2?3y【詳解】（1）由題設(shè)，c=a2?所以橢圓E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0).（2）由題設(shè)，令雙曲線C為x2由（1）知：λ+λ3=所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2【變式22】5.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)P4,3，它的一條漸近線的方程為y=

【答案】y2【分析】先確定雙曲線的焦點(diǎn)位置，利用待定系數(shù)法求出雙曲線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y=1當(dāng)x=4時(shí)，漸近線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12×4=2，小于點(diǎn)所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．設(shè)雙曲線的方程為y2由y=12x，可知ab=又因?yàn)辄c(diǎn)P4,3在雙曲線①上，所以9解得k2=5．因此，所求雙曲線的方程為題型3離心率問題【方法總結(jié)】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合c2【例題3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線x2a2A．5 B．3C．52 D．【答案】D【分析】根據(jù)漸近線方程得到b=2a，再利用a,b,c的關(guān)系和離心率公式即可得到答案.【詳解】由雙曲線的漸近線方程為y=±2x，可知ba=2，即又c2=a2+故選：D.【變式31】1.（2023秋·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線C：x2a2?y25A．62 B．355 C．3【答案】C【分析】根據(jù)已知可得出a?43=23，a=2【詳解】由已知可得，Aa,0且a?43=又b2=5，所以c2所以，e=c故選：C.【變式31】2.（2023秋·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?yA．2或233 B．233 C．3【答案】A【分析】由雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】由題意得雙曲線的漸近線為y=±b而兩條漸近線的夾角為π3，故y=bax的傾斜角為π3或πe=1+故選：A【變式31】3（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2bA．113 B．C．333 D．【答案】C【分析】由題意，結(jié)合雙曲線的定義以及角平分線定理可得，AF2=3a，AF1=a，BF1=4a，AB【詳解】

4F2A=設(shè)AF2=k，則BM因?yàn)锽F2平分∠F1BM又AF即有AF2=3a，AF1=a，在△AF1Fcos∠F1由cos∠BA可得e=33故選：C.【變式31】4.（2023春·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2A．3 B．33 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先求得焦點(diǎn)F1到漸近線的距離為b，在直角△MOF1中，求得cos∠OF1M=【詳解】由雙曲線C:x2a2?如圖所示，則焦點(diǎn)F1到漸近線y=?ba在直角△MOF1中，可得在△MF1F即3b2=4又由b2=c2?所以雙曲線的離心率為e=c故選：A.

【變式31】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】利用雙曲線的漸近線方程及點(diǎn)關(guān)于線對稱的特點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線C:x2a設(shè)點(diǎn)F2關(guān)于一條漸近線y=?ba由題意知，?ba×又知bmam?c=所以c2=a所以雙曲線C的離心率是e=故選：C.【變式31】6.（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)FA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【分析】作出圖形，分析可知，四邊形OAFB為正方形，可得出∠AOF=π4，求出【詳解】如下圖所示：連接AF、BF，設(shè)AB∩OF=M，由對稱性可知，M為AB的中點(diǎn)，AB⊥OF，因?yàn)锳B=OF，則線段AB是以O(shè)F為直徑的圓的一條直徑，則故M為OF的中點(diǎn)，又因?yàn)锳B⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，所以，四邊形OAFB為正方形，則∠AOF=π4，所以，所以，該雙曲線的離心率為e=c故選：A.【變式31】7.（2023秋·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0與雙曲線C2:x

A．3 B．2+3 C．1+3【答案】D【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】不妨設(shè)P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義可得：PF1+在△PF1F化簡得a12+3a2故選：D題型4離心率的取值范圍◆類型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求取值范圍【例題41】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若m>0，雙曲線C1：x2m?y22=1與雙曲線A．e1e2的最小值為94 C．e1e2的最大值為94 【答案】B【分析】由雙曲線方程，把離心率表示出來，再利用基本不等式求得最小值.【詳解】由題意可得e12=m+2m由基本不等式，e1e2當(dāng)且僅當(dāng)2m=m8，即m=4時(shí)等號(hào)成立，故故選：B.【變式41】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若1<m<4，橢圓C:x2m+y2=1A．e1e2的最小值為12 C．e1e2的最大值為12 【答案】C【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線離心率定義及其方程寫出e1【詳解】由已知e1=m?1所以e1當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立，故e1e2故選：C【變式41】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2m?y2m+1A．1,2 B．2,+∞ C．1,2【答案】A【分析】先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)離心率的定義，用m表示出離心率，進(jìn)而可得其取值范圍.【詳解】由雙曲線C:x2m得y2則雙曲線C離心率e=?λ因?yàn)閙>0，所以m+1>1，則0<1所以1<2?1所以1<e<2，即雙曲線C離心率的取值范圍為1,故選：A.【變式41】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知二次曲線x24+【答案】5【分析】當(dāng)m∈[?2,?1]時(shí)，曲線為雙曲線，得到a,b,c，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)m∈[?2,?1]時(shí)，∴曲線方程化為x2所以a2=4，b2所以e=ca=4?m2故答案為：52【變式41】4.（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線x2a2?y2b2=1A．3 B．22 C．145 【答案】CD【分析】根據(jù)雙曲線的離心率表示e1【詳解】∵==2+=2+≥2+2+22+2當(dāng)且僅當(dāng)b2a2所以e1故選：CD.【變式41】5.（多選）（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線，以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的有（

）A．與x2aB．互為共軛的雙曲線漸近線不相同C．互為共軛的雙曲線的離心率為e1,D．互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上【答案】CD【分析】根據(jù)共軛雙曲線的定義可判斷A；分別求得互為共軛的雙曲線的漸近線判斷B；根據(jù)雙曲線離心率定義可得1e12+1【詳解】對于A，根據(jù)共軛雙曲線的定義可知，與x2a2對于B，x2a2y2b2對于C，由題意可得e1故1e由于e1>1,e2當(dāng)且僅當(dāng)e1對于D，x2a2其共軛雙曲線y2b2顯然這4個(gè)焦點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，a2故選：CD【變式41】6.（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)實(shí)數(shù)k1,k2滿足k2>k1>0，且k1k2=4，雙曲線CA．16+k1216+16k22【答案】C【分析】根據(jù)漸近線的斜率可求離心率，故可得兩者的比值.【詳解】考慮到k于是雙曲線C1有上下支，雙曲線C2有左右支，進(jìn)而e1于是e1故選：C【變式41】7.（多選）（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）已知F1?c,0，F(xiàn)2c,0c>0是橢圓C1:x2a12+A．△F1B．若∠F1C．若∠F1MFD．若∠F1MF【答案】ABD【分析】由橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式可判斷A；由m+n=2a1和mn=2【詳解】設(shè)MF1=m，M不妨設(shè)點(diǎn)M是C1，C2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則m+n=2a1，m?n=2a2，所以在△F1M即4c一方面4c所以mn=2a1S=1另一方面，4c所以mn=2c2S=1對于A，因?yàn)镾2=b對于B，因?yàn)閙>n且m+n=2a1，所以所以2b所以e12>1?cos2所以e1當(dāng)∠F由4c2=即3a12+a22對于C，令1<t=1則1e所以(e1e對于D，e1記m=e22函數(shù)y=3m+1m是對勾函數(shù)，在所以e1即e12+故選：ABD◆類型2根據(jù)漸近線與雙曲線的位置關(guān)系求取值范圍【方法總結(jié)】1.若直線恒過的定點(diǎn)落在雙曲線兩支之內(nèi)，則（1）當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該直線的斜率為（2）當(dāng)直線與雙曲線的左右兩支都有交點(diǎn)時(shí)，該直線的斜率滿足（3）當(dāng)直線與雙曲線的單支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該直線的斜率滿足k?(?∞,?b若直線恒過的定點(diǎn)不落在雙曲線內(nèi)，則當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有或△=0當(dāng)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有△>0當(dāng)直線與雙曲線的左右兩支都有交點(diǎn)時(shí)，有x當(dāng)直線與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有當(dāng)直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有【例題42】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l:x+y=0與雙曲線C:xA．1,3 B．3,+∞ C．1,【答案】C【分析】利用直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，l:x+y=0的斜率為?1，而C:x2a由于直線l與雙曲線C沒有公共交點(diǎn)，如圖，所以?ba≥?1，即ba≤1，故c故1<e≤2，即e∈故選：C.【變式42】1.（2021秋·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）若雙曲線C:x2a2?A．(1,3] B．[3,+∞) C．【答案】A【解析】由題可得ba【詳解】雙曲線的漸近線為y=±b∵雙曲線與直線y=?2則ba≤2，則e=∴1<e≤3故選：A.【變式42】2.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線x2a2A．(1,2] B．(1,3] C．(2,+∞【答案】D【分析】根據(jù)題意可得ba【詳解】由題可得漸近線y=bax所以離心率e=c故選：D.【變式42】3.（2020秋·安徽蕪湖·高二蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1【答案】2【解析】根據(jù)題意，確定直線與漸近線的關(guān)系，得到ba【詳解】記過點(diǎn)F的直線為l，因?yàn)檫^點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則其斜率為正的漸近線的傾斜角應(yīng)不小于l的傾斜角，已知l的傾斜角是45°，從而ba≥tan故答案為：2,【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式42】4.（2021秋·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線x2a2A．1,2 B．1,3 C．2,【答案】A【分析】由題意可得雙曲線x2a2【詳解】由題意知雙曲線x2a2即b故選：A【變式42】5.（2023春·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線x2a2【答案】(1,【分析】根據(jù)題意可知雙曲線的漸近線方程y=bax的斜率需小于直線的斜率，得b<【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±b要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的漸近線方程y=b即ba<tan30°得c2?a2<因?yàn)殡p曲線中e>1，所以雙曲線的離心率的范圍是(1,2故答案為：(1,2【變式42】6.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谥校┮阎甭蕿?3的直線l經(jīng)過雙曲線y2a2?【答案】e【分析】根據(jù)已知直線的斜率，求出漸近線的斜率范圍，推出a，b的關(guān)系，然后求出離心率的范圍．【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線方程為y=±a過雙曲線上焦點(diǎn)F且平行于漸近線y=abx的方程為y=abx+c，此直線只與雙曲線的上支有一個(gè)交點(diǎn)，要使斜率為13的直線l經(jīng)過雙曲線的上焦點(diǎn)F的直線y=故答案為：e

◆類型3根據(jù)圖形位置關(guān)系求取值范圍【例題43】（多選）（2022秋·遼寧鞍山·高二鞍山一中?？计谥校╇p曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．65 B．54 C．43【答案】ABC【分析】根據(jù)雙曲線的定義及其有界性可得PF【詳解】由雙曲線定義知：PF1?所以43≥ca=e>1，故65、故選：ABC【變式43】1.（2021·北京·高二北京市十一學(xué)校?？计谀┤綦p曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)A．1<e<2 B．1≤e≤2 C．1<e≤2 D．1≤e<2【答案】C【分析】利用雙曲線的定義求出PF【詳解】由雙曲線的定義可得PF由PF1?=3P又PF2≥c?a，即有a≥c?a，可得c≤2a，即有e=ca又∵e>1，∴雙曲線的離心率的取值范圍是1<e≤2.故選：C.【變式43】2.（2021秋·云南昆明·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y2b2=1，(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為FA．43 B．32 C．2 【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合已知條件可得PF2=a2【詳解】根據(jù)雙曲線的定義可得PF因?yàn)镻F1=5PF因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以PF2≥c?a所以32a≥c，所以離心率所以雙曲線的離心率e的最大值為32故選：B.【變式43】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的上下焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)A．1,53 B．53,2 C．【答案】A【分析】過點(diǎn)F2作漸近線的垂線，垂足為E，則EF2=b，再根據(jù)雙曲線的定義得【詳解】如圖，過點(diǎn)F2作漸近線的垂線，垂足為E設(shè)|F1F2|=2c，則點(diǎn)F由雙曲線的定義可得MF1?所以MD+MF1=|MD|+因?yàn)镸D>所以|MD|+MF1所以，b>2c?2a，即b2>4c所以，3c2+5a2故選：A.

【變式43】4.（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知雙曲線x2a2?y2b【答案】1,【分析】根據(jù)焦半徑的范圍可得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)F1為雙曲線的左焦點(diǎn)，則根據(jù)中位線定理，P于是14c≥c?a>0，解得因此雙曲線的離心率的取值范圍是1,4故答案為：1,4【變式43】5.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如果雙曲線x2【答案】(2,+【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性即可得xA【詳解】如圖，因?yàn)镺A=AF，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為所以xA所以c2>a，所以故答案為：(2,+◆類型4根據(jù)題目條件求取值范圍【例題44】（2023秋·全國·高二期中）已知點(diǎn)F是雙曲線x2a2?yA．(1,+∞)C．(2,1+2) 【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性結(jié)合題意可得△ABE為等腰三角形，由此可得|AF|<|FE|，進(jìn)而得到關(guān)于a,b,c的齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題意可知AE=BE即△ABE為等腰三角形，

故△ABE是銳角三角形，只需∠AEF<45將x=?c代入x2a2故在Rt△AFE中，|AF|=b2則|AF|<|FE|,∴b2a∴e2?e?2<0，∴又e>1，∴1<e<2，故選：B.【變式44】1.（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與雙曲線C：x2a2?y2bA．(1,7) B．(2,7) C．【答案】D【分析】首先得出直線AB的方程，與雙曲線方程聯(lián)立得出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，并得出不等式關(guān)系b2>3a2，再表示出S△ABF【詳解】不妨設(shè)F是雙曲線C的左焦點(diǎn)，由題可知，直線AB的方程為y=3由y=3xx2a所以yA=?3因?yàn)镾△ABF=12×所以3abc所以bb2?3又因?yàn)閎2>3a所以2<c故選：D．【變式44】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2【答案】(1,【分析】以F1F2為直徑的圓的方程為x聯(lián)立可得P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由AQ≥3【詳解】依題意可得，以F1F2不妨設(shè)雙曲線的這條漸近線方程為y=b由y=baxx2+y雙曲線的左頂點(diǎn)為A，則A(?a,0)，所以AQ=(a+a)2因?yàn)锳Q≥3AP，所以4a所以a2≥2(c2?又e>1，所以e∈(1,6故答案為：(1,

【變式44】3.（2023春·四川成都·高二成都七中校考期末）雙曲線H:x2a2?y2b2=1(a,b>0)其左、右焦點(diǎn)分別為【答案】5【分析】設(shè)△F1PF2內(nèi)切圓C與△F1PF【詳解】設(shè)△F1PF2內(nèi)切圓C與△且F1所以Rt△CMF2?Rt所以∠CF2M=60°因?yàn)镕1M由雙曲線的定義可知，PF1?即2c?r3?過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)Px則xP由雙曲線的焦半徑公式可得：PF則PF2=c2則e+11?e2≥6則雙曲線H的離心率的取值范圍為54故答案為：54【變式44】4.（2023秋·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）雙曲線H：x2a2?y2b2=1(a,b>0)其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，傾斜角為π3的直線PF【答案】5【分析】設(shè)PF2=m，則PF1=2a+m，然后在【詳解】設(shè)PF2=m因?yàn)橹本€PF2的傾斜角為π3在△PF1F(2a+m)24得m=2因?yàn)镻F2得c+a2a?c≥3，所以(4c?5a)(2a?c)≥02a?c≠0所以(4e?5)(2?e)≥02?e≠0解得54即雙曲線H的離心率的取值范圍為5故答案為：5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查求雙曲線的離心率的范圍，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意在△PF1F【變式44】5.（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F2【答案】1,【分析】△APF的周長不小于18，可得PA+PF的最小值不小于13，設(shè)F2為雙曲線的左焦點(diǎn)，則PA+PF2+2a的最小值不小于13，分析可得【詳解】由右焦點(diǎn)為F26,0，點(diǎn)A坐標(biāo)為0,1因?yàn)椤鰽PF的周長不小于18，所以PA+設(shè)F2為雙曲線的左焦點(diǎn)，可得PF故PA+當(dāng)A,P,F2三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PF所以5+2a≥13,即a≥4.因?yàn)閏=26,所以e=又e>1,所以e∈1,故答案為:1,6◆類型5根據(jù)直線、橢圓與雙曲線的綜合求取值范圍【例題45】（2023春·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C:x2aA．62,2C．62,+∞【答案】D【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程，即可得到a2【詳解】由x2a2?y即1?a2≠0Δ=4則1+1a2故選：D【變式45】1.（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以A．19,+∞ B．1,+∞ C．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三邊關(guān)系可構(gòu)造不等式求得c的范圍，根據(jù)雙曲線和橢圓定義可利用c表示出e1,e2，從而得到【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長半軸為a1，雙曲線實(shí)半軸為a2，PF∵△PF1F2是以∴P即r1=24，r2=2c，且2c<24，4c>24，解得：6<c<12．在雙曲線中，PF1?在橢圓中，PF1+∴e∵6<c<12，∴36<c2<144，則1<可得：1144∴3e1e故選：B.【變式45】2.（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，長軸AA1在x軸上．以A、A1為焦點(diǎn)的雙曲線交橢圓于C、D、D1、C1四點(diǎn)，且CD

【答案】7【分析】由題意設(shè)A?c,0,A1c,0，則可設(shè)D【詳解】設(shè)A?c,0,A1c,0，則設(shè)D∵AEEC=λ，則∴∴x即E點(diǎn)坐標(biāo)為cλ?2設(shè)雙曲線的方程為x2a2?y將C(c2,?)，Ec消去?2b2，得2λ+由于23≤λ≤34.所以故答案為：7【變式45】3.（2022·高二單元測試）設(shè)F1,F2是橢圓C1:x2a12A．1,2 B．1,3 C．3,+【答案】A【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義求出MF1,【詳解】由題意可得，MF1+MF2=2a1，MF1?MF2故選：A．【變式45】4.（2023春·遼寧大連·高三瓦房店市高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C1和雙曲線C2有共同的左、右焦點(diǎn)F1,F2，M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F1M【答案】2【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義可用a1,a2表示出【詳解】設(shè)橢圓C1:x2a12由橢圓定義知：m+n=2a不妨設(shè)M位于雙曲線右支，由雙曲線定義知：m?n=2a由m+n=2a1m?n=2a2在△F1M∴m+n2?3mn=4∴1=12e1+∴12e1+故答案為：2.【變式45】5.（2022秋·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：x2a12+y2b12=1a【答案】2【分析】由題意，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，表示出焦半徑，整理齊次方程，根據(jù)離心率定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由橢圓及雙曲線定義得MF1+MF因?yàn)椤螰1MF2=90°，所以因?yàn)閑1∈34,223，因?yàn)閍2>b2，b2a2故答案為：214【變式45】6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C1和雙曲線C2有相同的焦點(diǎn)F1和F2，設(shè)C1和C2的離心率分別為e1，e2，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且【答案】(【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算得出PO=c，從而得出∠F1PF2=90°，利用橢圓、雙曲線的定義以及離心率的公式，求得e【詳解】設(shè)橢圓C1：x2a12F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)為C1與C由PF1?PF2=2所以O(shè)F1=P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)|PF1|=m則m2+n2=4c2，①

m+n=2②2+③2得，2m2+2n2所以2c2=a1又因?yàn)閑1=ca1，e所以④化為1e12因?yàn)閑2∈2,5又因?yàn)?e所以15<2?1所以59<e12<2故答案為：(【變式45】7.（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）設(shè)a>b>0，橢圓x2a2+y2b2=1的離心率為e【答案】2【分析】首先由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，得出橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，再分別表示出離心率，根據(jù)e1e2<1及【詳解】解：由題意知橢圓的c12=則橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，設(shè)c1=c2=c∴e1e∵e∴c設(shè)ab=t>0，則解得0<t<1+52又∵a2?2∴a故e2e1故答案為：2題型5直線與雙曲線的位置關(guān)系【方法總結(jié)】將直線的方程y=kx+m與雙曲線的方程x若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若即，①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn)．【例題5】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習(xí)）直線l過點(diǎn)(0,1)與雙曲線x2A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由方程只有一個(gè)解即可判斷作答.【詳解】依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，由y=kx+1x2?當(dāng)1?k2=0，即k=±1時(shí)，方程(1?此時(shí)直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l有兩條，當(dāng)1?k2≠0時(shí)，Δ=4k2?12(此時(shí)直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l有兩條，綜上得這樣的直線有4條，D正確.故選：D【變式51】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線y=kx?1與雙曲線x2?y【答案】?【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元得(1?k2)【詳解】由y=kx?1x2?y2因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)不等且小于?1的根，所以1?k解得?2所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為?2故答案為：?【變式51】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線x2?y(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)．【答案】(1)?233<k<?1或(2)k=±1或±(3)k>23【分析】（1）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，根據(jù)直線與雙曲線有兩交點(diǎn)，則Δ>0（2）根據(jù)直線與雙曲線僅有一交點(diǎn)，分二次項(xiàng)系數(shù)等于0和不等于0兩種情況討論.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，由Δ=0（3）根據(jù)直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，得Δ<0【詳解】（1）聯(lián)立y=k(x?1)x消y整理得1?k因?yàn)橹本€l與雙曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以1?k2解得：?233<k<?1或（2）當(dāng)1?k2=0方程（*）化為2x?5=0，故方程（*）有唯一實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意．當(dāng)1?k則Δ=44?3k綜上，k=±1或k=±2（3）因?yàn)橹本€l與雙曲線C沒有公共點(diǎn)，所以1?k解得：k>233【變式51】3.（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線y=kx?2與雙曲線C相交于不同兩點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】(1)x(2)?2【分析】（1）依題意可得a=1，再由雙曲線的漸近線求出b，即可得解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去y得到關(guān)于x的方程，依題意可得4?k【詳解】（1）由雙曲線C:x2a2∵實(shí)軸長為2，∴2a=2，即a=1，∵直線2x+y=0為雙曲線C的一條漸近線，∴ba=2，∴故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：雙曲線x2?y24消去y整理得4?k因?yàn)橹本€y=kx?2與雙曲線C相交于不同兩點(diǎn)，所以有4?k2≠0Δ=16即?22<k<?2或?2<所以k的取值范圍為：?22【變式51】4.（2022秋·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1?2,0,(1)求雙曲線E的方程；(2)過點(diǎn)M(0,1)的直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程.【答案】(1)x(2)y=±3x+1【分析】（1）根據(jù)雙曲線的焦距及過點(diǎn)列出方程求解方程即可；（2）分直線斜率存在，不存在討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，利用直線與雙曲線方程組有且只有一解求斜率即可.【詳解】（1）由已知可設(shè)雙曲線E的方程為x2a2?則c=24a2所以雙曲線E的方程為x2（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意，所以可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，如圖，

聯(lián)立y=kx+1x2?①當(dāng)3?k2=0，即k=所以直線l與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，直線l的方程為y=±3②當(dāng)3?k2≠0則Δ=?2k2此時(shí)，直線l的方程為y=±2x+1.綜上所述，直線l的方程為y=±3x+1或【變式51】5.（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？计谀┻^雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)F【答案】(1,【分析】求出直線l垂直于x軸時(shí)線段AB長，再根據(jù)這樣的直線有且僅有兩條列出不等式，求出ba【詳解】令雙曲線半焦距為c，則F(?c,0)，由x=?cx2a2?y2由于過左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交A,B兩點(diǎn)，使得AB=3b則當(dāng)直線l與雙曲線兩支相交時(shí)，3b>2a2b2a>3b當(dāng)直線l與雙曲線左支相交于兩點(diǎn)時(shí)，3b>2b2a2a>3b所以離心率e的取值范圍是(1,13故答案為：(1,【點(diǎn)睛】【變式51】6.（多選）（2022秋·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線x2a2?y23=1a>0A．0,1 B．1,2C．2,3 D．3,+【答案】AD【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①直線AB只與雙曲線右支相交，②直線AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，綜合可得答案．【詳解】解：過雙曲線x2a2?y23=1(a>0)的右焦點(diǎn)如果AB在同一支上，則有|AB|min=2b又6a與2a要使得|AB|=6，這樣的直線有且只有兩條，則2a>66a<6或2a<66a則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,1∪故選：AD．【變式51】7.（2020春·安徽蕪湖·高三蕪湖一中校考階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y212=1a>0，過其右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C交于A．34,8 B．32,8 C．【答案】B【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①直線AB只與雙曲線右支相交，②直線AB與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，可得答案．【詳解】Fc,0，令x=c，得y=±過雙曲線x2a2?y23=1(a>0)的右焦點(diǎn)如果AB在同一支上，則有|AB|如果AB在兩支上，則|AB|因?yàn)锳B=16這樣的直線l所以24a<162a<16即實(shí)數(shù)a的取值范圍是32故選：B.題型6雙曲線的弦長問題【方法總結(jié)】設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則==同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【例題6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）以雙曲線C:x23A．22 B．23 C．25【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，結(jié)合垂徑定理運(yùn)算求解.【詳解】由雙曲線C:x23∵雙曲線的焦點(diǎn)±c,0到漸近線bx±ay=0的距離d=bc故所得弦長l=2r故選：D.【變式61】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2bA．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可解得a2【詳解】∵雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=2x，∴ba=2，即b=2a.∵左焦點(diǎn)F?3,0，∴c=3，∴c故選：D【變式61】2.（2022春·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）曲線x2+(y?a)2=1與雙曲線yA．2 B．±2 C．3±52【答案】B【分析】由雙曲線方程可求得漸近線方程，由圓心到漸近線距離和半徑，結(jié)合勾股定理，可表示弦長，列出等式，即可求得a的值.【詳解】由雙曲線方程可求得一條漸近線方程為：y=ax，圓心為(0,a)，半徑為r=1，則圓心到直線的距離為：d=|a|由勾股定理求弦長：2r2?故選B.【點(diǎn)睛】本題考查漸近線方程和直線與圓相交所得的弦長問題，求漸近線方程時(shí)注意此雙曲線焦點(diǎn)在y軸，圓求弦長時(shí)，選擇幾何法結(jié)合勾股定理會(huì)使計(jì)算更加簡便，注意本題對a的符號(hào)無限制，無需取舍.【變式61】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線x2?y【答案】8【分析】寫出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用弦長公式求解即可.（也可以直接使用雙曲線焦點(diǎn)弦長公式代值求解）【詳解】由雙曲線x2?y2=4焦點(diǎn)為F(22,0)，傾斜角法一：直線斜率k=33，直線方程為聯(lián)立x2?y2=4由韋達(dá)定理知y1代入弦長公式AB=得AB=2法二：AB=故答案為：8.【變式61】4.（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線C的漸近線為y=±3x，且過點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長AB．【答案】(1)3(2)a=±1，AB【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為3x2?y2（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，故可得【詳解】（1）由雙曲線漸近線方程為y=±3x，可設(shè)雙曲線方程為：又雙曲線過點(diǎn)M1,2∴雙曲線的方程為：3（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2∵直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，∴Δ=4a2∴x1+x∵OA⊥OB，∴OA?又y1=ax1+1把（*）代入上式得?21+a23?a2+由弦長公式可得AB【變式61】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線x24?y28=1【答案】AB【分析】利用公式AB=【詳解】解：雙曲線x24?y28=1利用公式AB=2ab題型7雙曲線的中點(diǎn)弦問題【方法總結(jié)】雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以：，所以【例題7】2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線x28?A．x+y?3=0 B．2x+y?3=0 C．x?y+1=0 D．x?2y+3=0【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)Ax則有x128因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為M1,2所以x1因此由x1即直線AB的斜率為1，方程為y?2=x?1?x?y+1=0，代入雙曲線方程中，得y2因?yàn)?42所以線段AB存在，故選：C【變式71】1.（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：x2?yA．?94 B．?1 C．1 【答案】D【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)該弦為AB，設(shè)Ax則有x12?因?yàn)殡p曲線C的一條弦的中點(diǎn)為?1,?4，所以x1因此由x1即這條弦所在直線的斜率為94，方程為y+4=代入雙曲線方程中，得63x因?yàn)?262所以該弦存在，故選：D【變式71】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l

A．3 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】利用直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線漸近線的方程和性質(zhì)、雙曲線離心率的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)镕1Q?F2Q=0，則Q所以O(shè)Q是直角△F1F2Q斜邊中線，因此F所以△F1OQ∠F1OP=∠因?yàn)殡p曲線漸近線的方程為：y=±bba故選：B.【變式71】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線x2?yA．1,1 B．?1,2C．1,4 D．1,3【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得kAB【詳解】設(shè)Ax1,y1,Bx2,可得kAB因?yàn)锳,B在雙曲線上，則x12?所以kAB對于選項(xiàng)A：可得k=1,kAB=9聯(lián)立方程y=9x?8x2?此時(shí)Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：可得k=?2,kAB=?聯(lián)立方程y=?92x?此時(shí)Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：k=4,kAB=聯(lián)立方程y=94x+此時(shí)Δ=對于選項(xiàng)D：可得k=3,kAB由雙曲線方程可得a=1,b=3，則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)差法得到kAB【變式71】4.（2023秋·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知F1?F2是雙曲線C:x2a2?y2A．y=±72x B．y=±102x【答案】B【分析】由題干條件得到AF2=BF2，設(shè)出AF1=x【詳解】因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，且F1P?PF即AF因?yàn)镕1設(shè)AF1=x由雙曲線定義可知：AF所以AF2=2a+x又BF所以5x?2a+x解得：x=a，則F1P由勾股定理得：F2在三角形F1PF即3a2+5a2所以雙曲線的漸近線方程為y=±10故選：B【變式71】5.（2023秋·全國·高二期中）經(jīng)過點(diǎn)M2,2作直線l交雙曲線x2?y24=1(1)求直線l的方程．(2)求線段AB的長．【答案】(1)y=4x?6(2)2【分析】（1）利用點(diǎn)差法，設(shè)Ax1,（2）將直線方程代入雙曲線方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)Ax代入雙曲線方程得x1兩式相減得x12?因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以x1所以4(x1所以l的方程為y?2=4x?2，即y=4x?6經(jīng)驗(yàn)證y=4x?6符合題意，所以直線l的方程為y=4x?6；（2）將y=4x?6代入x2?y故x1所以AB=1+16題型8解答題【例題8】（2021秋·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y2=1的漸近線傾斜角分別為30°(1)求雙曲線方程．(2)過點(diǎn)P分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為Q,R，求證：|PQ|?|PR|為定值．【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由漸近線方程求解b，即可得雙曲線方程；（2）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，由點(diǎn)線距離公式用【詳解】（1）雙曲線漸近線方程為y=±33x，又b=1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)P(x0,則|PQ|?|PR|=又x023?y【變式81】1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=2x是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線,點(diǎn)A1,0在雙曲線C上,設(shè)Mm,nn≠0為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),直線AM與y軸相交于點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程;(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T,使得TP+TQ=(3)求M點(diǎn)的坐標(biāo),使得△MPQ的面積最小.【答案】(1)x(2)存在T2,0或(3)M的坐標(biāo)是2,2或2,?2或?【分析】（1）根據(jù)漸近線方程得ba=2,點(diǎn)A1,0在雙曲線C（2）假設(shè)Tt,0,由直線AM,AN方程得P,Q坐標(biāo),由向量的數(shù)量積運(yùn)算可得TP?TQ=0,用坐標(biāo)表示這個(gè)結(jié)論可得t與（3）直接計(jì)算△MPQ的面積,用基本不等式可得最小值,從而得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由已知得ba=21a2=1,解得（2）設(shè)Tt,0

根據(jù)題意得:AM:y=nm?1x?1,令x=0因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為N,所以N?m,n則AN:y=n?m?1x?1