備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第5節(jié)-條件概率與全概率公式

第5節(jié)條件概率與全概率公式1.了解條件概率的含義,了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系.2.能利用條件概率和全概率公式解決一些實(shí)際問題.1.條件概率(1)條件概率的概念一般地,設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)=P((2)條件概率的公式①P(B|A)=n(②P(B|A)=P((3)條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則①0≤P(B|A)≤1,P(Ω|A)=;

②如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=;

③設(shè)B和B互為對立事件,則P(B|A)=;④概率的乘法公式:對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=.

2.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,有P(B)=∑i=1nP(Ai全概率公式是按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個復(fù)雜事件表示為幾個互斥事件的并事件,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復(fù)雜事件的概率.當(dāng)A,B相互獨(dú)立時(shí),P(B|A)=P(B).1.袋中裝有標(biāo)號為1,2,3的三個小球,從中任取一個,記下它的號碼,放回袋中,這樣連續(xù)做三次.若抽到各球的機(jī)會均等,事件A為“三次抽到的號碼之和為6”,事件B為“三次抽到的號碼都是2”,則P(B|A)=()A.17 B.27 C.162.(選擇性必修第三冊P50例5(1)改編)甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,其產(chǎn)量分別是總量的25%,35%,40%,次品率分別為5%,4%,2%.從這批產(chǎn)品之中任取一件,則它是次品的概率為()A.0.0123 B.0.0234 C.0.0345 D.0.04563.100件產(chǎn)品中有5件次品,不放回地抽取兩次,每次抽1件,已知第一次抽到的是次品,則第二次抽到正品的概率為()A.9499 B.9599 C.73754.兩臺機(jī)床加工同樣的零件,它們出現(xiàn)廢品的概率分別為0.03和0.02,加工出的零件放在一起.設(shè)第一臺機(jī)床加工的零件比第二臺的多一倍,則任取一個零件是合格品的概率為.

5.投擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為5或6”,事件B為“兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”,則已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率P(AB)=.

簡單的條件概率1.甲、乙、丙、丁4名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動,社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳四個項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件A為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”,則P(A|B)=()A.14 B.34 C.292.已知一批產(chǎn)品共有10件,其中有3件次品,現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件,則在第一次抽到次品的情況下,第二次抽到次品的概率為.

3.某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品,在100件合格品中有75件一等品,則在該廠的產(chǎn)品中,任取一件是一等品的概率為.

條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=P(基本事件法借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=n縮樣法縮小樣本空間的方法,就是去掉第一次抽到的情況,只研究剩下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡利用條件概率的性質(zhì)求概率在某次考試中,從20道題中隨機(jī)抽取6道題,若考生至少能答對其中的4道題即可通過;若至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道該考生在這次考試中已經(jīng)通過,求該考生獲得優(yōu)秀的概率.利用條件概率的性質(zhì)求概率的解題策略(1)分析條件,選擇公式:首先看事件B,C是否互斥,若互斥,則選擇公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).(2)分解計(jì)算,代入求值:為了求比較復(fù)雜事件的概率,一般先把它分解成兩個(或若干個)互斥的較簡單的事件之和,求出這些簡單事件的概率,再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率.[針對訓(xùn)練]某考生在一次考試中,共有10道題可供選擇,已知該考生能答對其中6道題,隨機(jī)從中抽取5道題供該考生回答,至少答對3道題則及格,求該考生在第一題答錯的情況下及格的概率.全概率公式的應(yīng)用現(xiàn)有編號為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三個口袋,其中Ⅰ號袋內(nèi)裝有兩個1號球,一個2號球與一個3號球;Ⅱ號袋內(nèi)裝有兩個1號球與一個3號球;Ⅲ號袋內(nèi)裝有三個1號球與兩個2號球.現(xiàn)在先從Ⅰ號袋內(nèi)隨機(jī)地取一個球,放入編號與球上號數(shù)相同的口袋中,第二次從該口袋中任取一個球,計(jì)算第二次取到幾號球的概率最大,為什么?[典例遷移](變結(jié)論)在本例中,若第二次取到1號球,問它取自哪一個口袋的概率最大?全概率公式的意義事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,…,n).如果A