2020-2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：特殊的平行四邊形

第1頁/共1頁2020-2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編特殊的平行四邊形一、單選題1．（2020·北京門頭溝·一模）已知，如圖，在菱形ABCD中．（1）分別以C，D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)；（2）作直線EF，且直線EF恰好經(jīng)過點(diǎn)A，且與邊CD交于點(diǎn)M；（3）連接BM．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，判斷下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．∠ABC=60° B．如果AB=2，那么BM=4C．BC=2CM D．二、填空題2．（2022·北京西城·一模）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在邊BC上，且DG=EF．只需添加一個條件即可證明四邊形DFGE是矩形，這個條件可以是______．（寫出一個即可）3．（2022·北京通州·一模）如圖所示，某種“視覺減速帶”是由三個形狀完全相同，顏色不同的菱形拼成，可以讓平面圖形產(chǎn)生立體圖形般的視覺效果．則的度數(shù)為______．4．（2021·北京房山·一模）如圖，點(diǎn)O是矩形的對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，．若，，則矩形的面積為________．5．（2021·北京大興·一模）如圖，在中，分別為邊上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．對于任意，下面四個結(jié)論中：①存在無數(shù)個四邊形，使得四邊形是平行四邊形；②至少存在一個四邊形，使得四邊形菱形；③至少存在一個四邊形，使得四邊形矩形；④存在無數(shù)個四邊形，使得四邊形的面積是面積的一半．所有正確結(jié)論的序號是___________．6．（2021·北京大興·一模）如圖，在正方形中，分別是的中點(diǎn)，若，則的長是__________．7．（2020·北京通州·一模）如圖，點(diǎn)A、B、C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)．點(diǎn)D為平面內(nèi)一個動點(diǎn)．線段AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為M、N、P、Q．在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，有下列結(jié)論：①存在無數(shù)個中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形③存在無數(shù)個中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形④存在無數(shù)個中點(diǎn)四邊形MNPQ是正方形所有正確結(jié)論的序號是___．8．（2020·北京順義·一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F是對角線AC上的兩個動點(diǎn)，且EF＝2，P是正方形四邊上的任意一點(diǎn)．若△PEF是等邊三角形，則符合條件的P點(diǎn)共有_____個，此時AE的長為_____．三、解答題9．（2022·北京東城·一模）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點(diǎn)（），連接BE，DE．(1)求證：；(2)過點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)F，延長BC至點(diǎn)G，使得，連接DG．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示BE與DG的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．（2022·北京石景山·一模）如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CD，CF，BF．(1)求證：四邊形BFCD是菱形；(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面積．11．（2022·北京大興·一模）下面是小云設(shè)計(jì)的“利用等腰三角形和它底邊的中點(diǎn)作菱形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，在△ABC中，，D是AC的中點(diǎn)．求作：四邊形ABCE，使得四邊形ABCE為菱形．作法：①作射線BD；②以點(diǎn)D為圓心，BD長為半徑作弧，交射線BD于點(diǎn)E；③連接AE，CE，則四邊形ABCE為菱形．根據(jù)小云設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴．又∵，∴四邊形ABCE為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．∵，∴為菱形（______）（填推理的依據(jù)）．12．（2022·北京通州·一模）如圖．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作交CB的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形DEFB是平行四邊形；(2)當(dāng)AD＝4，BD＝3時，求CF的長．13．（2022·北京海淀·一模）如圖，在中，，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在射線AD上，且．(1)求證：四邊形BECF是菱形；(2)若，，求菱形BECF的面積．14．（2021·北京豐臺·一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．15．（2021·北京石景山·一模）閱讀下面材料：小石遇到這樣一個問題：圖1，分別是的邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），與的角平分線交于點(diǎn)P，的周長為a，過點(diǎn)P作于點(diǎn)于點(diǎn)N，求與的周長a的數(shù)量關(guān)系．小石通過測量發(fā)現(xiàn)了垂線段與的數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)造全等三角形和直角三角形，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得解決．（1）線段與的數(shù)量關(guān)系為__________；與a的數(shù)量關(guān)系是____________．（2）如圖2，當(dāng)時，其它條件不變，判斷點(diǎn)P到的距離與的周長a的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由．16．（2021·北京東城·一模）尺規(guī)作圖：如圖，已知線段a，線段b及其中點(diǎn)．求作：菱形ABCD，使其兩條對角線的長分別等于線段a，b的長．作法：①作直線m，在m上任意截取線段；②作線段AC的垂直平分線EF交線段AC于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，線段b的長的一半為半徑畫圓，交直線EF于點(diǎn)B，D；④分別連接AB，BC，CD，DA；則四邊形ABCD就是所求作的葵形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：，四邊形ABCD是_______________．，四邊形ABCD是菱形（____________________________）（填推理的依據(jù)）．17．（2021·北京平谷·一模）如圖，中，，D是AC的中點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)C作CE//BD，過點(diǎn)B作BE//AC兩直線相交于點(diǎn)E.（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求四邊形的面積.18．（2021·北京房山·一模）已知：在中，，以為斜邊作等腰，使得A，D兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)時，①求的度數(shù)；②判斷線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）若，線段與的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？依題意補(bǔ)全圖2，并證明．19．（2021·北京門頭溝·一模）在正方形ABCD中，將邊AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段AE，AE與CD延長線相交于點(diǎn)F，過B作交CF于點(diǎn)G，連接BE．（1）如圖1，求證：；（2）當(dāng)（）時，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．20．（2021·北京房山·一模）如圖，四邊形是平行四邊形，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，且，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，求的長．21．（2021·北京房山·一模）已知：為銳角三角形，．求作：菱形．作法：如圖，①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)E，作射線與交于點(diǎn)O；③以點(diǎn)O為圓心，以長為半徑作弧，與射線交于點(diǎn)D，連接，；四邊形就是所求作的菱形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵平分，∴________．∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形（_______）（填推理的依據(jù)）．22．（2021·北京門頭溝·一模）已知：，CD平分．求作：菱形DFCE，使點(diǎn)F在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，下面是尺規(guī)作圖過程．作法：①分別以C、D為圓心，大于為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M、N；②作直線MN分別與AC、BC交于點(diǎn)E、F；③連接DE、DF，DC與EF的交點(diǎn)記為點(diǎn)G；四邊形DFCE為所求作的菱形．（1）利用直尺和圓規(guī)依做法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：，為DC的垂直平分線．，．平分，．，__________（

）（填推理依據(jù)）同理可證，四邊形DFCE為平行四邊形．又____________________，四邊形DFCE為菱形．23．（2021·北京順義·一模）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面積．24．（2020·北京·一模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接EF并延長，交AD的延長線于點(diǎn)G，若∠CEG=30°，AE=2，求EG的長．25．（2020·北京延慶·一模）四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AD的延長線上，且點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線CD對稱，過點(diǎn)E作EG∥AF交CD于點(diǎn)G，連接FG，DE．（1）求證：四邊形DEGF是菱形；（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四邊形DEGF的面積．26．（2020·北京平谷·一模）如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接、，若，，求的長．27．（2020·北京通州·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連接DE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)P，連接PA，∠DPA＝2∠DPC．求證：DE＝2PA．28．（2020·北京房山·一模）如圖，矩形ABCD，過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DH⊥BE于H，G為AC中點(diǎn)，連接GH．（1）求證：BE＝AC．（2）判斷GH與BE的數(shù)量關(guān)系并證明．29．（2020·北京平谷·一模）如圖，OG平分∠MON，點(diǎn)A是OM邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥OG于點(diǎn)B，C為線段OA中點(diǎn)，連結(jié)BC．求證：BC∥ON．30．（2020·北京順義·一模）如圖，AM∥BC，且AC平分∠BAM．（1）用尺規(guī)作∠ABC的平分線BD交AM于點(diǎn)D，連接CD．（只保留作圖痕跡，不寫作法）（2）求證：四邊形ABCD是菱形．

參考答案1．B【分析】連接AC，根據(jù)線段重直平分線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)即可判斷A選項(xiàng)正確；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)求出∠BAM=90°，利用三角函數(shù)求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判斷B選項(xiàng)；根據(jù)線段垂直平分的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得BC=2CM，由此判斷C選項(xiàng)；利用同底等高的性質(zhì)證明△ABM的面積=△ABC的面積=△ACD的面積，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】如圖，連接AC，由題意知：EF垂直平分CD，∴AC=CD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴AC=AD=CD=AB=BC，∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正確；∵AM垂直平分CD，∴∠CAM=∠DAM=30°，∴∠BAM=90°，∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D項(xiàng)正確；∵AB=2，∴AC=CD=2，∴AM=AC·cos30°=2×=，∴BM===，故B項(xiàng)錯誤；由AM垂直平分CD可得CM=CD，又∵BC=CD，∴CM=BC，即BC=2CM，故C項(xiàng)正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，是一道綜合題，掌握知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2．或【分析】由DE是中位線得出，又DG=EF表示的是對角線相等，根據(jù)：對角線相等的平行四邊形是矩形；增加條件使四邊形DFGE是平行四邊形即可．【詳解】解：分別是的中點(diǎn)，，當(dāng)時，四邊形DFGE是平行四邊形，，四邊形DFGE是矩形；當(dāng)時，四邊形DFGE是平行四邊形，，四邊形DFGE是矩形；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定、平行四邊形的判定，根據(jù)：對角線相等的平行四邊形是矩形；準(zhǔn)確分析出平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．3．【分析】如圖是由三個形狀完全相同的菱形拼成的一個平面圖形，根據(jù)平面圖形的鑲嵌的定義可知，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三個角之和為，根據(jù)題意又可知這三個角相等，所以，然后再利用菱形對角相等的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵如圖是由三個菱形拼成的一個平面圖形；∴以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三個角之和為，又∵這三個菱形的形狀完全相同；∴以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三個角相等，∴∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的鑲嵌和菱形的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是理解平面圖形的鑲嵌的定義．4．【分析】由題意易得OA=OB=2，進(jìn)而可得，則，然后問題可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，，，∴，∵，∴，∴在Rt△OEB中，，∴，∴矩形的面積為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形中位線、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、三角形中位線、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．①②④．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、矩形的判定逐條判斷即可．【詳解】解：只要滿足AB∥EF，四邊形是平行四邊形，這樣的EF有無數(shù)條，故①正確；因?yàn)?，可在AD上截取AE=AB，再滿足AB∥EF，四邊形是菱形，故②正確；因?yàn)槭侨我?，∠B不一定是直角，矩形不一定存在，故③錯誤；當(dāng)EF經(jīng)過對角線交點(diǎn)時，四邊形的面積是面積的一半，故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形、矩形的判定，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用所學(xué)四邊形的性質(zhì)與判定，準(zhǔn)確進(jìn)行推理判斷．6．4．【分析】連接BD，根據(jù)中位線性質(zhì)求出BD，再根據(jù)正方形對角線相等可求AC．【詳解】解：連接BD，∵分別是的中點(diǎn)，∴BD=2EF=4，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC=BD=4；故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和中位線性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接對角線，構(gòu)建中位線．7．①②③【分析】根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)：一般中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，對角線垂線的中點(diǎn)四邊形是矩形，對角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形，由此即可判斷．【詳解】解：∵一般中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，對角線垂線的中點(diǎn)四邊形是矩形，對角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形，∴存在無數(shù)個中點(diǎn)四邊形MNPQ是平行四邊形，存在無數(shù)個中點(diǎn)四邊形MNPQ是菱形，存在無數(shù)個中點(diǎn)四邊形MNPQ是矩形．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)四邊形，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．8．

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或【分析】當(dāng)點(diǎn)P在AD上時，過點(diǎn)PH⊥EF于H，由等邊三角形的性質(zhì)可求PH＝，由正方形的性質(zhì)可求∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，可得AH＝PH，可求AE＝﹣1，同理可求點(diǎn)P在AB，CD，BC上時，AE的值，即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時，過點(diǎn)PH⊥EF于H，∵△PEF是等邊三角形，PH⊥EF，∴∠PEF＝60°，PE＝PF＝EF＝2，EH＝FH＝1，∴PH＝，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，∵PH⊥AC，∴∠APH＝∠PAH＝45°，∴AH＝PH＝，∴AE＝﹣1，同理可得：當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，AE＝﹣1，當(dāng)點(diǎn)P在CD或BC上時，AE＝4﹣2﹣（﹣1）＝4﹣﹣1，故答案為：4，或．【點(diǎn)睛】考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用其性質(zhì)．9．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得依據(jù)SAS證明即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題中作圖步驟補(bǔ)全圖形即可；②連接EG，證明,得GE=BE,，由（1）得再運(yùn)用勾股定理可得出結(jié)論．（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，∵AC是正方形的對角線，∴∠在△和△中，∴△∴（2）①補(bǔ)全圖形如下：②連接GE，如圖，∵∴∠∴∠∴，，又∴△∴∴，由（1）知：△，∴∠∴∠即∠，∴∠由勾股定理得，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)菱形BFCD的面積為120．【分析】（1）先證四邊形BFCD是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=AB=BD，即可得出結(jié)論；（2）由題意推出DE是△ABC的中位線，從而得到∠BDE=∠A，再由余弦的定義，及勾股定理可求出菱形的兩條對角線的長度，從而得到菱形的面積.（1）證明：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，又∵EF=DE，∴四邊形BFCD是平行四邊形，∵D是邊AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴CD=AB=BD，∴平行四邊形BFCD是菱形；（2）解：∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∵cosA=，∴cos∠BDE==，∵DE=5，∴BD=13，∴BE=12，∴DF=2DE=10，BC=2BE=24，∴菱形BFCD的面積=×10×24=120．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線定理等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形BFCD為菱形是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的四邊形為平行四邊形【分析】（1）作射線BD后，以點(diǎn)D為圓心，BD長為半徑作弧，交射線BD于點(diǎn)E，連接AE，CE，即可；（2）先證明四邊形為平行四邊形，再由一組鄰邊相等即可得到．（1）解：根據(jù)題中步驟作圖如下：（2）證明：證明：∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴．又∵，∴四邊形ABCE為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵，∴為菱形（一組鄰邊相等的四邊形為平行四邊形），故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定，作圖的基本方法，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定定理．12．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題目所給條件得到三角形是等腰三角形，由角平分線的條件，根據(jù)“三線合一”的知識，從而得到點(diǎn)D為中點(diǎn)，再利用中位線的性質(zhì)，從而得到，再根據(jù)平行四邊形判定定理即可證明；（2）根據(jù)等腰三角形“三線合一”的知識，從而得到為直角三角形，根據(jù)題目所給條件，得出的長，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，得到的長度，從而得到最后結(jié)果．（1）證明：∵在△ABC中，AB＝BC，∴△ABC為等腰三角形，∴，又∵BD為∠ABC的角平分線，∴，又∵，∴，∴，∴D為中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴為中位線，∴，即，又∵，∴四邊形DEFB是平行四邊形．（2）解：∵由（1）得，∴，又∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴為的中線，∴，∵在中，AD＝4，BD＝3，∴，∴，又∵四邊形DEFB是平行四邊形，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線，平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和勾股定理的知識，解決本題的關(guān)鍵是利用好中點(diǎn)的條件以及平行四邊形的性質(zhì)．13．(1)見解析(2)【分析】（1）先由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，根據(jù)題意，求出，，再根據(jù)勾股定理列出方程求解，最后計(jì)算菱形的面積即可．（1），D是BC的中點(diǎn)，，，四邊形BECF是菱形；（2）設(shè)，，，，，，，，在中，，即，解得，，菱形BECF的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)定理，勾股定理，菱形的面積，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．14．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC且AD=BC，等量代換得到BC=EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10－4＝6，在Rt△ABE中，由勾股定理得:，在Rt△ACE中，由勾股定理得：，

∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15．（1）PM=PN，；（2）（或），理由見解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等可證PG=PM=PN，再根據(jù)HL定理可證明DM=DG，GE=EN，最后根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定以及線段的和差可得結(jié)論；（2）由（1）可得PM=PH=PN，的周長a=PM+BN，根據(jù)角平分線的判定定理可得BP為∠ABC的角平分線上，根據(jù)含30°角的直角三角形的特點(diǎn)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）作PG⊥DE與DE交于G，∵DP為的平分線，，PG⊥DE，∴PM=PG，同理可證明PG=PN，∴PM=PN，在Rt△PDM和Rt△PDG中，∵PM=PG，PD=PD，∴Rt△PDM≌Rt△PDG（HL），∴DM=DG，同理可證GE=EN，∴，∵，，，∴，∴四邊形BNPM為矩形，∴PN=BM,PM=BN，∴故答案為：PM=PN，；（2）（或），理由如下：作PH⊥DE，連接BP，與（1）同理可證PM=PH=PN，的周長a=BM+BN，∴P在∠ABN的角平分線上，∵，∴∠ABP=∠PBN=30°，∴在Rt△BPM中，BP=2PM，根據(jù)勾股定理,同理可證，∴（或）．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和判定，HL定理，矩形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理等．本題主要是角平分線的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用，理解角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等和在角內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上是解題關(guān)鍵．16．（1）作圖見解析；（2）平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形為菱形【分析】（1）根據(jù)題干中提示的步驟，逐步作圖即可；（2）根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）按照步驟，作圖如圖所示：（2）證明：，四邊形ABCD是平行四邊形．，四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．故答案為：平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖-作菱形，以及理論證明，掌握基本作圖的方法，以及菱形的判定定理是解題關(guān)鍵．17．（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)兩組對邊平行和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可證出（2）連接DE交BC于F，先根據(jù)直角三角形性質(zhì)和菱形性質(zhì)先求出，根據(jù)已知邊長，求出，進(jìn)而求出四邊形面積．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)C作CE//BD，過點(diǎn)B作BE//AC四邊形BECD是平行四邊形在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，D是AC中點(diǎn)∴BD=DC四邊形是菱形；（2）連接DE交BC于F，四邊形是菱形；∴

．【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角相關(guān)性質(zhì)和菱形判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，準(zhǔn)確記住相關(guān)的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（1）①；②，理由見詳解；（2）圖見詳解，線段與的數(shù)量關(guān)系保持不變，理由見詳解．【分析】（1）①由題意易得，，則有，進(jìn)而可得，然后問題可求解；②由①可得：∠CDE=∠EBD=25°，過點(diǎn)C作CH⊥AB，并延長，然后過點(diǎn)D作DF⊥CH的延長線于點(diǎn)F，則，然后可得四邊形是矩形，進(jìn)而可得△CFD≌△BED，則四邊形是正方形，由此可得，最后問題可求解；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CG⊥ED，交ED延長線于點(diǎn)G，EG交AC于點(diǎn)F，由題意易證，進(jìn)而可得，，，然后問題可求解．【詳解】解：（1）①∵△BDC是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②，理由如下：由①可得：∠CDE=∠EBD=25°，過點(diǎn)C作CH⊥AB，并延長，然后過點(diǎn)D作DF⊥CH的延長線于點(diǎn)F，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴CH∥DE，∴∠FCD=∠CDE=∠EBD=25°，∵△BDC是等腰直角三角形，∴，∴△CFD≌△BED（AAS），∴DE=DF，CF=BE，∴四邊形是正方形，∴HF=HE，∵∠A=45°，∴△AHC是等腰直角三角形，∴AH=CH，∵，∴，∴；（2）線段與的數(shù)量關(guān)系保持不變，理由如下：由題可得如圖所示：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CG⊥ED，交ED延長線于點(diǎn)G，EG交AC于點(diǎn)F，如圖，∴，∵∠A=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∠AFE=45°，∴∠GFC=∠AFE=45°，∴△GFC是等腰直角三角形，∴GF=GC，∵△BDC是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定及矩形的判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定及矩形的判定是解題的關(guān)鍵．19．（1）證明見解析，（2）補(bǔ)圖見解析，F(xiàn)E=DG+AH；證明見解析．【分析】(1)證四邊形FABG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可證；(2)按題意畫圖，作AM⊥BE于M，交BG、CD于點(diǎn)L、K，證四邊形ABLE是菱形，得出四邊形FELG是平行四邊形，證△ADK≌BAH，再證GL=GK即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形FABG是平行四邊形，∴∠FAB=∠FGB，∵∠FAB+∠AEB+∠ABE=180°，∠CGB+∠FGB=180°，∴∠CGB=∠AEB+∠ABE，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，∴；（2）補(bǔ)圖如圖3，線段之間的數(shù)量關(guān)系為：FE=DG+AH；作AM⊥BE于M，交BG、CD于點(diǎn)L、K，連接EL，∵AE=AB，∴EM=MB，∵，∴∠AEB=∠EBL，∠AME=∠LMB，∴△AME≌△LMB，∴AE=LB，∴四邊形ABLE是平行四邊形，∵AE=AB，∴四邊形ABLE是菱形，∴EL∥AB，AB=BL，∵AB∥FG，∴EL∥FG，∴四邊形FGLE是平行四邊形，∴FE=GL，∵AB=BL，∴∠LAB=∠BLA，∵AB∥FG，∴∠GKL=∠LAB，∴∠GKL=∠BLA，∵∠ALB=∠GLK，∴∠GKL=∠GLK，∴GL=GK，∴FE=GK，∵∠DAK+∠BAK=90°，∠ABH+∠BAK=90°，∴∠DAK=∠ABH，∵∠ADK=∠BAH，AD=AB，∴△ADK≌△BAH，∴DK=AH，∴FE=GK=DG+DK=DG+AH；【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建全等三角形和平行四邊形．20．（1）見詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，，則有，，進(jìn)而可證，則有，然后問題可求證；（2）由（1）可得，由勾股定理可得，設(shè)BF=x，則，進(jìn)而可得，最后根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形；（2）由（1）可得：四邊形是矩形，∵，∴，∴在Rt△AEB中，，設(shè)BF=x，則，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，在Rt△DFB中，由勾股定理可得，∴，即，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等及勾股定理是解題的關(guān)鍵．21．（1）圖見詳解；（2）BO，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行作圖；（2）由題意易得，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定定理可求解．【詳解】（1）解：由題意可得如圖所示：∴四邊形就是所求作的菱形；（2）證明：∵平分，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；故答案為BO，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖、菱形的判定、平行四邊形的判定及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作圖、菱形的判定、平行四邊形的判定及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）作圖見解析；（2）DE；FC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；DE=EC（或DF=FC）．【分析】（1）根據(jù)題目作法可以得到求作圖形；（2）由題意可以推得四邊形DFCE為平行四邊形，再由DE=EC可以得到四邊形DFCE為菱形．【詳解】（1）根據(jù)題目作法可以得到下面圖形：其中四邊形DFCE為所求作的菱形；（2）證明：，為DC的垂直平分線．，．平分，．，DEFC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行

）（填推理依據(jù)）同理可證，四邊形DFCE為平行四邊形．又，四邊形DFCE為菱形．故答案為DE；FC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；DE=EC（或DF=FC）．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定及作圖，熟練掌握菱形的判定方法及作圖要領(lǐng)是解題關(guān)鍵．23．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由平行四邊形的判定得出四邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OC=OD，根據(jù)菱形的判定得出即可．（2）解直角三角形求出BC=2，AB=DC=2，連接OE，交CD于點(diǎn)F，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出F為CD中點(diǎn)，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面積即可．【詳解】（1）證明：，，四邊形OCED是平行四邊形，矩形ABCD，，，，，平行四邊形OCED是菱形；（2）在矩形ABCD中，，，，，，連接OE，交CD于點(diǎn)F，四邊形OCED為菱形，∴F為CD中點(diǎn)，為BD中點(diǎn)，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的面積等于對角線積的一半．24．(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定證得≌，從而得到AB=AD，再由菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得到∠G=30°，∠EAG=90°，再由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵BE=DF，∴≌，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CEG=∠G，∠AEB=∠EAG，∵∠CEG=30°，AE⊥BC，∴∠G=30°，∠EAG=90°，又∵AE=2，∴EG=2AE=4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．25．（1）見解析；（2）20【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可得FD＝ED，F(xiàn)G＝EG，可證△FDG≌△EDG，可得∠EDG＝∠FDG，由平行線的性質(zhì)可得∠EGD＝∠FDG＝∠EDG，可得ED＝EG，可得結(jié)論；（2）連接FC，EC，先證四邊形ABCF是矩形，可得AB＝CF，由軸對稱的性質(zhì)可得CE＝CF＝10，由勾股定理可求BE，AE，DF的長，即可求解．【詳解】證明：（1）∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線CD對稱，∴FD＝ED，F(xiàn)G＝EG，且DG＝DG，∴△FDG≌△EDG（SSS），∴∠EDG＝∠FDG，∵EG∥AF，∴∠EGD＝∠FDG，∴∠EGD＝∠EDG，∴ED＝EG，∴FD＝ED＝FG＝EG，∴四邊形DEGF是菱形；（2）連接FC，EC，則CE＝CF∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥CB，且AF＝BC＝8，∴四邊形ABCF是平行四邊形，且∠A＝90°，∴四邊形ABCF是矩形，∴CE＝CF＝AB＝10，在中，∴，∴AE＝4，設(shè)FD＝ED＝FG＝EG＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5．∴S＝5×4＝20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．26．（1）見解析；（2）【分析】（1）先根