2024學(xué)年?？谑懈叨?shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年?？谑懈叨?shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.直線x+6y—2=°的傾斜角為()

兀5兀L也

A.—B.——C.-J3D.-葉

363

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),則z?5=()

A.-3B.3C.4D.5

3.有一組樣本數(shù)據(jù)/、9、L、由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)%、為、L、/，其

y.=x.+c(i=l,2,..；n),c為非零常數(shù)，則下列說法正確的是()

①兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同②兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

③兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同④兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

A.③④B.②③C.②④D.①③

4.如圖，在正方體—中,分別為D5，AG的中點(diǎn)，則直線4"和3N夾角的余

弦值為()

5.已知向量￡、B滿足同=2,同=2拒，w―可=4,則B在日上的投影向量為()

一一1-1-

A.2bB.2aC.~~aD.—a

6.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知VABC的面積為S=/+后一02,則tan。

的值為()

11

A.-B.-C.2D.4

42

7.在四面體。43c中，OAOB=OAOC=OBOC=0>|（9C|=-|（9B|=3|OA|=3,OD=2IDC，

若點(diǎn)G為VA3C的重心，則點(diǎn)G到直線3。的距離為（）

A四口6,丘D娓

----.----\-J.

4326

8.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為。，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為6,則下列事

件發(fā)生的可能性最小的是（）

A.a+b=6B.a>2b

C.log2a>6D.方程狽2+桁+3=0有實(shí)數(shù)解

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）

A.兩條不重合直線小4的方向向量分別是2=（2,3,—1）,石=（一2,—3,1）,貝匹〃

B.兩個(gè)不同的平面a,夕的法向量分別是拓=（2,2,—1）,爐=（—3,4,2）,則

C.直線的方向向量G=（L—1,2）,平面a的法向量是宓=（6,4,—1）,則U0

D.直線的方向向量方=（0,3,0）,平面a的法向量是方=（0,—5,0）,則///1

10.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，記事件A為“兩次都擊中飛機(jī)”，事件3為“兩

次都沒擊中飛機(jī)”，事件C為“恰有一次擊中飛機(jī)”，事件。為“至少有一次擊中飛機(jī)"，則（）

A.A^DB.BC\D=0C.A+C=DD.A-C=B+D

11.如圖，P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-44cl2的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（）

A.當(dāng)P在平面耳內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P-44］，。的體積不變

兀兀

B.當(dāng)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QP與AC所成角的取值范圍是

當(dāng)尸在平面4月。12內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得直線AP與平面ABCD所成的角為45。的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為兀

2

D.若產(chǎn)是棱4片的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABC。上運(yùn)動(dòng)，且滿足尸尸〃平面時(shí)，尸產(chǎn)的最小值是否

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線y=at—2a+3(aeR)過定點(diǎn)；

13.已知事件A和8互斥，且P(AU§)=0-8,P(豆)=0.6,則P(A)=.

14.如圖所示的平行六面體ABCD-ABCR中，己知AB==4。，ABAD=ZDA4,=60°,

ZBM=30°,N為A2上一點(diǎn)，且AN=/IAA.若BD工AN,則％的值為_；若/為棱。，的

中點(diǎn)，BM7/平面AB",則;I的值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),試求：

(1)邊AC所在直線的方程；

(2)BC邊上的中線所在直線的方程；

(3)8c邊上的高AE所在直線的方程.

16.如圖，在四棱錐S—A5co中，底面ABCD為正方形，SA^AD=2,S4J_平面ABC。，M、N

分別為棱S3、sc的中點(diǎn).

(1)證明：平面4VWD_1_平面SBC；

(2)求點(diǎn)C到平面4VCVD的距離.

accqA

17.在VABC中，。、b、c分別為A、B、。所對(duì)邊，滿足：——=----------且C>A>5；

b+ccosB+cosC

3

(1)求A；

(2)若a=2(Z?—c)=2,求5c邊上的高.

18.已知某著名高校今年綜合評(píng)價(jià)招生分兩步進(jìn)行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入

第二步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入第二步面試.只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄取

資格，且材料初審與面試之間相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報(bào)名參加該高校的綜合評(píng)價(jià)，假設(shè)甲、

乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是:，7-面試合格的概率分別是，，:，：.

(1)求甲考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；

(2)求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；

(3)求三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率.

19.如下圖，在VABC中，AC±BC,AC=BC=2,。是AC中點(diǎn)，E、尸分別是A4、BC邊上的動(dòng)

點(diǎn)，且跖〃AC；將△BER沿EF折起，將點(diǎn)8折至點(diǎn)尸的位置，得到四棱錐；

ADC

(1)求證：EF±PC；

(2)若BE=2AE,二面角P—跖—C是直二面角，求二面角尸—CE—尸的正切值;

(3)當(dāng)PDLAE時(shí)，求直線PE與平面A2C所成角正弦值的取值范圍.

4

2024學(xué)年海口市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.直線x+6y—2=°的傾斜角為()

兀5兀L也

A.—B.——C.-J3D.-葉

363

【答案】B

【解析】

【分析】求出給定直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.

直線x+百y-2=0的斜率左=-且，則該直線的傾斜角為—.

36

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),則z?乞=()

A.-3B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】由題意可知：z=1-23根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念以及乘法運(yùn)算求解.

由題意可知：z=l-2i,所以-2z)(l+2i)=5.

故選：D.

3.有一組樣本數(shù)據(jù)/、4、L、尤“，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)/、為、L、%，其

yi=xi+c(i=l,2,..；n),c為非零常數(shù)，則下列說法正確的是。

①兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同②兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

③兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同④兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

A.③④B.②③C.②④D.①③

【答案】A

【分析】利用平均數(shù)公式可判斷①；利用中位數(shù)的定義可判斷②；利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可判斷③；利用極差

的定義可判斷④.

對(duì)于①，設(shè)數(shù)據(jù)%、/、L、X”的平均數(shù)為1數(shù)據(jù)％、為、L、y”的平均數(shù)為7，

5

則歹=必+%+—+%=（>+。）+（々+0）+…+E+c）

nn

x,+xH----\-x+nc--…

二」一Z9---------&n——=%+。，故①錯(cuò)；

n

對(duì)于②，設(shè)數(shù)據(jù)/、/、L、無〃中位數(shù)為M,數(shù)據(jù)為、為、L、%的中位數(shù)為N,

不妨設(shè)玉<九2<??<%，則X<%《,?<”，

若〃奇數(shù)，則M=x四，N=y生=%+c=M+c；

222

x“+尤”,y+y,%+x+2。

n——n+1——+1

若〃為偶數(shù)，則3匹，N='~~J=°~2--------=M+c-

222

N=M+c,故②錯(cuò);

對(duì)于③，設(shè)數(shù)據(jù)與、%、L、%的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)％、為、L、方的標(biāo)準(zhǔn)差為s'，

對(duì)于④，不妨設(shè)再<々<…<與，則%<%<..?<”，

則數(shù)據(jù)占、%2、L、X.的極差為％-石，

數(shù)據(jù)％、為、L、片的極差為%—%=（七+。）一（石+。）=怎一不，故④對(duì).

故選：A.

4.如圖，在正方體ABC?！?耳G2中，M,N分別為的中點(diǎn)，則直線AM和3N夾角的余

弦值為（）

6

Rg21

D.----------C.一D.-

A-T333

【答案】C

【解析】

【分析】以DADCD2所在直線為蒼％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量夾角的余弦公式求解即

可.

分別以DA,DC,DDX所在直線為X,%z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體ABC。—44GA的棱長(zhǎng)為2,則AQ,0,2),"(1,1,0),6(2,2,0),N。,1,2),

所以西=(1,-1,2),麗=(-1,-1,2)

設(shè)向量上人與麗的夾角為。,

圖.麗-1+1+442

貝UCO：

■\BN\-VT+T+4-VT+T+4—6—3，

2

所以直線A"和3N夾角的余弦值為§,

故選：C.

5.已知向量％、B滿足卜|=2,忖=20,12〃一可=4,則方在［上的投影向量為。

1-1-

A.2bB.2aC.—aD.一CL

22

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出之名的值，再利用投影向量的定義可求得B在Z上的投影

向量.

因?yàn)橄蛄縄、B滿足@=2,M=2J5,2”q=4,

7

則8-囚=4J_4〃％+12=16-4〃石+8=16,可得14=2，

1-1/——\aI-Ici,baa,b一2-1-

所以，5在［上的投影向量為忖cos（叫?同邛?甲1迫=4。=5。.

故選：D.

6.在VA3C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,C,已知VABC的面積為5=/+〃—o2,則tan。

的值為（）

11

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形的面積公式和余弦定理即可求解.

22222

因?yàn)閂ABC的面積為S=/+b-c,所以^absinC=a+b-c,

2

〃2L_2_21

又'.'cosC=----------，/.labcosC=-sinC,貝UtanC=4,

2ab2

故選:D.

7.在四面體。43c中，OAOB=OAOC=OBOC=0,|oc|=||OB|=3|OA|=3,OD=2DC,

若點(diǎn)G為VA3C的重心，則點(diǎn)G到直線5。的距離為（）

A.—B.BC.—D.在

4326

【答案】D

【解析】

【分析】以射線OB,OC的方向分別為X軸、y軸、Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向

量法求距離.

由題意知，在四面體。43C中，OA,OB,OC兩兩互相垂直，

如圖，以。為原點(diǎn)，以射線Q4,OB,OC的方向分別為x軸、丁軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系.

8

VOA=1,OB=2,OC=3,OD=2DC,

.X(1,O,O),5(020),C(0,0,3)，n(0,0,2),

/.BD=(0,-2,2),BG=[,-g/

__.__.C4、14

BG.3Z)=(-2)x]—§J+2=彳,

.?.點(diǎn)G到直線的距離d

故選：D

8.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為。，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為6,則下列事

件發(fā)生的可能性最小的是()

A.a+b=6B.a>2b

C.log2a>6D.方程江+云+3=0有實(shí)數(shù)解

【答案】A

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式求出各選項(xiàng)中事件的概率，即可得出合適的選項(xiàng).

樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為62=36個(gè)，以(。力)表示樣本空間中的一個(gè)樣本點(diǎn)，

對(duì)于A選項(xiàng)，記事件A="a+A=6”，

9

則4=｛。5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）｝,所以「網(wǎng)='

對(duì)于B選項(xiàng)，記事件3="a>2b”,

則5=｛（3,1）,（4,1）,（5,1）,（5,2）,（6,1）,（6,2）｝,所以「（8）=慨=:；

對(duì)于C選項(xiàng)，記事件C="log2a〉6”，

則0=｛（3,1）,（4,1）,（5,1）,（5,2）,（6,1）,（6,2）｝,所以，P（C）=^=1;

對(duì)于D選項(xiàng)，記事件￡>="方程O?+桁+3=0有實(shí)數(shù)解"，則A=廿—12a20，

則。=｛（4,1）,（5,1）,（5,2）,（6,1）,（6,2）,（6,3）｝,所以,P（D）=^=|.

所以A選項(xiàng)中的事件發(fā)生的概率最小.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）

A.兩條不重合直線4，4的方向向量分別是商=（2,3,—1）,B=（—2,-3,1）,貝必〃6

B.兩個(gè)不同的平面%日的法向量分別是防=（2,2,-1）,v=（-3,4,2）,則a_L^

C.直線的方向向量M=（L—1,2）,平面a的法向量是無=（6,4,—1）,則Ua

D.直線的方向向量方=（0,3,0）,平面a的法向量是無=（0,—5,0）,貝U///a

【答案】AB

【分析】運(yùn)用空間線線平行，線面平行，線面垂直，面面垂直的向量證明方法，結(jié)合向量平行垂直的坐標(biāo)

結(jié)論，逐個(gè)判斷即可.

兩條不重合直線4，6的方向向量分別是@=（2,3,—1）,3=（—2,—3,1）,則B=—所以"〃2,A正

確；

兩個(gè)不同的平面a,夕的法向量分別是5=（2,2,-1）,v=（-3,4,2）,則

H-V=2x（-3）+2x4-lx2=0,所以o_L〃，B正確；

直線的方向向量N=（L—L2）,平面a的法向量是花=（6,4,—1）,則方―/=lx6—lx4+2x（—l）=0,

10

所以///a或/ua,C錯(cuò)誤；

直線的方向向量方=（0,3,0）,平面。的法向量是力=（0,—5,0）,則/：萬，所以D錯(cuò)誤.

故選：AB

10.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，記事件A為“兩次都擊中飛機(jī)”，事件3為“兩

次都沒擊中飛機(jī)”，事件C為“恰有一次擊中飛機(jī)”，事件。為“至少有一次擊中飛機(jī)"，則（）

A.A^DB.BC\D=0C.A+C=DD.A-C=B+D

【答案】ABC

【分析】利用隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算直接判斷選項(xiàng)即可.

對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，

其樣本點(diǎn)有：“兩次都擊中飛機(jī)”，“兩次都沒擊中飛機(jī)”，

和“恰有一次擊中飛機(jī)”，

所以。=A+C,AC正確；

事件3和事件。交集為0,且3UO=O,B正確，D錯(cuò).

故選：ABC

11.如圖，尸是棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（）

A.當(dāng)尸在平面BCG用內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P-的體積不變

兀兀

B.當(dāng)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2P與AC所成角的取值范圍是

C.當(dāng)尸在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為兀

D.若F是棱A瓦的中點(diǎn)，當(dāng)尸在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足PF〃平面時(shí)，的最小值是逐

【答案】AC

【分析】A選項(xiàng)，考慮底面積和高均未變，所以體積不變；B選項(xiàng)，找到異面直線所成角即可判斷；C選

項(xiàng)，找到P的軌跡，計(jì)算即可；D選項(xiàng)，找到尸的軌跡，計(jì)算即可.

對(duì)于A選項(xiàng)，底面正方形的面積不變，尸到平面招2。的距離為正方體棱長(zhǎng),

11

故四棱錐P-的體積不變，故A正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，2P與4G所成的角即為2P與AC所成的角，

TT

當(dāng)尸在端點(diǎn)A、。時(shí)，所成的角最小，為一，

3

TT

當(dāng)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，所成的角最大，為一，故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C選項(xiàng)，P在平面AgG，內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且直線AP與平面ABCD所成的角為45。，

如圖①所示，因?yàn)槠矫?4cl2〃平面A3CD,所以直線AP與平面4月。12所成的角為45。，

因?yàn)锳4，平面44G2，則AP與平面4B1G2所成角為NAPA=45°,

因?yàn)锳Pu平面則A4］，4P，所以，為等腰直角三角形，

則AP=AA=2,所以點(diǎn)尸在平面內(nèi)以A為圓心、2為半徑的;圓弧，

故P的軌跡長(zhǎng)度為,X2TIX2=71,故C正確；

4

分別取AA、DDi、BC、BBr的中點(diǎn)M、N、S、E、P,

由正方體的性質(zhì)可知M、N、S、E、尸、尸六點(diǎn)共面，且為正六邊形肱VPSEE,

由中位線定理，MFIIB\D\,平面用所以MF7/平面片CD1，

同理MN〃平面31c2，且=MF、MNu平面MNPSEF,

所以平面MNPSEFH平面BCR,

所以EP所在的平面為如圖②所示的正六邊形，

當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，尸P的長(zhǎng)最小，為痛，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面

直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

12

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，,方,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異

面直線所成的角.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線y=2a+3（awR）過定點(diǎn)；

【答案】（2,3）

【解析】

/、%—2=0

【分析】將直線方程變形為a（x—2）+3—y=0,由可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

,、fx—2=0[x=2

將直線方程化為a（x—2）+3—y=0,由°八可得1,

3-y=0[y=3

因此，直線丁=依一2。+3（。€2過定點(diǎn)（2,3）.

故答案為：（2,3）.

13.已知事件A和2互斥，且尸（AU3）=0-8,P（豆）=0.6,則P（A）=.

2

【答案】0.4##j

【解析】

【分析】根據(jù)互斥事件及對(duì)立事件的概率相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

?.?事件A和8互斥，P（AuB）=P（A）+P（B）=0.8,

XP（B）=0.6,P（B）=1-P（B）=1-0.6=0.4,

P（A）=0.8-P（B）=0.4.

故答案為：0.4.

14.如圖所示的平行六面體ABCD-4耳。。1中，已知AB=A&=AD,ABAD=ZDAA[=60°,

ZBAAl=30°,N為AA上一點(diǎn)，且AN=/IA2.若BD人AN,則無的值為_；若/為棱。，的

13

中點(diǎn)，9//平面4男雙，則幾的值為.

9

【答案】①.V3-1②.y

【分析】

①麗病，不妨取AB=A4,=AD=1,利用

BD.AV=(AD-AB).(A\+2AD)=AD.A4f+2AD.AD--AAD.AB=0,即可得出;L

②連接AB,與AB1交于點(diǎn)E.連接A",交AN于點(diǎn)、F,連接所.9//平面A與N,可得

BM//E尸.根據(jù)E點(diǎn)為A3的中點(diǎn)，可得尸點(diǎn)為4”的中點(diǎn).延長(zhǎng)AN交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.利

用平行線的性質(zhì)即可得出.

解：?BD±AN，不妨取4臺(tái)=懼=4少=1，

/.BD.AN=(AD-AB).(A4f+AAD)=AD.AA^+AAD.AD-濟(jì)?麗-2AD.AB=cos600+A-cos300-2cos60°=94+4。.

/.A=y/3—1?

②連接A5,與A51交于點(diǎn)石.連接AM,交AN于點(diǎn)、F,連接所.

???5M//平面,：.BM//EF.

???￡點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，，尸點(diǎn)為A”的中點(diǎn).

延長(zhǎng)AN交線段DDX的延長(zhǎng)線于點(diǎn)p.

;朋//DR,AlF=FM.

,\AA[=MP=2DiP.

.A"明

…ND】D】P，

—?2-----?

???A\AD.

14

2

則X=_

3

【點(diǎn)睛】本題考查了向量三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理，考查了

推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知△A8C的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-3,0),8(2,1),C(-2,3),試求：

(1)邊AC所在直線的方程；

(2)8C邊上的中線所在直線的方程；

(3)8C邊上的高AE所在直線的方程.

【答案】(1)3x-y+9=0(2)2x-3y+6=0(3)2x-y+6=0

【解析】

【分析】(1)利用直線方程的兩點(diǎn)式，即可求解；

(2)求出邊上的中點(diǎn)。坐標(biāo)，利用A,。兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線方程；

(3)求出直線斜率，即可得到高AE的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可求解.

(1)VA(-3,0),C(-2,3),

故邊AC所在直線的方程為：/二=工，

-2+33

即3尤-y+9=0,

(2)8C邊上的中點(diǎn)。(0,2),

故8C邊上的中線所在直線的方程為二十工=1,

-32

即2x-3y+6=0,

1-3

(3)BC邊斜率左=----

2+22

故8c邊上的高AE的斜率k=2,

故2C邊上的高AE所在直線的方程為y=2(x+3),

15

即2x-y+6=0.

【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，熟練掌握直線方程的各種形式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

16.如圖，在四棱錐S—A5co中，底面ABCD為正方形，SA^AD=2,54,平面ABC。，M，N

分別為棱S3、SC的中點(diǎn).

（1）證明：平面4VWD_1_平面SBC；

（2）求點(diǎn)C到平面4VCVD的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2）41

【解析】

【分析】（1）推導(dǎo)出AMJ_平面SBC,再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）證明出〃平面AAWD,可知點(diǎn)C到平面4V他）的距離等于點(diǎn)3到平面40Vo的距離，推導(dǎo)出

SBJ_平面AAWD,即可求得點(diǎn)C到平面4VWD的距離.

【小問1詳解】

因?yàn)镸、N分別為棱S3、SC的中點(diǎn)，WMNI1BC,

因?yàn)樗倪呅蜛6CD為正方形，則AD〃5C,所以，MN//AD,

所以，A、D、M>N四點(diǎn)共面，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則3CLA5,

因?yàn)?A_L平面ABCD,BCu平面ABC。，則5CLS4,

因?yàn)?sAeAB=A,S4、ABu平面所以，_BC_L平面

因?yàn)锳Mu平面則

因?yàn)镾4=AD=A5,M為S3的中點(diǎn)，則

因?yàn)镾B、BCu平面SBC,所以，AM,平面SBC,

因?yàn)锳Mu平面㈤WND,所以，平面4WNE），平面SBC.

【小問2詳解】

16

因?yàn)镸NIIBC,ACVu平面AMND,BCa平面AAWD,

所以，BC/mAMND,

所以，點(diǎn)C到平面AMND的距離等于點(diǎn)B到平面AMND的距離，

因?yàn)?A，平面ABCD,ADu平面ABCD,則ADL&L,

因?yàn)锳DSAB，SAoAB=A,SA,ABu平面

所以，ADJ_平面

因?yàn)镾Bu平面&LB,則SSLAD,

因?yàn)锳MLSB,AMC\AD=A,AM、ADu平面配他?,

所以，SBJ_平面AMND,

因?yàn)镾4_L平面ABC。，ABu平面ABC。，則S4LAB,

所以，SB7s4+AB?=/+22=2萬

所以，點(diǎn)C到平面4VWD的距離等于=

2

zvccqA

17.在VABC中，a、b、。分別為A、B、。所對(duì)邊，滿足：——=-----------且C>A>5；

b+ccosB+cosC

（1）求A；

（2）若Q=2（Z?—c）=2,求5C邊上的高.

JT

【答案】（1）A=—

3

⑵

4

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)可得出廿+02—42=匕0，利用余弦定理求出cosA的值，結(jié)合角A的

取值范圍可得出角A的值；

（2）利用余弦定理以及三角形的面積公式求解.

【小問1詳解】

〃COS_/^

因?yàn)?---=------------,貝UQCOSB+QCOSC=bcosA+ccosA,

b+ccosB+cosC

221111222

士小六一田十曰a+c-ba'+b-^b+C-ab+c-a

由余弦定理可得a----------+a-----------=b-----------+c-----------

2aclab2bc2bc

17

2

整理可得ab—/=°3_儲(chǔ)。，即0+092+02_歷_/）=0,

因?yàn)閎+c>0,所以，b-+c2-a2^bc>

序q2_21

由余弦定理可得cosA==-,

2bc2

因?yàn)锳c（0,兀），則A=1.

【小問2詳解】

兀

由（1）知，A=—.由余定理得/=/+/一2灰7cosA，

即4=Z?2+。2一匕。二（6一。）2+兒=1+兒,所以be=3.

午曰e_1,-_1O73_373

=4

JZE，S—besinA——x3x—=---------.

,ABRer2224

設(shè)5c邊上的高為〃，則5^^=工勿2,即1x2〃=之叵，得/?=鋌，

“2244

即5。邊上的高為之叵.

4

18.已知某著名高校今年綜合評(píng)價(jià)招生分兩步進(jìn)行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入

第二步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入第二步面試.只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄取

資格，且材料初審與面試之間相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報(bào)名參加該高校的綜合評(píng)價(jià)，假設(shè)甲、

乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是:，L面試合格的概率分別是，，：，：.

（1）求甲考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；

（2）求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率；

（3）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率.

【答案】（1）

【解析】

【分析】設(shè)事件A、夙C分別為“甲、乙、丙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，根據(jù)獨(dú)立事件概率計(jì)算

18

方法可直接求出P（A）、P（B）、P（C）.由此可得⑴題答案，⑵題概率為

P^AB+AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）,（3）題可先計(jì)算其對(duì)立事件概率從而求解.

【小問1詳解】

設(shè)事件A表示“甲獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，

貝I尸（A）=gxg=g;

【小問2詳解】

設(shè)事件3表示“乙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，

則尸（B）=H，

則甲、乙兩位考生有且只有一位考生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率為：

P=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=1X^I-1^I-^X|=A;

【小問3詳解】

設(shè)事件C表示“丙獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格”，

171

貝療(C)—)

43。

三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的對(duì)立事件是三人都沒有獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資

格,

三人中至少有一人獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的概率為:

19.如下圖，在VABC中，ACLBC,AC=BC=2,。是AC中點(diǎn)，E、尸分別是BA、BC邊上的動(dòng)

點(diǎn)，且EFHAC；將沿所折起，將點(diǎn)3折至點(diǎn)尸的位置，得到四棱錐;

19

（1）求證：EF±PC；

（2）若BE=2AE,二面角P—跖—C是直二面角，求二面角尸—C