第35講-利用傳統(tǒng)方法解決立體幾何中的角度與距離問題(解析版)

加QQ309000116進(jìn)百度群內(nèi)容2000G分成20多類自動更新永久服務(wù)第35講利用傳統(tǒng)方法解決立體幾何中的角度與距離問題參考答案與試題解析一．解答題（共35小題）1．（2021?浙江模擬）如圖，中，，，現(xiàn)將以為軸旋轉(zhuǎn)，將點旋轉(zhuǎn)至點，使得．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求與面所成角的正弦值．【解答】解：由題意可知，，故，（3分），，面，，面，（5分）面，，為等腰直角三角形，．（7分）取中點，連接，，由是以以為軸旋轉(zhuǎn)而成，故，（9分），，所以面，過作交于，面，，面，（11分）即為與面所成角，（12分）而，．面．，，，，．（15分）2．（2021?南開區(qū)期中）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，．，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求的長，若不存在，請說明理由．【解答】（Ⅰ）證明：取中點，連接，則，，，均垂直于平面，所以，所以四邊形是矩形，所以，所以，所以，所以，同理，又因，所以，于是，所以，因為，所以平面．（Ⅱ）解：因為平面，所以，，所以平面與平面所成角的平面角為，所以平面與平面所成角的正弦值為．（Ⅲ）解：假設(shè)線段上存在一點，使直線與平面所成的角的正弦值為，設(shè)成角為，，在上取點，使，連接，由（Ⅰ）知是平面的法線，設(shè)與成角為，則，因為，所以，所以有，整理得，解得或．所以線段上存在一點，使直線與平面所成的角的正弦值為，的長度為或．3．（2021?浙江模擬）已知多面體中，，均垂直于平面，，，，是的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】證明：（Ⅰ）取的中點，連結(jié)，，是的中位線，，且，，均垂直于平面，且，，且，四邊形為平行四邊形，即，平面，平面，平面．解：（Ⅱ）由，得平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，在平面內(nèi)過點作于點，平面，平面平面，平面，即就是到平面的距離，也就是點到平面的距離，設(shè)，則到平面的距離，，即直線與平面所成角的正弦值為．4．（2021春?湖北期中）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，是線段上的動點．（1）若是線段中點時，證明：平面；（2）若直線與底面所成角的正弦值為，且三棱錐的體積為，請確定點的位置，并說明理由．【解答】解：（1）連接交于，連接，底面是菱形，是中點，又是的中點，，且平面，平面，平面．（2）底面，為直線與底面所成的角，，，．又，，菱形中，，，底面，平面，平面底面，且它們的交線是，在底面內(nèi)，過點作，垂足為點，則：平面，故點到平面的距離．故是線段上靠近點的三等分點．5．（2021?丹東二模）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，點在線段上，平面．（1）證明：點為線段中點；（2）已知平面，，點到平面的距離為1，四棱錐的體積為，求．【解答】（1）證明：連接交于點，連接，平面，平面，平面平面，，底面是菱形，是的中點，是的中點．（2）平面，，由（1）可知，，又平面是菱形，，平面，平面，故到平面的距離等于到平面的距離，即，又，，是等邊三角形，故，，，．6．（2021?嵊州市二模）如圖，已知四棱錐，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點．證明：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取中點，連接，，，，又為的中位線，．設(shè)，則，，，，得，故．又，平面，得；（Ⅱ）解：平面平面，且平面平面，平面，，平面，三棱錐的體積．取的中點，連接，，，又由平面，知，而，平面，故．，，，則．設(shè)到平面的距離為，則由，知，即．又，直線與平面所成角的正弦值為．7．（2021?邢臺月考）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形．（1）證明：平面平面．（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因為平面平面且相交于，，又平面，所以平面，所以．又因為，，所以平面．因為平面，所以平面平面，（2）解：取的中點，連接，，因為，所以，又因為平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為，所以．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，1，，，，，，，，0，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以．所以，則直線與平面所成角的正弦值為．8．（2021?臺州期末）如圖，在四棱錐中，，是以為斜邊的等腰直角三角形，底面為直角梯形，，，，為線段的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的大?。窘獯稹拷猓海?）證明：由底面為直角梯形，得，又由，為線段中點，得，所以四邊形為平行四邊形，則．又平面，平面，故平面．（2）由已知，，所以二面角的平面角為，由，，，得是等邊三角形，故，所以的大小為．9．（2021春?上虞區(qū)期末）如圖，四棱錐中，，是以為底的等腰直角三角形，，為中點，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）過作垂線，垂足為，則為中點，，則有得，．又，平面，平面平面；（Ⅱ），到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．由，，，求得：，從而，即直線與平面所成角的正弦值為．10．（2021?浙江月考）如圖，在三棱臺中，平面平面，，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：設(shè)，則，，在中，由余弦定理知，，，解得，，即，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（Ⅱ）解：由三棱臺的性質(zhì)知，，故直線與平面所成角即為直線與平面所成角．由（Ⅰ）知，平面，即為所求．，，，在中，由余弦定理知，，，在中，．故直線與平面所成角的正弦值為．11．（2021?杭州期中）如圖，三棱臺中，，，四邊形為等腰梯形，，平面平面．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：延長、、交于點，四邊形為等腰梯形，，，即，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）解：由，可知為的中點，設(shè)，則，，由（1）知，，，即，，、平面，平面，，，，過點作于點，平面，平面，，又，、平面，平面，，由（1）知，平面，，，即，，為的中點，到平面的距離，直線與平面所成角的正弦值為．12．（2021?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，棱長為2的正方體中，已知點，，分別是棱，，的中點．（1）求異面直線與所成角的大??；（2）求異面直線和所成角的余弦值．【解答】解：（1）連接，可得為異面直線與所成角，連接，可知為等邊三角形，則，即異面直線與所成角的大小為；（2）連接，則為異面直線和所成角，由正方體的棱長為2．可得，，．異面直線和所成角的余弦值為．13．（2021春?楊浦區(qū)期中）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱、的中點．（1）求異面直線與所成角的大小；（2）連接，與交于點，點在線段上移動．求證與保持垂直；（3）已知點是直線上一點，過直線和點的平面交平面于直線，試根據(jù)點的不同位置，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示，連接，，可得為等邊三角形．，異面直線與所成角為，大小為．（2）由正方體的性質(zhì)可得：平面，又平面，，又，．（3）過直線和點的平面交平面于直線，，，，直線與直線不可能平行．當(dāng)三點，，共線時，，此時直線與直線相交，點為直線上其它點時，直線與直線為異面直線．14．（2013?溫州一模）如圖，已知平面與直線均垂直于所在平面，且，（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面，求與平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：過點作于點，平面平面，平面．又平面，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）平面，，又，，，．點是的中點，連接，則．平面，，．四邊形是矩形．設(shè)，則，．又，，平面，從而平面平面，過作于點，則平面．是與平面所成的角．在中，，則，．．與平面所成角的正弦值為．15．（2021?湖南校級模擬）如圖，已知平面與直線均垂直于所在平面，且．（1）求證：平面；（2）若平面，求二面角的鈍二面角的余弦值．【解答】解：證明：過點作于點，平面平面，平面，又平面，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）方法一：平面，，又，，，．點是的中點，連接，則，平面，，，四邊形是矩形．設(shè)，，，．過作于點，，，取中點，連接，取的中點，連接，，，．，，．為二面角的平面角．連接，則．又，．即二面角的余弦值為．16．（2013春?天心區(qū)校級月考）在空間幾何體中，平面，平面平面，，．（1）求證：平面；（2）若平面，試比較三棱錐與的體積的大小，并說明理由．【解答】證明：（1）如圖，取中點，連，由得，平面平面，平面，又平面，，又平面，平面．（2）解：連接，則．平面平面，面面，平面．又平面，．又由（1）知，四邊形是矩形，證明：（1）如圖，取中點，連，由得，平面平面，平面，又平面，，又平面，平面．（2）連接，則．平面平面，面面，平面．又平面，．又由（1）知，四邊形是矩形，，．，而，則．，．，而，則．17．（2015?紅橋區(qū)二模）如圖，已知平面，平面，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：平面，平面，平面，平面，，，又平面（4分）（Ⅱ）平面，，已知．平面，，，可得取的中點，連接，，則，為二面角的平面角，，故二面角的正弦值分18．（2021?通州區(qū)一模）如圖所示的幾何體中，平面平面，是直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，，，．求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【解答】（Ⅰ）證明：，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（Ⅱ）證明：，，平面平面，是直角三角形，四邊形是直角梯形，，，平面，，，，，，平面．（Ⅲ）解：存在．由（Ⅱ）可知平面；作，交于，可知，，所以平面，平面，．，，，．19．如圖，已知矩形所在平面外一點，平面，、、分別是、、的中點，，（1）求證：平面；（2）求證，，且；（3）求直線與所成的角；（4）求直線與平面所成的角；（5）求平面與平面所成的角．【解答】解：（1）證明：取中點，連，則平行且等于，又平行且等于，為中點，平行且等于為平行四邊形，從而，又平面，平面，平面（2），，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)面又平面，；，是中點，，且；且，，且；（3）取的中點，連接，，則，則與所成的角就是與所成的角，則，，，，則，則為正三角形，則，即直線與所成的角為．（4）由（2）知平面，則是在平面上的射影，則為直線與平面所成的角，，，即直線與平面所成的角為．（5）過作平面，則是平面與平面所成的角，同時也是平面與平面所成的角，，平面與平面所成的角是．20．（2021?五華區(qū)校級模擬）如圖所示的幾何體中，正方形所在平面垂直于平面，四邊形為平行四邊形，為上一點，且平面，．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求直線與平面所成角的正切值．【解答】（1）證明：因為平面平面，平面平面，四邊形為正方形，即，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）解：，求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．令，，由（1）知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，．因為四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，所以直線與平面所成角的正切值為．．21．如圖，已知點是三角形所在平面外一點，且，截面分別平行于，（點，，，分在棱，，，上）（1）求證：四邊形是平行四邊形且周長為定值；（2）設(shè)與所成角為，求四邊形的面積的最大值．【解答】（1）證明：平面，平面，平面平面．同理可得，可得，同理得到，四邊形中，兩組對邊分別平行，因此，四邊形為平行四邊形．空間四邊形被一平面所截，截面是平行四邊形．且，①，②，則①②得，，，四邊形的周長，故四邊形的周長為定值．與所成角為，平行四邊形中或，可得截面的面積，設(shè)，則，，同理可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，由此可得：?dāng)為的中點時，截面的面積最大，最大值為．22．（2021?浙江模擬）如圖，在四棱錐中，，．．是的重心，底面．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：過點作于，交于，底面，底面，，又，、平面，平面，平面，，，，即為的中點，，，且和在同一平面，，為的中點，是的重心，、、三點共線，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）解：連接，，．，，，，而，四邊形為菱形，，，，，，，設(shè)到的距離為，則，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．23．（2021春?浙江期末）如圖．在四棱錐中，，，平面，且，，，、分別為棱，的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：因為，分別為，的中點，所以，又因為，所以．從而，，，四點共面，因為平面，平面．所以，又因為，，所以平面，從而，因為，且為的中點，所以，又因為，所以平面．（2）如圖，連結(jié)；由（1）知平面，所以為直線在平面內(nèi)的射影，且，所以即為直線與平面所成的角，在直角梯形內(nèi)，過作于，則四邊形為矩形，，，在中，，所以，，在中，，，，所以．24．（2021?全國模擬）如圖，在四棱錐中，，，平面，，為上的動點．（Ⅰ）當(dāng)為的中點時，在棱上是否存在點，使得平面？說明理由；（Ⅱ）的面積最小時，求三棱錐的體積．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)為中點時，平面．證明如下：取的中點，連接，，分別為，中點，，又，，又平面，平面，平面；（Ⅱ）由平面，平面，知，又，，平面，又平面，，為直角三角形．當(dāng)時的面積最小．在底面直角梯形中，由，，得，．在中，由，，可得，．則，．．25．（2021?浙江模擬）如圖，已知三棱錐中，平面平面，，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求直線和平面所成角的正弦值．【解答】解法一：（1）取的中點，的中點，連，，．，，又，是的中點，，，又，，又面面且二平面交于，面，．又，面，．（2）由①知面，面面且交于，過作垂足為，即是到面的距離，，，又是的中點，到面的距離，與面所成角的正弦值為．解法二：（1）取的中點，連、，，，，又面面且交于．面，，，，又，，，，，，面，．（2）過作交其延長線于，面面且交于，面，連可得，又，，，，，又，，，，，令到面的距離為，則，，與面所成角的正弦值為．解法三：（1）取的中點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，（2）由（1）可知，設(shè)面的法向量為，則，令，則，，，與面所成角的正弦值為．26．如圖所示，已知三棱錐中，，，，為的中點，且是正三角形，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．（3）若為的中點，求三棱錐的體積．【解答】（1）證明：是正三角形，為的中點，為直角三角形，且，，，，平面，平面，，，，，平面，平面，平面平面．（2）解：取的中點，連接，則，即，作于，則為的中點，為二面角的平面角．，，，，，，，，，由余弦定理可得，二面角的正弦值為．（3）解：中，為的中點，為的中點，，平面，平面，平面，平面，平面，，，．27．（2021秋?荔灣區(qū)校級期末）如圖，已知多面體的底面是邊長為2的菱形，底面，，且．（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：連接，交于點，設(shè)中點為，連接，．，分別為，的中點，，且，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，即，平面，平面，，是菱形，．，平面，，平面，平面，平面平面．（2）因為直線與平面所成角為，所以，所以，所以，故為等邊三角形，設(shè)的中點為，連接，則，設(shè)點到平面的距離為，點到平面的距離為，則由，得因為面，面，所以，又，，面；因為，平面，面，所以面，所以點到平面的距離與點到平面的距離相等，即，因為，，所以，又，代入得，所以，所以與平面所成角的正弦值為．28．（2021?澄海區(qū)校級月考）已知四棱錐中，平面，且，底面是邊長為的菱形，．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)與交于點，為中點，若二面角的正切值是，求的值．【解答】（1）證明：因為平面，平面，則，因為為菱形，則，又因為，則平面，又平面，故平面平面；（2）解：過點作，交于點，連接，因為平面，則由三垂線定理可得，所以是二面角的平面角，又，，，且，所以，則，所以，故．29．（2021?溫州模擬）在四棱錐中，，，，底面是梯形，，，，．求證：；求直線與平面所成角的大?。窘獯稹孔C明：取的中點，連接，，則，，，平面．平面，，，，平面，平面，；解：由題意，．設(shè)到平面的距離為，則由等體積可得，直線與平面所成角的正弦值為，大小為．30．（2015秋?臨海市校級月考）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．【解答】（1）證明：在直角梯形中，由，，得，由，得，即，又平面平面，從而平面，所以，又，從而平面；（2）解：作，與交于點，，與交于點，連接，由（1）知，所以就是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，從而，由于平面，得．在中，由，，得；在中，由，，得，，，所以二面角的正切值為．31．（2014?濱州一模）在四棱錐中，平面，，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若二面角的大小為，求的值．【解答】（Ⅰ）證明：設(shè)為與的交點，作于點，由四邊形是等腰梯形，得，，，，，，由平面，得，又，平面．（Ⅱ）解：作于點，連接，由（Ⅰ）知平面，，平面，從而得到，，是二面角的平面角，二面角的大小為，，由，，得，同理，得，，設(shè)，則，在中，由，得，在中，由，得，解得，即．32．（2021?義烏市模擬）如圖1，平行四邊形中，，在的延長線上取一點，使得；現(xiàn)將沿翻折到圖2中△的位置，使得．（