專(zhuān)項(xiàng)06 平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題

專(zhuān)項(xiàng)06平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題類(lèi)型一一定一動(dòng)1.(2023河北保定雄縣期中)如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)M是邊AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，作ME⊥AC于點(diǎn)E，MF⊥BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，則PF長(zhǎng)度的最小值是()A.1.5 B.2 C.2.4 D.2.52.(2022江蘇南京鼓樓期末)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)D是定點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別是直線(xiàn)l1和l2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l1∥l2，若點(diǎn)D到直線(xiàn)l1和l2的距離分別是1和4，則對(duì)角線(xiàn)BD長(zhǎng)度的最小值是.

類(lèi)型二兩定一動(dòng)3.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠BAD=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線(xiàn)AC上(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè))，且EF=1，則DE+BF的最小值為多少?類(lèi)型三一定兩動(dòng)4.(2023新疆烏魯木齊八一中學(xué)模擬)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，則CQ+PQ的最小值為.

類(lèi)型四三動(dòng)點(diǎn)5.(2023天津東麗期中)如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC=6，BD=8，M、N分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，P是線(xiàn)段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是多少?

專(zhuān)項(xiàng)06平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題答案全解全析1.C連結(jié)CM，如圖所示.∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+BC2=62+82=10，∵M(jìn)E⊥AC，MF⊥BC，∴∠CEM=∠MFC=90°，又∵∠ACB=90°，∴四邊形CEMF是矩形，∴EF=CM.∵點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，∴PF=12EF.當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM的長(zhǎng)度最小，則EF的長(zhǎng)度最小，則PF的長(zhǎng)度最小.此時(shí)，△ABC的面積=12AB·CM=12AC·BC，∴CM=AC2.答案5解析如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥l1于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DM交l2于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥l2于點(diǎn)N，連結(jié)MN，設(shè)CD與l1交于點(diǎn)E，AB與l2交于點(diǎn)F，∵DM⊥l1，l1∥l2，∴DM⊥l2，∠AED=∠DCF，∵點(diǎn)D是定點(diǎn)，且點(diǎn)D到直線(xiàn)l1和l2的距離分別是1和4，∴DM=1，DH=4，∴MH=DH-DM=4-1=3，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD=BC，∠ADC=∠CBA，∴∠BFC=∠DCF，∴∠AED=∠BFC，在△ADE和△CBF中，∠∴△ADE≌△CBF(A.A.S.)，∴BN=DM=1，根據(jù)垂線(xiàn)段最短、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得，當(dāng)MN⊥l1時(shí)，BD的長(zhǎng)度取最小值，最小值為DM+BN+MH的長(zhǎng)，∴對(duì)角線(xiàn)BD長(zhǎng)度的最小值是1+3+1=5.3.解析如圖，連結(jié)BD交AC于O，作DM∥AC，使得DM=EF=1，連結(jié)BM，∵DM=EF，DM∥EF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴DE=FM，∴DE+BF=FM+FB，當(dāng)M，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，F(xiàn)M+FB的值最小，為BM的長(zhǎng)度.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠AOD=90°，又∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=3.∵DM∥EF，∴∠BDM=∠AOD=90°.在Rt△BDM中，BM=12+3∴DE+BF的最小值為10.4.答案2解析連結(jié)AQ，作AH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CB，∠ABQ=∠CBQ，∵BQ=BQ，∴△ABQ≌△CBQ(S.A.S.)，∴AQ=CQ，∴CQ+PQ=AQ+PQ.易知當(dāng)點(diǎn)A、Q、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AQ+PQ的值最小，最小值為AH的長(zhǎng)，∵AB=2，∠ABC=45°，∴AH=2，∴AQ+PQ的最小值為2，∴CQ+PQ的最小值為2.5.解析設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC=6，BD=8，∴OA=3，OB=4，∴AB=32如圖，過(guò)N作NQ⊥AB交AB于Q，交BD于P，過(guò)P作PM