滬教版九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關講解練重難點專項突破03相似三角形中的“母子”型(原卷版+解析)

重難點專項突破03相似三角形中的“母子”型【知識梳理】“子母型”相似的圖形特點：有一個公共角，

一對完全重合的邊，

一對半重合的邊，

一對完全不重合的邊。子母型的結論：AB2=AD·AB

(重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）【考點剖析】例1.如圖，中，，于點D．求證：．AABCD例2.如圖，，于點，，，求的長．AABCDE例3．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．例4.已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．例5.如圖，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點D，E是BC邊上一點，且BE＝BA，過點A作AG∥DE，分別交BD、BC于點F、G，聯(lián)結FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結AE，求的值．【過關檢測】一、填空題1．如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是__________．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝_______．3．如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為______．二、解答題4．【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．5．如圖，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿邊AB運動，速度為2cm/s，點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s，如果點P、Q兩動點同時運動，何時QBP與ABC相似？6．已知：如圖，在中，D是AC上一點，連接BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的長.7．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．8．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．9．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．11．如圖，已知中，P是AB上一點，連接CP，B=ACP，求證：．12．如圖，中，點分別是的中點，與點．（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積．重難點專項突破03相似三角形中的“母子”型【知識梳理】“子母型”相似的圖形特點：有一個公共角，

一對完全重合的邊，

一對半重合的邊，

一對完全不重合的邊。子母型的結論：AB2=AD·AB

(重合邊的平方等半重合邊的乘積)

特殊的子母型（雙垂直型）【考點剖析】例1.如圖，中，，于點D．求證：．AABCD【解析】，． ．， ，．，． ．【總結】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定等知識例2.如圖，，于點，，，求的長．AABCDE【答案】．【解析】，，，．根據(jù)面積法，可知，解得．又，，可得．，代入可得：．，，．代入得：．【總結】考查對于“子母三角形”的認識，初步建立可將相似三角形中可將對應邊之比轉化為 同一三角形中邊長比的思想，實際上這個這個圖形中包含5個直角三角形，全部都是兩相似．例3．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【分析】（1）由題意易得，則有，進而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．例4.已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．在運用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．例5.如圖，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點D，E是BC邊上一點，且BE＝BA，過點A作AG∥DE，分別交BD、BC于點F、G，聯(lián)結FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結AE，求的值．【分析】（1）由題目條件可證得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），進而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四邊形AFED是菱形．（2）根據(jù)條件可證得△ABG∽△CBA，即可證明結論．（3）由條件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC?BC，得到點E是BC的黃金分割點，可得出，即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四邊形AFED菱形．（2）證明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，∵四邊形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG?BC．（3）解：如圖，∵AB＝AC，∴∠ABG＝∠C，∵∠BAG＝∠C，∴∠ABG＝∠BAG，∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，∴∠AGC＝2∠BAG，∵BG＝CE，∴BE＝CG，∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴，∵AB2＝BG?BC，AB＝BE，∴BE2＝EC?BC，∴點E是BC黃金分割點，∴，∴，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定及黃金分割點等知識，綜合性較強，熟練掌握相關知識并靈活運用所學知識求解是解題的關鍵．【過關檢測】一、填空題1．如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是__________．【答案】（答案不唯一，也可以增加條件：或）．【分析】題目中相似的兩個三角形已經(jīng)有一個公共角，可以再增加一對相等的角，用兩組角相等判定兩三角形相似，也可以增加兩組對應邊成比例，利用兩組邊對應成比例及夾角相等判定兩三角形相似．【詳解】若增加條件：∠ACD=∠ABC，∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定，比較簡單，熟練掌握相似三角形的三種判定方法是解題的關鍵．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝_______．【答案】【分析】證明△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關知識點并能結合圖形靈活應用是解題關鍵．3．如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為______．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關鍵．二、解答題4．【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）AD=．【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．【詳解】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE?BC，∴BC===，∴AD=．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．5．如圖，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿邊AB運動，速度為2cm/s，點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s，如果點P、Q兩動點同時運動，何時QBP與ABC相似？【答案】經(jīng)過4秒或1.6秒時，△QBC與△ABC相似【分析】由題意可得，，根據(jù)△QBC與△ABC相似，分情況列式計算即可．【詳解】解：由題意可得，∵∠PBQ=∠ABC，當時，，即，解得：；當時，，即，解得：；即經(jīng)過4秒或1.6秒時，△QBC與△ABC相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，解題的關鍵是準確分析題意列出方程求解．6．已知：如圖，在中，D是AC上一點，連接BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的長.【答案】(1)見詳解；（2）【詳解】（1）證明：∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.（2）解:∵△ABD∽△ACB，∴，∴，∴7．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根據(jù)∠C=∠C，即可證明結論．【詳解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識點是解題關鍵．8．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，結合∠DAE=∠CAD即可證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長，再結合AD=AB即可得出AB的長．【詳解】解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）利用“兩角對應相等，兩三角形相似”證出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出AD的長．9．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出是解題關鍵．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相