全書課件：概率(理工類)(第二版)

第1章隨機(jī)事件與概率第2章隨機(jī)變量及其概率分布第3章隨機(jī)變量的數(shù)字特征概率統(tǒng)計第1章隨機(jī)事件與概率1.4條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性

1．4．1條件概率與乘法公式1.4.2事件的相互獨(dú)立性返回1．4．1條件概率與乘法公式

在實(shí)際問題中，除了要計算事件A的概率P（A）外，有時還需要計算在“事件B已發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率。這時用記號表示。由于增加了條件：“事件B已發(fā)生”，所以稱為條件概率。一般說來，與P（A）是不相等的。設(shè)事件A={出現(xiàn)4點(diǎn)}，例如，在擲一顆骰子中，則P（A）=

，如果事件B={出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}已發(fā)生，這時出現(xiàn)A的概率=顯然≠P（A）。返回例1某班級有40名學(xué)生，其中男女生各半，一次測驗(yàn)中男女生成績優(yōu)秀的分別為2人和4人。從中任選一名學(xué)生，試問：（1）該學(xué)生成績優(yōu)秀的概率是多少？（2）已知選出的是男生，他的成績優(yōu)秀的概率是多少？解設(shè)A表示“選出的學(xué)生成績優(yōu)秀”，B表示“選出的學(xué)生是男生”。按古典概型的計算方法，得：（1）P（A）=

；（2）P(A|B)=

顯然這時一般情況下，與是不同的。另外，與也是不同的，是A發(fā)生且B也發(fā)生的概率，即A與B同時發(fā)生的概率。從此例看出，AB表示“選出的是男生而且成績優(yōu)秀”，則P（AB）=

P(A|B)進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，P(A|B)=

,而且此公式具有普遍意義。定義1設(shè)A，B是兩個事件，且P（B）＞0，稱P(A|B)=

為在事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率。件概率公式揭示了條件概率P（A|B）與事件概率P（B）和積事件概率P（AB）

三者之間的關(guān)系。類似地，當(dāng)P（A）＞0時，P(A|B)=

例2已知某廠產(chǎn)品的合格品率為96%，而合格品中的一等品率為75%.試求該廠產(chǎn)品的一等品率。解設(shè)A表示“任取一件為合格品”，B表示“一等品”，所以AB=B由題意，則所求概率為例3盒中有5個黑球3個白球，連續(xù)不放回地從中取兩個球，每次取一個，若已知第一次取出的是白球，求第二次取出的是黑球的概率。解設(shè)A表示“第一次取出的是白球”，B表示“第二次取出的是黑球”，所求概率為由于第一次取出的是白球，所以第二次取球時盒中有5個黑球2個白球，由古典概型的概率計算方法，得當(dāng)P（A）＞0時，P（AB）=P（A）P（B|A）當(dāng)P（B）＞0時，P（AB）=P（B）P（A|B）由條件概率公式，這就是概率的乘法公式。此公式還可以推廣到多個事件的情形：若P（AB）＞0，則P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）。乘法公式的作用在于利用條件概率計算積事件的概率，它在概率計算中有著廣泛的應(yīng)用。1.4.2事件的相互獨(dú)立性例4

在20個產(chǎn)品中有2個次品，從中接連抽兩個產(chǎn)品，第一個產(chǎn)品抽得后放回，再抽第二個產(chǎn)品。求(1)第二次抽到次品的概率；(2)第一次抽到次品后，第二次也抽到次品的概率；(3)第一次抽到正品后，第二次抽到次品的概率。解設(shè)A={第一次抽到次品}B={第二次抽到次品}(1)不論第一次抽到的是正品還是次品，都要放回，所以第二次抽到次品的概率P(B)=

(2)第一次抽到次品后，第二次也抽到次品的概率為P(B/A).因?yàn)榈谝淮纬榈酱纹泛笕苑呕?，這時產(chǎn)品總數(shù)沒有變化，次品數(shù)也沒有變化，所以P(B/A)=

返回先看下面的例子：(3)類似地，可求得P(B/)=

由(1),(2),(3)可見==即A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，對于這樣的事件A和B，給出如下定義：定義2如果事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，即=則稱事件B與A是相互獨(dú)立的。由定義和概率的乘法公式可得，事件A與B相互獨(dú)立的充要條件是：P(AB)=P(A)P(B)事件的獨(dú)立性具有以下性質(zhì)：(1)必然事件及不可能事件與任何事件相互獨(dú)立；(2)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也相互獨(dú)立。例5

生產(chǎn)一種產(chǎn)品需要兩道工序，經(jīng)過第一道工序時，出廢品的概率為0.02，經(jīng)過第二道工序時，出廢品的概率為0.03，兩道工序由兩臺獨(dú)立工作的機(jī)床加工。問，這樣加工出來的正品率是多少？解設(shè)A={第一道工序正品}B={第二道工序正品}

C={產(chǎn)品為正品}則C=AB==因?yàn)槭录嗀與B是相互獨(dú)立的,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.98×0.97=0.9506=95.06%即產(chǎn)品的正品率為95.06%.事件的獨(dú)立性概念也可以推廣到有限個事件。定義3設(shè)是n個隨機(jī)事件，如果對其中的任何k個事件均有P（

則稱相互獨(dú)立。例6設(shè)三臺機(jī)床正常工作的概率分別是0.95、0.90、0.85，求在任一時刻：（1）三臺機(jī)床都正常工作的概率；（2）三臺機(jī)床中至少有一臺正常工作的概率。解三臺機(jī)床工作正常與否是相互獨(dú)立的，用表示事件“第i臺機(jī)床正常工作”，則（1）所求事件的概率為（2）所求事件的概率為第2章隨機(jī)變量及其概率分布

2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

2.3.1分布函數(shù)2.3.2正態(tài)分布的概率計算

返回定義1設(shè)X是隨機(jī)變量，函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，其中x為任意實(shí)數(shù)。對于離散型隨機(jī)變量X，設(shè)其分布列為

xx1x2……xk….pp1p2…….pk…..

2.3.1分布函數(shù)返回而對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，設(shè)其密度函數(shù)為，則由分布函數(shù)的定義，F(xiàn)(x)的取值不是X取某個值的概率，而是X在區(qū)間(2)(1)是的單調(diào)不減函數(shù)(3)上概率的累積。分布函數(shù)有如下性質(zhì)：(4)，特別地：例1設(shè)X的分布列為x

012p

0.50.30.2(1)求X的分布函數(shù)F(x)；(2)作出分布函數(shù)的圖形；F(x)(3)求P{0＜X≤1}，P{0＜X＜1}及P{0≤X≤1}.解（1）X只在三處取值，且相應(yīng)的概率為。所以

（2）F(x)的圖形如圖2-5所示。

圖2-5P{0＜X≤1}（3）==

P{0＜X＜1}====P{0＜X≤1}-P{X=1}P{0＜X≤1}+P{X=0}

P{0≤X≤1}例2設(shè)X在[a,b]區(qū)間上服從均勻分布，(1)求X的分布函數(shù)；(2)畫出X的密度曲線及分布函數(shù)F(x)的圖形；(3)求P{a＜X≤2}(a<2<b)的密度函數(shù)為解（1）X當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，

（a）(b)

圖2-6（2）的圖形如圖-6所示。與F(x)（3）P{a＜X≤2}

或由分布函數(shù)的性質(zhì)P{a＜X≤2}====2.3.2正態(tài)分布的概率計算

由于正態(tài)分布的密度函數(shù)的積分不能用初等函數(shù)表示，為此數(shù)學(xué)家們已經(jīng)編制了正態(tài)分布表，但正態(tài)分布表都是對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布作出的，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)記為，而將其密度函數(shù)記為。返回1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算公式由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的對稱性，容易得出如下公式：(1)(2)(3)(4)(5)例3

已知X～N(0，1)，求P{X＜1.58}；P{X≥-2.14};P{0＜X≤2.31};P{|X|＜1.96}。解利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得P{X＜1.58}=P{X≥－2.14}P{0＜X≤2.31}P{|X|＜1.96}2.一般正態(tài)分布的概率計算一般正態(tài)分布可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計算。若X～N，則于是，若記的分布函數(shù)為XF(x)，則例4已知X～N，求解

例5

設(shè)X～N()，求

解

第3章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

3.1數(shù)學(xué)期望

3.1.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)返回3.1.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1為了測定一批種子發(fā)芽所需的平均天數(shù)，隨機(jī)選取100粒種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，其中發(fā)芽的有98粒，有關(guān)種子的發(fā)芽情況見下表：發(fā)芽天數(shù)123456發(fā)芽種子數(shù)1121352092頻率

試求種子發(fā)芽所需的平均天數(shù)。返回解98粒種子發(fā)芽所需的平均天數(shù)為(天)這一數(shù)學(xué)概念經(jīng)常用到，如計算學(xué)生的平均成績等。這便是概率論中的重要概念——數(shù)學(xué)期望。定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為則和數(shù)叫做隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作E(X)。例2

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X012p0.30.50.2求E(X)。

解

例3甲乙兩臺機(jī)床日生產(chǎn)能力相當(dāng)，一天生產(chǎn)廢品件數(shù)的概率分布如下表，問哪一臺機(jī)床的性能好些？

甲

機(jī)

床乙

機(jī)

床01230123p0.30.50.20p0.30.30.20.2解

=

=

顯然甲機(jī)床性能要好些。

例4某家電商場對某品牌冰箱采用先使用后付款的方式進(jìn)行促銷。若記使用壽命為X(以年計)，規(guī)定：當(dāng)X≤1，一臺付款1500元；當(dāng)1＜X≤2，一臺付款2000元；當(dāng)2＜X≤3，一臺付款2500元；當(dāng)X＞3，一臺付款3000元。設(shè)壽命X服從指數(shù)分布，概率密度為試求該品牌冰箱的平均售價。解先求出壽命X在各個時間區(qū)間的概率：P{X≤1}=

P{1＜X≤2}=

P{2＜X≤3}=

P{X＞3}=

設(shè)Y為一臺冰箱所付的款數(shù)，則Y的分布列為：Y1500200025003000p0.09520.08610.07990.7408于是E(Y)=

即該品牌冰箱每臺平均售價約為2732元。幾個常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：二點(diǎn)分布的分布列為1.兩點(diǎn)分布X01pqp其中，則兩點(diǎn)分布的期望是：E(X)=0×q+1×p=p二項分布的分布列為：2.二項分布所以

這里用到分布列的性質(zhì)：即二項分布的期望是E(X)=np。

3.泊松分布泊松分布的分布列為：所以這里用到分布列的性質(zhì)：即泊松分布的期望是E(X)=λ.3.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望