2024年中考數學復習：平面直角坐標系與函數

平面直角坐標系與函數

函數圖象中的信息讀取題

解題策略閱讀函數圖象信息

基于函數圖象提供問題情境的一類試題是中考選擇或填空題中常見的壓軸題，此類問題往往需要結合實際情境、

挖掘、探求關鍵圖像信息.解題關鍵是理解函數圖象中的變化關系.

解決這類問題一般可以采用以下策略：

1.弄清橫坐標、縱坐標所表示的含義，包括實際意義、單位等，此類題目橫坐標大多數與時間有關；

2.研究關鍵點的意義，關鍵點包括始終點、轉折點、與坐標軸的交點；

3.圖象的變化趨勢，是上升還是下降，是直線還是曲線；

4.若在一個坐標系中有多個函數圖象，交點所表示的含義是什么；

5.對于較復雜的問題必要時要求出每段函數圖象的關系式進行求解.

精選例題

例LA,B兩地相距的路程為240千米，甲、乙兩車沿同一線路從A地出發(fā)到B地，分別以一定的速度勻速行

駛.甲車先出發(fā)40分鐘后，乙車才出發(fā).途中乙車發(fā)生故障，修車耗時20分鐘，隨后，乙車車速比發(fā)生故障前減少

了10千米/小時（仍保持勻速前行）,甲、乙兩車同時到達B地，甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車行駛時間x（小

時）之間的關系如圖所示，求乙車修好時，甲車距B地還有千米.

解析

觀察函數圖象，橫軸表示時間，單位是小時，縱軸表示的是甲、乙兩車相距的路程y（千米），而不是甲、乙車

距離出發(fā)地或終點的距離；與x的交點說明兩車相遇.整個過程甲車始終正常行駛；A點表示甲車開始出發(fā)，B點乙

車開始出發(fā)；

線段①上升，兩車距離越來越大，說明甲車行駛而乙車尚未出發(fā)，行駛時間是40分鐘，（注意時間單位），可

求出甲車的速度，進而可求出全程行駛時間；

線段②下降說明兩者的距離越來越短，乙車的速度大于甲車的速度根據（|,30）、（2,10）可求出甲乙車的速度差，

進而求出乙車的速度，C點表示乙車追上甲車；

線段③說明乙車超過甲車，兩者距離越來越大，到達點D發(fā)生轉折，說明D點乙車發(fā)生故障，開始修車；

線段④⑤只有甲車行駛點E說明甲車到達乙車發(fā)生故障的地點并開始超過乙車行駛到達F點后發(fā)生轉折，

說明乙車修好開始行駛，此時說明D、F間的時間間隔為20分鐘，之后兩者之間的距離越來越近；

線段⑥比線段②下降慢，甲車速度沒變，乙車速度降低，最后共同到達終點G

解由題意可得，

甲車的速度為：30+9=45千米/時，甲車從A地到B地用的時間為：240+45=5；（小時）,

OU3

乙車剛開始的速度為：[45X2-10]+（2-|）=60千米/時，

乙車發(fā)生故障之后的速度為：60-10=50千米/時.

設乙車發(fā)生故障時，乙車已經行駛了a小時，

60ci+50xf5------a"）=240,

\36060）

解得，a=

???乙車修好時，甲車行駛的時間為：S+（+弓=號小時.

6U36U3

，乙車修好時，甲車距B地還有：45x（5j-y）=90千米，故答案為90.

精選練習

1.快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛.圖中折線表示快、

慢兩車之間的路程y（km）與它們的行駛時間x（h）之間的函數關系.小欣同學結合圖像得出如下結論：

①快車途中停留了0.5h；②快車速度比慢車速度多20km/h；③圖中a=340；④快車先到達目的地.其中正確的

是（）

2.如圖，在四邊形ABCD中，AD\\BC,ZD=90°,AB=4,BC=6"AD=30。,動點P沿路徑A—B一C—D從點A

出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點D運動過點P作PH14。垂足為點H設點P運動的時間為x（單位：

s）,△4PH的面積為y,則y關于x的函數圖像大致是（）

3.新龜兔賽跑的故事：龜兔從同一地點同時出發(fā)后，兔子很快把烏龜遠遠甩在后頭.驕傲自滿的兔子覺得自己遙

遙領先，就躺在路邊呼呼大睡起來當它一覺醒來，發(fā)現烏龜已經超過它，于是奮力直追，最后同時到達終點.用，

Si、S2分別表示烏龜和兔子賽跑的路程，t為賽跑時間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）

BCD

精選例題

例2.在一條筆直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，

乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地，在甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y(k

m)與甲車行駛時間t(h)之間的函數關系如圖所示.下列結論：①甲車出發(fā)2h時，兩車相遇;②乙車出發(fā)1.5h時，兩車

相距170km;③乙車出發(fā)2,八時，兩車相遇；④甲車到達C地時，兩車相距40km.其中正確的是(填寫所有

正確結論的序號).

240

200

結合題目觀察函數圖象，橫軸表示時間，縱軸表示甲、乙兩車各自與c地的距離.所以甲乙圖象的第一個交點

不是表示甲乙車相遇，而是此時兩車到乙地距離相等；

A.分析甲車：初始時240km說明AC距離240km,甲車行駛4小時，可求出甲車速度為60km/h,2小時后可

求得甲車到C地還有120km;

B.分析乙車:開始1小時保持200km不變，說明B點距離C地200km,乙車尚未出發(fā),3.5小時到達C地，行駛

了2.5小時，可求出乙車的速度為80km/h；3.5小時后乙車在CA段行駛.

C.3.5小時后的交點表示甲乙車再次距離C地的距離相等，同時也表示兩車相遇.

①觀察函數圖象可知，當t=2時，兩函數圖象相交，結合交點代表的意義，即可得出結論①錯誤；②根據速度

=路程一時間分別求出甲、乙兩車的速度，再根據時間=路程，速度和可求出乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km,結

論②正確；③根據時間=路程+速度和可求出乙車出發(fā)2,h時，兩車相遇，結論③正確；④結合函數圖象可知當甲

到C地時，乙車離開C地0.5h,根據路程=速度x時間,即可得出結論④正確.綜上即可得出結論.

解①觀察函數圖象可知，當t=2時，兩函數圖象相交.

???C地位于A、B兩地之間，，交點代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結論①錯誤；

②甲車的速度為240+4=60(/mi/h),,乙車的速度為200+(3.5-l)=80(km/h).：(240+200-60—170)+(60+80)=1.5

(h),.?.乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km,結論②正確；

⑨(240+200-60)+(60+80)=2，%)，，...乙車出發(fā)時，兩車相遇，結論③正確；

④v80x(4-3.5)=40(En),...甲車至I」達C地時，兩車相距40km,結論④正確.

故答案為②③④.

精選練習

4.甲乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻t的對應關系如圖所示，則

下列結論錯誤的是().

A.甲車的平均速度為60km/hB.乙車的平均速度為100km/h

C.乙車比甲車先到B城D.乙車比甲車先出發(fā)1h

5:006:00730颯IftOOt60x/分

第4題圖第5題圖

5.某快遞公司每天上午9:00-10:00為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來繳收快件，乙倉庫用來派發(fā)快件,

該時段內甲、乙兩倉庫的快件數量y（件）與時間x（分）之間的函數圖象如圖所示，那么當兩倉庫快遞件數相同時，此

刻的時間為（）

A.9:15B.9:20C.9:25D.9:30

函數圖象的性質題

中考中考查函數的系數與函數圖象的關系的題型一般有兩種考查方式：

1.單獨考查函數系數對函數圖象的影響；

2.考查含有相同字母系數的兩個不同函數的圖象是否正確.

而這兩種考查方式都是建立在對函數解析式中字母系數對函數圖象的影響的充分理解和掌握的基礎上的，所以

解答的關鍵還是在于對函數知識的掌握程度，如二次函數的系數符號與其圖象的密切關系.同時，要善于用數形結合

的思想來思考問題.

解題策略一含有相同字母系數的兩個函數圖象的判斷

解答該類型題目時一般有兩種策略：分類討論和逐項排除法.

1.分類討論：即把函數圖象中的相同的字母系數分為大于0、小于。兩種情況，在同一個平面直角坐標系中分

別畫出兩種情況下函數的大致圖象，然后與選項逐一驗證即可；

2.逐項排除法：即對四個選項逐一驗證進行排除，其基本方法是，先假定某一選項中“較簡單”的函數圖象是正

確的，然后由此推斷該函數的字母系數的符號（正還是負）,再利用該字母系數的范圍驗證另外一個函數的圖象是否

符合，如果符合說明該選項的圖象都正確，如果不符合則該選項的函數圖象是錯誤的.

精選例題

例已知反比例函數y=F的圖象如圖所示，則二次函數y=a%2-2X和一次函數y=bx+a在同一平面直角坐

標系中的圖象可能是（）.

解析一：分類討論

由反比例函數圖象可知ab>0,故分a>0,b>0或者a<0,b<0兩種情況.

由二次函數y=a久2-2X可知拋物線的圖象過原點，排除A選項；

如果a>0,b>0,則拋物線y=a/-2%開口向上，對稱軸在y軸的右側,一次函數圖象過一、二、三象限，排

除B、D,選項C正確；

如果a<0,b<0廁拋物線y=ax2-2%開口向下，對稱軸在y軸的左側，一次函數圖象過二、三四象限，B、C、

D選項都錯誤；

所以只有a>0,b>0,選項C正確，故選C.

解析二：逐項排除

A項，拋物線圖象不過原點，所以選項A錯誤；

B項，由一次函數圖象過一、二、四象限，故a>0,b<0,ab<0,故選項B錯誤；

C項，假定一次函數圖象正確，由一次函數圖象過一、二、三象限，故a>0,b>0,此時拋物線y=ax2-2x的

圖象開口向上，對稱軸在y軸的右側，故拋物線的圖象正確，且滿足ab>0,故C正確；

D項，假定一次函數圖象正確，由一次函數圖象過二、三、四象限，故a<0,b<0，滿足ab>0，此時拋物線y=ax2

-2x的圖象開口向下，對稱軸在y軸的左側，故拋物線的圖象錯誤，雖然滿足ab>0,但選項D依然錯誤.

精選練習

2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數.y=。久+匕和反比例函數y=（在同一平面直角坐

解題策略二二次函數字母系數與函數圖象的關系

二次函數y=ax2+bx+c（a豐0）的系數符號與拋物線y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象有著密切的關系.根據

拋物線的形狀可以判斷a,b,c的符號，反之a,b,c的符號也可以確定拋物線y=ax2+bx+c（a豐0）的大致形

狀與位置.二次函數y=ax2+bx+c（a豐0）的系數對函數圖象的影響一般有以下幾個方面：

La的正負決定拋物線的開口方向，間的大小決定拋物線開口的大小，間越大開口越?。?/p>

2.&=0,,即二次函數中不包含一次項，則對稱軸為y軸；

3.c為拋物線與y軸的交點的縱坐標，c>0,,交點在y軸的正半軸上，c<0,,交點在y軸的負半軸上；

4.a,b決定對稱軸的位置，a,b同號，對稱軸在y軸的左側，a,b異號，對稱軸在y軸的右側，對于結合圖

形判斷ma+nb=0（m,n是常數，式子中不包含c）是否正確，則將原式化簡成—生=-/然后與函數圖象中對稱軸

進行比較，如果一致說明ma+nb=0正確，否則錯誤；

5.千萬不要忘記拋物線的對稱性和頂點坐標；

6.判斷am2+bm+c>。（或<0）,可在函數圖象上畫出.x=mm（垂直于x軸）的直線，看該直線與拋物線的交

點在x軸的上方或下方即可；對于am+bn+c>0（或<0）類型的式子，則將題目中的已知坐標代入進行化簡，然后用同

一個字母表示另外兩個字母，最后進行判斷；

7./-4ac的正負性是通過觀察圖象與x軸的交點來判斷的；

8.判斷ax2+bx+c=ni是否有根，可在坐標系中畫出.y=m,,看其與拋物線有幾個交點即可；

9.確定使得ax2+bx+c<0（>0）的x的范圍，常常先從圖象入手，觀察其在對應方程兩根之間還是兩根之外.

精選例題

例1.如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a/））的圖象的一部分，與x軸的交點A在

點（2,0）和（3,0）之間，對稱軸是x=l對于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+bNm（am+b）（m為實

數）;⑤當-l<x<3時，y>0.其中正確的是（）.

A.①②④B.①②⑤

C.②③④D.③④⑤

解析

本題給出了部分函數圖象、圖象的對稱軸及圖象與X軸的一個交點坐標范圍，所以利用數形結合的思想來解答

比較合適.由拋物線的開口方向可判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸判

定b與0的關系以及2a+b=0；a+bNm(am+b)可轉化成am2+bm+c<a+b+c,即該函數在x=m處的函數值不大

于其在x=l處的函數值，也就是x=l時，該函數有最大值.由部分圖象可觀察出當x取何值時y>0.

解①,：對稱軸在y軸右側,，a、b異號,ab<0,故①正確；

②：對稱軸x=-^-=1,2a+b=0;故②正確；

2a

@2a+b=0,.1.b=-2a,.,.當x=-l時,y=a-b+c<0,；.a--(-2a)+c=3a+c<0,故③錯誤；

④根據圖示知，當m=l時，有最大值；當m^l時，有am2+bm+c<a+b+c,所以a+b>m(am+b)(m為實數).

故④正確.

⑤如圖，當-l<x<3時,y不只是大于0.故⑤錯誤.

故選A.

例2.二次函數y=ax2+bx+c(a*0)的大致圖象如圖所示，頂點坐標為(-2,-9a)，下列結論:

①4a+2b+c>0;②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)(x--l)=--l有兩個根x1和x2，且%2,久i<久2廁-5<

xi<x2<1;④若方程|af+6刀+c|=1有四個根，則這四個根的和為-4.其中正確的結論有().

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析

解析一：利用二次函數的性質，可知拋物線的對稱軸為%=-白將頂點坐標(2-9a)代入對稱軸的關系式中，

2a

可得到含a的式子，并可表示出b,c,從而將二次函數轉化為只含有一個字母系數的解析式，然后進行討論即可.

解析二：(①4a+26+c=ax2?+26+c,在圖象上畫出直線x=2,看其與拋物線的交點位置即可；

②5a-b+c不滿足a療+bm+c類型，則通過對稱軸和(-2,-9a)把b,c都用a表示出來，然后進行判斷，當然

①也可以采用此種方法.

③化簡可得a%2+4ax-5a=-1,與②相結合，然后作出y=-l,觀察其與拋物線交點橫坐標的范圍即可；

④把y=af+bx+c在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，形成，W”型，然后作出y=l,觀察其與拋物線交點

橫坐標，再利用拋物線的對稱性即可判斷.

解拋物線的頂點坐標(2-9a),

=-2,4ad=-9a,b=4a,c=-5a,拋物線的解析式為y=ax2+4ax—5a,

2a4aJ

4a+2b+c=4a+8a-5a=7a>0,故①正確.

5a--b+c=5a-4a-5a=4a<0,故②錯誤.

2

???拋物線y=a%?+4。％_5a交x軸于(-5,0),(1,0),拋物線y=ax+4ax-5a與交點橫坐標即為xlfx2,

,若方程a(x+5)(%-1)=-1有兩個根.刈和冷，且%i<知如圖.

貝［J—5<X1<%2<1,

故③正確.

若方程\ax2+bx+c\—1有四個根，即ax2+4ax—5a+1=0或ax2+4ax—5a—1=0,則這四個根的和為

(_手)+(一7)=一8,故④錯誤.

故選B.

精選練習

1.如圖，拋物線y=。必+人工+c(aW0)與x軸交于點(4,0),其對稱軸為直線%=L,結合圖象給出下列結論:

①ac<0;②4a-2b+c>0;③當.%>2時，y隨x的增大而增大；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c=。有兩個不相

2.二次函數y=a%?+力％+。的圖象如圖所示，對稱軸是直線％=1.下列結論：①abc<0;@3a+c>0;(3)(a+c)2-

b2<0;@a+b<m(am+b)(m為實數).其中正確結論的個數為().

3.二次函數y=。必+人工+c(aW0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線.％=-1.下列結論不正確的是().

A.b2>4acB.abc>0C.a-c<0D.am2+bm>a—b（??i為任意實數）

動點問題中的函數圖象題

動點問題中的函數圖象題，是中考常考的選擇題的壓軸題型之一，此類題目的解題方法是理解動點的完整運動

過程，“動中覓靜”，在“靜”中運用相關知識探求目標量與動點的函數解析式或每部分的特點.有的題目還需要找出目

標函數的圖象，理解圖象中的關鍵點或者轉折點所表示的實際意義，還要理解圖象的含義，合理運用分類討論解決

問題.

解題策略一與面積有關的動點函數圖象題

與面積有關的動點函數圖象題，常規(guī)的解法有以下兩種：

1.特殊值法：根據特殊位置時的函數值找到圖象的特殊點，反之也可.確定圖形的關鍵點，改關鍵點（包括轉折

點），定點到不同運動路徑的最近點（一般作點到線段的垂線，利用“垂線段最短”解答）.

2.觀察法：根據題目描述，分析函數值在每段函數圖象中的變化.

與面積有關的動點函數圖象題，一般采用以下解題策略：

1.確定圖形的關鍵點，改關鍵點（包括轉折點），定點到不同運動路徑的最近點（一般作點到線段的垂線，利用“垂

線段最短”解答）；

2.分類討論，根據關鍵點把運動路徑分為不同的部分，單獨求出每一部分的函數解析式（注意取值范圍）；

3.必要時采用割補法，把不規(guī)則圖形分為幾部分，分別求出各部分的面積后，再求和（差）得到結果；

4.結合每段路徑的解析式判斷選項中的圖象是否正確.

此類面積問題一般都與時間有關，面積的函數解析式都是時間的函數，為了快速解決問題，可以采用排除法.

使用排除法時有以下小技巧：

1.首先明確面積的表達公式，面積一般是兩條線段乘積的形式（梯形面積是線段和與另一條線段的乘積形式）.

2.然后確定該面積公式中的線段的長度是否隨時間發(fā)生變化.

⑴如果兩條線段的長度都發(fā)生變化，則其乘積會出現平方項，函數圖象一般是曲線型（此時需要注意兩者乘積

也可能為常數，此時函數圖象應該為一條水平線段）,然后根據平方項系數的正負再確定是上凸還是下凹.

（2）如果只有一條線段的長度隨時間發(fā)生變化，而另一條線段的長度不隨時間改變，則圖象一般是直線型（斜線

⑶如果兩條線段的長度都不發(fā)生改變，乘積為常數，此時函數圖象應該為一條水平線段.

3.要充分利用圖形的特點，比如對稱性等.如果圖形對稱，則函數圖象也經常是對稱的.

4.注意初始和終點時面積的變化情況，注意最大值和最小值出現的時間點.

當然，排除法不見得能解決所有這類問題，必要時可結合函數常規(guī)方法一同使用，這樣能加快解答速度和準確

精選例題

例L如圖,正方形ABCD的邊長為2cm,動點P,Q同時從點A出發(fā)，在正方形的邊上,分別按A-D-C,ATBTC

的方向，都以lcm/s的速度運動,到達點C時運動終止.連接PQ,設運動時間為xs,△APQ的面積為.yc/,則下列圖

象中能大致表示y與x的函數關系的是（）.

AfP。

八3

B'A.B.C.D.

解析

根據題意，當點P在AD上運動時，2P=AQ=居此時SAPQ=趙Q?4P="當點p在CD上運動時,(CP

=CQ=^-x,PD=x-2,此時SAPQ=S—Sep。，—S^BQ，—S”，。,由此可得△4PQ的面積y與x的關

系，進而可判斷出y關于x的函數的圖象的大致形狀.

解①當(。<xW2時，

,正方形的邊長為2cm,

11

o2

???y=SAPQ=-AQ-AP=-x;

②當2WxW4時，

=AAPQAC△麗

yS=S正方1gAsc。-SPQ"—SA;UiQ'—S1

=2x2—|(4—x)2—|x2x(x—2)—|x2x(x-2)=—|x2+2x

；.y與x之間的函數關系可以用兩段二次函數圖象表示，縱觀各選項，只有A選項圖象符合.

故選A.

例2.如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm,,動點M自點A出發(fā)沿AB方向以每秒1cm的速度運動，同時點

N自點D出發(fā)沿折線DC-CB以每秒2cm的速度運動，到達點B時運動同時停止.設△4MN的面積為y(單位：

(cm2),,運動時間為Xi

解析

分兩部分計算y與x的函數解析式：①當點N在CD上時，易得SAMN的解析式為一個一次函數;②當點N在

CB上時，底邊AM變化狷出.SAMN的解析式為一個開口向下的二次函數.

解法一：點N自點D出發(fā)沿折線.DC-CB以每秒2cm的速度運動，到達點B時運動同時停止，

.??點N運動到點C的時間為t=3+2=1.5(秒).

分兩部分進行討論：

①當0<x<1.5時,如答圖1,此時N在DC上.

1I3

SAMN-AM-AD=-xx3=-x.

-y-222

②當1.5〈xS3時,如答圖2,此時N在BC上,

.\DC+CN=2x,DC

N

???BN=6-2x,

2

???SAMN=y=,BN—~x(6—2%)=—x+3%.

故選A，4較圖;B

解法二當點N在DC上運動時，SAMN=y=^AM-AD,AM變動，AD不變，乘積改變，所以外森B,D選項;

當點N在CB上運動時，SAMN=y=IAM-BN,AM,BN者隧動，所以函數圖象為曲線型排除C選項.故選A.

例3.如圖，點P是菱形ABCD邊上的一動點，它從點A出發(fā)沿A-B-CTD路徑勻速運動到點D.設△PAD的

面積為y,點P的運動時間為x,則y關于x的函數圖象大致為().

題目可分為三段考慮：AB段，BC段，CD段.

解分三種情況：

①當點P在AB邊上時，

如答圖1,設菱形的高為h,y=-h,

VAP隨x的增大而增大，h不變，函數圖象為直線型,

，y隨x的增大而增大，故選項C,D不正確.

②當點P在邊BC上時.

如答圖：2.y=?h,AD和h都不變.

在這個過程中，y不變，

此時函數圖象應該為平行于x軸的一條線段，故選項A不正確.

③當點P在邊CD上時，如答圖3,y=\PD-h.

VPD隨x的增大而減小，h不變，

；.y隨x的增大而減小.

點P從點A出發(fā)沿A—>B—>C—>D路徑勻速超動到點D,

...點P在三條線段上運動的時間相同，故選項D不正確.答圖3

故選B.

精選練習

1.如圖邊長都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置,AB與EF在一條直線上，點A與點F重合.

現將.A￡FG?AB方向以每秒1個單位的速度勻速運動，當點F與點B重合時停止,在這個運動過程中，正方

形ABCD和△EFG重疊部分的面積S與運動時t的函數圖像大致是（）.

2.如圖，在AABC中，NB=90°,AB=3cm,BC=6czn,動點P從點A開始沿AB向點B以lcm/s的速度移

動，動點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動.若P,Q兩點分別從A,B兩點同時出發(fā)，點P到達點

B時運動停止，則△PBQ的面積S與出發(fā)時間t的函數關系的圖象大致是（）.

3如圖，在RtAABC中，^ACB=90°,AC=BC=2vxCD1AB于點D.點P從點A出發(fā)，沿A—D—C的路

徑運動，運動到點C停止，過點P作PE±AC于點E,作PF1BC于點F.設點P運動的路程為x，四邊形CEPF的面

積為y,則能反映y與X之間函數關系的圖象是()

A.B.C.D.

解題策略二與線段長度有關的動點函數圖象問題

此類型問題的解題策略與前面的類似.在應用排除法時，還需要注意以下幾點：

1.如果求線段長度需要用到勾股定理時，其函數圖象一般為曲線型；

2.要充分利用全等、相似等幾何知識進行分析解答；

3.一定要分析圖形的特點，尤其是注意對稱性的應用.

精選例題

例如圖，等邊△ABC的邊長為3cm,動點P從點A出發(fā)以每秒1cm的速度沿A-B-C的方向運動,到達點

C時停止.設運動時間為x(單位：s),y=PC?,則y關于x的函數的圖象大致為().

解析

此題需要分類討論：①當0WXW3時，即點P在線段AB上時，將相關線段的長度代入該等式,即可求得y

與x的函數解析式，然后根據函數解析式確定該函數的圖象.②當3<%<6時，即點P在線段BC上時，y與x的

函數解析式是.y=(6-%)2=(%-6)2(3<%<6),根據該函數解析式可以確定該函數的圖象.

解法一如圖，過點(：作(CD1AB,則AD=^cm,CD點P在AB上時，AP=xcm,PD=||-x|cm

y=PC2^(|V3)2+(|-x)2=X2-3X+9(0<%<3),該函數的圖象是開口向上的拋物線.B

②當3<xW6時，即點P在線段BC上時，PC=(6—x)cm(3<x<6);D/\

貝(Iy=PC2=(6—x)2=(x-6)2(3<x<6).

該函數的圖象是在：3<x<6上的拋物線.A''°

故選c.

解法二由于△ABC是等邊三角形，如圖，點A,B關于CD對稱，所以PC的長度在AB段上也關于CD對

稱，且CD為PC最小值時的位置,所以其圖象也應該出現對稱，所以排除A,B選項.在BC上方法同解法一.

精選練習

1.如圖，aaBC為等邊三角形，點P從A出發(fā)，沿A-B-C-A做勻速運動，則線段AP的長度y與運動時

間x之間的函數關系圖象大致是（）.

2.已知點P為某個封閉圖形邊界上一定點，動點M從點P出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周.設點M的

運動時間為x,線段PM的長度為y,表示y與x的函數圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）.

A.B.C.D.

3.如圖,A,B是半徑為1的0O上兩點，且（。al。B,點P從點A出發(fā).在。。上以每秒1個單位長度的速度勻速

運動，回到點A運動結束.設運動時間為x（單位：s）,弦BP的長為y,那么下列圖象中可能表示y與x函數關系的

是（）.

0\X0\x0\X

①③④

A.①B.③C.②或④D.①或③

找規(guī)律題⑶-----函數

與函數圖象相關的圖形規(guī)律探究題常以選擇題或填空題的形式壓軸出現彳主往先給出一系列圖形的運動變化過

程，該系列圖形中往往有一個頂點在所給函數的圖象上，通常求該系列圖形中特定點的坐標、特定線段的長度或特

定圖形的面積.解題時需先理解該圖形的運動過程，把握其本質或生成規(guī)律，并借助圖形與函數圖象的公共點探求、

歸納出其規(guī)律（較常見的是圖形成倍變化規(guī)律）.此類問題看似繁瑣，但只要耐心地一步步計算，往往不難解決.

解題策略圖形成倍變化規(guī)律

1.變換前：寫出第一次變換前的目標量，如點的坐標、線段長、圖形的周長或面積等；

2.變換中：借助系列圖形與函數圖象的公共點計算出第一次變換、第二次變換、第三次變換后的目標量，如變

換后的點的坐標、線段長、圖形的周長或面積等；

3.歸納后：歸納出后一個目標量（點的坐標、線段、周長、面積等）與前一個目標量存在的倍數關系m；

4.寫結果：根據上述步驟歸納出的規(guī)律寫出第n次變換后求到的目標量（點的坐標、線段、周長、面積為n"a）.

精選例題

例1.如圖，在平面直角坐標系中，直線h-.y=f%+1與直線l2-.y=百x交于點A1，過點Ai作x軸的垂線,

垂足為點B],過點Bi作12的平行線交I1于點A2；過點A2作x軸的垂線,

垂足為點B2；過點B2作k的平行線交h于點A3；過點A3作x軸的垂線，

垂足為點B3…按此規(guī)律，則點A□的縱坐標為（）.

解析

先求出11,12這兩條直線的交點4的坐標，從而可得點，&的坐標；再求直線4外的解析式，與直線1

1的解析式聯立成方程組，解得點心的坐標，從而可得點&的坐標；同理，求出點心,&的坐標，從而找出點

A□的縱坐標的規(guī)律.

y/3（_V3

解把11：y=yx+1與i2-y=百久聯立成方程組,=『+1',解得]孑'.點4的坐標為（爭I）,點B1