2024年中考物理解題方法復(fù)習(xí)講義-巧用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決物理難題

巧用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決物理難題

解題方法

1.方法介紹

(1)比例法：它是在題設(shè)描述的物理現(xiàn)象由初始狀態(tài)變到終極狀態(tài)的過(guò)程中，存在一個(gè)或幾個(gè)“恒量”，利用“恒

量”作橋梁，確定未知量和已知量之間的比例關(guān)系，進(jìn)而求解物理問(wèn)題的方法。

運(yùn)用比例法解題時(shí)，要先依據(jù)物理定律、公式或某些相等量(或成比例量)，利用比例法建立未知量和已知量

的關(guān)系，然后利用比例性質(zhì)求解。利用比例法解題可以避免反復(fù)套用公式而帶來(lái)的計(jì)算上的麻煩，省去很多中間

環(huán)節(jié)，對(duì)物理量的單位也不要求全部統(tǒng)一，只要相比的同類(lèi)物理量的單位相同就可以了。

運(yùn)用比例法的一般步驟：

①了解題意，選擇相應(yīng)的物理公式；

②依據(jù)題目描述的物理現(xiàn)象找出保持不變的或者相等的物理量；

③以“不變(或相等)的量”為紐帶，將公式聯(lián)立成比例式。

⑵代數(shù)法：它是對(duì)于一些綜合性很強(qiáng)的問(wèn)題，采用其他方法均不能將已知條件和所求量建立起直接或間接聯(lián)

系，這時(shí)可設(shè)所求的物理量為已知量，依據(jù)物理公式或關(guān)系式，用這個(gè)已知量和已知條件建立起一個(gè)或數(shù)個(gè)數(shù)學(xué)

關(guān)系式，用數(shù)學(xué)工具求解的方法。

常用到的數(shù)學(xué)工具有一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、一元二次三項(xiàng)式配方求極值、不等式

等。

⑶幾何法：它是利用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)來(lái)巧妙解決物理中較為復(fù)雜的問(wèn)題的方法。例如，在光學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到三

角形相似的原理，平行線的各個(gè)角度的關(guān)系等。用幾何法時(shí)一般都是先根據(jù)題意畫(huà)出符合要求的圖形，然后利用

幾何知識(shí)研究圖形中的點(diǎn)、角、線、面的關(guān)系，然后對(duì)應(yīng)物理知識(shí)進(jìn)行解題。

2.實(shí)例分析

⑴立方體甲和乙的邊長(zhǎng)之比是2:3,將它們分別放置在水平桌面上時(shí)，它們對(duì)桌面的壓強(qiáng)均為p。將甲如圖

3-1所示放置在乙上面，乙對(duì)桌面的壓強(qiáng)為p'。則p'：p等于()。_

甲

A.9:13B.13:9r-1-----L-i

C.9:4D.13:4乙

分析j

圖3-1

甲、乙為立方體，單獨(dú)平放在水平桌面上時(shí)，對(duì)桌面的壓強(qiáng)可用推導(dǎo)公式p=T得出，由題干的邊長(zhǎng)之比求

C甲+C乙

S甲h甲/2\24G甲P6甲4G乙。用+G,0，s乙G甲+G乙13

出甲、乙的面積之比，即/=/=(1)=：所以「=k=3，P=7，P=--------,t—=----------=---------=—

乙乙乙P乙乙乙s3P包C乙9°

S乙

答案

B

(2)兩燈Li、L2分別標(biāo)有“3V0.9W”和“？V0.2W”字樣,其中G的額定電壓已經(jīng)看不清，將兩燈并聯(lián)在IV的電

源下，發(fā)現(xiàn)Lz比較亮一些；將兩燈串聯(lián)在電源電壓為3V的電路中，發(fā)現(xiàn)L2恰好正常發(fā)光，則此時(shí)J消耗的實(shí)

際電功率為W。

分析

根據(jù)“3V0.9W”的字樣可知,J的電阻％=10優(yōu)兩燈并聯(lián)時(shí)心較亮，由公式P=9可知L的電阻R2小于L

K2

R

i的電阻Ri,即R2<RI,當(dāng)兩燈串聯(lián)在3V的電源上時(shí),因?yàn)?G正常發(fā)光，由公式P=WK可知（就正1-2=

\1UJ2+/\2Z

0.2W,解得R2=50或者R2=200（舍去），此時(shí)通過(guò)電路的電流/=三=壬=0,24。所以此時(shí)Lx消耗的電功率P1

忘

2

=IR1=0.4憶

發(fā)U室木

0.4

（3）如圖3-2所示，100米寬的河對(duì)岸邊有一棵大樹(shù)EF,現(xiàn)有刻度尺（足夠長(zhǎng)）一把，試問(wèn)不用渡過(guò)河到對(duì)岸，

能否測(cè)出大樹(shù)的高度?如何測(cè)量？

分析

如圖3-3所示，河面MN相當(dāng)于平面鏡，畫(huà)出EF在水中的成像.再連接AE',加一條輔助線FC,可以很

明顯地看出△FCE'-^ABCA相似，則根據(jù)平面鏡成像特點(diǎn)及數(shù)學(xué)中相似三角形的知識(shí)可以得出萼=霽,只要用刻

FCBC

度尺測(cè)出人高AB、河面到河岸高度CN和人到河岸距離BC,再代入河寬FC=100米，則可求出.E，F(xiàn),最后測(cè)出

水面距岸邊高度MF,MF=CN,即可求出大樹(shù)高EF=E'F-2MF=空.FC-2CN0

BC

答案

可以測(cè)量。畫(huà)出EF在水中的成像E'F',再連接AE'.C為河岸的邊沿,加一條輔助線FC,如圖3-3所示,。為2

與水面的交點(diǎn)，M、N為水面在左右兩邊的端點(diǎn)。用刻度尺測(cè)量出人高AB、河面到河岸高度CN以及人到河岸

距離BC,利用三角形相似原理,△尸”與A8C4相似，可以得出器=券，則大樹(shù)高EF=E'F-2MF=*FC

圖3-3

典例精講

Q例題1_______________________________________

甲、乙兩人多次進(jìn)行百米賽跑，但每次甲都比乙提前10m到達(dá)終點(diǎn)，若兩人的速度不變，現(xiàn)讓甲從起跑線后

退10m,乙仍在原起點(diǎn)開(kāi)始賽跑，貝!I（）,

A.甲、乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)B.甲先到達(dá)終點(diǎn)

C.乙先到達(dá)終點(diǎn)D.無(wú)法判斷誰(shuí)先到達(dá)

思路提小

甲、乙兩人兩次賽跑都是保持各自的速度不變，所以可以利用速度不變這一條件列出方程，然后求解方程即

可。

。例題2_______________________________________

配制鹽水,要求鹽水的密度為p=1.2X103kg/m\現(xiàn)在已配制成體積V=（Mdn?的鹽水，稱(chēng)得其質(zhì)量為m

=0.52kg,問(wèn)這樣的鹽水是否符合要求?如不符合要求，應(yīng)如何配制？

思路提不

本題是一個(gè)混和密度的問(wèn)題，所以可以利用總質(zhì)量除以總體積進(jìn)而求解平均密度。

。例題3

某物體在空氣中用彈簧秤稱(chēng)得其重力為5.4N,將該物體浸沒(méi)在水中稱(chēng)，重力為3.4N,若將它浸沒(méi)在另一種未

知液體中，彈簧秤讀數(shù)為3.8N,求這種液體密度。

思路提ZF

按照一般解題思路，應(yīng)該根據(jù)物體在水中的浮力計(jì)算出該物體的體積，再利用阿基米德原理計(jì)算出液體的密

度，這種解法比較麻煩，因?yàn)槲矬w在兩種液體中都是浸沒(méi)，因此乙相等，根據(jù)阿基米德原理，采用比例法就簡(jiǎn)單

多了。

C例題4_______________________________________

把標(biāo)有“220V25W”和“220V60W”的燈Lx、L2串聯(lián)接在220V的電源上,則小與L2的功率之比為（）。

A.12:5B.5：12C.l:lD.2:5

思路提小

因?yàn)閮蔁舻碾娮璞３植蛔?，所以可以先求出電阻比，然后利用串?lián)電路電功率之比等于電阻比的關(guān)系求解。

6列題5_______________________________________

在如圖3-4所示的電路中，電源電壓U=6V,定值電阻，R1=102滑動(dòng)變阻器最大阻值為20。。求在滑片移

動(dòng)過(guò)程中，滑動(dòng)變阻器功率的最大值Pmax是多少?

思路提ZF

本題可以利用數(shù)學(xué)的配方法求解最值問(wèn)題。（課堂上老師一般會(huì)直接告訴當(dāng)滑動(dòng)變阻器的阻值等于定值電阻

時(shí)，滑動(dòng)變阻器的功率最大。）

?例題6_______________________________________

在如圖3-5所示的電路中，試分析：當(dāng)滑片P位于何位置時(shí)電流表的讀數(shù)最小。

思路提ZF

本題的關(guān)鍵是分析滑動(dòng)變阻器的阻值變化，根據(jù)并聯(lián)電路的總電阻公式表示出總電阻，然后對(duì)總電阻表達(dá)式

進(jìn)行分析，求解電流表讀數(shù)的最小值。

。例題7_______________________________________

用一直徑為20cm的凸透鏡正對(duì)著太陽(yáng)光，在凸透鏡的另一側(cè)15cm處，有一垂直透鏡主光軸的光屏，光屏上

顯現(xiàn)出一個(gè)直徑是10cm的光斑，則凸透鏡的焦距可能是多少？

思路提ZF

本題需要根據(jù)不同情況分別畫(huà)出光路圖，然后利用三角形相似的知識(shí)列出比例方程，然后求解。

針對(duì)訓(xùn)練

1.一旗桿在陽(yáng)光的照射下，影長(zhǎng)為5.6m,旗桿高為7m,同時(shí)某人直立時(shí)影長(zhǎng)為1.4m,則此人高為（）。

A.1.7mB.1.75mC.1.80mD.1.85m

2.阿基米德采用排水法解決了王冠摻假問(wèn)題，現(xiàn)有一個(gè)用金和銀做成的王冠，用排水法測(cè)量出具體積為56.

9c一,若與王冠質(zhì)量相同的純金塊和純銀塊的體積分別為52.5^3和96.5cm則王冠中銀的質(zhì)量和金的質(zhì)量之比為

（）。（（P全=19.3g/cm3,p和=10.5g/cm3

A.l：8B.l：9C.l：10D.l：11

3.（多選）甲、乙兩個(gè)實(shí)心物塊，它們的質(zhì)量相同，其密度分別是0.8X題//和

塊均用彈簧拉住，使它們靜止在水中，如圖3-6所示，此時(shí)（）。

A.甲、乙物塊所受浮力之比為1:2

B.甲、乙物塊所受浮力之比為2：1

C.甲、乙物塊所受彈簧拉力之比為2:3

D.甲、乙物塊所受彈簧拉力之比為1：6

4.如圖3-7所示，電源電壓不變，定值電阻R的阻值為18Q有四只白熾燈泡J,L2xL3,L4,它們的規(guī)

格分別為“3V2W”、“6V2W”、“12V2W"、“24V2W”。當(dāng)把它們分別接在電路中的M、N兩端時(shí)，實(shí)際功率最大

的是（）.

A.L]B.L/2IL

C.L3D.L4

圖3-7

5.如圖3-8所示電路，把一根粗細(xì)均勻的電阻絲彎成圓環(huán)，A、B、C、D是將圓四等分的點(diǎn)，電流表的一端固

定在A點(diǎn)，當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合后，滑片P由B點(diǎn)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)滑到D點(diǎn)的過(guò)程中，電流表的示數(shù)將（

A.由小變大B.由大變小

C.先變大后變小D.先變小后變大

圖3-8

6.阻值為12Q的電阻L與電阻R2并聯(lián)在電路中，R2消耗的功率為12W.干路電流為2A,則R2的阻值為—

_Q,電源電壓為V.

7.在圖3-9(a)所示的電路中，電源電壓保持不變。將滑動(dòng)變阻器R的滑片P由a端移到b端，電壓表V-V

2的示數(shù)與電流表A示數(shù)的變化關(guān)系圖線如圖3-9(b)所示。根據(jù)圖線可以知道，滑動(dòng)變阻器R的最大阻值為一

Q,定值電阻的阻值為Qo

3-9

8.小李想測(cè)量食用油的密度p油，他手邊的測(cè)量工具只有刻度尺。小李利用身邊的器材設(shè)計(jì)出一個(gè)實(shí)驗(yàn)方案。

找來(lái)一根均勻輕質(zhì)直硬棒，用細(xì)線系在0點(diǎn)吊起，硬棒在水平位置平衡，將一密度未知的金屬塊B掛在硬棒左端

C處，另外找一個(gè)重物A掛在硬棒右端，調(diào)節(jié)重物A的位置，使硬棒在水平位置平衡，此時(shí)重物掛在硬棒上的位

置為D,如圖3-10所示。下面是小李測(cè)出p油的部分實(shí)驗(yàn)步驟，請(qǐng)你按照小李的實(shí)驗(yàn)思路，將實(shí)驗(yàn)步驟補(bǔ)充完

整。

(1)用刻度尺測(cè)出OD的長(zhǎng)度Lo;

(2)將適量水倒入燒杯(水的密度p水為已知),金屬塊B沒(méi)入水中且不碰燒杯，把重物A從D處移動(dòng)到E處時(shí)

(E點(diǎn)未標(biāo)出),硬棒再次在水平位置平衡^_____________，將金屬塊B取出；

(3)將適量油倒入另一燒杯，金屬塊B沒(méi)入油中且不碰燒杯，將重物A從E處移動(dòng)到F處時(shí)，硬棒再次在水平

位置平衡將金屬塊B取出，用抹布擦干：“y

(4)利用上述測(cè)量出的物理量和題中的已知量計(jì)算p沸的表達(dá)式為o'[O

CD

圖3-10

9.如圖3-11所示，電工要從房A點(diǎn)接導(dǎo)線到河岸。點(diǎn)安裝一盞路燈后再到房B點(diǎn)，路燈0點(diǎn)選在岸上何處用

導(dǎo)線最短?

10.如圖3-12所示，某人站在距公路。點(diǎn)40m的A處，發(fā)現(xiàn)公路上有一汽車(chē)從B處以v0=10m/s的速度沿公

路勻速行駛，已知AB相距100m,此人最少要以多大的速度沿什么方向奔跑才能與汽車(chē)相遇。

11.有兩個(gè)實(shí)心圓柱體A和B疊放在一起,并完全接觸，放在水平地面上，如圖3-13所示，已知A、B兩圓柱

體的高分別為8cm、10cm,A與B的底面積之比為1：4,A對(duì)B的壓強(qiáng)是2000Pa,B的密度是3X9的/向求圓

柱體A的密度及B對(duì)地面的壓強(qiáng)。（g取10N/kg）

圖3-13

12.某工地在冬季水利建設(shè)中設(shè)計(jì)了一個(gè)提起重物的機(jī)械，其中的一部分結(jié)構(gòu)如圖3-14所示。OA是一個(gè)均

勻鋼管，每米長(zhǎng)所受重力為30N,O是轉(zhuǎn)動(dòng)軸，重物的質(zhì)量m為150kg,掛在B處,（OB=1科拉力F作用在A點(diǎn)，

豎直向上。為維持平衡，鋼管OA為多長(zhǎng)時(shí)所用的拉力最??？這個(gè)最小拉力是多少？（g取10N/kg）

圖3-14

例題1

【答案】B

【解析】設(shè)甲、乙兩人的速度分別為vi,V2,根據(jù)題意有等=等，即￡=?

1/-￡1/21/2>

110m

再設(shè)甲跑完110m所用的時(shí)間為tl,乙跑完100m所用的時(shí)間為tz,則有也需=饕，由此解得?=黑<1,

V2-----1UC11UU

「2

所以^1V，2。

例題2

【答案】現(xiàn)在鹽水的密度為P1=2=n黑學(xué)3=13X1。3即/爪3,可見(jiàn)鹽水不符合要求，太濃了，需要加

VU.4X_LUnr

m+mm+pvK

水，設(shè)所加水的體積為V水，根據(jù)題意得P=記#=。

底水

化簡(jiǎn)可得pV+pV^=m+P次%解得Y水=0.2dm\

例題3

【答案】由于物體是浸沒(méi)在液體中，所以?住》=G-F水=5.4N-3.4N=2N,

底可

33

而百=三=±故?放=0.SX10kg/moFmif=G-F.x=5.4N-3.8N=1.6N,

放,艱「濃

例題4

【答案】A

【解析】因兩燈的額定電壓相等，由R=上/P可得兩燈電阻與其額定功率成反比；當(dāng)兩燈串聯(lián)時(shí)，因?yàn)閮蔁?/p>

電流相等，由P=FR可得它們此時(shí)的功率與其電阻成正比，因此兩燈串聯(lián)的功率與它們的額定功率成反比,即為6

0:25,也就是12：5O

例題5

2

【答案】將變阻器功率表達(dá)式配方：P2=IR=可見(jiàn)(備丫R2=*竄口=兩需一，只有當(dāng)Ri=Rz

R2

時(shí),P2有最大值，所以%ax=$==口9/。

例題6

【答案】滑動(dòng)變阻器Rp被截成兩部分后并聯(lián)接入電路，再和Ri串聯(lián)，設(shè)Rp的最大阻值為R,被截的兩部

分電阻分別為Rn和(R-Rn),這兩部分并聯(lián)后的總電阻為R5=高+/=恚*+—

夕卜R外Ra"RaRa(R-Ra)Ra(R-Ra)

_Rgr-p1p-a)_-膨+-%_一(RLI)FR2

一Ra(R-Ra)'尸"以外_R_R_R'

當(dāng)Ra=》R時(shí),即滑片P位于R的中間位置時(shí)R并最大=此時(shí)R總最大，電路中的電流最小。

例題7

【答案】焦距可能為30cm,也可能為10cm。

【解析】⑴當(dāng)太陽(yáng)光未過(guò)焦點(diǎn)時(shí)會(huì)聚成光斑，如圖7所示,.AB=20cm,CD=10cm,OE=15cm,OF=fo因?yàn)椤鰽F

BsMFD,所以冷條即黑=售嬴解得.f=3。皿

°D>f

B

圖7

⑵當(dāng)太陽(yáng)光過(guò)焦點(diǎn)后會(huì)聚成光斑，如圖8所示，AB=20cm,CD=10cm,OE=15cm,OF=fo因?yàn)椤鰽FB-ADF

C,所以普=笫即鬻=六萬(wàn)解得f=10cmo

A

B

圖8

針對(duì)訓(xùn)練

1.【答案】B

【解析】在相同情況下，物體的高度和物體影子長(zhǎng)度的比值是相同的。所以旗桿高度和旗桿影子長(zhǎng)度的比值

等于人的高度和人影長(zhǎng)度的比值。設(shè)人高度為H，則7m56m=H:1.4m,解得H=1.75m。

2.【答案】B

【解析】與王冠質(zhì)量相同的純金塊的體積V=52.5cm3,所以王冠的質(zhì)量m=p金V=19.3g/cm3x52.5cm3=1013.

25g。

設(shè)王冠中含金和銀的體積為V金、V銀，則王冠的質(zhì)量為P*%+AA匕n=1。13.25g,

即19.35/cm3x1/+10.5g/cm3xV=1013.25g…….circle1,王冠的體積為了企+%=56.9cm，……②，

全和

由①②兩式可得6=9.65cn?,則m..=101.325go

黃金的質(zhì)量爪4=小一小工=1013.25g-101.325^=911.925g。

全和

所以王冠中銀的質(zhì)量和金的質(zhì)量之比m銀:m金=101.325g:911.925g=l:9o故選B。

3.【答案】AD

【解析】(D首先根據(jù)質(zhì)量相同，密度不同，求出體積之比為1：2,然后根據(jù)阿基米德原理求浮力之比為1:

2。

(2)甲、乙兩物體都在水中靜止，處于平衡狀態(tài)，所以合力為零，對(duì)甲物體受力分析可得

G甲+F甲=F甲錐產(chǎn)以F甲=F甲-G甲=p嚴(yán)甲—p爐甲=短衣—P)9丫甲

同理：F乙浮二F乙浮一G乙二p翅乙-p和乙=9水e匹所N卷上三;4

4.【答案】B

2

【解析】本題考查“功率的最值問(wèn)題二要使MN兩端的功率P=IRMN=(三一y?RMN=-~達(dá)到最

\R+RUN/(R-RMN)I4.

RMN

大，必須使RMN=R=182合乎這一條件的電阻只有燈L2的電阻/?2=誓=等=182

而燈Li、L3、L4的電阻分別為Ri=4.5。,R3=72Q,R4=288。,,均偏離這一值較多。

5.【答案】D

【解析】圓環(huán)被截成兩段后并聯(lián)接入電路，當(dāng)?shù)确值慕爻蓛啥尾⒙?lián)時(shí)，總電阻最大，電流最小，所以滑片P

在C點(diǎn)時(shí)，電流最小，則從B點(diǎn)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)倒達(dá)D點(diǎn)的過(guò)程中，電流先變小后變大。

6.【答案】12;12

【解析】設(shè)電源電壓為U,由并聯(lián)電路中干路電流等于各支路電流之和列等式言+答=24求出U后即可

求出R2的阻值。

7.【答案】9;2

【解析】由歐姆定律定律可判斷出正比例函數(shù)圖像、一次函數(shù)圖像分別對(duì)應(yīng)Ri、滑動(dòng)變