專題05 勾股定理的證明方法 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題05勾股定理的證明方法姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【思路點(diǎn)撥】利用可證，故①正確；由全等三角形的性質(zhì)可得出，，求出，即可得到②正確；根據(jù)梯形的面積公式可得③正確；根據(jù)列式，可得④正確；整理后可得，即⑤正確．【規(guī)范解答】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴梯形的面積是，故③正確；∵，∴，故④正確；整理得：，∴該圖可以驗(yàn)證勾股定理，故⑤正確；正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是5個(gè)，故選：D．【考點(diǎn)評析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，梯形的面積計(jì)算，三角形的面積計(jì)算，勾股定理等知識，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．2．(本題2分)（2023秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）意大利著名畫家達(dá)·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為，圖2中空白部分的面積為，則下列對，所列等式不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算，即可解決問題．【規(guī)范解答】解：由勾股定理可得，由題意，可得，故選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)B、C、D不符合題意．故選：A．【考點(diǎn)評析】本題考查了勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖像信息．3．(本題2分)（2022秋·山東棗莊·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖是用硬紙板做成的兩個(gè)直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的全等三角形拼成的圖形，觀察圖形，可以驗(yàn)證（）A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 C．a(chǎn)2－b2＝（a＋b）（a－b） D．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)梯形面積的不同計(jì)算方法得出等式，整理后可得答案．【規(guī)范解答】解：由題意得：梯形的面積＝，∵梯形的面積又可以看作是三個(gè)直角三角形的面積和，∴梯形的面積＝，∴，整理得：，故選：A．【考點(diǎn)評析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，勾股定理的證明，熟練掌握梯形的面積公式和三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．4．(本題2分)（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時(shí)代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一個(gè)證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)面積公式推理論證判斷即可．【規(guī)范解答】∵中，根據(jù)面積關(guān)系，得到，∴選項(xiàng)A能證明勾股定理；∵中，根據(jù)面積關(guān)系，得到，故，∴選項(xiàng)B能證明勾股定理；∵中，根據(jù)面積關(guān)系，得到，故，∴選項(xiàng)C能證明勾股定理；∵中，根據(jù)面積關(guān)系，得到，∴選項(xiàng)D不能證明勾股定理；故選：D．【考點(diǎn)評析】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式，熟練掌握勾股定理的證明和完全平方公式的幾何意義是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022秋·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期末）意大利著名畫家達(dá)·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是相等的，如下圖所示的左圖和右圖，證明了勾股定理．若設(shè)左邊圖中空白部分的面積為．右邊圖中空白部分的面積為，則下列對，所列等式正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算即可解決問題．【規(guī)范解答】解：觀察圖形可知：S1=S2=a2+b2+ab=c2+ab，故選：B．【考點(diǎn)評析】本題考查勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．6．(本題2分)（2022春·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】利用兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積+一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上底為a,下第為b,高為（a+b）的梯形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷A，利用以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長為c的小正方形面積和=以a+b的和為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷B，利用以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長為（b-a）的小正方形面積和=以c為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷C，利用四個(gè)小圖形面積和=大正方形面積推導(dǎo)完全平方公式可判斷D．【規(guī)范解答】解：A、∵兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積+一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積和=上底為a,下第為b,高為（a+b）的梯形面積，∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長為c的小正方形面積和=以a+b的和為邊正方形面積，∴4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積+邊長為（b-a）的小正方形面積和=以c為邊正方形面積，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵四個(gè)小圖形面積和=大正方形面積，∴ab+b2+a2+ab=（a+b）2，∴a2+2ab+b2=（a+b）2，根據(jù)圖形證明完全平方公式，不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【考點(diǎn)評析】本題考查利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式，掌握利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式是解題關(guān)鍵．7．(本題2分)（2020秋·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期中）1876年，美國總統(tǒng)伽菲爾德利用如圖所示的方法驗(yàn)證了勾股定理，其中兩個(gè)全等的直角三角形的邊，在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】直接根據(jù)梯形ABCD的面積的兩種算法進(jìn)行解答即可．【規(guī)范解答】解：由圖形可得：故答案為B．【考點(diǎn)評析】本題主要考查了勾股定理的證明方法，將圖形的面積用兩種方式表示出來成為解答本題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）圖中不能證明勾股定理的是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)各個(gè)圖象，利用面積的不同表示方法，列式證明結(jié)論，找出不能證明的那個(gè)選項(xiàng)．【規(guī)范解答】解：A選項(xiàng)不能證明勾股定理；B選項(xiàng)，通過大正方形面積的不同表示方法，可以列式，可得；C選項(xiàng)，通過梯形的面積的不同表示方法，可以列式，可得；D選項(xiàng)，通過這個(gè)不規(guī)則圖象的面積的不同表示方法，可以列式，可得．故選：A．【考點(diǎn)評析】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的證明方法．9．(本題2分)（2022秋·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1，是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為(

)A．121 B．110 C．100 D．90【答案】B【思路點(diǎn)撥】延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，可得四邊形是正方形，然后求出正方形的邊長，再求出矩形的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【規(guī)范解答】解：如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則四邊形是矩形．，，又直角中，，，在和中，，，，同理：，，，所以，矩形是正方形，邊長，所以，，，因此，矩形的面積為，故選B．【考點(diǎn)評析】本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的判定可判斷①正確；再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平角定義可判斷②正確；根據(jù)梯形的面積公式可判斷③正確；根據(jù)可判斷④錯(cuò)誤，⑤正確，綜合即可作出選擇．【規(guī)范解答】解：∵，，∴，∴，又∵，，∴，故①正確；∴，∵，∴，則，∴，故②正確；∵，，，，∴四邊形的面積是，故③正確；∵，∴，∵，∴，即，∴，故④錯(cuò)誤，⑤正確，綜上，正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理的證明、平行線的性質(zhì)、完全平方公式、梯形和三角形的面積等知識，證明三角形全等以及發(fā)現(xiàn)圖形中的邊角關(guān)系是解答的關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，把長、寬、對角線的長分別是a、b、c的矩形沿對角線剪開，與一個(gè)直角邊長為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補(bǔ)法能夠得到的一個(gè)等式是__．【答案】a2+b2＝c2【思路點(diǎn)撥】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個(gè)圖形的面積，從而列出等式，發(fā)現(xiàn)邊與邊之間的關(guān)系．【規(guī)范解答】解：此圖可以這樣理解，有三個(gè)Rt△其面積分別為ab，ab和c2．還有一個(gè)直角梯形，其面積為（a+b）（a+b）．由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．【考點(diǎn)評析】此題考查的知識點(diǎn)是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．12．(本題2分)（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，在中，若直角邊，，將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實(shí)線）是______．【答案】76【思路點(diǎn)撥】通過勾股定理可將“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的斜邊求出，然后可求出風(fēng)車的外圍周長．【規(guī)范解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長為x，則，解得：，“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的外圍周長．故答案為：76．【考點(diǎn)評析】本題考查了勾股定理在實(shí)際情況中的應(yīng)用，并注意題中隱含的已知條件來解題．13．(本題2分)（2022秋·全國·八年級階段練習(xí)）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大正方形M的邊長是3，則正方形A、B、C、D、E、F的面積之和是_____．【答案】18【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的面積公式，運(yùn)用勾股定理得出6個(gè)小正方形的面積和與最大正方形面積的數(shù)量關(guān)系即可得出答案．【規(guī)范解答】解：根據(jù)勾股定理得到：A與B的面積的和是E的面積；C與D的面積的和是F的面積；而E，F(xiàn)的面積的和是M的面積．即A、B、C、D、E、F的面積之和為2個(gè)M的面積．∵M(jìn)的面積是32＝9，∴A、B、C、D、E、F的面積之和為9×2＝18．故答案為：18．【考點(diǎn)評析】本題考查了勾股定理，關(guān)鍵就是運(yùn)用勾股定理和正方形的面積公式推導(dǎo)出6個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積的2倍．14．(本題2分)（2019秋·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—公元295年）將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形，是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，則長方形的面積為______.【答案】12【思路點(diǎn)撥】欲求矩形的面積，則求出圖1中陰影部分小三角形長直角邊邊長即可，由此可設(shè)其為x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，進(jìn)而可求出該矩形的面積．【規(guī)范解答】解：設(shè)如圖1陰影部分小三角形長直角邊邊長為x，∵，∴AB=x+3，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，整理得，x=2，∴該矩形的面積=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12故答案為：12．【考點(diǎn)評析】本題考查了勾股定理的證明以及運(yùn)用和一元二次方程的運(yùn)用，得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2019春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖在中，，，，為等邊三角形，點(diǎn)為圍成的區(qū)域(包括各邊)內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，作，交直線于點(diǎn)，則平行線與間距離的最大值為_________.【答案】【思路點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，EM與AB間的距離最大，由為等邊三角形和，可得∠DBA＝90o,則DB的長度即為EM與AB間的距離，根據(jù)勾股定理即可求得.【規(guī)范解答】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，EM與AB間的距離最大，∵，，，為等邊三角形，∴∠ABC=30o,∠CBD=60o,BC=,∴∠ABD=90o,BD=BC=,∴EM與AB間的距離為BD的長度.故答案是：.【考點(diǎn)評析】考查了勾股定理，解題關(guān)鍵根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，EM與AB間的距離最大和求得.16．(本題2分)（2019春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”．中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一．中國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理．三國時(shí)期吳國趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”（如圖）證明了勾股定理．在這幅“勾股圓方圖”中，大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形EFGH組成的．若小正方形的邊長是1，每個(gè)直角三角形的短的直角邊長是3，則大正方形ABCD的面積是_____．【答案】25【思路點(diǎn)撥】由BF=BE+EF結(jié)合“小正方形的邊長是1，每個(gè)直角三角形的短的直角邊長是3”即可得出直角三角形較長直角邊的長度，結(jié)合三角形的面積公式以及正方形面積公式即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】∵EF=1，BE=3，∴BF=BE+EF=4，∴S正方形ABCD=4?S△BCF+S正方形EFGH=4××4×3+1×1=25.故答案為25.【考點(diǎn)評析】此題考查勾股定理的證明，解題關(guān)鍵在于掌握勾股定理的應(yīng)用17．(本題2分)（2019春·廣東廣州·八年級廣州六中?？计谥校┤鐖D是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為,若，則的值是_______．【答案】12【思路點(diǎn)撥】設(shè)8個(gè)全等的直角三角形的每個(gè)三角形面積為x，中間的正方形MNKT面積為y，則正方形ABCD的面積為8x+y，正方形EFGH的面積為4x+y，正方形MNKT面積為y=，再利用，可知4x+y=12．【規(guī)范解答】解：設(shè)8個(gè)全等的直角三角形的每個(gè)三角形面積為x，中間的正方形MNKT面積為y，則正方形ABCD的面積為8x+y，正方形EFGH的面積為4x+y，正方形MNKT面積為y=，∵，∴（8x+y）+y=24，則2（4x+y）=24，即4x+y=12，故=12．【考點(diǎn)評析】此題主要考查勾股定理的證明．18．(本題2分)（2020秋·八年級龍港市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國清代數(shù)學(xué)家李銳借助三個(gè)正方形用出入相補(bǔ)證明了勾股定理，如圖，設(shè)直角三角形的邊長分別是，斜邊的長為c，作三個(gè)邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A，C，E三點(diǎn)在一條直線上.若，四邊形與面積之和為13.5，則正方形的面積為_______________.【答案】36【思路點(diǎn)撥】作于點(diǎn)，根據(jù)四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，得，，，證明，由題意得，，證明，再證明，得出，根據(jù)，，通過計(jì)算可得，．【規(guī)范解答】解：如圖，作于點(diǎn)，則，四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，①，，②，由①②得，，，故答案為：36．【考點(diǎn)評析】此題重點(diǎn)考查勾股定理的證明、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、乘法公式等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．19．(本題2分)（2020秋·浙江紹興·八年級?？计谥校┤鐖D是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于_____．【答案】5．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a-b=7，解得a，b的值代入即可．【規(guī)范解答】∵AB＝13，EF＝7，∴大正方形的面積是169，小正方形的面積是49，∴四個(gè)直角三角形面積和為169﹣49＝120，設(shè)AE為a，DE為b，即，∴2ab＝120，a2+b2＝169，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，∴a+b＝17，∵a﹣b＝7，解得：a＝12，b＝5，∴AE＝12，DE＝5，∴AH＝12﹣7＝5．故答案為：5．【考點(diǎn)評析】此題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)用直角三角形中勾股定理的運(yùn)用解得ab的值．20．(本題2分)（2022秋·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是_________．【答案】．【規(guī)范解答】試題解析：將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=，所以S2=x+4y=．考點(diǎn)：勾股定理的證明．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）在小學(xué)，我們已經(jīng)認(rèn)識了正方形，知道它的對邊平行，四條邊相等，四個(gè)角都是直角，我們可以利用這些性質(zhì)解決幾何問題．如圖1，在正方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，．(1)證明：；(2)證明：；(3)連接（如圖2），若，，，請利用圖形驗(yàn)證勾股定理．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)驗(yàn)證見解析【思路點(diǎn)撥】（1）先證明，可得，，可得，再證明，從而可得結(jié)論；（2）依次證明，，，從而可得結(jié)論；（3）證明，可得，再整理即可．【規(guī)范解答】（1）證明：∵正方形，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）∵，，，，正方形，∴，，，，∴，，∵，，∴，整理得：．【考點(diǎn)評析】本題考查的同角或等角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用等積變形驗(yàn)證勾股定理，證明得到是解本題的關(guān)鍵．22．(本題6分)（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，其中、、和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理．設(shè)，，，取，．(1)填空：正方形的面積為____________，四個(gè)直角三角形的面積和為_____________．(2)求的值．【答案】(1)16；384(2)28【思路點(diǎn)撥】（1）正方形的邊長為：，則面積可求；四個(gè)直角三角形的面積和等于正方形與正方形面積之差，據(jù)此即可作答；（2）四個(gè)直角三角形的面積和又，，，可得，由（1）可知四個(gè)直角三角形的面積和為384，即有，根據(jù)，即可得，問題即可得解．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)，，，取，．正方形面積為：，正方形面積為：，根據(jù)圖形可知：四個(gè)直角三角形的面積和等于正方形與正方形面積之差，即：，故答案為：16；384；（2）解：在（1）中，有：四個(gè)直角三角形的面積和又∵，，，∴，整理，可得：，由（1）可知四個(gè)直角三角形的面積和為384，∴，解得，∵，∴．∴（負(fù)值舍去），即值為28．【考點(diǎn)評析】本題主要考查勾股定理的證明及應(yīng)用，理解圖形中四個(gè)三角形的面積和等于大正方形的面積與小正方形面積的差是解題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2022秋·廣東佛山·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理，圖1與圖2都是由四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成，圖3是由兩個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)如圖4，以直角三角形的三邊為直徑向外部作半圓，請寫出、和的數(shù)量關(guān)系：___________．【答案】(1)①直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；②見解析(2)【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)勾股定理的意義進(jìn)行求解即可；②如選擇圖1，四個(gè)相同的直角三角形的面積和再加上中間小四邊形的面積等于大正方形的面積；如選擇圖2，大正方形的面積等于四個(gè)相同的直角三角形的面積和再加上中間四邊形的面積；如選擇圖3，則梯形的面積等腰三個(gè)三角形的面積和；（2）分別表示出，即可得出它們之間的數(shù)量關(guān)系．【規(guī)范解答】（1）解：①勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；②如選擇圖1，四個(gè)相同的直角三角形的面積和再加上中間小四邊形的面積等于大正方形的面積，即化簡得：，如選擇圖2，大正方形的面積等于四個(gè)相同的直角三角形的面積和再加上中間四邊形的面積，即，化簡得：；如選擇圖3，則梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，即，化簡得：；（2）解：如圖：則，，，∵，∴，故答案為：．【考點(diǎn)評析】本題考查了勾股定理的證明，解答的關(guān)鍵是理解勾股定理：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．24．(本題8分)（2022秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足，，，，求證（1）中的定理結(jié)論；(3)如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【答案】(1)(2)見解析(3)【思路點(diǎn)撥】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形的面積兩種計(jì)算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．【規(guī)范解答】（1）解：∵大正方形的面積，大正方形的面積，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖：連接，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：由題意可得：，，∴，，∴，，∴，∴正方形的面積為．【考點(diǎn)評析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．25．(本題8分)（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀材料，解答問題：(1)中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長為3和4時(shí)，那么斜邊的長為5．”上述記載說明：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系是：______．(2)如圖①，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形ABDE，中間部分是一個(gè)小正方形CFGH，請結(jié)合圖①，證明（1）中的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖②，以的三條邊分別作三個(gè)等邊三角形，若，，，求出的值．【答案】(1)(2)見詳解(3)22【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理可得；（2）分別計(jì)算出小正方形的面積、直角三角形的面積和大正方形的面積，根據(jù)大正方形等于小正方形加四個(gè)直角三角形建立等式即可得到；（3）分別計(jì)算出三個(gè)等邊三角形的面積，根據(jù)建立等式，利用進(jìn)行化簡即可得到答案．【規(guī)范解答】（1）解：，如果，，，，那么；（2）證明：如下圖所示，由題意得，∴，∵，，，∴，∴，∴；（3）解：如下圖所示，設(shè)，，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴．【考點(diǎn)評析】本題考查勾股定理、直角三角形、等邊三角形和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形中的面積關(guān)系建立等式．26．(本題8分)（2022秋·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）【方法探究】我們知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積可以探求相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．如圖1，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b（），斜邊長為c，大正方形的面積用兩種方法可分別表示為___________、___________，由此可發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系為___________．【方法遷移】將圖1中的四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形拼成圖2，a，b，c之間仍然具有以上數(shù)量關(guān)系嗎？請?jiān)趫D2中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，并加以說明．【答案】【方法探究】，，，【方法遷移】見解析【思路點(diǎn)撥】【方法探究】根據(jù)大正方形的面積可以表示為，又可以表示為，可得結(jié)論；【方法遷移】過點(diǎn)F作于點(diǎn)H．根據(jù)這個(gè)幾何圖形的面積可以表示為正方形的面積正方形的面積2個(gè)直角三角形的面積，也可以表示為正方形的面積2個(gè)直角三角形的面積，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：【方法探究】大正方形的面積；另一方面，大正方形的面積；∴，故答案為：，，；【方法遷移】結(jié)論仍然成立．理由：如圖2中，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H．這個(gè)幾何圖形的面積正方形的面積正方形的面積2個(gè)直角三角形的面積正方形的面積2個(gè)直角三角形的面積，∴，∴．【考點(diǎn)評析】本題考查了勾股定理的面積證法，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握圖形的面積的兩種表示方法，正方形的面積計(jì)算，直角三角形的面積的計(jì)算．27．(本題8分)（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級校考階段練習(xí)）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S梯形ABCD＝，S△EBC＝，S四邊形AECD＝，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，它們滿足的關(guān)系式為，化簡后，可得到勾股定理．【知識運(yùn)用】如圖2，河道上A，B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距200米，C，D為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD＝80米，BC＝