2025年小升初數(shù)學專項復習：立體圖形（原卷版+解析）

第十二節(jié)：圖形的認識與測量（二）立體圖形

知識全景圖?

特征、展產(chǎn)圖

校長總和

§長方體、正方體

表茴積

，體積

切割增加特征

組合減少118（圓柱、圓卷，一圓柱表面積

一推導過程轉(zhuǎn)化思想

J，體積,-------------

園惟、圓柱體積間關系

-圖形觀察觀察的角度、方向不同，常常結(jié)果不司

核心考向集

考向01

,立體圖形的特征

[例1]

“母親節(jié)”到了，李老師在商場給媽媽買了一個禮物，請售貨員用一個精美的長方體禮盒包裝。已知禮盒長

4分米，寬2.5分米，高3分米，售貨員很貼心的用彩帶把禮盒扎起來（如下圖），打結(jié)處彩帶長2分米，請

你算一算售貨員一共用了多長的彩帶扎禮盒？

3dm

4dm

思路引導

根據(jù)題意和示意圖可知，禮盒是長方體的，長4分米，寬2.5分米，高3分米，根據(jù)長方體的特征：12條棱

分為互相平行的3組，每組4條棱的長度相等，則所需彩帶的長度=4條高的長度+2條長的長度和+2條

寬的長度和+打結(jié)處彩帶長。

正確解答：

4X3+2X4+2X2.5+2

=12+8+5+2

=20+5+2

=27（分米）

答：售貨員一共用了27分米的彩帶扎禮盒。

囹?技法提煉

解決此類捆扎長方體盒子需要繩子長度的問題，就是把求繩子的長度轉(zhuǎn)化為求幾條長、幾條寬、幾條高和打

結(jié)部分的長度。如果捆扎的是圓柱體，就轉(zhuǎn)化為求幾條直徑、幾條高和打結(jié)部分一共的長度。

【變式1】

（2021六下?江蘇揚州）

1.奶奶過生日，媽媽買了一個大蛋糕。蛋糕盒是圓柱形的，媽媽準備配上十字形的絲帶再打上蝴蝶結(jié)，需

要買多長的絲帶？（蝴蝶結(jié)需要25cm）

【例2】

用一塊長25.12cm、寬18.84cm的長方形鐵皮，配上下面（）的圓形鐵片正好可以做成圓柱形容器。（單

位：cm）

A.r=2B.r=3C.r=6D.r=8

思路引導

長方形鐵皮做圓柱的側(cè)面，圍成圓柱時，有兩種圍法：

第一種圍法：用25.12cm做底面的周長，可以求出底面圓形的半徑是25.12+3.14+2=4（cm）；

第二種圍法：用18.84cm做底面的周長，可以求出底面圓形的半徑是18.84+3.14+2=3（cm）。

正確解答：B

小囹?技法提煉

把一個長方形圍成圓柱有種圍法，分別是用長或?qū)捵鰣A柱的底面周長；把一個正方形圍成圓柱，只有一種圍

法。

【變式2】

（2022六下?山西運城）

2.數(shù)學來源于生活，又用于生活，請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮供搭配選擇。

12.56dm

9.42din3din

4din一

①④

你選擇的材料是（

立體圖形的展開圖

【例3】

用“☆”分別標出下列立體圖形的展開圖中相對的面。

圖1屬于正方體展開圖的“1-4-1”型，折疊成正方體后，相對符號的面相對；同理，圖2是長方體展開

圖，也屬于型，折疊成長方體后也是相同符號的面相對。

正確解答：

用分別標出下列立體圖形的展開圖中相對的面如下：

小?技法提煉

解決展開圖相關的問題可以想象將展開圖復原成正方體或長方體，根據(jù)各個面在展開圖中分布的位置找到

相對的面。

【變式3】

3.下列圖形中，（）不是圓柱體展開圖.

A.1.5m*-3,14m—4

|

L

5

7

c

0.5cmCrm①0.5cm

B.|

1.57cm

6dm

?

8dm

1

為觀察物體

【例4】

一個立體圖形，從左面看到的形狀是,從上面看到的形狀是??[J,這個立體圖形可能是下面的

()圖。

BcD

4fflS,宙

思路引導

根據(jù)從上面看到的圖形，可以確定下層是4個正方體，后排3個，前排靠右1個；根據(jù)從左面看到的圖形,

確定總共上下兩層，上層的1個正方體在后排上，對照給出的4個圖形，這個圖形應該是。

從以上分析得出：一個立體圖形，從左面看到的形狀是日二從上面看到的形狀是匚用，這個立體圖

形可能是困。

正確解答：D

小?技法提煉

解決此類問題時，要善于發(fā)現(xiàn)拼成的立體圖形的特點，主要看從某一角度觀察，每行有幾個，每層擺了幾行,

有幾層，找出突破口。

【變式4】

（2022六下?廣東揭陽）

4.一個立體圖形，從正面看到的形狀是,從左面看到的形狀是,搭這樣的

立體圖形，最少需要（）個小正方體。

A.4B.5C.6D.7

妙立體圖形的表面積和體積

【例5】

一個長方體鐵皮油箱長80厘米、寬50厘米，高40厘米。

（1）做這個油箱至少要用鐵皮多少平方分米？

（2）這個油箱的容積是多少升？（鐵皮的厚度忽略不計）

思路引導

此題主要考查的是長方體的表面積和容積的計算。

（1）要求做這個油箱至少要用鐵皮多少平方分米，就是求這個長方體鐵皮油箱的表面積，可直接利用長方

體表面積的公式計算，計算時注意單位換算。

（2）鐵皮的厚度忽略不計，所以求這個油箱的容積就相當于求這個油箱的體積。

正確解答：

（1）（80X50+80X40+50X40）X2

=9200X2

=18400（平方厘米）

=184（平方分米）

答：做這個油箱至少要用鐵皮184平方分米。

（2）80X50X40=160000（立方厘米）

160000立方厘米=160立方分米=160升

答：這個油箱的容積是160升。

小結(jié)技法提煉

求表面積和求容積（體積）是不同的，要注意區(qū)分。

【變式5】

5.一張長方形紙板長30厘米、寬18厘米，從它的四個角上各剪去一個邊長是2厘米的小正方形，然后用

剩下的部分折成一個無蓋的長方體紙盒（接頭處忽略不計），這個紙盒的容積是多少毫升？（紙板的厚度忽

略不計）

【例6】

如圖所示，在容器中放入1個圓柱形鐵塊和2個與它等底等高的圓錐形零件，溢出了部分水，則每個圓錐形

零件的體積是（）立方厘米。

600ml

思路引導

根據(jù)題意和示意圖知，溢出水的體積是容器內(nèi)1個圓柱和2個圓錐的體積和。由于容器內(nèi)圓柱和圓錐等底

等高，那么圓柱體積=3X圓錐體積，那么相當于容器內(nèi)有5個相同的圓錐。用600毫升除以5,求出每個

圓錐的體積。

正確解答：

6004-（3+2）

6004-5

120（毫升）

120毫升=120立方厘米

所以：每個圓錐形零件的體積是120立方厘米。

小結(jié)技法提煉

解決此類題的關鍵點在于理解圓柱和圓錐的體積關系：等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

【變式6】

6.一塊圓柱形橡皮泥,底面積是24平方厘米，高是5厘米,如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是（）

厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是（）平方厘米。

|曰不規(guī)則物體的體積

【例7】

一個圓柱形水槽，底面半徑是10厘米，里面盛有15厘米高的水，現(xiàn)將一個底面直徑是12厘米的圓錐形鐵

塊，完全浸入水中，水面高度比原來上升了1.5厘米，圓錐形鐵塊的高是多少厘米？

思路引導

放人鐵塊后，水面上升了，鐵塊的體積就等于上升的那部分水的體積，即水槽的底面積乘水上升了的高度。

而求鐵塊的高，可根據(jù)公式“圓錐的高=體積義3+底面積”列式計算。

正確解答：

314X102X1.5=471（立方厘米）

3.14X（12+2）2=113.04（平方厘米）

4714--4-113.04=12.5（厘米）

3

答：圓錐形鐵塊的高是12.5厘米。

小結(jié)技法提煉

解答排水法求物體的體積的問題，關鍵是把浸沒在水中的物體體積轉(zhuǎn)化為求上升（或下降）部分的水的體

積。而已知圓錐的體積，要求它的底面積（或高），注意用體積乘3（即除以工），再除以高（或底面積）。

3

【變式7】

（2022六下?貴州黔西）

7.一瓶果汁，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），瓶子的容積為32立方厘米，當瓶子正放時，瓶內(nèi)果汁液

面高度為8厘米，當瓶子倒放時，空余部分為2厘米，請你算一算，瓶內(nèi)果汁的體積是多少立方厘米？

就立體圖形的切割與拼組

【例8】

一根長6米的長方體木料，把它從中間截成兩段，表面積增加了12平方分米，那么原來長方體木料的體積

是多少立方米？

思路引導

求原來長方體木料的體積可以用“橫截面面積X長”?？梢援嫵鍪疽鈭D幫助我們分析：

Dr。

把木料從中間截成兩段，表面積增加了兩個橫截面的面積，用12+2=6（平方分米）求出橫截面的面積,

再根據(jù)公式就能求出原來長方體木料的體積了。

正確解答:

124-2=6（平方分米）

6平方分米=0.06平方米

0.06X6=0.36（立方米）

答：原來長方體木料的體積是0.36立方米。

小國?技法提煉

長方體（或正方體）的體積公式是長方體（或正方體）的體積=底面積X高，也可以變形為長方體（或正方

體）的體積=橫截面的面積義長。解決問題時，我們要靈活選用合適的公式進行計算。

變式8】

（2022六下?北京昌平）

8.把一根長4米的長方體木料，截成3段，表面積增加了0.24平方米（如圖所示）這根木料原來的體積是

（）立方米。

例9】

如圖：這只工具箱的下半部是棱長為20厘米的正方體，上半部是圓柱體的一半。算出它的表面積和體積。

思路引導

根據(jù)圓柱和正方體的表面積的計算方法，它的表面積是上面圓柱的表面積的一半加上下面正方體的5個面

的面積；再根據(jù)圓柱和正方體的體積公式，計算上面圓柱體積的一半加上下面正方體的體積即可。

正確解答：

表面積：

3.14X20X204-2+3.14X102+20X20X5

=12564-2+3.14X100+400X5

=628+314+2000

=2942（平方厘米）

體積：

3.14X102X204-2+20X20X20

=3.14X100X204-2+8000

=3140+8000

=11140（立方厘米）

答：它的表面積是2942平方厘米，體積是11140立方厘米。

囹?技法提煉

解答求組合圖形的表面積和體積，關鍵是分析圖形是由哪幾部分組成，然后根據(jù)它們的表面積公式和體積

公式進行解答。

【變式9】

（2022六上?江蘇徐州）

9.一個棱長4厘米的正方體，在正中從上到下挖出一個長方體孔洞，孔洞的底面為邊長2厘米的正方形，

這個空心圖形的表面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米？

,?建議用時：45min

一、填空。

（2022六下?山西運城）

10.一個長方體的高截去2厘米，表面積減少了24平方厘米，剩下的部分正好是正方體，正方體的表面積

是（）平方厘米，原來長方體的表面積是（）平方厘米。

（2022六下?陜西榆林）

11.以下圖中這個三角形4cm的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個（）（填“圓柱”或“圓

錐”），這個圖形的體積是（）cm3。

3cm

（2022六下?寧夏）

12.工人叔叔在地面上用64個同樣大小的小正方體拼成了一個大正方體，并把它的五個面涂上了顏色（貼

地的那個面不涂色），其中3個面涂色的小正方體木塊有（）個，2個面涂色的有（）

（2022六下?陜西榆林）

13.看一看，畫一畫。

2022年5月10日在人民大會堂舉行了“慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年大會”，中共中央總書記、

國家主席、中央軍委主席習近平在會上發(fā)表重要講話強調(diào)，青春孕育無限希望，青年創(chuàng)造美好明天。下圖是

一個正方體的展開圖，將它折疊成正方體后，與“望”字相對面上的字是什么字？在正確答案下面畫“

()()()()()

（2022六下?河南鄭州）

14.下圖是正方體，各個面展開后如圖所示，對應的六個面分別用字母A、B、C、D、E、F表示，則正方體

前、后兩個面，分別是展開后圖中的（）。

A.A和DB.B和DC.B和ED.C和D

（2022六下?陜西榆林）

15.一個立體圖形，從左面看到的形狀是,從正面看到的形狀是,這個立體圖

形可能是（)o

A.

C.

（2020六下?江蘇）

16.將一個大長方體切分成兩個完全一樣的小長方體，按下圖所示的三種切法，表面積分別增加50平方厘

90平方厘米。原來大長方體的表面積是（）平方厘米。

A.360B.90C.180D.390

（2020六下?浙江紹興）

17.如圖，把一張長方形的紙分別卷成兩個不同的圓柱形紙筒。如果再給它們分別都做上底面，則圓柱A

的表面積（）圓柱B的表面積。

18.圓柱的體積公式推導過程，將圓柱切拼成一個近似的長方體后，（）。

A.表面積不變，體積不變B.表面積變大，體積不變

C.表面積變大，體積變大D,表面積變小，體積變小

（2022六下?遼寧沈陽）

19.如圖是甲乙兩名同學對同一個圓柱的不同切法。甲切開后表面積增加了（），乙切開后表面積增加

（2021六下?浙江金華）

（2022六下?遼寧沈陽）

21.將一個底面直徑是2dm,高是3dm的圓柱形容器注滿水，垂直輕輕插入一根底面積是0.6dn?,高

是4dm的方鋼，溢出的水的體積是（）L。

A.2.4B.1.8C.2400D.180

三、判斷。

（2022六下-湖北襄陽）

22.把一個圓柱削成一個最大的圓錐，圓錐的體積是削去部分的兩倍。（）

（2022六下?安徽蕪湖）

23.正方體的棱長擴大為原來的5倍，它的表面積就擴大為原來的30倍。（）

（2022六上?河北石家莊）

24.一個正方體的棱長總和是72厘米，它的體積和表面積相等。（）

（2022六下?陜西榆林）

25.一個圓柱形橡皮泥的高是7厘米,把它捏成底面半徑相同的圓錐，這個圓錐的高是21厘米。（）

四、計算。

（2022六下?貴州黔西）

26.下圖是從圓柱中挖去一個圓錐，請計算挖去這個圓錐所剩下的體積。（單位：厘米）

?12―

國。

207—工

-----------/

五、解決問題。

（2022六下?湖北武漢）

27.為了防止魚缸破碎，李明自己動手給魚缸的每條棱上裝上防撞條，共計用掉480厘米防撞條，已知魚

缸的長、寬、高的比是3：2：1,那么魚缸的容積是多少升（防撞條與玻璃的厚度忽略不計）？

（2022六下?北京昌平）

28.學校科技小組制做了一個長方體水漏，這個水漏長2.5分米，寬1.5分米，高2分米。經(jīng)過試驗，這個

水漏裝滿水全部漏完要6小時。這個水漏平均每小時漏多少升水?

（2022六上?江蘇揚州）

29.用一張長60厘米、寬40厘米的長方形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器。（鐵皮厚度忽略）

(1)(2)

（1）通常如圖（1）所示，在四角剪去四個一樣的正方形，再通過翻折、焊接，做成一個無蓋的長方體容

器。如果剪去的正方形的邊長是8厘米，那么做成的長方體容器的長是（）厘米，寬是（）厘

米，高是（）厘米，容積是（）立方分米。

（2）圖（1）制作容器的方法會浪費掉一些鐵皮，為了不浪費，我們還可以如圖（2）,在長方形鐵皮左邊

兩個角剪去邊長為10厘米的正方形再將兩個正方形移到右邊中間，并焊接起來，再通過翻折、焊接，做

成一個無蓋的長方體容器。做成的長方體容器的長是（）厘米，寬是（）厘米，高是（）厘

米，容積是（）立方分米。

（3）如果給你一張長70厘米、寬60厘米的長方形鐵皮用圖（2）的方法制作一個長、寬、高都是整厘米

數(shù)的無蓋長方體容器，你會怎樣設計？（請畫出草圖，標出數(shù)據(jù)，并計算出這個無蓋長方體容器的容積）

（2021六下?浙江金華）

30.小明在解決“已知圓柱的底面直徑為6cm,高為8cm,求這個圓柱的體積”這一問題的時候，沒有直

接用體積公式進行計算，而是根據(jù)圓柱體積計算公式的推導過程，想出了一種別出心裁的方法，分步計算

圓柱的體積。你能看懂他的方法嗎？請你補上小明的最后一步（第三步）算式，計算出圓柱的體積。

第一步：3.14X64-2=9.42（cm）

第二步：6+2=3（cm）

第三步：________________

請你根據(jù)下圖說說小明這樣做的理由。

（2022六下?湖北武漢）

31.為測量一個不規(guī)則鐵塊的體積，一個學習小組做了以下實驗:

①用天平稱出這個鐵塊的重量是0.4千克；

②從內(nèi)部量出圓柱形容器的底面半徑是5厘米；

③從內(nèi)部量出圓柱形容器的高是10厘米；

④在容器里注入一定量的水，量出水面高度為6厘米：

⑤將鐵塊完全浸沒水中（水沒溢出），量出水面高度為8厘米。

請根據(jù)以上信息求出這個鐵塊體積。

（2020六下?浙江紹興）

32.在本學期的數(shù)學課上，我們通過操作，知道長方形沿長或?qū)挒檩S旋轉(zhuǎn)一周，可以形成圓柱；把線直角

三角形沿直角邊旋轉(zhuǎn)一周，可以形成圓錐。那么，請你思考:

（1）下列兩個梯形（圖1）,沿圖中的軸旋轉(zhuǎn)一周，形成了什么立體圖形，請你試著畫一畫所形成的立體

圖形的示意圖。

（2）如下圖（圖2）,有這樣一個長方形ABCD,BC=6cm,AB=10cm,已知對角線AC、BD相交點

。。如果圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘米?

圖1圖2

第十二節(jié)：圖形的認識與測量（二）立體圖形

知識全景圖?

特征、展產(chǎn)圖

校長總和

§長方體、正方體

表茴積

，體積

切割增加特征

組合減少118（圓柱、圓卷，一圓柱表面積

一推導過程轉(zhuǎn)化思想

J，體積,-------------

園惟、圓柱體積間關系

-圖形觀察觀察的角度、方向不同，常常結(jié)果不司

核心考向集

考向01

,立體圖形的特征

[例1]

“母親節(jié)”到了，李老師在商場給媽媽買了一個禮物，請售貨員用一個精美的長方體禮盒包裝。已知禮盒長

4分米，寬2.5分米，高3分米，售貨員很貼心的用彩帶把禮盒扎起來（如下圖），打結(jié)處彩帶長2分米，請

你算一算售貨員一共用了多長的彩帶扎禮盒？

3dm

4dm

思路引導

根據(jù)題意和示意圖可知，禮盒是長方體的，長4分米，寬2.5分米，高3分米，根據(jù)長方體的特征：12條棱

分為互相平行的3組，每組4條棱的長度相等，則所需彩帶的長度=4條高的長度+2條長的長度和+2條

寬的長度和+打結(jié)處彩帶長。

正確解答：

4X3+2X4+2X2.5+2

=12+8+5+2

=20+5+2

=27（分米）

答：售貨員一共用了27分米的彩帶扎禮盒。

小

解決此類捆扎長方體盒子需要繩子長度的問題，就是把求繩子的長度轉(zhuǎn)化為求幾條長、幾條寬、幾條高和打

結(jié)部分的長度。如果捆扎的是圓柱體，就轉(zhuǎn)化為求幾條直徑、幾條高和打結(jié)部分一共的長度。

【變式1】

（2021六下?江蘇揚州）

1.奶奶過生日，媽媽買了一個大蛋糕。蛋糕盒是圓柱形的，媽媽準備配上十字形的絲帶再打上蝴蝶結(jié)，需

要買多長的絲帶？（蝴蝶結(jié)需要25cm）

【解析】

【分析】通過觀察，捆扎這個盒子至少用去絲帶4個蛋糕盒底面直徑和4個蛋糕盒高，再加上打結(jié)用去絲

帶長25厘米，由此得解。

【詳解】45X4+25X4+25

=180+100+25

=305（厘米）

答：需要買305厘米長的絲帶。

【點評】此題要求學生要有空間想象力，能夠想到底面和背面也有和我們現(xiàn)在看到的一樣多的絲帶。

【例2】

用一塊長25.12cm、寬18.84cm的長方形鐵皮，配上下面（）的圓形鐵片正好可以做成圓柱形容器。（單

位：cm）

A.r=2B.r=3C.r=6D.r=8

思路引導

長方形鐵皮做圓柱的側(cè)面，圍成圓柱時，有兩種圍法:

第一種圍法：用25.12cm做底面的周長，可以求出底面圓形的半徑是25.12+3.14+2=4(cm)；

第二種圍法：用18.84cm做底面的周長，可以求出底面圓形的半徑是18.84+3.14+2=3(cm)。

正確解答：B

小?技法提煉

把一個長方形圍成圓柱有種圍法，分別是用長或?qū)捵鰣A柱底面周長；把一個正方形圍成圓柱，只有一種圍

法。

【變式2】

(2022六下?山西運城)

2.數(shù)學來源于生活，又用于生活，請你制作一個無蓋圓柱形水桶,有以下幾種型號的鐵皮供搭配選擇。

12.56dm

9.42dm4dm3dm

4dm5din

①②③④

你選擇的材料是()號和()號

【答案】①.②②.③

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱的特點，圓柱的底面周長等于側(cè)面展開圖長方形的長，據(jù)此進行選擇即可。

【詳解】3.14X4=12.56(dm)

則應選擇的材料是②號和③號

【點睛】本題考查圓柱，明確圓柱的特征是解題的關鍵。

考向02立體圖形的展開圖

【例3】

用☆”分別標出下列立體圖形的展開圖中相對的面。

思路引導

圖1屬于正方體展開圖的“1-4-1”型，折疊成正方體后，相對符號的面相對；同理，圖2是長方體展開

圖，也屬于“1-4-1”型，折疊成長方體后也是相同符號的面相對。

正確解答：

用☆”分別標出下列立體圖形的展開圖中相對的面如下:

解決展開圖相關的問題可以想象將展開圖復原成正方體或長方體，根據(jù)各個面在展開圖中分布的位置找到

相對的面。

變式3】

3.下列圖形中，()不是圓柱體的展開圖.

A.1.5m

L

5

7

c

0.5cm3m[[)0.5cm

i

1.57cm

6dm

【答案】C

【解析】

【分析】

圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形和兩個圓，長方形的長等于圓柱的底面周長，據(jù)此計算判斷.

【詳解】選項A,圓柱的底面周長是：3.14x1=3.14(m),圓柱的底面周長等于長方形的長，圖A是圓柱體

的展開圖；

選項B,圓柱的底面周長是：3.14x0.5=1.57(cm),圓柱的底面周長等于長方形的長，圖B是圓柱體的展

開圖;

選項C,圓柱的底面周長是：3.14x2x2=12.56(dm),12.56dm#dm,所以圖C不是圓柱體的展開圖.

故答案為：C.

西觀察物體

【例4】

一個立體圖形，從左面看到的形狀是日口,

從上面看到的形狀是,這個立體圖形可能是下面的

()圖。

A.

思路引導

根據(jù)從上面看到的圖形，可以確定下層是4個正方體，后排3個，前排靠右1個；根據(jù)從左面看到的圖形,

確定總共上下兩層，上層的1個正方體在后排上，對照給出的4個圖形，這個圖形應該是

從以上分析得出：一個立體圖形，從左面看到的形狀是,從上面看到的形狀是,這個立體圖

形可能是

正確解答：D

小囹?技法提煉

解決此類問題時，要善于發(fā)現(xiàn)拼成的立體圖形的特點，主要看從某一角度觀察，每行有幾個，每層擺了幾行,

有幾層，找出突破口。

【變式4】

(2022六下?廣東揭陽)

4.一個立體圖形，從正面看到的形狀是,從左面看到的形狀是,搭這樣的

立體圖形，最少需要()個小正方體。

A4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】從正面看只有1層，有4個小正方體；從左面看，也是1層，有2個小正方體。由此可知，這個立

體圖形只有1層，有2排，則至少有4個小正方體分成2排排列即可，據(jù)此解答。

【詳解】通過觀察、分析，一個立體圖形，從正面看到的形狀是，從左面看到的形

狀是，搭這樣的立體圖形，最少需要4個小正方體。

故答案為：A

【點睛】解答此題的關鍵是學生需要具有一定的空間想象能力，從前視圖和左視圖分析圖形數(shù)量。

為立體圖形的表面積和體積

【例5】

一個長方體鐵皮油箱長80厘米、寬50厘米，高40厘米。

（1）做這個油箱至少要用鐵皮多少平方分米？

（2）這個油箱的容積是多少升？（鐵皮的厚度忽略不計）

思路引導

此題主要考查的是長方體的表面積和容積的計算。

（1）要求做這個油箱至少要用鐵皮多少平方分米，就是求這個長方體鐵皮油箱的表面積，可直接利用長方

體表面積的公式計算，計算時注意單位換算。

（2）鐵皮的厚度忽略不計，所以求這個油箱的容積就相當于求這個油箱的體積。

正確解答：

（1）（80X50+80X40+50X40）X2

=9200X2

=18400（平方厘米）

=184（平方分米）

答：做這個油箱至少要用鐵皮184平方分米。

（2）80X50X40=160000（立方厘米）

160000立方厘米=160立方分米=160升

答：這個油箱的容積是160升。

小?技法提煉

求表面積和求容積（體積）是不同的，要注意區(qū)分。

【變式5】

5.一張長方形紙板長30厘米、寬18厘米，從它的四個角上各剪去一個邊長是2厘米的小正方形，然后用

剩下的部分折成一個無蓋的長方體紙盒（接頭處忽略不計），這個紙盒的容積是多少毫升？（紙板的厚度忽

略不計）

【答案】728毫升

【解析】

【分析】從長方形紙板的四個角上各剪去一個邊長是2厘米的小正方形，折成的長方體紙盒的長是（30—2

-2）厘米，寬是（18—2—2）厘米，高是2厘米，利用長方體體積公式直接求體積，再換算成容積即可。

【詳解】（30—2—2）X（18-2-2）X2

=26X14X2

=728（立方厘米）

=728（毫升）

答：這個紙盒的容積是728毫升。

【點睛】關鍵是掌握并靈活運用長方體體積（容積）公式，確定長方體的長和寬是解答本題的關鍵。

【例6】

如圖所示，在容器中放入1個圓柱形鐵塊和2個與它等底等高的圓錐形零件，溢出了部分水，則每個圓錐形

零件的體積是（）立方厘米。

思路引導

根據(jù)題意和示意圖知，溢出水的體積是容器內(nèi)1個圓柱和2個圓錐的體積和。由于容器內(nèi)圓柱和圓錐等底

等高，那么圓柱體積=3義圓錐體積，那么相當于容器內(nèi)有5個相同的圓錐。用600毫升除以5,求出每個

圓錐的體積。

正確解答：

6004-（3+2）

=600+5

120（毫升）

120毫升=120立方厘米

所以：每個圓錐形零件的體積是120立方厘米。

小綺

解決此類題的關鍵點在于理解圓柱和圓錐的體積關系：等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

【變式6】

6.一塊圓柱形橡皮泥,底面積是24平方厘米，高是5厘米,如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是（）

厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是（）平方厘米。

【答案】①.15②.72

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱的體積公式：V=Sh,據(jù)此求出橡皮泥的體積，橡皮泥的體積不變，根據(jù)圓錐的體積公式:

V=-Sh,據(jù)此解答即可；

3

【詳解】24X5X3+24

=120X34-24

=360+24

=15（厘米）

24X5X34-5

=120X3+5

=360+5

=72（平方厘米）

如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是15厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是72平方厘米。

【點睛】本題考查圓柱和圓錐的體積，熟記公式是解題的關鍵。

考陽不規(guī)則物體的體積

【例7】

一個圓柱形水槽，底面半徑是10厘米，里面盛有15厘米高的水，現(xiàn)將一個底面直徑是12厘米的圓錐形鐵

塊，完全浸入水中，水面高度比原來上升了L5厘米，圓錐形鐵塊的高是多少厘米？

思路引導

放入鐵塊后，水面上升了，鐵塊的體積就等于上升的那部分水的體積，即水槽的底面積乘水上升了的高度。

而求鐵塊的高，可根據(jù)公式“圓錐的高=體積義3+底面積”列式計算。

正確解答：

3.14X102X1.5=471（立方厘米）

3.14X（124-2）2=113.04（平方厘米）

471^-4-113.04=12.5（厘米）

3

答：圓錐形鐵塊的高是12.5厘米。

小結(jié)技法提煉

解答排水法求物體的體積的問題，關鍵是把浸沒在水中的物體體積轉(zhuǎn)化為求上升（或下降）部分的水的體

積。而已知圓錐的體積，要求它的底面積（或高），注意用體積乘3（即除以；），再除以高（或底面積）。

【變式7】

（2022六下?貴州黔西）

7.一瓶果汁，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），瓶子的容積為32立方厘米，當瓶子正放時，瓶內(nèi)果汁液

面高度為8厘米，當瓶子倒放時，空余部分為2厘米，請你算一算，瓶內(nèi)果汁的體積是多少立方厘米？

【答案】25.6立方厘米

【解析】

【分析】分析題意，可知果汁的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的，假設瓶身全部呈圓柱

形，圓柱的高為（8+2）厘米，進而根據(jù)瓶子的容積，求得瓶子的底面積；接下來用底面積乘瓶內(nèi)的果汁

的高度即可得果汁的體積。

【詳解】324-（8+2）

=32+10

=3.2（平方厘米）

3.2X8=25.6（立方厘米）

答：瓶內(nèi)果汁的體積是25.6立方厘米。

【點睛】解答此題的關鍵是根據(jù)瓶子的容積和高度求出瓶子的底面積。

?立體圖形的切割與拼組

【例8】

一根長6米的長方體木料，把它從中間截成兩段，表面積增加了12平方分米，那么原來長方體木料的體積

是多少立方米？

思路引導

求原來長方體木料的體積可以用“橫截面面積X長”?？梢援嫵鍪疽鈭D幫助我們分析：

r。r0

把木料從中間截成兩段，表面積增加了兩個橫截面面積，用12+2=6（平方分米）求出橫截面的面積，

再根據(jù)公式就能求出原來長方體木料的體積了。

正確解答：

12+2=6（平方分米）

6平方分米=0.06平方米

0.06X6=0.36（立方米）

答：原來長方體木料的體積是0.36立方米。

小囹?技法提煉

長方體（或正方體）的體積公式是長方體（或正方體）的體積=底面積X高，也可以變形為長方體（或正方

體）的體積=橫截面的面積X長。解決問題時，我們要靈活選用合適的公式進行計算。

【變式8】

（2022六下?北京昌平）

8.把一根長4米的長方體木料，截成3段，表面積增加了0.24平方米（如圖所示）這根木料原來的體積是

（）立方米。

r—QI=>I^^I

【答案】0.24

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，把這根木料平均鋸成3段，表面積增加0.24平方米，表面積增加的是4個截面的

面積，由此可以求出木料的底面積，然后根據(jù)長方體的體積公式：V=Sh,把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。

【詳解】底面積：

0.244-4=0.06（平方米）

體積：

0.06X4=0.24（立方米）

【點睛】此題主要考查長方體的體積公式的靈活運用，抓住長方體的切割特點和增加的表面積，先求出長方

體的底面積是解決此類問題的關鍵。

【例9】

如圖：這只工具箱的下半部是棱長為20厘米的正方體，上半部是圓柱體的一半。算出它的表面積和體積。

思路引導

根據(jù)圓柱和正方體的表面積的計算方法，它的表面積是上面圓柱的表面積的一半加上下面正方體的5個面

的面積；再根據(jù)圓柱和正方體的體積公式，計算上面圓柱體積的一半加上下面正方體的體積即可。

正確解答：

表面積：

3.14X20X204-2+3.14X102+20X20X5

=12564-2+3.14X100+400X5

=628+314+2000

=2942（平方厘米）

體積：

3.14X102X204-2+20X20X20

=3.14X100X204-2+8000

=3140+8000

=11140（立方厘米）

答：它的表面積是2942平方厘米，體積是H140立方厘米。

小囹?技法提煉

解答求組合圖形的表面積和體積，關鍵是分析圖形是由哪幾部分組成，然后根據(jù)它們的表面積公式和體積

公式進行解答。

【變式9】

（2022六上?江蘇徐州）

9.一個棱長4厘米的正方體，在正中從上到下挖出一個長方體孔洞，孔洞的底面為邊長2厘米的正方形，

這個空心圖形的表面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米？

【答案】120平方厘米；48立方厘米

【解析】

【分析】這個空心圖形的表面積=棱長4厘米的正方體的表面積一邊長2厘米的正方形面積X2+長4厘米

寬2厘米的長方形面積X4；

體積=棱長4厘米的正方體體積一長2厘米寬2厘米高4厘米的長方體體積；依此列式計算即可求解。

【詳解】4X4X6-2X2X2+4X2X4

=96-8+32

=120（平方厘米）

4X4X4—2X2X4

=64—16

=48（立方厘米）

答：這個空心圖形的表面積是120平方厘米，體積是48立方厘米。

【點睛】解答此題的關鍵是弄清楚：現(xiàn)在的表面積由哪些面組成，問題即可得解。

建議用時:建min

一、填空。

（2022六下?山西運城）

10.一個長方體的高截去2厘米，表面積減少了24平方厘米，剩下的部分正好是正方體，正方體的表面積

是（）平方厘米，原來長方體的表面積是（）平方厘米。

【答案】①.54②.78

【解析】

【分析】根據(jù)題意，高減少2厘米，表面積比原來減少24平方厘米，表面積減少的只是4個側(cè)面的面積，

減少的4個側(cè)面是完全相同的長方形，用減少的面積除以4求出減少的一個面的面積，用面積除以寬（2厘

米），即可求出正方體的棱長，再根據(jù)正方體的表面積公式：S=6a2,長方體的表面積公式：S=（ab+ah+

bh）X2,把數(shù)據(jù)代入解答即可。

【詳解】2494+2

=64-2

=3（厘米）

3+2=5（厘米）

3X3X6

=9X6

=54（平方厘米）

（3X3+3X5+3X5）X2

=（9+15+15）X2

=39X2

=78（平方厘米）

則正方體的表面積是54平方厘米，原來長方體的表面積是78平方厘米。

【點睛】本題考查正方體和長方體的表面積，熟記公式是解題的關鍵。

（2022六下?陜西榆林）

11.以下圖中這個三角形4cm的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個（）（填“圓柱”或“圓

錐”），這個圖形的體積是（）err?。

【答案】①.圓錐②.37.68

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑是3cm,高是4cm的

圓錐；根據(jù)圓錐的體積公式：體積=底面積X高義工，代入數(shù)據(jù)，進行解答。

3

【詳解】3.14X32X4X-

3

1

=3.14X9X4X-

3

1

=28.26X4義-

3

1

=113.04X—

3

=37.68（cm3）

以下圖中這個三角形4cm的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個圓錐，這個圖形的體積是

37.68cm3o

3cm

【點睛】本題考查圓錐的特征以及圓錐體積公式的應用。

（2022六下?寧夏）

12.工人叔叔在地面上用64個同樣大小的小正方體拼成了一個大正方體，并把它的五個面涂上了顏色（貼

地的那個面不涂色），其中3個面涂色的小正方體木塊有（）個，2個面涂色的有（）

個。

【答案】①.420

【解析】

【分析】觀察這個大正方體，如圖,只有四個頂點上小正方體3個面

會被涂色，所以3個面涂色的小正方體木塊有4個；如圖,藍

色箭頭所指的小正方體2個面會被涂色，共有（2X4）個，紅色箭頭所指的小正方體2個面也會被涂色,

共有（3X4）個，加起來即可計算得出2個面涂色的小正方體共有20個。

【詳解】根據(jù)分析得，1義4=4（個）

2X4+3X4

=8+12

=20(個)

所以3個面涂色的小正方體木塊有4個，2個面涂色的有20個。

【點睛】此題的解題關鍵是抓住表面涂色的正方體切割小正方體的特點。

二、選擇。

(2022六下?陜西榆林)

13.看一看，1S|—|EB|?

2022年5月10日在人民大會堂舉行了“慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年大會”，中共中央總書記、

國家主席、中央軍委主席習近平在會上發(fā)表重要講話強調(diào)，青春孕育無限希望，青年創(chuàng)造美好明天。下圖是

一個正方體的展開圖，將它折疊成正方體后，與“望”字相對面上的字是什么字？在正確答案下面畫“

()()()()()

【答案】見詳解

【解析】

【分析】此圖屬于正方體展開圖的“1-4-1”結(jié)構，折成正方體后，“望”與“青”相對，“春”與“育”

相對，“孕”與“希”相對。

【詳解】與“望”字相對面上的字是“青”字。

青春孕育希

(J)()()()()

【點睛】本題考查了正方體的展開圖，正方體展開圖分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些

面相對是有規(guī)律的，可自己動手操作一下并記住規(guī)律，能快速解答此類題。

(2022六下?河南鄭州)

14.下圖是正方體，各個面展開后如圖所示，對應的六個面分別用字母A、B、C、D、E、F表示，則正方體

前、后兩個面，分別是展開后圖中的()o

A.A和DB.B和DC.B和ED.C和D

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的特征可知，相對的面中間有1個正方形，所以A的相對面是F,B的相對面是D,C

的相對面是E,據(jù)此選擇即可。

【詳解】由分析可知：

正方體前、后兩個面，分別是展開后圖中的B和D。

故答案為：B

【點睛】本題考查正方體的特征，明確其特征是解題的關鍵。

（2022六